专题三 方程、函数、不等式-2021年中考数学暑假知识点复习（基础）

这是一份专题三 方程、函数、不等式-2021年中考数学暑假知识点复习（基础），共19页。试卷主要包含了方程、函数、不等式等内容，欢迎下载使用。
坐标系
平面直角坐标系
1、坐标：两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，坐标系内一组有序数对为点坐标
★2、坐标系知识：
（1）轴方程为： ；过点，垂直于轴（平行于轴）的方程为：
轴方程为： ；过点，垂直于轴（平行于轴）的方程为：
（2）两点，之间的距离公式：
两点，之间的中点坐标公式：
★3、坐标系的平移变换：
（1）点的平移变换： 向右或向左平移个单位，得点或；
向上或向下平移个单位，得点或；
（2）图形的平移变换：自变量上：左加右减； 因变量上：上加下减
一次方程、函数与不等式
一元一次方程
1、等式的性质
（1）若，则： （为数或整式）
（2）若，则： 当时还有：
2、一元一次方程
（1）定义：含有一个未知数，未知数次数为，且等号两边都是整式的等式。如：
（2）求解步骤：去分母（每项乘最小公倍数）、去括号（多项式加括号）、移项、合并同类项、化系数为
★3、求解格式步骤：
4、常考应用题
①和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
②产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.
③工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量。
行程问题：相遇问题：相遇问题的特点是相向而行，常用的等量关系为“甲行驶路程+乙行驶路程=总路程，相遇时间”；
追及问题：同向而行，其中常用的等量关系为“快者行驶路程慢者行驶路程=二者相距的路程”
水流问题：顺水速度=静水速度＋水流速度 逆水速度=静水速度—水流速度
④利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， .
二元一次方程组
1、（1）二元一次方程定义：含有两个未知数，未知数次数为 = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1，且等号两边都是整式的等式。
（2）二元一次方程组：两个二元一次方程所组成的方程组或者
（3）求解方法：代入消元法、加减消元法
★2、求解格式步骤：
一次函数
★1、函数图像与性质
2、待定系数法
★3、一次函数平移变换
一次不等式（组）
1、一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．在数轴上表示不等式解集，空心圆圈表示不包括端点，实心圆点表示包括端点．
2、不等式解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
★3、自变量取值范围
方程、函数、不等式关系
分式方程与反比例函数
分式方程
1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程.
★2、增根：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
3、分式方程的解法：
= 1 \* GB2 ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
= 2 \* GB2 ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
= 3 \* GB2 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为，则是原方程的解。
4、分式方程的解答步骤：
5、分式方程考点总结
（1）行程问题：
（2）工程问题：
反比例函数
★1、反比例函数
★2、的几何意义与面积模型
几何结论
★4、一次函数（直线）与反比例函数
（1）交点问题：联立：得方程（分式方程）。
方程的解为反比例函数的图像与直线的图像的交点的横坐标的值。
（2）不等式解集
不等式的解为或；
不等式的解为或．
二次方程、函数与不等式
一元二次方程
★1、一元二次方程
（1）定义：含有一个未知数，最高次数为 = 2 \* Arabic \* MERGEFORMAT 2，且等号两边都是整式的等式。如：
（2）求解方向：转化为能运用直接开方的形式。
★2、公式法求解：
（1）判别式：一元二次方程中叫一元二次方程根的判别式，用“”表示，.
①当时，一元二次方程有个不相等的实数根；
②当时，一元二次方程有个相等的实数根；
③当时，一元二次方程没有实数根.
（2）求根公式：一元二次方程，当时，.
★3、因式分解（十字相乘法）：
举例：
判断方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和为一次项即可用该方法。
4、韦达定理：一元二次方程的两实数根是，则有：，.
5、一元二次方程常考题型公式
①增长率：起始量为，终止量为，时间跨度，则有等量关系：
②销售问题：单件利润=售价—成本（进价），总利润=单件利润销量，利润率=
③循环问题：总个数为，总次数为，则：单循环中，双循环中：
④传染问题：每轮传染个数为，轮传染后感染数为，则有：
二次函数
★1、函数性质
★2、平移变换
方程、函数、不等式关系
1、二次函数与方程的关系
★2、一次函数（直线）与二次函数
交点问题：联立：得方程。
方程的解为二次函数的图像与直线的图像交点的横坐标值．
确定直线与抛物线的交点的横坐标相当于求一元二次方程的解．
3、二次函数与二次不等式
4、坐标系中面积问题
（1）出题背景：坐标系平面内某一动点与两定点形成三角形，求三角形面积。
（2）处理思路：设出动点，割三角形（做铅锤高线），带面积公式。
①设动点：在轴上设为 在轴上设为，
在对称轴上设为 在直线上设为
在抛物线上上设为
在双曲线上上设为
②水平宽：三角形左边顶点到右边顶点的水平距离。
铅锤高：过第三个顶点做轴的垂线，截取三角形得到的长度。
水平宽铅锤高
（3）二次函数最值模型：最值问题通过转化，将其转化为二次函数再求最值。
【格式】：，当时，面积有最大（小）值，此时
锐角三角函数
锐角三角函数
★1、三角函数定义
★2、三角函数特殊值
3、实际问题中的角
★4、解三角形
移 项：
合并同类项：
化系数为 = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1：
去分母：
去括号：
移 项：
合并同类项：
化系数为 = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1：
①
②
①
②
代入消元法
加减消元法
由①得：
将带入②
得：
将带入，得：
∴方程组的解为：
方程组可化为：
① 得： ③
③②得：

将代入①得：
∴方程组的解为：
①从方程组选定一系数较简单的方程进行变形，用含（）的代数式表示（），
即变成（或）的形式；
②将（）代入另一方程（不能代入原变形方程）中，消去（），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解一元一次方程，求出（或）的值；
④把（）的值代入（或）中，求（或）的值；
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0的数，等式成立”，将原方程组化为未系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”，将变形后的两个方程相加（相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解一元一次方程，求出一个未知数值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度。
代表直线的纵截距，含义是直线与轴相交的点的纵坐标。
随的增大而增大
随的减小而减小
设一次函数解析式为：，。把、带入解析式，得 ，一次函数解析式为：。
一次函数经过哪几个象限由和共同决定，切忌死记硬背，而是理解后画图象分析：①反映了函数图象上升（下降）的趋势，，函数图象上升；，函数图象下降；
②反映了函数图象与轴的交点，，交于轴正半轴；，交于轴负半轴；
③还可以反映函数图象的陡峭程度，越大，则函函数图象陡峭。
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
（1）设：设一次函数的解析式；
（2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式得到关于的二元一次方程组；
（3）解：解方程组，求出的值；
（4）回代：将求出的的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式；
（5）检验：把两个已知点代入到求得的解析式中，检验解析式是否正确．
两直线平行时斜率相等，即
函数与的图象平行，则
两直线垂直时斜率之积为，即
函数与的图象垂直，则
①一次函数的图象向左平移（）个单位后得到的图象所对应的一次函数的解析式为；
②一次函数的图象向右平移（）个单位后得到的图象所对应的一次函数的解析式为
简称“左加右减”
①的图象向左平移个单位后得到，即函数；
②的图象向右平移个单位后得到的图象所对应的一次函数的解析式为，即函数
一次函数的图象可以由直线平移个单位长度得到。①当时，向上平移；②当时，向下平移；
简称“上加下减”
①函数的图象可由函数图象向上平移个单位得到
②函数的图象可由函数图象向下平移个单位得到
等式右边是关于自变量的整式
全体实数
属于一切实数
等式右边是关于自变量的分式
使分母不为的实数
等式右边是自变量开偶次方式子
使根号下的式子大于或等于的实数
等式右边是关于自变量的零次幂
使底数不为的实数
任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式。所以解一元一次方程相当于求一次函数的函数值为时，自变量的值，即求与轴交点横坐标。
方程的解即时，的值。由图象可知，一次函数图象过，当时，，
则为方程的解
二元一次方程都对应一个一次函数。二元一次方程组的解即为两直线
的交点坐标
据图象可知，两条直线交点，
的解为．
解一元一次不等式相当于求某个一次函数的函数值大于或小于时，自变量的取值范围．
求不等式的解集，即求的纵坐标大于时，横坐标的取值范围，由图象可知，当时，的纵坐标大于，的解集为．
两个一次函数，，可组成一次不等式组。在图像上代表的是函数在的下方。
如图，两一次函数交点，求不等式的解集，即求图象在图象上方时的取值范围，根据图象可知，当时，的图象在上方，该不等式解集为，
十字交叉法
最简公分母法
经检验：
∴是原方程的解
经检验：
∴是原方程的解
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而增大；
设反比例函数解析式为：，。把带入解析式，得 反比例函数解析式为：。
①过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为定值.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
点和点在反比例函数图象上，过分别做轴轴的垂线得到两个矩形。有：
点和点在反比例函数图象上,连接、、可得,过分别做轴的垂线,垂足分别为、,与交于。
有：①
②
直线

为矩形
一般式：(书写的规范：题目对解析式没有要求，均需写成一般式)
顶点式：(分析性质：涉及函数最值对称性增减性需化为顶点式）
交点式：（交点问题：涉及函数与轴的交点时可用交点式）
★一般式与顶点式互化：
直线
时，随增大而减小
时，随增大而增大
时，随增大而增大；时，随增大而减小．
当时，有最小值，
当时，有最大值，
左加
右减
上加
下减
抛物线与轴交于，两点，且，
此时称抛物线与轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
抛物线与轴交切于这一点，此时称抛物线与轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点，此时称抛物线与轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
或
大于取两边
小于取中间
（或）
无解
全体实数
无解
—
方位角：以南北为基准，向东西方向偏．
如图：北偏东，北偏西，南偏东，南偏西
仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角．
坡度：坡面的铅直高与水平宽度的比称为坡度（或坡比）．
由三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形。
设在中，，、、所对的边分别为，
则有：①三边之间的关系：(勾股定理)；
②锐角之间的关系：
③边角的关系：、、；
④，斜边的高
①弄清题中名词、术语意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；②将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； ③根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形；④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
为修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸与间的距离）．在
测量时，选定河对岸上的点C处为桥的一端，在河岸点处，测得，
沿河岸前行米后到达处，在处测得．请你根据以上测量数据求
出河的宽度．（参考数据：，；结果保留整数）