河南省郑州市中原区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案）

这是一份河南省郑州市中原区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

河南省郑州市中原区2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4 B．a︰b︰c=2︰3︰4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A︰∠B︰∠C=1︰1︰2
3．下列说法错误的是（ ）
A．若a＋3＞b＋3，则a＞b B．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a＋3＞b＋2
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．n2-5n+6=n（n-5）+6 B．4x2-1=（2x-1）2 C．y2-4y-4=（y-2）2 D．4t2-4t+1=（2t-1）2
5．A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB中点 B．BC中点
C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点
6．如图，一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（ ）

A．x＜ B．x＜2 C．x＞ D．x＞2
7．在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　）
A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）
8．图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AC=2，则S△ABE的值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图，在△ABC中，BC＝5，∠A＝80°，∠B＝70°，把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，若CF＝4，则下列结论中错误的是( )

A．BE＝4 B．∠F＝30° C．AB∥DE D．DF＝5
10．在平面直角坐标系xOy中，第一次将△ABC作原点的中心对称图形得到△A1B1C1，第二次在作△A1B1C1关于x轴的对称图形得到△A2B2C2，第三次△A2B2C2作原点的中心对称图形得到△A3B3C3，第四次再作△A3B3C3关于x轴的对称图形得到△A4B4C4，按照此规律作图形的变换，可以得到△A2021B2021C2021的图形，若点C（3，2），则C2021的坐标为（ ）


A．（3，-2） B．（-3，2） C．（3，2） D．（-3，-2）

二、填空题
11．计算=__________．
12．写一个解集为x＜-4的不等式为____________．
13．如图，将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，连接AA'，若AC⊥A'B'，则∠AA'B'的度数为_________．

14．如图等边三角形ABC中，点O是△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于点D、E两点，连接DE，若OA=2，则△ODE周长最小值为_______．

15．如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形


三、解答题
16．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示．
17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，2），C（5，3）．

（1）作出关于点O对称的图形；
（2）以点O为旋转中心，将顺时针旋转90°，得到，在坐标系中画出．
18．阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB=AC．
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD=CD，加上公共边的条件AD=AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B=∠C，可证出AB=AC成立；小芳的方法是用角平分线的性质得到DE=DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论．请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明（可以与小明和小芳的方法不同）

19．为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
20．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；求代数式2x2+4x-6的最小值．2x2+4x-6=2（x2+2x+1）-2-6=2（x+1）2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2+4x-5= ；
（2）当x为何值时，多项式-2x2-4x+3有最大值，并求出这个最大值．
21．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两书店在这一天举行了购书优惠活动：甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元的部分打6折．设小红同学当天购书标价总额为x元，去甲书店付y甲元，去乙书店购书应付y乙元，其函数图象如图所示．

（1）求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出小红选择去哪个书店购书更合算．
22．问题探究：小江同学根据学习函数的经验，对函数y=-2|x|+5的图象和性质进行了探究．下面是小刚的探究过程，请你解决相关问题：


（Ⅰ）在函数y=-2|x|+5中，自变量x可以是任意实数；
（Ⅱ）如表y与x的几组对应值：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-3
-1
1
3
5
3
1
-1
-3
…
（Ⅲ）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：
（1）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m= ；
（2）观察函数y=-2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质 ．
（3）直接写出，当0＜-2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是 ．
23．在△ABC中AB=AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；

（发现问题）如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
（探究猜想）如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
（拓展应用）如图3，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是线段BC上的任意一点连接AP，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AQ，连接CQ，请直接写出线段CQ长度的最小值．


参考答案
1．A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．B
【分析】
根据等腰三角形的判定和性质进行判断.
【详解】
因为a=3，b=4，c=3，所以a=c，所以△ABC是等腰三角形，故A正确；因为a：b：c=2：3：4，所以a≠b≠c，所以△ABC不是等腰三角形，所以B错误；因为∠B=50°，∠C=80°，所以∠A=50°，所以∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形，所以C正确；因为∠A：∠B：∠C=1：1：2，所以∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形，所以D正确．故选B．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是关键.
3．C
【分析】
根据不等式的性质进行判断．
【详解】
解：A、若a+3>b+3，则a>b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B，，则a>b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a>b，则ac>bc，这里必须满足c为正数，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a>b，则a+3>b+2，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4．D
【分析】
根据因式分解的方法逐项分析即可．
【详解】
解：A、，选项A不是因式分解，故选项A错误；
B、4x2-1=，故选项B因式分解不正确；
C、，故C选项错误；
D、，故选项D因式分解正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解基本定义和方法是解题关键．
5．A
【详解】
解：因为文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，
所以点P是三边垂直平分线的交点，
因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，
且，
所以是直角三角形，则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，
故选：A．
6．C
【分析】
先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式ax+4＜2x的解集．
【详解】
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
解得m=，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式ax+4＜2x的解集为；
故选：C．
【点睛】
此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．A
【分析】
根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．
【详解】
因为M点坐标为(5，2)，根据平移变换的坐标变化规律可知，向下平移2个单位，再向左平移3个单位后得到的点的坐标是(5−3，2-2)，
即(2，0)．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
8．A
【分析】
由垂直平分线的性质，得AE=BE，然后求出∠AEC=30°，则求出AE=4，由三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠EAD=∠B=15°，
∴∠AEC=15°+15°=30°，
∵在△ACE中，∠ACE=90°，
∴AE=2AC=2×2=4，
∴BE=4，
∴S△ABE=；
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，30度直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练所学的知识，正确的进行解题．
9．D
【分析】
根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
解：∵把△ABC沿RS的方向平移到△DEF的位置，BC=5，∠A=80°，∠B=70°，
∴CF=BE=4，∠F=∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣80°﹣70°=30°，AB∥DE，
∴A、B、C正确，D错误．
故选D．
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟练掌握平移性质是解题的关键．
10．D
【分析】
根据题意做出前几次的图像，找出规律，根据规律推出C2021即可
【详解】
根据题意做出如图前四次图像如下：


由图像知每四次一个循环，则，
即第2021次在第三象限，
∵点C（3，2），
∴C2021点坐标为：（-3，-2）；
故答案选：D
【点睛】
此题考查坐标变换，属于规律题，根据前几个图像坐标推算出规律是解题关键．
11．7
【分析】
根据平方差公式，得=，计算即可
【详解】
解：∵=
=10×0.7
=7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了平方差公式，灵活运用平方差公式计算两个数的差是解题的关键．
12．x+4＜0（答案不唯一）．
【分析】
根据题意写出不等式即可．
【详解】
解：∵x+4＜0的解集是x＜-4，
故答案为：x+4＜0（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了不等式的解集，解题关键是熟练运用解不等式的知识，写出不等式．
13．20°
【分析】
根据△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，可得∠ACA′=40°，AC=A′C，利用等边对等角得∠CAA′=∠CA′A，可求∠AA′C，由AC⊥A'B'，可求∠B′A′C=90°-∠ACA′=50°，计算∠AA'B'=∠AA′C-∠B′A′C即可．
【详解】
解：∵△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△A'B'C，
∴∠ACA′=40°，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠CA′A，
∴∠AA′C=，
∵AC⊥A'B'，
∴∠B′A′C+∠ACA′=180°-90°=90°，
∴∠B′A′C=90°-∠ACA′=50°，
∴∠AA'B'=∠AA′C-∠B′A′C=70°-50°=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查三角形旋转变换性质，等腰三角形性质，直角三角形两锐角性质，掌握三角形旋转变换性质，等腰三角形性质，直角三角形两锐角性质是解题关键．
14．
【分析】
如图（见解析），先根据角平分线的性质、等边三角形的性质可得OM=ON，∠MAO=30°，∠MOA=60°，从而得到∠DOM+∠DON=120°，再根据角的和差可得∠DOM=∠NOE，然后证明Rt△DOM≌Rt△NOE，得到DO=OE，∠ODE=30°，又根据直角三角形的性质可得OH=，DH=HE=，△ODE的周长为2DO+DO=（）DO，最后根据垂线段最短计算即可．
【详解】
如图，过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接AO并延长交BC于点N，
∵点O是等边△ABC的∠B和∠C的角平分线的交点，
∴ON⊥BC，OM=ON，∠MAO=30°，∠MOA=60°，
∴∠DOM+∠DON=120°，
∵∠DOE=120°，
∴∠NOE+∠DON=120°，
∴∠DOM=∠NOE，
∴Rt△DOM≌Rt△NOE，
∴DO=OE，∠ODE=30°，
过点O作OH⊥DE，垂足为H，
∴OH=，DH=HE=，
∴△ODE的周长为2DO+DO=（）DO，
∴△ODE的周长要想取最小值，只需DO最小，
根据垂线段最短，当OD=OM时，DO最小，周长最小，
∵∠MAO=30°，OA=2，
∴OM=1，
∴△ODE的周长最小为．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，利用等边三角形的性质，等腰三角形的性质，用OD表示三角形ODE的周长是解题的关键．
15．1.75或4
【分析】
先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间．
【详解】
解：如图，作AD⊥BC，
∵AB=AC=5cm，BC=8cm，
∴BD=CD=4cm，

当点P运动到与点D重合时，是直角三角形，
此时BP=4，
∴运动时间为4÷1=4（秒）；
当∠PAC=90°时，设PD=x
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BP=4－2.25=1.75，
所以运动时间为1.75÷1=1.75（秒）；
综上可得：当P运动4秒或1.75秒时，是直角三角形；
故答案为：1.75或4．

【点睛】
本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法．
16．，见解析
【分析】
分别解不等式组中的两个不等式，再取解集的公共部分即可．
【详解】
解：
解不等式①得；
解不等式②得．
∴不等式组的解集为．
不等式组的解集在数轴上表示如下图，

【点睛】
本题考查的是解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题关键．
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据中心对称的性质找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后用线段连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后用线段连接即可；
【详解】
（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求．

【点睛】
本题考查了中心对称作图和旋转作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
18．小芳的证明思路正确，理由见解析
【分析】
小明的证明思路用到边边角，三角形全等并没有这个证明方法，所以小明的证明思路错误；小芳的方法可完整证出AB=AC，所以小芳的证明思路正确．
【详解】
解：小芳的证明思路正确．

证明：过点D作AB的垂线交AB于点E，作AC的垂线交AC于点F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∴AB×DE=AC×DF，
∴AB=AC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的证明、角平分线的性质、中线的性质相关知识点，准确掌握相关知识点是关键．
19．（1）1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱
【分析】
（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据等量关系：4只A型节能灯的钱数+5只B型节能灯的钱数=55元；2只A型节能灯的钱数+1只B型节能灯钱数=17元，由此得二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买A型号的节能灯a只，费用为w元，则可得出w关于a的函数关系式，根据不等关系式：A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，可确定a的范围，从而根据函数可求得w的最大值．
【详解】
（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
根据题意得：，解得，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（300-a）只，费用为w元，
w=5a+7（300-a）=-2a+2100，
∵a≤2（300-a），
∴a≤200，
∴当a=200时，w取得最小值，此时w=1700，300-a=100，
答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一次函数在实际生活中的应用，对于列方程组，关键是找到两个等量关系．本题中用到了方程思想、函数思想，它们是数学中两种重要的思想．
20．（1）（x+5）（x-1）；（2）当x=-1时，多项式-x2-4x+3有最大值5
【分析】
（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式2x2﹣8x+5，转化为2（x﹣2）2﹣3，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】
解：（1），
=，
=，
=，
=，
故答案为；
（2）∵，
=，
=，
=，
∴当x＝2时，多项式2x2﹣8x+5有最小值，最小值是﹣3．
【点睛】
本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键．
21．（1）y甲=0.8x，y乙=；（2）点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；（3）当x＜200时，选择甲书店更省钱；当x=200，甲乙书店所需费用相同；当x＞200，选择乙书店更省钱
【分析】
（1）由所有书籍按标价8折出售即可得出y甲=0.8x；乙书店分段函数：当0≤x≤100时，按原价计费可得y乙=x，超过100元的部分打6折．当x＞100时，y乙=0.6x+40即可；
（2）联立两函数，解得，求出交点坐标A（200，160），点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，当x＜200时，，选择甲书店更省钱；当x=200，，甲乙书店所需费用相同；当x＞200，，选择乙书店更省钱即可．
【详解】
解：（1）由题意可得，y甲=0.8x；
乙书店：当0≤x≤100时，y乙与x的函数关系式为y乙=x，
当x＞100时，y乙=100+（x-100）×0.6=0.6x+40，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙=；
（2），
解得，
∴A（200，160），
点A的实际意义是当买的书标价为200元时，甲乙书店所需费用相同，都是160元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，
当x＜200时，，选择甲书店更省钱；
当x=200，，甲乙书店所需费用相同；
当x＞200，，选择乙书店更省钱．
【点睛】
本题考查列一次函数解析式，解释一次函数图像交点的意义，掌握一次函数的性质，会利用一次函数比较确定去哪家书店购书合算是解题关键．
22．（Ⅲ）见解析；（1）－6；（2）图象关于y轴对称；函数最大值为5；（3）-＜x≤-1或1≤x＜
【分析】
（Ⅲ）根据列表，确定点的坐标，后描点，连线即得图像；
（1）先根据B确定n值，根据n值确定m值，注意A,B表示不同点，故横坐标一定不同；（2）根据图像或列表的数据特点，写出符合题意的即可；
（3）把连续不等式转化为等价的不等式组求解即可．
【详解】
（Ⅲ） 画图像，如下图


（1）将x=6代入函数解析式得n=-2×|6|+5= -7，
将y=-7代入函数解析式得-7=-2×|m|+5，
解得m=±6，


∵A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，
∴m= -6，
故答案为-6；
（2）由图知，函数y=-2|x|+5的图象关于y轴对称，且函数最大值为5
故答案为：图象关于y轴对称；函数最大值为5
（3）原不等式变形为 ,
解得
故自变量x的取值范围是-＜x≤-1或1≤x＜．
【点睛】
本题考查了数学的探究性问题，绝对值的化简，函数的图像及其性质，不等式转化为不等式组，解不等式组，熟练掌握图像画法的三个步骤，灵活解不等式组是解题的关键．
23．发现问题：BQ=PC；探究猜想：BQ=PC仍然成立，理由见解析；拓展应用：线段CQ长度最小值是1
【分析】
发现问题：由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP（SAS），BQ=CP即可；
探究猜想：结论：BQ=PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ=AP，由∠PAQ=∠BAC，可得∠BAQ=∠CAP，可知△BAQ≌△CAP（SAS），可得BQ=CP；
拓展应用：在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，可求∠CAQ=∠EAP，可证△CAQ≌△EAP（SAS），CQ=EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2可求AB=4，由AE=AC=2，可求BE=AB-AE=2，在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，可得EF=BE=1即可
【详解】
发现问题：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP，
故答案为：BQ=PC；
探究猜想：结论：BQ=PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ=AP，
∵∠PAQ=∠BAC，
∴∠PAQ-∠BAP=∠BAC-∠BAP，
∴∠BAQ=∠CAP，
在△BAQ和△CAP中，
，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ=CP；
解：拓展应用：如图，
在AB上取一点E，使AE=AC=2，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，
由旋转知，AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
在△CAQ和△EAP中，
，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是AB上的动点，
∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，
即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EP，
在Rt△ACB中，∠ACB=30°，AC=2，
∴AB=4，
∵AE=AC=2，
∴BE=AB-AE=2，
在Rt△BFE中，∠EBF=30°，BE=2，
∴EF=BE=1．
故线段CQ长度最小值是1．

【点睛】
本题考查三角形旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，掌握旋转变换性质，三角形全等判定与性质，30°角直角三角形性质，利用辅助线构造准确的图形．把所求线段转化为与动点P有关的线段，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键．