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2020-2021学年人教版（五四制） 八年级下册期中数学复习试卷 （word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年人教版（五四制） 八年级下册期中数学复习试卷 （word版 含答案），共23页。试卷主要包含了正方形具有而菱形不具有的性质是，一元二次方程x2＝2x的解是，如图等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年人教五四新版八年级（下）期中数学复习试卷
一．选择题
1．方程3x2＝5x+7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3，5，7 B．3，﹣5，﹣7 C．3，﹣5，7 D．3，5，﹣7
2．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等
3．一元二次方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
4．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方后所得方程为（ ）
A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
7．某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（ ）
A．9%（1﹣x）2＝8% B．8%（1﹣x）2＝9%
C．9%（1+x）2＝8% D．8%（1+x）2＝9%
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
9．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，DE平分∠ADC，AC＝3，AD＝，则BE＝（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝ cm．
12．已知关于x的一元二次方程x2+a2x+a﹣3＝0的一个根是1，则3a2+3a﹣4的的值为 ．
13．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的高为 ．
14．如图，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC＝5：3，则AC＝ ．
15．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是 ．
16．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为10，△FCB的周长为22，则FC的长为 ．
17．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D在斜边AB上，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，∠DCE＝90°，连接BE．若AD＝5，DB＝12，则DE的长为 ．
19．等腰三角形的底边长为7，腰长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根，则这个等腰三角形的周长为 ．
20．如图，在平面直角坐标中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA＝2；
②C，O两点之间的最大距离为4；
③当BO＝BC时，则AB⊥CO；
④AB的中点D运动路径的长为π．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
三．解答题
21．解方程：
（1）2x2+2x＝1；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
22．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，且tan∠A＝2；
（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为等腰三角形，且∠B＞90°，直接写出AC的长度．
23．如图，在某景区，小明走到景点A处发现景点C位于北偏东65度方向，他沿正东方向走了900米到达景点B处时发现景点C位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面内）．你能求出景点A与景点C之间的距离吗（结果精确到1米）？
（参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）
24．已知：在菱形ABCD中，点E是CD边上一点，过点E作EF⊥AC于点F，交BC边于点G，交AB延长线于点H．
（1）如图1，求证：BH＝DE；
（2）如图2，当点E是CD边中点时，连接对角线BD交对角线AC于点O，连接OG、OE，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的平行四边形（菱形除外）．
25．2020年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克．
（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？
（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．
（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．
27．我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连接EG．
①求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形．
②若AC＝3，BC＝4，则图中以点A、B、C、D、E、F、G、M、N为顶点构成的三角形与△ABC是偏等积三角形的个数是 ．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，点D在线段AC上，连接BD，△ABD和△BCD是偏等积三角形，将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A′BD，若△A′BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，求△ABC的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：方程3x2＝5x+7转化为一般形式为3x2﹣5x﹣7＝0，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣5，﹣7，
故选：B．
2．解：正方形的边：四边都相等，菱形的边四边都相等；
正方形的角：四角都相等，都是直角，菱形的角：对角相等；
正方形的对角线：相等，互相平分，且互相垂直，菱形的对角线：互相平分，互相垂直．
则：正方形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
3．解：原方程移项得：
x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，（提取公因式x），
∴x1＝0，x2＝2，
故选：D．
4．解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：D．
7．解：设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得
1×8%×（1+x）2＝1×9%，
即8%（1+x）2＝9%．
故选：D．
8．解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，
又∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD，
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
9．解：设∠ABE＝x，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE＝∠CBE＝50°+x，
所以50°+x+x＝90°，
解得x＝20°．
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，BC＝AD＝，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°．
在Rt△ACD中，AC＝3，AD＝，∠ACD＝90°，
∴CD＝＝2．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE．
∵AD∥BC，
∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，
∴CE＝CD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝﹣2．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴BD＝AC＝2CD＝6cm，
故答案为：6．
12．解：由题意，得1+a2+a﹣3＝0，
∴a2+a﹣2＝0，
则a2+a＝2，
∴3a2+3a﹣4＝3（a2+a）﹣4＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
13．解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，斜边长为10，
∴最长边上的高为：＝，
故答案为：．
14．解：设AB＝5x，BC＝3x，在Rt△ACB中，
由勾股定理得：
AC2＝AB2﹣BC2，
AC＝＝＝4x，
直角三角形ABC的周长为：5x+4x+3x＝24，x＝2，
所以，AC＝2×4＝8，
故答案是：8．
15．解：设参加会议有x人，
依题意得： x（x﹣1）＝78，
整理得：x2﹣x﹣156＝0
解得x1＝13，x2＝﹣12，（舍去）．
答：参加这次会议的有13人，
故答案为13．
16．解：根据题意得△FBE≌△ABE，
∴EF＝AE，BF＝AB．
∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝DC．
∵△FDE的周长为10，即DF+DE+EF＝10，
∴DF+DE+AE＝10，即DF+AD＝10．
∵△FCB的周长为22，即FC+BC+BF＝22，
∴FC+AD+DC＝22，即2FC+AD+DF＝22．
∴2FC+10＝22，FC＝6．
故答案为6．
17．解：如图，∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，
∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∵∠1＝95°，
∴∠AEF＝（180°﹣95°）＝42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，
∴180°﹣77.5＝∠2+77.5°，
∴∠2＝25°．
故答案为25°．
18．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE＝5，∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAD+∠DBC＝90°，
∴∠CBE+∠DBC＝90°，
∴△DBE是Rt△，
∴DE＝，
故答案为：13．
19．解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝3，x2＝6，
当三边是3，3，7时，
∵3+3＝6，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是6，6，7时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是6+6+7＝19；
故答案为：19．
20．解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝4，AC＝＝2，
①若C、O两点关于AB对称，如图1，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA＝AC＝2；
所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴OE＝CE＝AB＝2，
当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；
③如图2，
在Rt△AOB和Rt△ACB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△ACB（HL），
∴AC＝AO，OB＝OC，
∴AB垂直平分OC．
所以③正确；
④如图3，
斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，
则：＝π，
所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②③；
故答案为：①②③．
三．解答题
21．解：（1）方程整理得：2x2+2x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝2，c＝﹣1，
∵△＝4+8＝12，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣9＝0，
解得：x＝3或x＝9．
22．解：（1）如图1，△ABC即为所求；
（2）如图2，△ABC′和△ABC″即为所求．
AC′＝＝3，
AC″＝＝4，
所以或．
23．解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°．
在Rt△ACD和Rt△BCD中，
设AC＝x，则AD＝xsin65°，
BD＝CD＝xcos65°，
∴100+xcos65°＝xsin65°，
∴x＝≈≈1861（米）．
∴景点A与景点C之间的距离约为1861米．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，AC平分∠BCD，
∴∠GCF＝∠ECF，
∵EF⊥AC，
∴∠GFC＝∠EFC＝90°，
在△GFC和△EFC中，，
∴△GFC≌△EFC（ASA），
∴CG＝CE，∠CGF＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠H＝∠CEF，
∵∠BGH＝∠CGF，
∴∠H＝∠BGH，
∴BH＝BG，
∵BC＝CD，CG＝CE，
∴BC﹣CG＝CD﹣CE，
即BG＝DE；
（2）解：所有的平行四边形（菱形除外）为平行四边形BHED、平行四边形BHGO、平行四边形OGED、平行四边形OBGE；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
由（1）得：CG＝CE，BH＝BG＝DE，
∴四边形BHED为平行四边形，
∵点E是CD边中点，BC＝CD，
∴CE＝DE＝BG＝CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴OE、O都G是△BCD的中位线，
∴OE∥BG，OG∥CD∥AB，OG＝CD＝DE＝BH，
∴四边形OBGE、四边形BHGO、四边形OGED都是平行四边形．
25．解：（1）设每年有x吨“留香瓜”卖给了水果商贩，则每年有（600﹣x）吨“留香瓜”本地自产自销，
依题意得：10（600﹣x）≤×8x，
解得：x≥500．
答：每年至少有500吨“留香瓜”卖给了水果商贩．
（2）设每年在电商平台上销售了y吨“留香瓜”，则水果商贩的收购价为（8+）元/千克，卖给了水果商贩（500﹣y）吨，
依题意得：10×1000×100+20×1000y+（8+）×1000（500﹣y）＝9200000，
整理得：y2﹣1700y+420000＝0，
解得：y1＝300，y2＝1400，
又∵y＜500，
∴y＝300．
答：每年在电商平台上销售了300吨“留香瓜”．
26．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝45°，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴∠EFD＝∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣∠CAD﹣∠AFE＝45°，
∴∠EAF＝∠AEF，
∴AF＝EF；
（2）解：当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论AF＝EF仍然成立，理由如下：
如图2，取AC的中点G，连接DG，FG，
在Rt△ADC中，∴DG＝CG＝AG，
∴∠GDC＝∠C＝45°，
∴∠DGC＝90°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∵△DFE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵∠FDG＝∠FDE+∠EDG＝45°+∠EDG，
∠EDC＝∠GDC+∠EDG＝45°+∠EDG，
∴∠FDG＝∠EDC，
∴△FDG∽△EDC，
∴∠FGD＝∠ECD＝45°，
∴∠FGA＝45°，
在△FGA和△FGD中，
，
∴△FGA≌△FGD（SAS），
∴AF＝DF，
∵DF＝EF，
∴AF＝EF；
（3）在Rt△ABC中，BC＝14，D是BC中点，
∴AD＝7，
取AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，
由（2）可知∠FGD＝45°＝∠GDC，
∴FG∥DC，
∴GP⊥AD且AP＝DP＝PG＝AD＝，
在Rt△APF中，AP＝，AF＝，
∴PF＝＝＝，
①如图2，当点F落在线段AD左侧时，FG＝4，
∵△FDG∽△EDC，
∴＝，
∴EC＝4；
②如图3，当点F落在线段AD的右侧时，
∴FG＝PG﹣PF＝DP﹣PF＝3.5﹣0.5＝3，
同理得△FDG∽△EDC，
∴＝，
∴EC＝3．
综上，EC的长是4或3．
27．解：（1）作BC边上的中线或AC边上的中线即可．
（2）①证明：过点E作EK⊥GA，交GA的延长线于点K，
∴∠K＝90°，
∵四边形ABDE和ACFG都是正方形，
∴∠BAE＝90°，AB＝AE，∠GAC＝90°，AC＝AG，
∵∠GAC+∠KAC＝180°，
∴∠KAC＝180°﹣∠GAC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EAK+∠BAK＝∠BAC+∠BAK＝90°，即∠EAK＝∠BAC，
又∵∠K＝∠ACB＝90°，AE＝AB，
∴△EAK≌△BAC（AAS），
∴EK＝BC，
∴，
∴△ABC和△AEG为偏等积三角形；
②如图，与△ABC是偏等积三角形有△EAG，△BCG，△GCM，△ANC，△CNF，△CFD，△CME，△DBN；
故答案为：8个
（3）①如图，连接A'C，
∵△ABD和△BCD是“偏等积三角形”，
∴S△ABD＝S△BCD，
∴AD＝CD＝，
∵沿BD折叠，使得A与A'重合，
∴AD＝A'D＝4，
∵△A'BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，
∴，
∴A'O＝BO，CO＝DO，
∴四边形A'CBD是平行四边形，
∴BC＝A'D＝4，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠A＝30°且AC＝8，
∴CM＝AC＝4＝BC，即点B与点M重合，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝＝，
∴；
②如图，连接A'C，
∵△ABD和△BCD是“偏等积三角形”，
∴S△ABD＝S△BCD，易得：AD＝CD＝，
∵沿D折叠使A与A'重合，
∴AD＝A'D＝4，∠A＝∠A'＝30°，
∵△A'BD与BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，
∴，
∴A'O＝DO，BO＝CO，
∴四边形A'CDB是平行四边形，
∴A'B＝CD＝4，
过点B作BQ⊥AD于点Q，
∵∠A'＝30°且A'B＝4，
∴BQ＝A'B＝2，
∴，
综上所述，△ABC的面积为8或．
2020-2021学年人教五四新版八年级（下）期中数学复习试卷
一．选择题
1．方程3x2＝5x+7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．3，5，7 B．3，﹣5，﹣7 C．3，﹣5，7 D．3，5，﹣7
2．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线平分一组对角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等
3．一元二次方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0
4．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
5．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方后所得方程为（ ）
A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
7．某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率．设年均增长率为x，可列方程为（ ）
A．9%（1﹣x）2＝8% B．8%（1﹣x）2＝9%
C．9%（1+x）2＝8% D．8%（1+x）2＝9%
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC D．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB
9．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA＝50°，则∠ABE的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，DE平分∠ADC，AC＝3，AD＝，则BE＝（ ）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝ cm．
12．已知关于x的一元二次方程x2+a2x+a﹣3＝0的一个根是1，则3a2+3a﹣4的的值为 ．
13．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的高为 ．
14．如图，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC＝5：3，则AC＝ ．
15．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是 ．
16．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为10，△FCB的周长为22，则FC的长为 ．
17．如图，把△ABC沿EF翻折，叠合后的图形如图．若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D在斜边AB上，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，∠DCE＝90°，连接BE．若AD＝5，DB＝12，则DE的长为 ．
19．等腰三角形的底边长为7，腰长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根，则这个等腰三角形的周长为 ．
20．如图，在平面直角坐标中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA＝2；
②C，O两点之间的最大距离为4；
③当BO＝BC时，则AB⊥CO；
④AB的中点D运动路径的长为π．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
三．解答题
21．解方程：
（1）2x2+2x＝1；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
22．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC是以AB为斜边的直角三角形，且tan∠A＝2；
（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为等腰三角形，且∠B＞90°，直接写出AC的长度．
23．如图，在某景区，小明走到景点A处发现景点C位于北偏东65度方向，他沿正东方向走了900米到达景点B处时发现景点C位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面内）．你能求出景点A与景点C之间的距离吗（结果精确到1米）？
（参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）
24．已知：在菱形ABCD中，点E是CD边上一点，过点E作EF⊥AC于点F，交BC边于点G，交AB延长线于点H．
（1）如图1，求证：BH＝DE；
（2）如图2，当点E是CD边中点时，连接对角线BD交对角线AC于点O，连接OG、OE，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图2中所有的平行四边形（菱形除外）．
25．2020年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜”600吨，利用网络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为10元/千克，水果商贩上门收购的价格为8元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售100吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高1元/千克．设网上销售价格为20元/千克，本地自产自销的价格仍然为10元/千克．
（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的，求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？
（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝14，过点A作AD⊥BC于点D，E为腰AC上一动点，连接DE，以DE为斜边向左上方作等腰直角△DEF，连接AF．
（1）如图1，当点F落在线段AD上时，求证：AF＝EF；
（2）如图2，当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）在点E的运动过程中，若AF＝，求线段CE的长．
27．我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连接EG．
①求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形．
②若AC＝3，BC＝4，则图中以点A、B、C、D、E、F、G、M、N为顶点构成的三角形与△ABC是偏等积三角形的个数是 ．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，点D在线段AC上，连接BD，△ABD和△BCD是偏等积三角形，将△ABD沿BD所在的直线翻折，得到△A′BD，若△A′BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，求△ABC的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：方程3x2＝5x+7转化为一般形式为3x2﹣5x﹣7＝0，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣5，﹣7，
故选：B．
2．解：正方形的边：四边都相等，菱形的边四边都相等；
正方形的角：四角都相等，都是直角，菱形的角：对角相等；
正方形的对角线：相等，互相平分，且互相垂直，菱形的对角线：互相平分，互相垂直．
则：正方形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
3．解：原方程移项得：
x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，（提取公因式x），
∴x1＝0，x2＝2，
故选：D．
4．解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．解：A、∵12+（）2＝22，
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：D．
7．解：设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得
1×8%×（1+x）2＝1×9%，
即8%（1+x）2＝9%．
故选：D．
8．解：A、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，
又∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD，
∴DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥CB，
∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
9．解：设∠ABE＝x，
根据折叠前后角相等可知，∠C1BE＝∠CBE＝50°+x，
所以50°+x+x＝90°，
解得x＝20°．
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，BC＝AD＝，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°．
在Rt△ACD中，AC＝3，AD＝，∠ACD＝90°，
∴CD＝＝2．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE．
∵AD∥BC，
∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，
∴CE＝CD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝﹣2．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴BD＝AC＝2CD＝6cm，
故答案为：6．
12．解：由题意，得1+a2+a﹣3＝0，
∴a2+a﹣2＝0，
则a2+a＝2，
∴3a2+3a﹣4＝3（a2+a）﹣4＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
13．解：∵△ABC的三边长分别为6、8、10，62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，斜边长为10，
∴最长边上的高为：＝，
故答案为：．
14．解：设AB＝5x，BC＝3x，在Rt△ACB中，
由勾股定理得：
AC2＝AB2﹣BC2，
AC＝＝＝4x，
直角三角形ABC的周长为：5x+4x+3x＝24，x＝2，
所以，AC＝2×4＝8，
故答案是：8．
15．解：设参加会议有x人，
依题意得： x（x﹣1）＝78，
整理得：x2﹣x﹣156＝0
解得x1＝13，x2＝﹣12，（舍去）．
答：参加这次会议的有13人，
故答案为13．
16．解：根据题意得△FBE≌△ABE，
∴EF＝AE，BF＝AB．
∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝DC．
∵△FDE的周长为10，即DF+DE+EF＝10，
∴DF+DE+AE＝10，即DF+AD＝10．
∵△FCB的周长为22，即FC+BC+BF＝22，
∴FC+AD+DC＝22，即2FC+AD+DF＝22．
∴2FC+10＝22，FC＝6．
故答案为6．
17．解：如图，∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B′EF，∠CFE＝∠C′FE，
∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∵∠1＝95°，
∴∠AEF＝（180°﹣95°）＝42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，
∴180°﹣77.5＝∠2+77.5°，
∴∠2＝25°．
故答案为25°．
18．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE＝5，∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAD+∠DBC＝90°，
∴∠CBE+∠DBC＝90°，
∴△DBE是Rt△，
∴DE＝，
故答案为：13．
19．解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，
∴x1＝3，x2＝6，
当三边是3，3，7时，
∵3+3＝6，
∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；
当三边是6，6，7时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是6+6+7＝19；
故答案为：19．
20．解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝4，AC＝＝2，
①若C、O两点关于AB对称，如图1，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA＝AC＝2；
所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴OE＝CE＝AB＝2，
当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；
③如图2，
在Rt△AOB和Rt△ACB中，
，
∴Rt△AOB≌Rt△ACB（HL），
∴AC＝AO，OB＝OC，
∴AB垂直平分OC．
所以③正确；
④如图3，
斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，
则：＝π，
所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②③；
故答案为：①②③．
三．解答题
21．解：（1）方程整理得：2x2+2x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝2，c＝﹣1，
∵△＝4+8＝12，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程整理得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣9＝0，
解得：x＝3或x＝9．
22．解：（1）如图1，△ABC即为所求；
（2）如图2，△ABC′和△ABC″即为所求．
AC′＝＝3，
AC″＝＝4，
所以或．
23．解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°．
在Rt△ACD和Rt△BCD中，
设AC＝x，则AD＝xsin65°，
BD＝CD＝xcos65°，
∴100+xcos65°＝xsin65°，
∴x＝≈≈1861（米）．
∴景点A与景点C之间的距离约为1861米．
24．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，AC平分∠BCD，
∴∠GCF＝∠ECF，
∵EF⊥AC，
∴∠GFC＝∠EFC＝90°，
在△GFC和△EFC中，，
∴△GFC≌△EFC（ASA），
∴CG＝CE，∠CGF＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠H＝∠CEF，
∵∠BGH＝∠CGF，
∴∠H＝∠BGH，
∴BH＝BG，
∵BC＝CD，CG＝CE，
∴BC﹣CG＝CD﹣CE，
即BG＝DE；
（2）解：所有的平行四边形（菱形除外）为平行四边形BHED、平行四边形BHGO、平行四边形OGED、平行四边形OBGE；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
由（1）得：CG＝CE，BH＝BG＝DE，
∴四边形BHED为平行四边形，
∵点E是CD边中点，BC＝CD，
∴CE＝DE＝BG＝CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴OE、O都G是△BCD的中位线，
∴OE∥BG，OG∥CD∥AB，OG＝CD＝DE＝BH，
∴四边形OBGE、四边形BHGO、四边形OGED都是平行四边形．
25．解：（1）设每年有x吨“留香瓜”卖给了水果商贩，则每年有（600﹣x）吨“留香瓜”本地自产自销，
依题意得：10（600﹣x）≤×8x，
解得：x≥500．
答：每年至少有500吨“留香瓜”卖给了水果商贩．
（2）设每年在电商平台上销售了y吨“留香瓜”，则水果商贩的收购价为（8+）元/千克，卖给了水果商贩（500﹣y）吨，
依题意得：10×1000×100+20×1000y+（8+）×1000（500﹣y）＝9200000，
整理得：y2﹣1700y+420000＝0，
解得：y1＝300，y2＝1400，
又∵y＜500，
∴y＝300．
答：每年在电商平台上销售了300吨“留香瓜”．
26．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝45°，
∵△EFD是等腰直角三角形，
∴∠EFD＝∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣∠CAD﹣∠AFE＝45°，
∴∠EAF＝∠AEF，
∴AF＝EF；
（2）解：当点F落在线段AD左侧时，（1）中结论AF＝EF仍然成立，理由如下：
如图2，取AC的中点G，连接DG，FG，
在Rt△ADC中，∴DG＝CG＝AG，
∴∠GDC＝∠C＝45°，
∴∠DGC＝90°，
∴△DGC是等腰直角三角形，
∵△DFE是等腰直角三角形，
∴＝，
∵∠FDG＝∠FDE+∠EDG＝45°+∠EDG，
∠EDC＝∠GDC+∠EDG＝45°+∠EDG，
∴∠FDG＝∠EDC，
∴△FDG∽△EDC，
∴∠FGD＝∠ECD＝45°，
∴∠FGA＝45°，
在△FGA和△FGD中，
，
∴△FGA≌△FGD（SAS），
∴AF＝DF，
∵DF＝EF，
∴AF＝EF；
（3）在Rt△ABC中，BC＝14，D是BC中点，
∴AD＝7，
取AC的中点G，连接DG，FG，设直线FG与AD相交于点P，
由（2）可知∠FGD＝45°＝∠GDC，
∴FG∥DC，
∴GP⊥AD且AP＝DP＝PG＝AD＝，
在Rt△APF中，AP＝，AF＝，
∴PF＝＝＝，
①如图2，当点F落在线段AD左侧时，FG＝4，
∵△FDG∽△EDC，
∴＝，
∴EC＝4；
②如图3，当点F落在线段AD的右侧时，
∴FG＝PG﹣PF＝DP﹣PF＝3.5﹣0.5＝3，
同理得△FDG∽△EDC，
∴＝，
∴EC＝3．
综上，EC的长是4或3．
27．解：（1）作BC边上的中线或AC边上的中线即可．
（2）①证明：过点E作EK⊥GA，交GA的延长线于点K，
∴∠K＝90°，
∵四边形ABDE和ACFG都是正方形，
∴∠BAE＝90°，AB＝AE，∠GAC＝90°，AC＝AG，
∵∠GAC+∠KAC＝180°，
∴∠KAC＝180°﹣∠GAC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EAK+∠BAK＝∠BAC+∠BAK＝90°，即∠EAK＝∠BAC，
又∵∠K＝∠ACB＝90°，AE＝AB，
∴△EAK≌△BAC（AAS），
∴EK＝BC，
∴，
∴△ABC和△AEG为偏等积三角形；
②如图，与△ABC是偏等积三角形有△EAG，△BCG，△GCM，△ANC，△CNF，△CFD，△CME，△DBN；
故答案为：8个
（3）①如图，连接A'C，
∵△ABD和△BCD是“偏等积三角形”，
∴S△ABD＝S△BCD，
∴AD＝CD＝，
∵沿BD折叠，使得A与A'重合，
∴AD＝A'D＝4，
∵△A'BD与△BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，
∴，
∴A'O＝BO，CO＝DO，
∴四边形A'CBD是平行四边形，
∴BC＝A'D＝4，
过点C作CM⊥AB于点M，
∵∠A＝30°且AC＝8，
∴CM＝AC＝4＝BC，即点B与点M重合，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝＝，
∴；
②如图，连接A'C，
∵△ABD和△BCD是“偏等积三角形”，
∴S△ABD＝S△BCD，易得：AD＝CD＝，
∵沿D折叠使A与A'重合，
∴AD＝A'D＝4，∠A＝∠A'＝30°，
∵△A'BD与BCD重合部分的面积等于△BCD面积的一半，
∴，
∴A'O＝DO，BO＝CO，
∴四边形A'CDB是平行四边形，
∴A'B＝CD＝4，
过点B作BQ⊥AD于点Q，
∵∠A'＝30°且A'B＝4，
∴BQ＝A'B＝2，
∴，
综上所述，△ABC的面积为8或．
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