2021年北师大版数学七年级下册期中测试卷四（含答案）

这是一份2021年北师大版数学七年级下册期中测试卷四（含答案），共18页。试卷主要包含了3a与5a2﹣3a﹣5的和是，下列运算中正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．在代数式，2πx2y，，﹣5，a，0中，单项式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．3a与5a2﹣3a﹣5的和是（ ）
A．5a﹣5B．5a2﹣6a﹣5C．5a2﹣5D．5a2+5
3．如图，把一块直角形的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是（ ）
A．65°B．55°C．60°D．35°
4．如图，下列能判定AB∥EF的条件有（ ）
①∠B+∠BFE=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．下面说法正确的个数为（ ）
（1）过直线外一点有一条直线与已知直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；
（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列运算中正确的是（ ）
A．a2•（a3）2=a8B．a3•a3=2a3C．a3+a3=2a6D．（a2）3=a8
7．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④
8．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
9．由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3
C．干旱开始时，蓄水量为200万米3
D．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3
10．如图，在△ABC中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BPC=（ ）
A．102°B．112°C．115°D．118°
二．填空题
11．请你写出一个单项式，使它的系数为﹣3，次数为2．答： ．
12．计算：（1）a5•a3•a= ，（2）（a5）3÷a6= ，（3）（﹣2x2y）3= ．
13．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，
如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是 ℉．
14．已知a2﹣a+1=2，那么a﹣a2+1的值是 ．
15．如图，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差= ．
16．某货物以a元买入，如果加上进价的m%作为定价，后因货物卖不出去，又按定价n%降低出售，则降价后的售价用式子表示出来是 元．
三．解答题
17．计算题
（1）（﹣3）﹣2﹣（3.14﹣π）0+（﹣12）3
（2）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣b2）
（3）（2x﹣5）（2x+5）﹣（2x+1）（2x﹣3）
（4）（x+1）（x+3）﹣（x﹣2）2．
18．化简求值：（3a﹣1）2﹣3（2﹣5a+3a2），其中．
19．在括号内填写理由．
已知：如图，DG⊥BC AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2．求证：CD⊥AB
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC
∴∠DGB=∠ACB=90° （ ）
∴DG∥AC（ ）
∴∠2=∠DCA （ ）
∵∠1=∠2∴∠1=∠DCA
∴EF∥CD（ ）
∴∠AEF=∠ADC（ ）
∵EF⊥AB
∴∠AEF=90°
∴∠ADC=90° 即CD⊥AB．
20．中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
21．如图，已知AB∥PN∥CD．[来源:学_科_网]
（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．

B卷
一．填空题
22．（a﹣1）（a+1）（a2+1）的结果为 ．
23．已知（a+b）2=13，（a﹣b）2=11，则ab值等于 ．
24．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都可以反射光线．如图所示是一探照灯灯碗，侧面看上去，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为 ．
25．已知函数f（x）=1+，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，
如f（1）=1+，f（2）=1+，f（a）=1+，
则f（1）•f（2）•f（3）…f（100）= ．
26．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En=1度，那∠BEC等于 度
二．解答题
27．已知4x2+9y2﹣4x+12y+5=0，化简下列式子并求值：
[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（4y）．
28．杨嫂在社区扶持下，创办了“润扬”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：①买进每份0.50元，卖出每份1元；
②一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.20元退回给报社．
（1）一个月内每天买进该种晚报的份数分别为100和150时，月利润是多少元？
（2）上述的哪些量在发生变化？自变量和函数各是什么？
（3）设每天从报社买进该种晚报x份（120≤x≤200），月利润为y元，请写出y与x的关系式，并确定月利润的最大值．
29．（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠D=40°，∠B=30°，求∠E的大小；
（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；
当∠B：∠D：∠E=2：4：x时，x= ．
（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠E与∠D、∠B之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请直接写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
1．在代数式，2πx2y，，﹣5，a，0中，单项式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据单项式的定义，式子有减法运算，式子分母中含字母，都不是单项式，另外四个都是单项式．
故选：D．

2．3a与5a2﹣3a﹣5的和是（ ）
A．5a﹣5B．5a2﹣6a﹣5C．5a2﹣5D．5a2+5
【解答】解：3a+5a2﹣3a﹣5=5a2﹣5．
故选：C．

3．如图，把一块直角形的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2是（ ）
A．65°B．55°C．60°D．35°
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣35°=55°．
故选：B．

4．如图，下列能判定AB∥EF的条件有（ ）
①∠B+∠BFE=180°
②∠1=∠2
③∠3=∠4
④∠B=∠5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵∠B+∠BFE=180°，∴AB∥EF，故本小题正确；
②∵∠1=∠2，∴DE∥BC，故本小题错误；
③∵∠3=∠4，∴AB∥EF，故本小题正确；
④∵∠B=∠5，∴AB∥EF，故本小题正确．
故选：C．

5．下面说法正确的个数为（ ）
（1）过直线外一点有一条直线与已知直线平行；
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；
（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；
只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；
如图：
∠ABC=∠DEF=90°，且∠ABC+∠DEF=180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；
同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，
因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．
即正确的个数是2个．
故选：B．

6．下列运算中正确的是（ ）
A．a2•（a3）2=a8B．a3•a3=2a3C．a3+a3=2a6D．（a2）3=a8
【解答】解：A、a2•（a3）2=a2•a6=a8，故本选项正确；
B、应为a3•a3=a6，故本选项错误；
C、应为a3+a3=2a3，故本选项错误；
D、应为（a2）3=a6，故本选项错误．
故选：A．

7．下列四个图形中，属于全等图形的是（ ）
A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④
【解答】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②、②和④．
故选：AD．

8．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
【解答】解：A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；
B、两个括号中，﹣x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；
D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；
故选：A．

9．由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3
C．干旱开始时，蓄水量为200万米3
D．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米3
【解答】解：刚开始时水库有水1200万米3；50天时，水库蓄水量为200万米3，减少了1200﹣200=1000万米3；
那么每天减少的水量为：1000÷50=20万米3．
故选：D．

10．如图，在△ABC中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BPC=（ ）
A．102°B．112°C．115°D．118°
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=56°，∠ABC=74°，
∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=50°，
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=37°，∠PCB=25°，
∴△BCP中，∠P=180°﹣∠PBC﹣∠PCB=118°，
故选：D．

二．填空题（每小题3分，共18分）
11．请你写出一个单项式，使它的系数为﹣3，次数为2．答： ﹣3x2不唯一 ．
【解答】解：由题意得：﹣3x2，
故答案为：﹣3x2．

12．计算：（1）a5•a3•a= a9 ，（2）（a5）3÷a6= a9 ，（3）（﹣2x2y）3= ﹣8x6y3 ．
【解答】解：（1）a5•a3•a
=a5+3+1，
=a9；
（2）（a5）3÷a6，
=a5×3÷a6，
=a15﹣6，
=a9；
（3）（﹣2x2y）3，
=（﹣2）3（x2）3y3，
=﹣8x6y3．

13．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是y=x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是 77 ℉．
【解答】解：当x=25°时，
y=×25+32
=77，
故答案为：77．

14．已知a2﹣a+1=2，那么a﹣a2+1的值是 0 ．
【解答】解：∵a2﹣a+1=2，
∴a2﹣a=1，
∴a﹣a2+1=﹣（a2﹣a）+1，
=﹣1+1=0．

15．如图，在△ABC中，AB=13，AC=10，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差= 3 ．
【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=DC=BC，
∴△ABD与△ACD的周长之差
=（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD）
=AB﹣AC
=13﹣10
=3．
则△ABD与△ACD的周长之差=3．
故答案为3．

16．某货物以a元买入，如果加上进价的m%作为定价，后因货物卖不出去，又按定价n%降低出售，则降价后的售价用式子表示出来是 （1+m%）n%a 元．
【解答】解：根据题意，定价为（1+m%）a元，实际售价为（1+m%）n%a元，
故答案为：（1+m%）n%a

三．计算题及解答题（共52分）
17．（24分）计算题
（1）（﹣3）﹣2﹣（3.14﹣π）0+（﹣12）3
（2）（﹣2ab）（3a2﹣2ab﹣b2）
（3）（2x﹣5）（2x+5）﹣（2x+1）（2x﹣3）
（4）（x+1）（x+3）﹣（x﹣2）2．
【解答】解：（1）原式=﹣1﹣1=﹣2=﹣
（2）原式=﹣6a3b+4a2b2+2ab3
（3）原式=4x2﹣25﹣（4x2﹣4x﹣3）=4x﹣22
（4）原式=x2+4x+3﹣x2+4x﹣4=8x﹣1．

18．化简求值：（3a﹣1）2﹣3（2﹣5a+3a2），其中．
【解答】解：原式=9a2﹣6a﹣1﹣6+15a﹣9a2
=9a﹣5，
当a=﹣时，原式=﹣3﹣5=﹣8．

19．在括号内填写理由．
已知：如图，DG⊥BC AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2．求证：CD⊥AB
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC
∴∠DGB=∠ACB=90° （ 垂直的定义 ）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2=∠DCA （ 两直线平行，同位角相等 ）
∵∠1=∠2∴∠1=∠DCA 等量代换
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AEF=∠ADC（ 两直线平行，同位角相等 ）
∵EF⊥AB
∴∠AEF=90°
∴∠ADC=90° 即CD⊥AB．
【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC
∴∠DGB=∠ACB=90°（ 垂直的定义）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠DCA（ 两直线平行，同位角相等）
∵∠1=∠2
∴∠1=∠DCA（ 等量代换）
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF=∠ADC（ 两直线平行，同位角相等）
∵EF⊥AB
∴∠AEF=90°
∴∠ADC=90°，即CD⊥AB
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

20．（8分）中国联通在某地的资费标准为包月186元时，超出部分国内拨打0.36元/分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
（2）如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是什么？
（3）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费？
（4）某次打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟？
【解答】解：（1）国内拨打时间与电话费之间的关系，打电话时间是自变量、电话费是因变量；
（2）由题意可得：y=0.36x；
（3）当x=25时，y=0.36×25=9（元），即如果打电话超出25分钟，需付186+9=195（元）的电话费；
（4）当y=54时，x==150（分钟）．
答：小明的爸爸打电话超出150分钟．

21．（8分）如图，已知AB∥PN∥CD．
（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；
（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．
【解答】解：（1）∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°；理由如下：
延长NP交BC于M，如图所示：
∵AB∥PN∥CD，
∴∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，
∵∠PCD=∠BCD﹣∠BCP=∠ABC﹣∠BCP，
∴∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°．
（2）由（1）得：∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°，
则∠BCP=∠ABC+∠CPN﹣180°=155°+42°﹣180°=17°．

B卷，一．填空题（每小题4分，共20分）
22．（a﹣1）（a+1）（a2+1）的结果为 a4﹣1 ．
【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2+1）=a4﹣1，
故答案为：a4﹣1．

23．已知（a+b）2=13，（a﹣b）2=11，则ab值等于 ．
【解答】解：（a+b）2=a2+b2+2ab=13，①
（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=11，②
①﹣②得4ab=2，
ab=，
故答案为：．

24．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其它很多灯具都可以反射光线．如图所示是一探照灯灯碗，侧面看上去，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB，OC经灯碗反射以后平行射出．如果图中∠ABO=α，∠DCO=β，则∠BOC的度数为 α+β ．
【解答】解：∠BOC的度数为α+β．
过O作直线EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠1=∠ABO=α，∠2=∠DCO=β，
∴∠BOC=∠1+∠2=α+β．

25．已知函数f（x）=1+，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，如f（1）=1+，f（2）=1+，f（a）=1+，则f（1）•f（2）•f（3）…f（100）= 5151 ．
【解答】解：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）
=×××…×××
=
=5151．
故答案为5151．

26．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
若∠En=1度，那∠BEC等于 2n 度
【解答】解：如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；
如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；
…
以此类推，∠En=∠BEC．
∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n ．

二．解答题（共30分）
27．（8分）已知4x2+9y2﹣4x+12y+5=0，化简下列式子并求值：[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（4y）．
【解答】解：∵4x2+9y2﹣4x+12y+5=0，
∴4x2﹣4x+1+9y2+12y+4=0，
∴（2x﹣1）2+（3x+2）2=0，
解得，x=，y=﹣，
∴[（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷（4y）
=（x2﹣y2﹣x2﹣y2+2xy+2xy﹣2y2）÷（4y）
=（4xy﹣4y2）÷（4y）
=x﹣y
=+
=．

28．（10分）杨嫂在社区扶持下，创办了“润扬”报刊零售点．对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：①买进每份0.50元，卖出每份1元；②一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同．当天卖不掉的报纸，以每份0.20元退回给报社．
（1）一个月内每天买进该种晚报的份数分别为100和150时，月利润是多少元？
（2）上述的哪些量在发生变化？自变量和函数各是什么？
（3）设每天从报社买进该种晚报x份（120≤x≤200），月利润为y元，请写出y与x的关系式，并确定月利润的最大值．
【解答】解：（1）当一个月内每天买进该种晚报的份数为100份时，100×（1﹣0.5）×30=1500（元）；
一个月内每天买进该种晚报的份数为150时，150×（1﹣0.5）×20+120×（1﹣0.5）×10﹣（150﹣120）×（0.5﹣0.2）×10=2010（元）；
答：一个月内每天买进该种晚报的份数分别为100和150时，月利润分别是1500元、2010元；
（2）发生变化的量是每天买进该种晚报的份数和月利润，自变量是每天买进该种晚报的份数，函数是月利润；
（3）由题意得：y=（1﹣0.5）×20x+（1﹣0.5）×10×120﹣0.3×10×（x﹣120）=7x+960．
当x=200时，月利润最大，y=7×200+960=2360．

29．（12分）（1）如图①，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠D=40°，∠B=30°，求∠E的大小；
（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大小；
当∠B：∠D：∠E=2：4：x时，x= 3 ．
（3）如图③，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠E与∠D、∠B之间是否仍存在某种等量关系？若存在，请直接写出你得结论，并给出证明；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=（∠D+∠B），
∵∠ADC=40°，∠ABC=30°，
∴∠AEC=×（40°+30°）=35°；
（2）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB
∴∠D+∠B=2∠E，
∴∠E=（∠D+∠B），
∵∠ADC=m°，∠ABC=n°，
∴∠AEC=；
∵∠E=（∠D+∠B），∠B：∠D：∠E=2：4：x，
∴x=（2+4）=3；
（3）延长BC交AD于点F，
∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D，
∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
∴∠E=∠B+∠EAB﹣∠ECB=∠B+∠BAE﹣∠BCD=∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）=（∠B﹣∠D），
即∠AEC=．
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