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全国版高考数学必刷题：第八单元 三角恒等变换与解三角形
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这是一份全国版高考数学必刷题：第八单元 三角恒等变换与解三角形，共29页。
第八单元 三角恒等变换与解三角形
考点一
三角恒等变换
1.(2017年江苏卷)若tanα-π4=16,则tanα= .
【解析】tanα=tanα-π4+π4
=tanα-π4+tanπ41-tanα-π4tanπ4=16+11-16×1=75.
【答案】75
2.(2016年全国Ⅱ卷)若cosπ4-α=35,则sin2α=( ).
A.725 B.15 C.-15 D.-725
【解析】因为cosπ4-α=35,所以sin2α=cosπ2-2α=cos2π4-α=2cos2π4-α-1=2×925-1=-725.
【答案】D
3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=( ).
A.-32 B.32 C.-12 D.12
【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.
【答案】D
4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则cos(α-β)= .
【解析】由题意知α+β=π+2kπ(k∈Z),
∴β=π+2kπ-α(k∈Z),
sinβ=sinα,cosβ=-cosα.
又sinα=13,
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=-cos2α+sin2α=2sin2α-1
=2×19-1=-79.
【答案】-79
考点二
解三角形
5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=( ).
A.31010 B.1010 C.-1010 D.-31010
【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则由题意得S△ABC=12×a×13a=12acsinB,∴c=23a.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+29a2-2×a×23a×22=59a2,∴b=53a.
∴cosA=b2+c2-a22bc=59a2+29a2-a22×53a×23a=-1010.
【答案】C
6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b= .
【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cosA=45,cosC=513,
所以sinA=35,sinC=1213,
所以sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=35×513+45×1213=6365.
又a=1,所以由正弦定理得b=asinBsinA=sinBsinA=6365×53=2113.
【答案】2113
7.(2017年山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ).
A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A
【解析】∵等式右边=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB,
等式左边=sinB+2sinBcosC,
∴sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB.
由cosC>0,得sinA=2sinB.
由正弦定理得a=2b.故选A.
【答案】A
8.(2017年浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= .
【解析】
依题意作出图形,如图所示,
sin∠DBC=sin∠ABC.
由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,
则sin∠ABC=154,cos∠ABC=14.
所以S△BDC=12BC·BD·sin∠DBC
=12×2×2×154=152.
因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-14=BD2+BC2-CD22BD·BC=8-CD28,
所以CD=10.
由余弦定理,得cos∠BDC=4+10-42×2×10=104.
【答案】152 104
9.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 .
【解析】在锐角三角形ABC中,∵sinA=2sinBsinC,
∴sin(B+C)=2sinBsinC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,等号两边同时除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC.
∴tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanBtanCtanBtanC-1. ①
∵A,B,C均为锐角,
∴tanBtanC-1>0,∴tanBtanC>1.
由①得tanBtanC=tanAtanA-2.
又由tanBtanC>1,得tanAtanA-2>1,∴tanA>2.
∴tanAtanBtanC=tan2AtanA-2=(tanA-2)2+4(tanA-2)+4tanA-2=(tanA-2)+4tanA-2+4≥24+4=8,当且仅当tanA-2=4tanA-2,即tanA=4时取等号.
故tanAtanBtanC的最小值为8.
【答案】8
10.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2B2,
故sinB=4(1-cosB).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1(舍去)或cosB=1517.
故cosB=1517.
(2)由cosB=1517得sinB=817,
故S△ABC=12acsinB=417ac,
又S△ABC=2,则ac=172.
由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517=4.
所以b=2.
11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
【解析】(1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π3.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,
即c2+2c-24=0,
解得c=-6(舍去)或c=4.
(2)由题设可得∠CAD=π2,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.
又△ABC的面积为S=12×4×2sin∠BAC=23,
所以△ABD的面积为3.
12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sinA.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
【解析】(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.
由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA,
故sinBsinC=23.
(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,
即cos(B+C)=-12,所以B+C=2π3,故A=π3.
由题意得12bcsinA=a23sinA,a=3,所以bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9.
由bc=8,得b+c=33.
故△ABC的周长为3+33.
高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.
命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.
2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.
3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.
§8.1 三角恒等变换
一
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
Cα+β: cos(α+β)= ;
Sα-β: sin(α-β)= ;
Sα+β: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
Tα-β: tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
Tα+β: tan(α+β)= .
二
二倍角公式
sin2α=2sinαcosα;
cos2α=cos2α-sin2α= = ;
tan2α=2tanα1-tan2α.
三
辅助角公式
函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=a2+b2sin(α+φ)其中tanφ=ba或f(α)=a2+b2cos(α-φ)其中tanφ=ab.
1cos75°cos15°-cos105°sin75°的值为 .
2 函数f(x)=2sinx(sinx+3cosx)的最小值为 .
3 若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tanα-π4=( ).
A.-2 B.2
C.-43 D.43
4 若α+β=3π4,求(1-tanα)(1-tanβ)的值.
知识清单
一、cosαcosβ-sinαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ tanα+tanβ1-tanαtanβ
二、2cos2α-1 1-2sin2α
基础训练
1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin75°=cos60°=12.
【答案】12
2.【解析】f(x)=2sin2x+23sinxcosx
=2×1-cos2x2+3sin2x=3sin2x-cos2x+1
=2sin2x-π6+1≥-1.
【答案】-1
3.【解析】由sinα+cosαsinα-cosα=12,等式左边分子、分母同时除以cosα得tanα+1tanα-1=12,解得tanα=-3,则tanα-π4=tanα-11+tanα=2.
【答案】B
4.【解析】∵-1=tan3π4=tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ,
∴tanαtanβ-1=tanα+tanβ.
∴1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,
即(1-tanα)(1-tanβ)=2.
题型一
三角函数式的化简、求值问题
【例1】若tanπ12cos5π12=sin5π12-msinπ12,则实数m的值为( ).
A.23 B.3 C.2 D.3
【解析】由tanπ12cos5π12=sin5π12-msinπ12,
得sinπ12cos5π12=cosπ12sin5π12-msinπ12cosπ12,
则12msinπ6=sin5π12-π12,解得m=23.
【答案】A
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.
【变式训练1】3tan12°-3(4cos212°-2)sin12°= .
【解析】原式=3sin12°cos12°-32(2cos212°-1)sin12°
=2312sin12°-32cos12°cos12°2cos24°sin12°
=23sin(-48°)2cos24°sin12°cos12°=-23sin48°sin24°cos24°
=-23sin48°12sin48°=-43.
【答案】-43
题型二
角的变换
【例2】已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,则tan2α= .
【解析】∵tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12-171+12×17=13,
∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×131-132=34.
【答案】34
在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,若角的范围是0,π2,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦函数较好.
【变式训练2】已知α,β为锐角,cosα=17,sin(α-β)=3314,则β的大小为 .
【解析】∵α,β为锐角,又sin(α-β)=3314,∴0<β<α<π2,∴cos(α-β)=1314.∵cosα=17,∴sinα=437,∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,则β=π3.
【答案】π3
题型三
三角变换的简单应用
【例3】已知函数f(x)=2sin2π4+x+3(sin2x-cos2x),x∈π4,π2.
(1)求f5π12的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】因为f(x)=2sin2π4+x+3(sin2x-cos2x),
所以化简得f(x)=1-cos2x+π2-3cos2x=2sin2x-π3+1,x∈π4,π2.
(1)f5π12=2sin5π6-π3+1=2sinπ2+1=3.
(2)当2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z)时,即kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).
因为x∈π4,π2,所以f(x)的单调递增区间为π4,5π12,同理f(x)的单调递减区间为5π12,π2.
(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,即m>f(x)-2或m2sin2x-π3-1或m<2sin2x-π3+3恒成立.
因为x∈π4,π2,所以2sin2x-π3∈[1,2].
当m>2sin2x-π3-1时,只需满足m大于2sin2x-π3-1的最大值1,即m>1;当m<2sin2x-π3+3时,只需满足m小于2sin2x-π3+3的最小值4,即m<4.
综上所述,实数m的取值范围是1
利用三角恒等变换把函数式变成f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)是解决该类问题的关键.
【变式训练3】已知函数f(x)=2sinx+π3+sinxcosx-3sin2x,x∈R.
(1)求f(x)在0,π4上的最大值和最小值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象,且gα+β2=12,gα-β2=-34,求tanαtanβ的值.
【解析】f(x)=2sinxcosπ3+cosxsinπ3+sinxcosx-3sin2x
=2sinxcosx+3cos2x-3sin2x=sin2x+3cos2x
=2sin2x+π3.
(1)∵0≤x≤π4,∴π3≤2x+π3≤5π6,
∴12≤sin2x+π3≤1,则1≤f(x)≤2,
∴f(x)max=2,f(x)min=1.
(2)由(1)得g(x)=2sin2x,
∴gα+β2=2sin(α+β)=12,
gα-β2=2sin(α-β)=-34,
即sinαcosβ+cosαsinβ=14,sinαcosβ-cosαsinβ=-38,解得sinαcosβ=-116,cosαsinβ=516,
两式相除得tanαtanβ=-15.
方法
利用三角函数的“三变”进行化简求值
“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.
【突破训练】2sin50°cos10°+12sin20°(1+3tan10°)=( ).
A.1 B.2 C.3 D.2
【解析】原式=2sin50°cos10°+sin10°cos10°·cos10°+3sin10°cos10°
=2sin50°cos10°+2sin10°12cos10°+32sin10°
=2sin50°cos10°+2sin10°cos(60°-10°)
=2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
=2sin60°=3.
【答案】C
1.(2017江西师大附中三模)已知cosα-sinα=24,则sin2α的值为( ).
A.18 B.-18 C.78 D.-78
【解析】∵cosα-sinα=24,∴1-sin2α=18,∴sin2α=78.
【答案】C
2.(2017衡水中学三模)已知sin3π2+α=13,则cos(π-2α)的值为( ).
A.79 B.-79 C.29 D.-23
【解析】因为sin3π2+α=-cosα,所以cosα=-13.
所以cos(π-2α)=-cos2α=-2cos2α+1=79.
【答案】A
3.(2017泸州四诊)已知sinπ3-α=14,则cosπ3+2α=( ).
A.-58 B.58 C.-78 D.78
【解析】sinπ3-α=sinπ2-π6+α=cosπ6+α=14,则cosπ3+2α=cos2π6+α=2cos2π6+α-1=-78.
【答案】C
4.(2017德阳二模)若α∈0,π2,且sin2α+cos2α=47,则tanα+π3的值为( ).
A.-3 B.3 C.-23 D.-33
【解析】∵α∈0,π2,且sin2α+cos2α=47,∴sin2α+cos2α-sin2α=47,∴cos2α=47,∴cosα=27,∴tanα=32,∴tanα+π3=-33.
【答案】D
5.(2017湖南考前演练)若tanαtanβ=3,且sinαsinβ=35,则cos(α-β)的值为( ).
A.-25 B.25 C.45 D.1
【解析】由题意可知sinαsinβ=3cosαcosβ,因为sinα·sinβ=35,所以cosαcosβ=15,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=45,故选C.
【答案】C
6.(2017九江一模)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值为 .
【解析】cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=54.
【答案】54
7.(2017广西二模)若θ∈π4,π2,sin2θ=378,则cosθ= .
【解析】∵θ∈π4,π2,∴2θ∈π2,π.∴cos2θ=-1-sin22θ=-18,则2cos2θ-1=-18,∴cosθ=74.
【答案】74
8.(2017山东二模)已知cosπ4-α=73,α∈0,π4,则cos2αsinα+cosα= .
【解析】∵cosπ4-α=73,α∈0,π4,
∴sinπ4-α=23,即cosα-sinα=23,
∴cos2αsinα+cosα=cos2α-sin2αsinα+cosα=cosα-sinα=23.
【答案】23
9.(2017佛山二模)已知α,β为锐角,且tanα=17,cos(α+β)=255,则cos2β=( ).
A.35 B.23 C.45 D.7210
【解析】∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π).
∵cos(α+β)=255,∴sin(α+β)=15.
∵tanα=17,∴sinα=152,cosα=752.
∴cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=15510=310.
∴cos2β=2cos2β-1=2×910-1=45,故选C.
【答案】C
10.(2017湖南师大附中月考)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,且tanA,tanB,tanC,2tanB依次成等差数列,则sin2B=( ).
A.1 B.-45 C.45 D.±45
【解析】由题意得tanC=32tanB,tanA=12tanB,所以△ABC为锐角三角形.又tanA=-tan(C+B)=-tanC+tanB1-tanCtanB=-52tanB1-32tan2B=12tanB,得tanB=2,所以sin2B=2sinBcosB=2sinBcosBsin2B+cos2B=2tanBtan2B+1=45.
【答案】C
11.(2017淮北一中押题)已知α,β∈3π4,π,cos(α+β)=45,cosβ-π4=-513,则sinα+π4=( ).
A.3365 B.-3365 C.-1665 D.1665
【解析】因为α,β∈3π4,π,则α+β∈3π2,2π,β-π4∈π2,3π4,所以sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,
所以sinα+π4=sin(α+β)-β-π4
=sin(α+β)cosβ-π4-cos(α+β)sinβ-π4
=-35×-513-45×1213=-3365.
【答案】B
12.(2017长沙模拟)在锐角△ABC中,B>π6,sinA+π6=35,cosB-π6=45,则sin(A+B)= .
【解析】∵sinA+π6=35,∴cosA+π6=±45,
∵cosA+π6=-452π3⇒A>π2(舍去),∴cosA+π6=45.
由cosB-π6=45得sinB-π6=35,
∴sin(A+B)=sinA+π6+B-π6
=sinA+π6cosB-π6+cosA+π6sinB-π6
=35×45+45×35=2425.
【答案】2425
13.(2016株洲三模) 已知tanα=12,msinαcosα=45.
(1)若cosx-π5=m3,求cosx+4π5的值;
(2)设函数f(x)=cosmx+π3+3sin2x,求函数f(x)的单调递减区间.
【解析】∵msinαcosα=msinαcosαsin2α+cos2α=mtanαtan2α+1=45,tanα=12,
∴2m5=45,得m=2.
(1)∵cosx-π5=23,
∴cosx+4π5=cosπ+x-π5
=-cosx-π5=-23.
(2)∵f(x)=cos2x+π3+3sin2x
=12cos2x+32sin2x
=sin2x+π6,
由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z),
∴函数f(x)的单调递减区间为π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z).
§8.2 解三角形
一
正弦定理和余弦定理
1.正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R,其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为
(1)a∶b∶c= ;
(2)a= ,b= ,c= ;
(3)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R.
2.余弦定理:a2= ,b2= ,c2= .余弦定理可以变形为cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.
二
面积公式
S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R=12(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.
1 在△ABC中,∠A=π3,AB=2,且△ABC的面积为32,则边AC的长为( ).
A.1 B.3
C.2 D.1
2 在△ABC中,a2+b2-c2=3absinC,则tanC等于( ).
A.13 B.12
C.23 D.32
3 在△ABC中,sinA=23,a=8,b=63,则角B等于( ).
A.60° B.150°
C.60°或120° D.60°或150°
知识清单
一、1.(1)sinA∶sinB∶sinC
(2)2RsinA 2RsinB 2RsinC
2.b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC
基础训练
1.【解析】∵S△ABC=12AB·ACsinA,∴32AC=32,则AC=1.
【答案】A
2.【解析】a2+b2-c2=3absinC⇒a2+b2-c22ab=cosC=32sinC⇒tanC=23.
【答案】C
3.【解析】由正弦定理得823=63sinB,则sinB=32.∵a
题型一
利用正弦定理求解三角形
【例1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sinA=acosB,b=5,c=2,求sinC.
【解析】∵2sinA=acosB,sinAa=sinBb,b=5,
∴2sinB=5cosB,即tanB=52,∴sinB=53.
∵c=2,∴sinC=csinBb=23.
已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,且要注意解的个数的判断.
【变式训练1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cosA=acosC,求sinA.
【解析】由(2b-c)cosA=acosC,
得2bcosA=ccosA+acosC,
即2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,
则2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,
所以cosA=12,则sinA=32.
题型二
利用余弦定理求解三角形
【例2】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a+csinB+sinC=b-csinA.
(1)求角B的大小;
(2)若b=13,a+c=4,求ac的值.
【解析】(1)由a+csinB+sinC=b-csinA及正弦定理,得a+cb+c=b-ca,
∴ac+a2=b2-c2,
∴a2+c2-b2=-ac.
由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12.
又B为△ABC的内角,∴B=2π3.
(2)将b=13,a+c=4,B=2π3代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,
∴13=16-2ac1-12,∴ac=3.
根据所给等式的结构特点,灵活利用余弦定理对角与边进行相互转化是解答问题的关键.
【变式训练2】在△ABC中,D是边AC的中点,且AB=AD=1,BD=233.
(1)求cosA的值;
(2)求BC的长.
【解析】(1)在△ABC中,AB=AD=1,BD=233,
∴cosA=AB2+AD2-BD22AB·AD=1+1-23322=13.
(2)由(1)知,cosA=13,且0
在△ABC中,cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=1+22-BC22×1×2=13,
解得BC=333.
题型三
正弦定理、余弦定理的综合应用
【例3】(2017孝义考前训练)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足23acsinB=a2+b2-c2.
(1)求角C的大小;
(2)若bsin(π-A)=acosB,且b=2,求△ABC的面积.
【解析】(1)由23acsinB=a2+b2-c2,
得23csinB2b=a2+b2-c22ab,
∴23sinCsinB2sinB=cosC,∴tanC=33,
∴C=π6.
(2)由bsin(π-A)=acosB,
∴sinBsinA=sinAcosB,
∴sinB=cosB,
∴B=π4.
由正弦定理bsinB=csinC,可得2sinπ4=csinπ6,解得c=1,∴S△ABC=12bcsinA=12×2×1×sinA=22sin(π-B-C)=22sinπ4+π6=3+14.
在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的思路是将角都化成边或将边都化成角,再结合正、余弦定理即可求解.
【变式训练3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
(1)若c=2,C=π3,且△ABC的面积为3,求a,b的值;
(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.
【解析】(1)∵c=2,C=π3,
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=4.
∵△ABC的面积为3,∴12absinC=3,∴ab=4.
联立方程组a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.
(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,
得sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,
即2sinBcosA=2sinAcosA,∴cosA·(sinA-sinB)=0,
∴cosA=0或sinA-sinB=0.
当cosA=0时,∵0
当sinA-sinB=0时,得sinB=sinA,
由正弦定理得a=b,
即△ABC为等腰三角形.
综上所述,△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法
数学建模——实际应用能力
实际问题经抽象概括后,如果已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
【突破训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.
【解析】如图所示,AB为塔高,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥CD于点E,则∠AEB=30°.
在△BCD中,CD=40(米),∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理,得CDsin∠DBC=BDsin∠BCD,
所以BD=40sin30°sin135°=202(米),∠BDE=180°-135°-30°=15°.
在Rt△BED中,
BE=BDsin15°=202×6-24=10(3-1)(米).
在Rt△ABE中,∠AEB=30°,
所以AB=BEtan30°=103(3-3)(米).
故所求的塔高为103(3-3)米.
1.(2017衡水中学押题卷)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则△ABC的面积为( ).
A.23 B.43 C.6 D.83
【解析】由题意有b2+c2-a2=bc,∴cosA=b2+c2-a22bc=12,sinA=1-cos2A=32,
则△ABC的面积为S=12bcsinA=43.
【答案】B
2.(2017广丰二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=2bsinB,则sinAcosA+2cos2B等于( ).
A.-1 B.-12 C.12 D.2
【解析】∵acosA=2bsinB,∴sinAcosA=2sinBsinB,即sinAcosA-2sin2B=0,∴sinAcosA-2(1-cos2B)=0,∴sinAcosA+2cos2B=2.
【答案】D
3.(2016郑州一测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b3cosB=asinA,则cosB=( ).
A.-12 B.12 C.-32 D.32
【解析】由正弦定理,得b3cosB=asinA,∴sinB3cosB=sinAsinA,∴tanB=3,又0
4.(2017龙泉二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3cosAcosC=ac,且a2-c2=2b,则b等于( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由3cosAcosC=ac得acosC=3ccosA,
则a·a2+b2-c22ab=3c·b2+c2-a22bc,整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b,∴4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).
【答案】D
5.(2017甘肃二诊)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使得△ABC的形状唯一确定的是( ).
①a=1,b=2,c∈Z;
②A=150°,asinA+csinC+2asinC=bsinB;
③a=5,b=2,A=30°;
④C=60°,cosAsinBcosC+cos(B+C)cosBcosC=0.
A.①③ B.①②③ C.①② D.②③④
【解析】②中,由正弦定理可知a2+c2+2ac=b2,∴cosB=a2+c2-b22ac=-22,此时A=150°,B=135°,三角形无解.
④中,-cos(B+C)sinBcosC+cos(B+C)cosBcosC=0,
∴cos(B+C)cosC(cosB-sinB)=0,
则B=45°或B+C=90°,B=30°,
三角形的解不唯一.
排除②④两种说法,只有选项A符合题意.
【答案】A
6.(2017徐州质检)江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则这两条船相距 m.
【解析】如图,OA为炮台,M,N为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°,OM=AOtan45°=30m,ON=AOtan60°=303=103m.
∴MN=900+300-2×30×103×32=103m.
【答案】103
7.(2017重庆二诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为a2+b2-c243,则C= .
【解析】由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC,又12absinC=a2+b2-c243,联立两式得,12absinC=2abcosC43,∴tanC=33,即C=30°.
【答案】30°
8.(2017娄底二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=45,c=5,且B=2C,点D为边BC上的一点,且CD=3,则△ADC的面积为 .
【解析】由正弦定理得5sinC=45sinB=452sinCcosC,可得cosC=25,∴S△ADC=12CD·ACsinC=12×3×45×15=6.
【答案】6
9.(2017山西二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=( ).
A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=2b2(1-cosA),∴2b2(1-sinA)=2b2(1-cosA),∴sinA=cosA,即tanA=1,又0
10.(2017广安二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinAa=sinB2b,则cosB的值为( ).
A.32 B.12 C.-12 D.-32
【解析】由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC,结合已知sinAa=sinB2b,故有sinB=2sinB2cosB2=sinB2,解得cosB2=12.因为0
11.(2017重庆月考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,AC=2,BD=23,∠ACD=60°,则AD=( ).
A.2 B.7 C.19 D.13-63
【解析】由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°,解得BC=3,则AC2=AB2+BC2,故BC⊥AB,又AB∥CD,所以BC⊥CD.在Rt△BCD中,CD=BD2-BC2=12-3=3.在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos60°=7,所以AD=7.
【答案】B
12.(2017马鞍山三模)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c+b)(sinC-sinB)=a(sinA-sinB).若c=23,则a2+b2的取值范围是 .
【解析】由正弦定理得(c+b)(c-b)=a(a-b)⇒c2-b2=a2-ab,
所以cosC=a2+b2-c22ab=12,解得C=π3,
则asinA=bsin2π3-A=csinC=4,
所以a=4sinA,b=4sin2π3-A,
所以a2+b2=16sin2A+16sin22π3-A
=16×1-cos2A2+16×1-cos4π3-2A2
=16-812cos2A-32sin2A=16-8cos2A+π3.
因为△ABC是锐角三角形,所以A∈π6,π2,
所以2A+π3∈2π3,4π3,
所以cos2A+π3∈-1,-12,
所以a2+b2=16-8cos2A+π3∈(20,24].
【答案】(20,24]
13.(2017漳州质检)如图所示,已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b≠c,且bcosB=ccosC,延长线段BC到点D,使得BC=4CD=4,∠CAD=30°.
(1)求证:∠BAC是直角.
(2)求tan∠ADC的值.
【解析】(1)因为bcosB=ccosC,
由正弦定理,得sinBcosB=sinCcosC,
所以sin2B=sin2C,又b≠c,
所以2B=π-2C,
所以B+C=π2,
所以A=90°,即∠BAC是直角.
(2)设∠ADC=α,CD=1,BC=4,
在△ABC中,因为∠BAC=90°,∠ACB=30°+α,
所以cos(30°+α)=ACBC,所以AC=4cos(30°+α).
在△ADC中,ACsinα=CDsin∠CAD,即ACsinα=112=2,
所以AC=2sinα,
所以2cos(30°+α)=sinα,
即232cosα-12sinα=sinα,整理得3cosα=2sinα,
所以tanα=32,即tan∠ADC=32.
第八单元 三角恒等变换与解三角形
考点一
三角恒等变换
1.(2017年江苏卷)若tanα-π4=16,则tanα= .
【解析】tanα=tanα-π4+π4
=tanα-π4+tanπ41-tanα-π4tanπ4=16+11-16×1=75.
【答案】75
2.(2016年全国Ⅱ卷)若cosπ4-α=35,则sin2α=( ).
A.725 B.15 C.-15 D.-725
【解析】因为cosπ4-α=35,所以sin2α=cosπ2-2α=cos2π4-α=2cos2π4-α-1=2×925-1=-725.
【答案】D
3.(2015年全国Ⅰ卷)sin20°cos10°-cos160°sin10°=( ).
A.-32 B.32 C.-12 D.12
【解析】sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.
【答案】D
4.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则cos(α-β)= .
【解析】由题意知α+β=π+2kπ(k∈Z),
∴β=π+2kπ-α(k∈Z),
sinβ=sinα,cosβ=-cosα.
又sinα=13,
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=-cos2α+sin2α=2sin2α-1
=2×19-1=-79.
【答案】-79
考点二
解三角形
5.(2016年全国Ⅲ卷)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=( ).
A.31010 B.1010 C.-1010 D.-31010
【解析】设△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
则由题意得S△ABC=12×a×13a=12acsinB,∴c=23a.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+29a2-2×a×23a×22=59a2,∴b=53a.
∴cosA=b2+c2-a22bc=59a2+29a2-a22×53a×23a=-1010.
【答案】C
6.(2016年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b= .
【解析】因为A,C为△ABC的内角,且cosA=45,cosC=513,
所以sinA=35,sinC=1213,
所以sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=35×513+45×1213=6365.
又a=1,所以由正弦定理得b=asinBsinA=sinBsinA=6365×53=2113.
【答案】2113
7.(2017年山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ).
A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A
【解析】∵等式右边=sinAcosC+(sinAcosC+cosAsinC)=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB,
等式左边=sinB+2sinBcosC,
∴sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB.
由cosC>0,得sinA=2sinB.
由正弦定理得a=2b.故选A.
【答案】A
8.(2017年浙江卷)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= .
【解析】
依题意作出图形,如图所示,
sin∠DBC=sin∠ABC.
由题意知AB=AC=4,BC=BD=2,
则sin∠ABC=154,cos∠ABC=14.
所以S△BDC=12BC·BD·sin∠DBC
=12×2×2×154=152.
因为cos∠DBC=-cos∠ABC=-14=BD2+BC2-CD22BD·BC=8-CD28,
所以CD=10.
由余弦定理,得cos∠BDC=4+10-42×2×10=104.
【答案】152 104
9.(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 .
【解析】在锐角三角形ABC中,∵sinA=2sinBsinC,
∴sin(B+C)=2sinBsinC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,等号两边同时除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC.
∴tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanBtanCtanBtanC-1. ①
∵A,B,C均为锐角,
∴tanBtanC-1>0,∴tanBtanC>1.
由①得tanBtanC=tanAtanA-2.
又由tanBtanC>1,得tanAtanA-2>1,∴tanA>2.
∴tanAtanBtanC=tan2AtanA-2=(tanA-2)2+4(tanA-2)+4tanA-2=(tanA-2)+4tanA-2+4≥24+4=8,当且仅当tanA-2=4tanA-2,即tanA=4时取等号.
故tanAtanBtanC的最小值为8.
【答案】8
10.(2017年全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2B2,
故sinB=4(1-cosB).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1(舍去)或cosB=1517.
故cosB=1517.
(2)由cosB=1517得sinB=817,
故S△ABC=12acsinB=417ac,
又S△ABC=2,则ac=172.
由余弦定理及a+c=6,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517=4.
所以b=2.
11.(2017年全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.
【解析】(1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π3.
在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,
即c2+2c-24=0,
解得c=-6(舍去)或c=4.
(2)由题设可得∠CAD=π2,
所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.
又△ABC的面积为S=12×4×2sin∠BAC=23,
所以△ABD的面积为3.
12.(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sinA.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
【解析】(1)由题设得12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.
由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA,
故sinBsinC=23.
(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,
即cos(B+C)=-12,所以B+C=2π3,故A=π3.
由题意得12bcsinA=a23sinA,a=3,所以bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9.
由bc=8,得b+c=33.
故△ABC的周长为3+33.
高频考点:两角和与差的正弦、余弦公式,正弦和余弦的倍角公式,解三角形.
命题特点:1.两角和与差的正弦、余弦公式的考查是高考热点,要么单独命题,要么与三角函数的性质或解三角形相结合考查;倍角公式也是如此.
2.对于三角恒等变换内容的考查通常以容易题和中档题为主.
3.解三角形是高考的必考内容,一般出现在解答题的第17题.作为解答题考查难度不是很大,但作为选择题或填空题考查,有难有易.
§8.1 三角恒等变换
一
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
Cα+β: cos(α+β)= ;
Sα-β: sin(α-β)= ;
Sα+β: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
Tα-β: tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;
Tα+β: tan(α+β)= .
二
二倍角公式
sin2α=2sinαcosα;
cos2α=cos2α-sin2α= = ;
tan2α=2tanα1-tan2α.
三
辅助角公式
函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=a2+b2sin(α+φ)其中tanφ=ba或f(α)=a2+b2cos(α-φ)其中tanφ=ab.
1cos75°cos15°-cos105°sin75°的值为 .
2 函数f(x)=2sinx(sinx+3cosx)的最小值为 .
3 若sinα+cosαsinα-cosα=12,则tanα-π4=( ).
A.-2 B.2
C.-43 D.43
4 若α+β=3π4,求(1-tanα)(1-tanβ)的值.
知识清单
一、cosαcosβ-sinαsinβ sinαcosβ-cosαsinβ tanα+tanβ1-tanαtanβ
二、2cos2α-1 1-2sin2α
基础训练
1.【解析】cos75°cos15°-cos105°sin75°=cos75°cos15°+sin15°sin75°=cos60°=12.
【答案】12
2.【解析】f(x)=2sin2x+23sinxcosx
=2×1-cos2x2+3sin2x=3sin2x-cos2x+1
=2sin2x-π6+1≥-1.
【答案】-1
3.【解析】由sinα+cosαsinα-cosα=12,等式左边分子、分母同时除以cosα得tanα+1tanα-1=12,解得tanα=-3,则tanα-π4=tanα-11+tanα=2.
【答案】B
4.【解析】∵-1=tan3π4=tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ,
∴tanαtanβ-1=tanα+tanβ.
∴1-tanα-tanβ+tanαtanβ=2,
即(1-tanα)(1-tanβ)=2.
题型一
三角函数式的化简、求值问题
【例1】若tanπ12cos5π12=sin5π12-msinπ12,则实数m的值为( ).
A.23 B.3 C.2 D.3
【解析】由tanπ12cos5π12=sin5π12-msinπ12,
得sinπ12cos5π12=cosπ12sin5π12-msinπ12cosπ12,
则12msinπ6=sin5π12-π12,解得m=23.
【答案】A
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.
【变式训练1】3tan12°-3(4cos212°-2)sin12°= .
【解析】原式=3sin12°cos12°-32(2cos212°-1)sin12°
=2312sin12°-32cos12°cos12°2cos24°sin12°
=23sin(-48°)2cos24°sin12°cos12°=-23sin48°sin24°cos24°
=-23sin48°12sin48°=-43.
【答案】-43
题型二
角的变换
【例2】已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,则tan2α= .
【解析】∵tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)+tanβ1-tan(α-β)tanβ=12-171+12×17=13,
∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×131-132=34.
【答案】34
在选取函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值,若角的范围是0,π2,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为-π2,π2,选正弦函数较好.
【变式训练2】已知α,β为锐角,cosα=17,sin(α-β)=3314,则β的大小为 .
【解析】∵α,β为锐角,又sin(α-β)=3314,∴0<β<α<π2,∴cos(α-β)=1314.∵cosα=17,∴sinα=437,∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17×1314+437×3314=12,则β=π3.
【答案】π3
题型三
三角变换的简单应用
【例3】已知函数f(x)=2sin2π4+x+3(sin2x-cos2x),x∈π4,π2.
(1)求f5π12的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】因为f(x)=2sin2π4+x+3(sin2x-cos2x),
所以化简得f(x)=1-cos2x+π2-3cos2x=2sin2x-π3+1,x∈π4,π2.
(1)f5π12=2sin5π6-π3+1=2sinπ2+1=3.
(2)当2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z)时,即kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).
因为x∈π4,π2,所以f(x)的单调递增区间为π4,5π12,同理f(x)的单调递减区间为5π12,π2.
(3)若不等式|f(x)-m|<2恒成立,即m>f(x)-2或m
因为x∈π4,π2,所以2sin2x-π3∈[1,2].
当m>2sin2x-π3-1时,只需满足m大于2sin2x-π3-1的最大值1,即m>1;当m<2sin2x-π3+3时,只需满足m小于2sin2x-π3+3的最小值4,即m<4.
综上所述,实数m的取值范围是1
利用三角恒等变换把函数式变成f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0)是解决该类问题的关键.
【变式训练3】已知函数f(x)=2sinx+π3+sinxcosx-3sin2x,x∈R.
(1)求f(x)在0,π4上的最大值和最小值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象,且gα+β2=12,gα-β2=-34,求tanαtanβ的值.
【解析】f(x)=2sinxcosπ3+cosxsinπ3+sinxcosx-3sin2x
=2sinxcosx+3cos2x-3sin2x=sin2x+3cos2x
=2sin2x+π3.
(1)∵0≤x≤π4,∴π3≤2x+π3≤5π6,
∴12≤sin2x+π3≤1,则1≤f(x)≤2,
∴f(x)max=2,f(x)min=1.
(2)由(1)得g(x)=2sin2x,
∴gα+β2=2sin(α+β)=12,
gα-β2=2sin(α-β)=-34,
即sinαcosβ+cosαsinβ=14,sinαcosβ-cosαsinβ=-38,解得sinαcosβ=-116,cosαsinβ=516,
两式相除得tanαtanβ=-15.
方法
利用三角函数的“三变”进行化简求值
“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.
【突破训练】2sin50°cos10°+12sin20°(1+3tan10°)=( ).
A.1 B.2 C.3 D.2
【解析】原式=2sin50°cos10°+sin10°cos10°·cos10°+3sin10°cos10°
=2sin50°cos10°+2sin10°12cos10°+32sin10°
=2sin50°cos10°+2sin10°cos(60°-10°)
=2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
=2sin60°=3.
【答案】C
1.(2017江西师大附中三模)已知cosα-sinα=24,则sin2α的值为( ).
A.18 B.-18 C.78 D.-78
【解析】∵cosα-sinα=24,∴1-sin2α=18,∴sin2α=78.
【答案】C
2.(2017衡水中学三模)已知sin3π2+α=13,则cos(π-2α)的值为( ).
A.79 B.-79 C.29 D.-23
【解析】因为sin3π2+α=-cosα,所以cosα=-13.
所以cos(π-2α)=-cos2α=-2cos2α+1=79.
【答案】A
3.(2017泸州四诊)已知sinπ3-α=14,则cosπ3+2α=( ).
A.-58 B.58 C.-78 D.78
【解析】sinπ3-α=sinπ2-π6+α=cosπ6+α=14,则cosπ3+2α=cos2π6+α=2cos2π6+α-1=-78.
【答案】C
4.(2017德阳二模)若α∈0,π2,且sin2α+cos2α=47,则tanα+π3的值为( ).
A.-3 B.3 C.-23 D.-33
【解析】∵α∈0,π2,且sin2α+cos2α=47,∴sin2α+cos2α-sin2α=47,∴cos2α=47,∴cosα=27,∴tanα=32,∴tanα+π3=-33.
【答案】D
5.(2017湖南考前演练)若tanαtanβ=3,且sinαsinβ=35,则cos(α-β)的值为( ).
A.-25 B.25 C.45 D.1
【解析】由题意可知sinαsinβ=3cosαcosβ,因为sinα·sinβ=35,所以cosαcosβ=15,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=45,故选C.
【答案】C
6.(2017九江一模)cos275°+cos215°+cos75°cos15°的值为 .
【解析】cos275°+cos215°+cos75°cos15°=sin215°+cos215°+sin15°cos15°=1+12sin30°=54.
【答案】54
7.(2017广西二模)若θ∈π4,π2,sin2θ=378,则cosθ= .
【解析】∵θ∈π4,π2,∴2θ∈π2,π.∴cos2θ=-1-sin22θ=-18,则2cos2θ-1=-18,∴cosθ=74.
【答案】74
8.(2017山东二模)已知cosπ4-α=73,α∈0,π4,则cos2αsinα+cosα= .
【解析】∵cosπ4-α=73,α∈0,π4,
∴sinπ4-α=23,即cosα-sinα=23,
∴cos2αsinα+cosα=cos2α-sin2αsinα+cosα=cosα-sinα=23.
【答案】23
9.(2017佛山二模)已知α,β为锐角,且tanα=17,cos(α+β)=255,则cos2β=( ).
A.35 B.23 C.45 D.7210
【解析】∵α,β∈0,π2,∴α+β∈(0,π).
∵cos(α+β)=255,∴sin(α+β)=15.
∵tanα=17,∴sinα=152,cosα=752.
∴cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=15510=310.
∴cos2β=2cos2β-1=2×910-1=45,故选C.
【答案】C
10.(2017湖南师大附中月考)设△ABC的三个内角分别为A,B,C,且tanA,tanB,tanC,2tanB依次成等差数列,则sin2B=( ).
A.1 B.-45 C.45 D.±45
【解析】由题意得tanC=32tanB,tanA=12tanB,所以△ABC为锐角三角形.又tanA=-tan(C+B)=-tanC+tanB1-tanCtanB=-52tanB1-32tan2B=12tanB,得tanB=2,所以sin2B=2sinBcosB=2sinBcosBsin2B+cos2B=2tanBtan2B+1=45.
【答案】C
11.(2017淮北一中押题)已知α,β∈3π4,π,cos(α+β)=45,cosβ-π4=-513,则sinα+π4=( ).
A.3365 B.-3365 C.-1665 D.1665
【解析】因为α,β∈3π4,π,则α+β∈3π2,2π,β-π4∈π2,3π4,所以sin(α+β)=-35,sinβ-π4=1213,
所以sinα+π4=sin(α+β)-β-π4
=sin(α+β)cosβ-π4-cos(α+β)sinβ-π4
=-35×-513-45×1213=-3365.
【答案】B
12.(2017长沙模拟)在锐角△ABC中,B>π6,sinA+π6=35,cosB-π6=45,则sin(A+B)= .
【解析】∵sinA+π6=35,∴cosA+π6=±45,
∵cosA+π6=-45
由cosB-π6=45得sinB-π6=35,
∴sin(A+B)=sinA+π6+B-π6
=sinA+π6cosB-π6+cosA+π6sinB-π6
=35×45+45×35=2425.
【答案】2425
13.(2016株洲三模) 已知tanα=12,msinαcosα=45.
(1)若cosx-π5=m3,求cosx+4π5的值;
(2)设函数f(x)=cosmx+π3+3sin2x,求函数f(x)的单调递减区间.
【解析】∵msinαcosα=msinαcosαsin2α+cos2α=mtanαtan2α+1=45,tanα=12,
∴2m5=45,得m=2.
(1)∵cosx-π5=23,
∴cosx+4π5=cosπ+x-π5
=-cosx-π5=-23.
(2)∵f(x)=cos2x+π3+3sin2x
=12cos2x+32sin2x
=sin2x+π6,
由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),得π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z),
∴函数f(x)的单调递减区间为π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z).
§8.2 解三角形
一
正弦定理和余弦定理
1.正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R,其中R是三角形外接圆的半径.正弦定理可以变形为
(1)a∶b∶c= ;
(2)a= ,b= ,c= ;
(3)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R.
2.余弦定理:a2= ,b2= ,c2= .余弦定理可以变形为cosA=b2+c2-a22bc,cosB=a2+c2-b22ac,cosC=a2+b2-c22ab.
二
面积公式
S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R=12(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.
1 在△ABC中,∠A=π3,AB=2,且△ABC的面积为32,则边AC的长为( ).
A.1 B.3
C.2 D.1
2 在△ABC中,a2+b2-c2=3absinC,则tanC等于( ).
A.13 B.12
C.23 D.32
3 在△ABC中,sinA=23,a=8,b=63,则角B等于( ).
A.60° B.150°
C.60°或120° D.60°或150°
知识清单
一、1.(1)sinA∶sinB∶sinC
(2)2RsinA 2RsinB 2RsinC
2.b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC
基础训练
1.【解析】∵S△ABC=12AB·ACsinA,∴32AC=32,则AC=1.
【答案】A
2.【解析】a2+b2-c2=3absinC⇒a2+b2-c22ab=cosC=32sinC⇒tanC=23.
【答案】C
3.【解析】由正弦定理得823=63sinB,则sinB=32.∵a
题型一
利用正弦定理求解三角形
【例1】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2sinA=acosB,b=5,c=2,求sinC.
【解析】∵2sinA=acosB,sinAa=sinBb,b=5,
∴2sinB=5cosB,即tanB=52,∴sinB=53.
∵c=2,∴sinC=csinBb=23.
已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形,且要注意解的个数的判断.
【变式训练1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2b-c)cosA=acosC,求sinA.
【解析】由(2b-c)cosA=acosC,
得2bcosA=ccosA+acosC,
即2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,
则2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,
所以cosA=12,则sinA=32.
题型二
利用余弦定理求解三角形
【例2】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且a+csinB+sinC=b-csinA.
(1)求角B的大小;
(2)若b=13,a+c=4,求ac的值.
【解析】(1)由a+csinB+sinC=b-csinA及正弦定理,得a+cb+c=b-ca,
∴ac+a2=b2-c2,
∴a2+c2-b2=-ac.
由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=-ac2ac=-12.
又B为△ABC的内角,∴B=2π3.
(2)将b=13,a+c=4,B=2π3代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,
∴13=16-2ac1-12,∴ac=3.
根据所给等式的结构特点,灵活利用余弦定理对角与边进行相互转化是解答问题的关键.
【变式训练2】在△ABC中,D是边AC的中点,且AB=AD=1,BD=233.
(1)求cosA的值;
(2)求BC的长.
【解析】(1)在△ABC中,AB=AD=1,BD=233,
∴cosA=AB2+AD2-BD22AB·AD=1+1-23322=13.
(2)由(1)知,cosA=13,且0
在△ABC中,cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=1+22-BC22×1×2=13,
解得BC=333.
题型三
正弦定理、余弦定理的综合应用
【例3】(2017孝义考前训练)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足23acsinB=a2+b2-c2.
(1)求角C的大小;
(2)若bsin(π-A)=acosB,且b=2,求△ABC的面积.
【解析】(1)由23acsinB=a2+b2-c2,
得23csinB2b=a2+b2-c22ab,
∴23sinCsinB2sinB=cosC,∴tanC=33,
∴C=π6.
(2)由bsin(π-A)=acosB,
∴sinBsinA=sinAcosB,
∴sinB=cosB,
∴B=π4.
由正弦定理bsinB=csinC,可得2sinπ4=csinπ6,解得c=1,∴S△ABC=12bcsinA=12×2×1×sinA=22sin(π-B-C)=22sinπ4+π6=3+14.
在已知关系式中,既含有边又含有角,通常的思路是将角都化成边或将边都化成角,再结合正、余弦定理即可求解.
【变式训练3】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
(1)若c=2,C=π3,且△ABC的面积为3,求a,b的值;
(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.
【解析】(1)∵c=2,C=π3,
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=4.
∵△ABC的面积为3,∴12absinC=3,∴ab=4.
联立方程组a2+b2-ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.
(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,
得sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,
即2sinBcosA=2sinAcosA,∴cosA·(sinA-sinB)=0,
∴cosA=0或sinA-sinB=0.
当cosA=0时,∵0
当sinA-sinB=0时,得sinB=sinA,
由正弦定理得a=b,
即△ABC为等腰三角形.
综上所述,△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法
数学建模——实际应用能力
实际问题经抽象概括后,如果已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.
【突破训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.
【解析】如图所示,AB为塔高,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥CD于点E,则∠AEB=30°.
在△BCD中,CD=40(米),∠BCD=30°,∠DBC=135°,
由正弦定理,得CDsin∠DBC=BDsin∠BCD,
所以BD=40sin30°sin135°=202(米),∠BDE=180°-135°-30°=15°.
在Rt△BED中,
BE=BDsin15°=202×6-24=10(3-1)(米).
在Rt△ABE中,∠AEB=30°,
所以AB=BEtan30°=103(3-3)(米).
故所求的塔高为103(3-3)米.
1.(2017衡水中学押题卷)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=16,则△ABC的面积为( ).
A.23 B.43 C.6 D.83
【解析】由题意有b2+c2-a2=bc,∴cosA=b2+c2-a22bc=12,sinA=1-cos2A=32,
则△ABC的面积为S=12bcsinA=43.
【答案】B
2.(2017广丰二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acosA=2bsinB,则sinAcosA+2cos2B等于( ).
A.-1 B.-12 C.12 D.2
【解析】∵acosA=2bsinB,∴sinAcosA=2sinBsinB,即sinAcosA-2sin2B=0,∴sinAcosA-2(1-cos2B)=0,∴sinAcosA+2cos2B=2.
【答案】D
3.(2016郑州一测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b3cosB=asinA,则cosB=( ).
A.-12 B.12 C.-32 D.32
【解析】由正弦定理,得b3cosB=asinA,∴sinB3cosB=sinAsinA,∴tanB=3,又0
4.(2017龙泉二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3cosAcosC=ac,且a2-c2=2b,则b等于( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由3cosAcosC=ac得acosC=3ccosA,
则a·a2+b2-c22ab=3c·b2+c2-a22bc,整理得2(a2-c2)=b2.又a2-c2=2b,∴4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).
【答案】D
5.(2017甘肃二诊)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件中,能使得△ABC的形状唯一确定的是( ).
①a=1,b=2,c∈Z;
②A=150°,asinA+csinC+2asinC=bsinB;
③a=5,b=2,A=30°;
④C=60°,cosAsinBcosC+cos(B+C)cosBcosC=0.
A.①③ B.①②③ C.①② D.②③④
【解析】②中,由正弦定理可知a2+c2+2ac=b2,∴cosB=a2+c2-b22ac=-22,此时A=150°,B=135°,三角形无解.
④中,-cos(B+C)sinBcosC+cos(B+C)cosBcosC=0,
∴cos(B+C)cosC(cosB-sinB)=0,
则B=45°或B+C=90°,B=30°,
三角形的解不唯一.
排除②④两种说法,只有选项A符合题意.
【答案】A
6.(2017徐州质检)江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则这两条船相距 m.
【解析】如图,OA为炮台,M,N为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°,OM=AOtan45°=30m,ON=AOtan60°=303=103m.
∴MN=900+300-2×30×103×32=103m.
【答案】103
7.(2017重庆二诊)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若△ABC的面积为a2+b2-c243,则C= .
【解析】由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC,又12absinC=a2+b2-c243,联立两式得,12absinC=2abcosC43,∴tanC=33,即C=30°.
【答案】30°
8.(2017娄底二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=45,c=5,且B=2C,点D为边BC上的一点,且CD=3,则△ADC的面积为 .
【解析】由正弦定理得5sinC=45sinB=452sinCcosC,可得cosC=25,∴S△ADC=12CD·ACsinC=12×3×45×15=6.
【答案】6
9.(2017山西二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=( ).
A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=2b2(1-cosA),∴2b2(1-sinA)=2b2(1-cosA),∴sinA=cosA,即tanA=1,又0
10.(2017广安二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinAa=sinB2b,则cosB的值为( ).
A.32 B.12 C.-12 D.-32
【解析】由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC,结合已知sinAa=sinB2b,故有sinB=2sinB2cosB2=sinB2,解得cosB2=12.因为0
11.(2017重庆月考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1,AC=2,BD=23,∠ACD=60°,则AD=( ).
A.2 B.7 C.19 D.13-63
【解析】由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°,解得BC=3,则AC2=AB2+BC2,故BC⊥AB,又AB∥CD,所以BC⊥CD.在Rt△BCD中,CD=BD2-BC2=12-3=3.在△ACD中,由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos60°=7,所以AD=7.
【答案】B
12.(2017马鞍山三模)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(c+b)(sinC-sinB)=a(sinA-sinB).若c=23,则a2+b2的取值范围是 .
【解析】由正弦定理得(c+b)(c-b)=a(a-b)⇒c2-b2=a2-ab,
所以cosC=a2+b2-c22ab=12,解得C=π3,
则asinA=bsin2π3-A=csinC=4,
所以a=4sinA,b=4sin2π3-A,
所以a2+b2=16sin2A+16sin22π3-A
=16×1-cos2A2+16×1-cos4π3-2A2
=16-812cos2A-32sin2A=16-8cos2A+π3.
因为△ABC是锐角三角形,所以A∈π6,π2,
所以2A+π3∈2π3,4π3,
所以cos2A+π3∈-1,-12,
所以a2+b2=16-8cos2A+π3∈(20,24].
【答案】(20,24]
13.(2017漳州质检)如图所示,已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b≠c,且bcosB=ccosC,延长线段BC到点D,使得BC=4CD=4,∠CAD=30°.
(1)求证:∠BAC是直角.
(2)求tan∠ADC的值.
【解析】(1)因为bcosB=ccosC,
由正弦定理,得sinBcosB=sinCcosC,
所以sin2B=sin2C,又b≠c,
所以2B=π-2C,
所以B+C=π2,
所以A=90°,即∠BAC是直角.
(2)设∠ADC=α,CD=1,BC=4,
在△ABC中,因为∠BAC=90°,∠ACB=30°+α,
所以cos(30°+α)=ACBC,所以AC=4cos(30°+α).
在△ADC中,ACsinα=CDsin∠CAD,即ACsinα=112=2,
所以AC=2sinα,
所以2cos(30°+α)=sinα,
即232cosα-12sinα=sinα,整理得3cosα=2sinα,
所以tanα=32,即tan∠ADC=32.
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