江西省萍乡市2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学（文）（含答案）

准考证号　　　　　　姓名　　　　　　

绝密★启用前　　　　　　　　　　　　（在此卷上答题无效）

萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷

文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．

 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．

3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是

A.      B.        C.        D.

（2）已知复数满足(为虚数单位)，则=

A.      B.         C.        D.

（3）下列函数中,在上单调递增的是

A.     B.     C.              D.

（4）已知，均为单位向量，它们的夹角为，则

A.  B.  C.  D. 13

（5）已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

（6）2021年3月12日是全国第43个植树节，为提高大家爱劳动的意识，某中学组织开展植树活动，并收集了高三年级1～11班植树量的数据(单位:棵)，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论不正确的是

A. 各班植树的棵数不是逐班增加的

B. 4班植树的棵数低于11个班的平均值

C. 各班植树棵数的中位数为6班对应的植树棵数

D. 1至5班植树的棵数相对于6至11班，波动更小，变化比较平稳

（7）函数的图像沿轴向右平移个单位()，所得图像关于轴对称，则的最小值为

A.         B.         C.          D.

（8）执行如图所示的程序框图，则输出的值为

A.     B.     C.      D.

（9）已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则

A. 4      B. 8       C. 10         D. 16

（10）已知球夹在一个二面角之间，与两个半平面分别相切于点.若，球心到该二面角的棱的距离为2，则球的表面积为

A.                  B.                C.            D.

（11）2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，则在两个大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为

图1                                 图2

A.     B.       C.              D.

（12）若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是

A.     B.      C.     D.

萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷

文 科 数 学

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分．

（13）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为          .

（14）函数在点处的切线与直线垂直，则实数的值为          .

（15）在中，，其内切圆半径为，则其外接圆半径为          .

（16）在中，，以为焦点的双曲线的一支经过顶点，另一支交线段于点，，为双曲线的离心率. 设，当时，的取值范围是         .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 

（17）（本小题满分12分）

某中学高三共男生800人，女生1200人.现学校某兴趣小组为研究学生日均消费水平是否与性别有关，采用分层抽样的方式从高三年级抽取男女生若干人.记录其日均消费，得到如图所示男生日均消费的茎叶图和女生日均消费的频率分布直方图.将所抽取女生的日均消费分为以下五组：，规定日均消费不超过25元的人为“节俭之星”.

（1）请完成下面的列联表；

根据以上的列联表，能否有90%的把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关？

（2）现已知学校某小组有6名“节俭之星”，其中男生2人，女生4人.现从中选取2人在学校做勤俭节约宣讲活动报告，求选取的2人中至少有一名男生的概率.

附：，其中.

（18）（本小题满分12分）

已知等比数列各项均为正数，为其前项和.若对任意正整数，有恒成立，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

（19）（本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆，为其左右顶点，点坐标为，为椭圆的半焦距，且有.椭圆的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，为椭圆上不重合两点，且的中点落在直线上，求面积的最大值.

（21）（本小题满分12分）

已知，且.

（1）当时，求证：恒成立；

（2）令，当时，无零点，求的取值范围.

请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.　　　　　　　

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，为曲线（为参数）上的动点，将点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得点，记点轨迹为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）是曲线上异于极点的两点，且，求的取值范围.

（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知．

（1）关于的不等式有解，求实数的取值范围；

（2）设，且，求证：．

萍乡市2020－2021学年度高三二模考试试卷

文科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题（12×5=60分）：CDCAD； CDDBA；BC．

二、填空题（4×5=20分）：13．；   14．；   15．；     16．．

三、解答题（共75分）：

17. （1）由茎叶图可知此次抽样男生共20人，由于采用分层抽样的方式，抽取女生人数为30人.依题意：男“节俭之星”共7人，女“节俭之星”共18人，填表如下：

…………………2分

从而 ………………………………………………5分

故有90％把握认为学生是否为“节俭之星”与性别有关. ………………………………………6分

（2）记2名男生分别为A1,A2,记4名女生为B1,B2,B3,B4,则从这6名“节俭之星”选取2名的所有可能有：（A1,A2）（A1,B1）（A1,B2）（A1,B3）（A1,B4）

（A2,B1）（A2,B2）（A2,B3）（A2,B4）

（B1,B2）（B1,B3）（B1,B4）

（B2,B3）（B2,B4）

（B3,B4）………………………………………………………………………………9分

共15种，其中至少有1名男生的情况有9种，因此，所求概率为……………………12分

18. （1）设等比数列的公比为，首项为

由，……………………………………………………2分

由于，

所以，故，故…………………………………………6分

（2），则………9分

故…………………12分

19. （1）取中点，连接，由题知，为的平分线，

设点是点在平面上的射影，由题知，点在上

连接，则平面.

平面平面，平面平面，

平面，平面

……………………………………………………………2分

和平面所成的角为，即，

又，四边形为平行四边形，…………………………………5分

平面，平面，平面……………………………………6分

（2）设点B到平面ADE的距离为

由得：…………………………………………………8分

………………………………………………………………10分

解得…………………………………………………………………………………………12分

20. （1）依题意：，则……………………1分

，即，又，解得………………3分

所以椭圆方程为：………………………………………………………………………4分

（2）设，则，因为在椭圆上，有：

………………………………6分

设直线：，联立

………………8分

又，得

所以，

原点O到直线MN的距离……………………………………………………10分

故………………………………………11分

当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为1. ……………12分

21. （1）依题意：当时，，则.…………1分

令，则恒成立.在上单调递增………………3分

，即恒成立，在上单增，即证…5分

（2）[解法1]：

……………………………………………………………………………6分

当时， 在递增，，

，所以存在使……………………………………8分

当，单调递减，当，单调递增

又，

故存在唯一的零点使…………………………………………………………10分

当时，由得，可证：

在上恒成立。故在无零点…………………………………11分

综上所述：……………………………………………………………………………………12分

[解法2]：，令，则……………………………………………………………………………………6分

设，则……………………7分

令…………………………………………………8分

则，，恒成立

在上单调递减，又，所以恒成立

，即在上单调递减，则………………………………10分

无零点，即为所求……………………………………………………………12分

22. （1）曲线化为普通方程为： ，……………………1分

设P点坐标为，Q点坐标为，

则有，…………………………………………………………3分

消去有，即，此式即为的普通方程.

∴曲线的极坐标方程为.  …………………………………………………………5分

（2）设，（），…………………………………………6分

∴

，………………………………………………………………8分

因为，所以的取值范围是.……………………10分

23. （1）由 ………………………………………2分

所以原不等式等价于 ，得，或 …………………………………………4分

     ………………………………………………………………………5分

（2）由（1）知 ，即……………………………………………6分

…………………………8分

……………………………………………………………10分