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2021年四川省成都市大邑县、邛崃市、彭州市中考数学一诊试卷（Word版 含解析）
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这是一份2021年四川省成都市大邑县、邛崃市、彭州市中考数学一诊试卷（Word版 含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣2035的绝对值是（ ）
A．B．C．﹣2035D．2035
2．如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
3．杜甫草堂坐落在成都市西门外的浣花溪畔，是中国唐代大诗人杜甫流寓成都时的故居，是中国规模最大、保存最完好、知名度最高且最具特色的杜甫行踪遗迹地，年游客量达百万余人次，100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×105B．1×106C．1×107D．1×108
4．计算3a2bc﹣4a2bc的结果是（ ）
A．a2bcB．﹣a2bcC．7a2b cD．﹣1
5．在2，6，5，3，2这列数中，众数和中位数分别是（ ）
A．5，2B．3，2C．2，3D．3，6
6．二次根式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥B．x＞C．x≤D．x＜
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，csA＝，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝（ ）
A．10B．11C．D．
9．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127°B．108°C．126°D．125°
10．已知y＝3x2的图象是抛物线，把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，那么平移后的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+2B．y＝3（x+2）2﹣2
C．y＝3（x﹣2）2﹣2D．y＝3（x+2）2+2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡上）
11．分解因式：6m﹣3m2＝ ．
12．已知反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象上一点P，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP且△PMO的面积为3，则k的值是 ．
13．半径为12cm，则45°的圆心角所对的弧长是 cm．
14．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝2，BC＝4，则△ABE的周长＝ ．
三、解答题（本大题6小题，共54分）
15．（1）计算：
（2）在如图所示的坐标系中，分别作出函数y＝﹣x﹣4和y＝2x+2的图象，并利用图象直接写出方程组的解．
16．先化简，再求值：，其中x＝6．
17．如图，为了测量小河对岸一座小山BC的高度，某测绘小组先在斜坡上的D处，测得小山顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE＝2m．斜坡AD的坡度i＝1：3（坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示），然后在A处测得小山顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求小山BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
18．“赏中华诗词，寻文化基因”，我市某校举办了首届“中国诗词大会”，赛后调查整理部分参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如两幅不完整的统计图．
请结合图表完成下列各题：
（1）求被调查的总人数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生B和男生M的概率．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（﹣2，2），对角线AC∥x轴，边BC所在直线y1＝k1x+b与反比例函数y＝﹣（k＞0）的图象交于C，E两点．
（1）求y1和y2的函数解析式；
（2）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请求出点P的坐标．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．
（1）求证：∠D＝∠AEC；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡上）
21．比较大小：2.236 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
22．设方程x2﹣17x+60＝0的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是 ．
23．从0，1，2，3，4这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y＝（5﹣m2）x和关于x的不等式组中m的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且不等式组无解的概率为 ．
24．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．将线段AB沿直线y＝k2x+b进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上．当线段A1B1与x轴有交点时，b的取值的最大值是 ．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，点R是PC的中点，连接AR、QR，设AP为x，四边形ABQR面积为y，则y与x的函数关系式为（含自变量的取值范围） ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分。解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
26．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
27．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：
（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；
（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，∠B＝∠C＝α（0＜α＜60°）．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设∠CPQ﹣β．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP∽△PCQ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP∽△QCP？
（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．
28．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D，如图1所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2所示，抛物线的对称轴与x轴交于点N，连接CN，将△OCN绕着点N顺时针旋转得到△O'C'N，在旋转过程中，连接OO'，当首次出现∠O'ON＝∠OCN时．求直线C'O'的函数表达式．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2035的绝对值是（ ）
A．B．C．﹣2035D．2035
解：∵一个负数的绝对值是它的相反数，
∴﹣2035的绝对值是2035．
故选：D．
2．如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
解：从正面看易得此几何体的主视图是一个梯形．
故选：C．
3．杜甫草堂坐落在成都市西门外的浣花溪畔，是中国唐代大诗人杜甫流寓成都时的故居，是中国规模最大、保存最完好、知名度最高且最具特色的杜甫行踪遗迹地，年游客量达百万余人次，100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×105B．1×106C．1×107D．1×108
解：100万＝1000000＝1×106．
故选：B．
4．计算3a2bc﹣4a2bc的结果是（ ）
A．a2bcB．﹣a2bcC．7a2b cD．﹣1
解：3a2bc﹣4a2bc
＝﹣a2bc．
故选：B．
5．在2，6，5，3，2这列数中，众数和中位数分别是（ ）
A．5，2B．3，2C．2，3D．3，6
解：将这组数据重新排列为2、2、3、5、6，
所以这组数据的众数为2，中位数为3，
故选：C．
6．二次根式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥B．x＞C．x≤D．x＜
解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣3≥0，
解得x≥．
∴x的取值范围是x≥．
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，csA＝，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，
∴，即，解得AB＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC＝，
故选：A．
8．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝（ ）
A．10B．11C．D．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得，EF＝，
∴DF＝DE+EF＝，
故选：D．
9．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127°B．108°C．126°D．125°
解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°
故选：C．
10．已知y＝3x2的图象是抛物线，把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，那么平移后的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+2B．y＝3（x+2）2﹣2
C．y＝3（x﹣2）2﹣2D．y＝3（x+2）2+2
解：∵y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，得新抛物线顶点坐标为（2，2），
∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴平移后的抛物线的解析式是y＝3（x﹣2）2+2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡上）
11．分解因式：6m﹣3m2＝ 3m（2﹣m） ．
解：6m﹣3m2＝3m（2﹣m）．
故答案为：3m（2﹣m）．
12．已知反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象上一点P，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP且△PMO的面积为3，则k的值是 6 ．
解：设点P的坐标为（a．b），
∵点P在第二象限，
∴a＜0，b＞0．
∴OM＝﹣x，PM＝y．
∵△PMO的面积为3，
∴PM•OM＝3．
∴（﹣a）•b＝3．
∴ab＝﹣6．
∵点P在反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象上，
∴b＝﹣．
∴k＝﹣ab＝6．
故答案为：6．
13．半径为12cm，则45°的圆心角所对的弧长是 3π cm．
解：根据弧长公式得，
l＝＝3π（cm），
故答案为：3π．
14．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝2，BC＝4，则△ABE的周长＝ 6 ．
解：由作法得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝2+4＝6．
故答案为6．
三、解答题（本大题6小题，共54分）
15．（1）计算：
（2）在如图所示的坐标系中，分别作出函数y＝﹣x﹣4和y＝2x+2的图象，并利用图象直接写出方程组的解．
解：（1）
＝
＝；
（2）画出函数的图象如图：
如图所示：直线y＝2x+2与y＝﹣x﹣4的交点的坐标为（﹣2，﹣2），
∴方程组的解是．
16．先化简，再求值：，其中x＝6．
解：
＝1﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝，
当x＝6时，原式＝＝．
17．如图，为了测量小河对岸一座小山BC的高度，某测绘小组先在斜坡上的D处，测得小山顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE＝2m．斜坡AD的坡度i＝1：3（坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示），然后在A处测得小山顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求小山BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
解：如图，作DF⊥BC于F，
则四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE＝2m，DF＝EC，
∵AD的坡度i＝1：3，
∴AE＝6 m，
在Rt△BDF中，，
则 （m），
在Rt△BAC中，，
则BC＝AC•tan∠BAC＝AC，
∵BC﹣BF＝2m，
∴，
解得，，
∴BC＝AC＝（3+3） （m），
答：小山BC的高为m．
18．“赏中华诗词，寻文化基因”，我市某校举办了首届“中国诗词大会”，赛后调查整理部分参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如两幅不完整的统计图．
请结合图表完成下列各题：
（1）求被调查的总人数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生B和男生M的概率．
解：（1）被调查的总人数为3÷15%＝20（人）；
（2）B等级人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），
把条形统计图补充完整如图：
（3）根据题意画树状图如下：
从上图可知共有6种等可能情况，其中抽到女生B和男生M的情况有1种，
∴抽到女生B和男生M的概率为．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（﹣2，2），对角线AC∥x轴，边BC所在直线y1＝k1x+b与反比例函数y＝﹣（k＞0）的图象交于C，E两点．
（1）求y1和y2的函数解析式；
（2）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请求出点P的坐标．
解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，AC∥x轴，顶点A的坐标为（﹣2，2），
由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，
则点C的坐标为（4，2），
将点B、C的坐标代入直线的表达式得，
解得，
故y1＝x﹣．
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，
解得k＝8，
则y2＝；
（2）设点P的坐标为（x，0），
由点P、A、C的坐标得：AC2＝（4+2）2＝36，PA2＝（x+2）2+4，PC2＝（x﹣4）2+4，
由题意得：AC2＝PA2+PC2，即36＝（x+2）2+4+（x﹣4）2+4，
解得x＝1±，
故点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．
（1）求证：∠D＝∠AEC；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．
【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，∠ABC+∠DBC＝90°，
∵BC⊥OD，
∴∠D+∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠D，
∵∠AEC＝∠ABC，
∴∠D＝∠AEC；
（2）证明：连接AC，如图所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH•EA；
（3）解：连接BE，过O作OG⊥BE于G，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∵cs∠BCE＝，
∴cs∠BAE＝＝，
∴AE＝8，
∴BE＝＝＝6，
∵，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH•EA，
∴EH＝，
在Rt△BEH中，BH＝．
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BG＝3，
∴OG＝＝＝4，
∴BF•OE，
∴BF＝，
∴HF＝BH﹣BF＝．
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡上）
21．比较大小：2.236 ＜ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
解：∵≈2.23606……，
∴2.236＜．
故答案为：＜．
22．设方程x2﹣17x+60＝0的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是 ．
解：解方程x2﹣17x+60＝0，得x1＝5，x2＝12，
则Rt△ABC的两条直角边的长为5和12，
由勾股定理得，Rt△ABC的斜边长＝＝13，
∴Rt△ABC外接圆的半径为，
故答案为：．
23．从0，1，2，3，4这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y＝（5﹣m2）x和关于x的不等式组中m的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且不等式组无解的概率为 ．
解：在0，1，2，3，4这五个数中，使函数y＝（5﹣m2）x的图象经过第二、四象限，即5﹣m2＜0的m的值为3或4，
不等式组中①的解集为x≤3，不等式②的解集为x＞m，要使不等式组无解，此时m≥3，因此m的值可以为3或4，
所以0，1，2，3，4这五个数中，符合要求的有两个，
因此，相应的概率为，
故答案为：．
24．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．将线段AB沿直线y＝k2x+b进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上．当线段A1B1与x轴有交点时，b的取值的最大值是 ．
解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
∴m（m+1）＝（m+3）（m﹣1）＝k．
解得：m＝3．
∴点A（3，4），B（6，2），
当点B1落到x轴上时，b的取值的最大，如图，
设直线OA的解析式为y＝ax，
∵点A的坐标为（3，4），
∴3a＝4，即a＝．
∴直线OA的解析式为y＝x．
∵点A1始终在直线OA上，
∴直线y＝kx+b与直线OA垂直．
∴k＝﹣．
由于BB1∥OA，因此直线BB1可设为y＝x+c．
∵点B的坐标为（6，2），
∴×6+c＝2，即c＝﹣6．
∴直线BB1解析式为y＝x﹣6．
当y＝0时，x﹣6＝0．则有x＝．
∴点B1的坐标为（，0）．
∵点C是BB1的中点，
∴点C的坐标为（，1）．
∵点C在直线y＝﹣x+b上，
∴﹣×+b＝1．
解得：b＝，
故答案为．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，点R是PC的中点，连接AR、QR，设AP为x，四边形ABQR面积为y，则y与x的函数关系式为（含自变量的取值范围） y＝4+（0＜x＜4） ．
解：过点Q作QD⊥AB，
∵∠QPR＝∠PAC＝90°，
∴∠DPQ＝∠ACP，
∵∠DQP＝∠PAC＝90°，
∴△DPQ∽△ACP，
∴，
∵PD＝4﹣x﹣QD，
∴＝，
∴QD＝，
∴S△PQB＝＝．
∵S△ABC＝＝8，
∴S四边形APQC＝8﹣．
∵R是CP的中点，
∴S四边形APQR＝S四边形APQC＝4﹣，
∴y＝S△PQB+S四边形APQR＝+4﹣＝4+（0＜x＜4）．
故答案为：y＝4+（0＜x＜4）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分。解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
26．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，可得：，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
x+20＝70，
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900，
解得：y≤18.75，
由题意可得，最多可购买18个乙种足球，
答：这所学校最多可购买18个乙种足球．
27．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：
（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；
（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，∠B＝∠C＝α（0＜α＜60°）．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设∠CPQ﹣β．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP∽△PCQ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP∽△QCP？
（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．
解：（1）DE＝BD+CE．
证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）在△ABP中，∠APC＝∠B+∠2＝α+∠2＝30°+β，
∴∠1＝150°﹣β，
同理可得：∠2＝30°+β﹣α；
由β＝∠2或∠1＝∠CQP，
即∠2＝30°+β﹣α＝β，
解得α＝30°，则△ABP∽△PCQ；
∴当β在许可范围内变化时，α＝30°时，总有△ABP∽△PCQ；
由β＝∠1或∠2＝∠CQP，
同理可得：β＝75°．
∴当α在许可范围内变化时，β＝75°总有△ABP∽△QCP；
（3）可能．
①当α＝30°，β＝30°时，
则∠2＝∠B＝α＝30°，
则△ABP∽△PCQ∽△BCA；
②当β＝75°，α＝52.5°时，
同理可得：∠1＝150°﹣β＝75°＝β，∠2＝30°+β﹣α＝52.5°＝α，
∴△ABP∽△CQP∽△BCA．
28．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D，如图1所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2所示，抛物线的对称轴与x轴交于点N，连接CN，将△OCN绕着点N顺时针旋转得到△O'C'N，在旋转过程中，连接OO'，当首次出现∠O'ON＝∠OCN时．求直线C'O'的函数表达式．
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由：
由（1）知，点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点Q（x，0），
当AC是边时，
点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，则Q（P）P向右平移1个单位向上平移3个单位得到点（Q），
则0±3＝﹣m2+2m+3，
解得m＝0（舍去）或2或1，
故点P的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
当AC是对角线时，
由中点公式得：（0+3）＝（0﹣m2+2m+3），解得m＝0（舍去）或2，
故点P的坐标为（2，3）；
综上，点P的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
（3）∵ON＝O′N＝1，∠O'ON＝∠OCN，
∴tan∠O′OB＝tan∠OCN＝＝，
故点O′作O′M⊥x轴于点M，
在Rt△O′OM中，设O′M＝x，则OM＝3x，则MN＝3x﹣1，
在Rt△NO′M中，O′M2+MN2＝O′N2，即1＝x2+（3x﹣1）2，解得x＝，
则NM＝3x﹣1＝，则OM＝1+＝，
则点O′的坐标为（，），
由点NO′的坐标得，直线NO′的表达式为y＝x﹣，
设直线O′C′交x轴于点H，
则在Rt△O′NH中，tan∠O′MH＝，则tan∠O′HN＝，
则设直线O′C′的表达式为y＝﹣x+t，
将点O′的坐标代入上式并解得t＝3，
故直线C'O'的表达式为y＝﹣x+3．
1．﹣2035的绝对值是（ ）
A．B．C．﹣2035D．2035
2．如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
3．杜甫草堂坐落在成都市西门外的浣花溪畔，是中国唐代大诗人杜甫流寓成都时的故居，是中国规模最大、保存最完好、知名度最高且最具特色的杜甫行踪遗迹地，年游客量达百万余人次，100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×105B．1×106C．1×107D．1×108
4．计算3a2bc﹣4a2bc的结果是（ ）
A．a2bcB．﹣a2bcC．7a2b cD．﹣1
5．在2，6，5，3，2这列数中，众数和中位数分别是（ ）
A．5，2B．3，2C．2，3D．3，6
6．二次根式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥B．x＞C．x≤D．x＜
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，csA＝，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝（ ）
A．10B．11C．D．
9．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127°B．108°C．126°D．125°
10．已知y＝3x2的图象是抛物线，把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，那么平移后的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+2B．y＝3（x+2）2﹣2
C．y＝3（x﹣2）2﹣2D．y＝3（x+2）2+2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡上）
11．分解因式：6m﹣3m2＝ ．
12．已知反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象上一点P，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP且△PMO的面积为3，则k的值是 ．
13．半径为12cm，则45°的圆心角所对的弧长是 cm．
14．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝2，BC＝4，则△ABE的周长＝ ．
三、解答题（本大题6小题，共54分）
15．（1）计算：
（2）在如图所示的坐标系中，分别作出函数y＝﹣x﹣4和y＝2x+2的图象，并利用图象直接写出方程组的解．
16．先化简，再求值：，其中x＝6．
17．如图，为了测量小河对岸一座小山BC的高度，某测绘小组先在斜坡上的D处，测得小山顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE＝2m．斜坡AD的坡度i＝1：3（坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示），然后在A处测得小山顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求小山BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
18．“赏中华诗词，寻文化基因”，我市某校举办了首届“中国诗词大会”，赛后调查整理部分参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如两幅不完整的统计图．
请结合图表完成下列各题：
（1）求被调查的总人数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生B和男生M的概率．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（﹣2，2），对角线AC∥x轴，边BC所在直线y1＝k1x+b与反比例函数y＝﹣（k＞0）的图象交于C，E两点．
（1）求y1和y2的函数解析式；
（2）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请求出点P的坐标．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．
（1）求证：∠D＝∠AEC；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡上）
21．比较大小：2.236 ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
22．设方程x2﹣17x+60＝0的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是 ．
23．从0，1，2，3，4这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y＝（5﹣m2）x和关于x的不等式组中m的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且不等式组无解的概率为 ．
24．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．将线段AB沿直线y＝k2x+b进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上．当线段A1B1与x轴有交点时，b的取值的最大值是 ．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，点R是PC的中点，连接AR、QR，设AP为x，四边形ABQR面积为y，则y与x的函数关系式为（含自变量的取值范围） ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分。解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
26．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
27．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：
（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；
（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，∠B＝∠C＝α（0＜α＜60°）．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设∠CPQ﹣β．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP∽△PCQ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP∽△QCP？
（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．
28．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D，如图1所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2所示，抛物线的对称轴与x轴交于点N，连接CN，将△OCN绕着点N顺时针旋转得到△O'C'N，在旋转过程中，连接OO'，当首次出现∠O'ON＝∠OCN时．求直线C'O'的函数表达式．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．﹣2035的绝对值是（ ）
A．B．C．﹣2035D．2035
解：∵一个负数的绝对值是它的相反数，
∴﹣2035的绝对值是2035．
故选：D．
2．如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
解：从正面看易得此几何体的主视图是一个梯形．
故选：C．
3．杜甫草堂坐落在成都市西门外的浣花溪畔，是中国唐代大诗人杜甫流寓成都时的故居，是中国规模最大、保存最完好、知名度最高且最具特色的杜甫行踪遗迹地，年游客量达百万余人次，100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×105B．1×106C．1×107D．1×108
解：100万＝1000000＝1×106．
故选：B．
4．计算3a2bc﹣4a2bc的结果是（ ）
A．a2bcB．﹣a2bcC．7a2b cD．﹣1
解：3a2bc﹣4a2bc
＝﹣a2bc．
故选：B．
5．在2，6，5，3，2这列数中，众数和中位数分别是（ ）
A．5，2B．3，2C．2，3D．3，6
解：将这组数据重新排列为2、2、3、5、6，
所以这组数据的众数为2，中位数为3，
故选：C．
6．二次根式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥B．x＞C．x≤D．x＜
解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣3≥0，
解得x≥．
∴x的取值范围是x≥．
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，csA＝，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，
∴，即，解得AB＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC＝，
故选：A．
8．如图，已知l1∥l2∥l3，AB＝3，DE＝4，BC＝8，则DF＝（ ）
A．10B．11C．D．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，即＝，
解得，EF＝，
∴DF＝DE+EF＝，
故选：D．
9．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是（ ）
A．127°B．108°C．126°D．125°
解：∵∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°
故选：C．
10．已知y＝3x2的图象是抛物线，把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，那么平移后的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2+2B．y＝3（x+2）2﹣2
C．y＝3（x﹣2）2﹣2D．y＝3（x+2）2+2
解：∵y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线分别向上、向右均平移2个单位，得新抛物线顶点坐标为（2，2），
∵平移不改变抛物线的二次项系数，
∴平移后的抛物线的解析式是y＝3（x﹣2）2+2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡上）
11．分解因式：6m﹣3m2＝ 3m（2﹣m） ．
解：6m﹣3m2＝3m（2﹣m）．
故答案为：3m（2﹣m）．
12．已知反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象上一点P，过点P作PM⊥x轴于点M，连接OP且△PMO的面积为3，则k的值是 6 ．
解：设点P的坐标为（a．b），
∵点P在第二象限，
∴a＜0，b＞0．
∴OM＝﹣x，PM＝y．
∵△PMO的面积为3，
∴PM•OM＝3．
∴（﹣a）•b＝3．
∴ab＝﹣6．
∵点P在反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象上，
∴b＝﹣．
∴k＝﹣ab＝6．
故答案为：6．
13．半径为12cm，则45°的圆心角所对的弧长是 3π cm．
解：根据弧长公式得，
l＝＝3π（cm），
故答案为：3π．
14．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝2，BC＝4，则△ABE的周长＝ 6 ．
解：由作法得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝2+4＝6．
故答案为6．
三、解答题（本大题6小题，共54分）
15．（1）计算：
（2）在如图所示的坐标系中，分别作出函数y＝﹣x﹣4和y＝2x+2的图象，并利用图象直接写出方程组的解．
解：（1）
＝
＝；
（2）画出函数的图象如图：
如图所示：直线y＝2x+2与y＝﹣x﹣4的交点的坐标为（﹣2，﹣2），
∴方程组的解是．
16．先化简，再求值：，其中x＝6．
解：
＝1﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝，
当x＝6时，原式＝＝．
17．如图，为了测量小河对岸一座小山BC的高度，某测绘小组先在斜坡上的D处，测得小山顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度DE＝2m．斜坡AD的坡度i＝1：3（坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示），然后在A处测得小山顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求小山BC的高．（结果用含有根号的式子表示）
解：如图，作DF⊥BC于F，
则四边形DECF为矩形，
∴FC＝DE＝2m，DF＝EC，
∵AD的坡度i＝1：3，
∴AE＝6 m，
在Rt△BDF中，，
则 （m），
在Rt△BAC中，，
则BC＝AC•tan∠BAC＝AC，
∵BC﹣BF＝2m，
∴，
解得，，
∴BC＝AC＝（3+3） （m），
答：小山BC的高为m．
18．“赏中华诗词，寻文化基因”，我市某校举办了首届“中国诗词大会”，赛后调查整理部分参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如两幅不完整的统计图．
请结合图表完成下列各题：
（1）求被调查的总人数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生B和男生M的概率．
解：（1）被调查的总人数为3÷15%＝20（人）；
（2）B等级人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），
把条形统计图补充完整如图：
（3）根据题意画树状图如下：
从上图可知共有6种等可能情况，其中抽到女生B和男生M的情况有1种，
∴抽到女生B和男生M的概率为．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（﹣2，2），对角线AC∥x轴，边BC所在直线y1＝k1x+b与反比例函数y＝﹣（k＞0）的图象交于C，E两点．
（1）求y1和y2的函数解析式；
（2）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请求出点P的坐标．
解：（1）如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，AC∥x轴，顶点A的坐标为（﹣2，2），
由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，
则点C的坐标为（4，2），
将点B、C的坐标代入直线的表达式得，
解得，
故y1＝x﹣．
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，
解得k＝8，
则y2＝；
（2）设点P的坐标为（x，0），
由点P、A、C的坐标得：AC2＝（4+2）2＝36，PA2＝（x+2）2+4，PC2＝（x﹣4）2+4，
由题意得：AC2＝PA2+PC2，即36＝（x+2）2+4+（x﹣4）2+4，
解得x＝1±，
故点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）．
20．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．
（1）求证：∠D＝∠AEC；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．
【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，∠ABC+∠DBC＝90°，
∵BC⊥OD，
∴∠D+∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠D，
∵∠AEC＝∠ABC，
∴∠D＝∠AEC；
（2）证明：连接AC，如图所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH•EA；
（3）解：连接BE，过O作OG⊥BE于G，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴AB＝10，
∵cs∠BCE＝，
∴cs∠BAE＝＝，
∴AE＝8，
∴BE＝＝＝6，
∵，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH•EA，
∴EH＝，
在Rt△BEH中，BH＝．
∵OG⊥BE，OB＝OE，
∴BG＝3，
∴OG＝＝＝4，
∴BF•OE，
∴BF＝，
∴HF＝BH﹣BF＝．
一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卡上）
21．比较大小：2.236 ＜ ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
解：∵≈2.23606……，
∴2.236＜．
故答案为：＜．
22．设方程x2﹣17x+60＝0的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是 ．
解：解方程x2﹣17x+60＝0，得x1＝5，x2＝12，
则Rt△ABC的两条直角边的长为5和12，
由勾股定理得，Rt△ABC的斜边长＝＝13，
∴Rt△ABC外接圆的半径为，
故答案为：．
23．从0，1，2，3，4这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y＝（5﹣m2）x和关于x的不等式组中m的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且不等式组无解的概率为 ．
解：在0，1，2，3，4这五个数中，使函数y＝（5﹣m2）x的图象经过第二、四象限，即5﹣m2＜0的m的值为3或4，
不等式组中①的解集为x≤3，不等式②的解集为x＞m，要使不等式组无解，此时m≥3，因此m的值可以为3或4，
所以0，1，2，3，4这五个数中，符合要求的有两个，
因此，相应的概率为，
故答案为：．
24．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．将线段AB沿直线y＝k2x+b进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上．当线段A1B1与x轴有交点时，b的取值的最大值是 ．
解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．
∴m（m+1）＝（m+3）（m﹣1）＝k．
解得：m＝3．
∴点A（3，4），B（6，2），
当点B1落到x轴上时，b的取值的最大，如图，
设直线OA的解析式为y＝ax，
∵点A的坐标为（3，4），
∴3a＝4，即a＝．
∴直线OA的解析式为y＝x．
∵点A1始终在直线OA上，
∴直线y＝kx+b与直线OA垂直．
∴k＝﹣．
由于BB1∥OA，因此直线BB1可设为y＝x+c．
∵点B的坐标为（6，2），
∴×6+c＝2，即c＝﹣6．
∴直线BB1解析式为y＝x﹣6．
当y＝0时，x﹣6＝0．则有x＝．
∴点B1的坐标为（，0）．
∵点C是BB1的中点，
∴点C的坐标为（，1）．
∵点C在直线y＝﹣x+b上，
∴﹣×+b＝1．
解得：b＝，
故答案为．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，点R是PC的中点，连接AR、QR，设AP为x，四边形ABQR面积为y，则y与x的函数关系式为（含自变量的取值范围） y＝4+（0＜x＜4） ．
解：过点Q作QD⊥AB，
∵∠QPR＝∠PAC＝90°，
∴∠DPQ＝∠ACP，
∵∠DQP＝∠PAC＝90°，
∴△DPQ∽△ACP，
∴，
∵PD＝4﹣x﹣QD，
∴＝，
∴QD＝，
∴S△PQB＝＝．
∵S△ABC＝＝8，
∴S四边形APQC＝8﹣．
∵R是CP的中点，
∴S四边形APQR＝S四边形APQC＝4﹣，
∴y＝S△PQB+S四边形APQR＝+4﹣＝4+（0＜x＜4）．
故答案为：y＝4+（0＜x＜4）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分。解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
26．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，可得：，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
x+20＝70，
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900，
解得：y≤18.75，
由题意可得，最多可购买18个乙种足球，
答：这所学校最多可购买18个乙种足球．
27．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：
（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；
（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，∠B＝∠C＝α（0＜α＜60°）．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设∠CPQ﹣β．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP∽△PCQ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP∽△QCP？
（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．
解：（1）DE＝BD+CE．
证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）在△ABP中，∠APC＝∠B+∠2＝α+∠2＝30°+β，
∴∠1＝150°﹣β，
同理可得：∠2＝30°+β﹣α；
由β＝∠2或∠1＝∠CQP，
即∠2＝30°+β﹣α＝β，
解得α＝30°，则△ABP∽△PCQ；
∴当β在许可范围内变化时，α＝30°时，总有△ABP∽△PCQ；
由β＝∠1或∠2＝∠CQP，
同理可得：β＝75°．
∴当α在许可范围内变化时，β＝75°总有△ABP∽△QCP；
（3）可能．
①当α＝30°，β＝30°时，
则∠2＝∠B＝α＝30°，
则△ABP∽△PCQ∽△BCA；
②当β＝75°，α＝52.5°时，
同理可得：∠1＝150°﹣β＝75°＝β，∠2＝30°+β﹣α＝52.5°＝α，
∴△ABP∽△CQP∽△BCA．
28．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D，如图1所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2所示，抛物线的对称轴与x轴交于点N，连接CN，将△OCN绕着点N顺时针旋转得到△O'C'N，在旋转过程中，连接OO'，当首次出现∠O'ON＝∠OCN时．求直线C'O'的函数表达式．
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由：
由（1）知，点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点Q（x，0），
当AC是边时，
点A向右平移1个单位向上平移3个单位得到点C，则Q（P）P向右平移1个单位向上平移3个单位得到点（Q），
则0±3＝﹣m2+2m+3，
解得m＝0（舍去）或2或1，
故点P的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
当AC是对角线时，
由中点公式得：（0+3）＝（0﹣m2+2m+3），解得m＝0（舍去）或2，
故点P的坐标为（2，3）；
综上，点P的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；
（3）∵ON＝O′N＝1，∠O'ON＝∠OCN，
∴tan∠O′OB＝tan∠OCN＝＝，
故点O′作O′M⊥x轴于点M，
在Rt△O′OM中，设O′M＝x，则OM＝3x，则MN＝3x﹣1，
在Rt△NO′M中，O′M2+MN2＝O′N2，即1＝x2+（3x﹣1）2，解得x＝，
则NM＝3x﹣1＝，则OM＝1+＝，
则点O′的坐标为（，），
由点NO′的坐标得，直线NO′的表达式为y＝x﹣，
设直线O′C′交x轴于点H，
则在Rt△O′NH中，tan∠O′MH＝，则tan∠O′HN＝，
则设直线O′C′的表达式为y＝﹣x+t，
将点O′的坐标代入上式并解得t＝3，
故直线C'O'的表达式为y＝﹣x+3．
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