东北两校（大庆实验中学、吉林一中）高三4月下学期联考模拟考试数学（文）（含答案）

2021年高三联合模拟考试

数    学（文科）

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）

一、选择题：本题共 12 个小题，每题 5 分，共计 60 分

1．若集合，集合，则

A．        B．        C．        D．

2．若，，则复数的模是

A．           B．               C．            D．

3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“棉花，分别赠送给个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花

A．　　　　B．            C．         D．

4．抛物线的准线方程是

A．       B．            C．         D．

5. 函数的图象过定点，且角的终边过点，则的值为

A.         B.           C.         D.

6. 我们可以用随机数法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数)．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为

A．        B．        

C．         D．

7．设，则“”是“直线与直线平行”的

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

8. 曲线在点处的切线截圆所得的弦长为

A．　　　　　　　　B．            C．           D.

9．已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称．以下关于的结论：

①是周期函数；         ②满足；

③在上单调递减；  ④是满足条件的一个函数．

其中所有正确的结论是

A．①②③④           B． ②③④         C．①②④      D．①④

10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.

则下列关于函数的结论正确的是

A．最大值为1，图象关于直线对称   B．为奇函数，在上单调递增

C．为偶函数，在上单调递增    D．周期为，图象关于点对称

11．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，，，且，，则球的表面积为

A．             B．            C．         D．

12．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）

二、填空题：本题共 4 个小题，每题 5 分，共计 20 分.把答案填在答题卡相应位置

13．向量，，若，则实数的值为________．

14. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为________．        

15．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在一点A，使,且，则双曲线的离心率为________．

16. 已知中，角对应的边分别为，且，，则的最大值为________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

17. （本小题满分12分）已知数列是递增的等差数列，满足，的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

18．（本小题满分12分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗种植.工作小组根据市场前景重点考察了A，B两种景观树苗，为对比两种树苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种树苗A，B各50株，试验发现有80%的树苗成活，未成活的树苗A，B株数之比为1：3.

（1）完成2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为树苗A，B的成活率有差异？

（2）已知A树苗经引种成活后再经过1年的生长即可作为景观树A在市场上出售，但每株售价y（单位：百元）受其树干的直径x（单位：cm）影响，扶贫工作小组对一批已出售的景观树A的相关数据进行统计，得到结果如下表：

根据上述数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？并用相关系数r加以说明.（一般认为，为高度线性相关）

参考公式及数据：

相关系数.14

19.（本小题满分12分）已知在等腰梯形(如图①)中，∥，，，是的中点，将沿折起，构成四棱锥 (如图②)．

(1)求证：；

(2)当时，求三棱锥的体积．

20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线交于，记点的轨迹为.

(1)求轨迹的方程；

(2)若过点的直线与轨迹交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）已知函数.

(1)求函数极值；

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）(选修4—4：坐标系与参数方程)

在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的直角坐标方程．

(2)若直线与曲线交于不同的两点，且，求实数的值．

23.（本小题满分10分）(选修4—5：不等式选讲)

已知函数，记不等式的解集为.

（1）求；

（2）设，证明：.

2021年高三联合模拟考试

数学（文科）参考答案                            

一、选择题

二、填空题

三、解答题

17．解：(1)设数列{an}的公差为d，由a2＋a3＋a4＝15得a3＝5，

由a2是a1和a5的等比中项，得a＝a1·a5，2

所以(5－d)2＝(5－2d)(5＋2d)，解得d＝0或d＝2，-----------------2分

因为数列{an}为递增数列，所以d＝2.又a3＝5，所以a1＝1，------------4分

所以an＝2n－1.------------------------------6分

(2)bn＝＝＝，--------------8分

所以Sn＝----------------10分

＝＝.------------12分

18．【解析】试验发现有80%的树苗成活，故不成活20株，未成活的树苗A，B株数之比为1：3.树苗未成活有5株，成活45株，树苗未成活有15株，成活35株，--------------2分

（1）列联表如下：

------------------------3分

-------------5分

故没有99%的把握认为二者有差异-------------6分

（2）.---------------------8分

.------------11分

故可以用线性回归模型拟合.-----------------------12分

19． (1)证明：如图，取AD中点K，连接PK，BK，BD.

在图①中，AB∥EC，AB＝EC，D是EC的中点，

∴AB∥DC，又AB=DC

∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAB＝60°.

∴∠EAD＝60°，AE＝AD＝BC.∴△EAD为等边三角形，

∴PA＝PD，∵K为AD的中点，∴PK⊥AD.---------2分

又AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB为等边三角形，则AB＝BD，则BK⊥AD.--------------4分

又PK∩BK＝K，------------------5分

∴AD⊥平面PBK，∴AD⊥PB.-------------------6分

(2)由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PK⊂平面PAD，

PK⊥AD，得PK⊥平面ABCD.----------------8分

由AB＝BC＝4，∠ABC＝120°，得S△ABC＝4 .-----------10分

又PK＝2 ，

∴三棱锥C­PAB的体积VC­PAB＝VP­ABC＝×4 ×2 ＝8.------------12分

20. 解：(1)由题得＋＝＝4，∴点Q的轨迹E是以F1，F2为焦点的椭圆，

其中2a＝4,2c＝2∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3，

故所求C的方程为＋＝1.-----------------------------4分

(2)假设存在M，使得·为定值，联立得y2＋6my－9＝0，

设A，B，则y1＋y2＝－，y1·y2＝－，----------------7分

＝，＝，

·＝·＋y1·y2＝y1·y2＋m＋2

---------------------8分

＝＋m＋(1－x0)2＝＋2.-----------9分

要使上式为定值，即与m无关，应有＝－，--------------------10分

解得x0＝，此时·＝－，-------------------11分

所以，存在点M使得·＝－为定值．---------------12分

21解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.

若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．-------------2分

若a<0，则当x∈时，f′(x)>0， f(x)在上单调递增；

当x∈时，f′(x)<0，在上单调递减，

f(x)有极大值为，无极小值--------------4分

(2) 令，则．--------------5分

由，故存在，使得，

即 ． ---------------6分

所以，当时，；当时，．

故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，----------------7分

故函数-------------9分

，--------------------10分

因为，所以，--------------11分

故，

即．--------------------12分

22. 解：(1)因为2ρ2－ρ2cos2θ＝8，且ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，所以2(x2＋y2)－x2＝8，

故曲线C的直角坐标方程为＋＝1.-------------------5分

(2)将直线l的参数方程代入曲线C，得2＋22＝8，

整理得4t2＋2at＋3a2－24＝0，由Δ＝2－16＝24>0，

解得－4<a<4.设A，B所对应的参数分别为t1，t2，所以t1＋t2＝－，t1t2＝，

所以＝＝＝＝＝3，

解得a＝－2或a＝2.----------------------10分

23.【解析】（1），

由，解得，故.-----------------------5分

（2）证明：因为，所以，，

所以，

所以.---------------------10分