2020—2021学年苏科版七年级下数学期中模拟测试卷（Word版 含解析）

这是一份2020—2021学年苏科版七年级下数学期中模拟测试卷（Word版 含解析），共22页。试卷主要包含了填空题请把答案直接填写在横线上，解答题等内容，欢迎下载使用。
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝aB．a4+a3＝a7
C．（﹣a3 ）2＝﹣a6D．a4⋅a3＝a12
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．5x＝x+4xB．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．2x+3x2＝x2（2x+3）D．x2020+x＝x（x2019+1）
3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
C．（x﹣y）（﹣x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
4．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．22°B．20°C．25°D．30°
5．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E的大小为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
6．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a+b）＝a2+ab
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共20分）请把答案直接填写在横线上
7．计算：x（x﹣1）＝ ．
8．自然界中，花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000042毫克，0.000042用科学记数法表示为 ．
9．在第八章“幂的运算”中，我们学习了①同底数幂的乘法：am⋅an＝am+n；②积的乘方：（ab）n＝anbn；③幂的乘方：（am）n＝amn；④同底数幂的除法：am÷an＝am﹣n等运算法则，请问算式（-12x2y3）3＝（-12）3⋅（x2）3⋅（y3）3=-18x6y9中用到以上哪些运算法则 （填序号）．
10．计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝ ．
11．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 ．
12．a2b（x﹣y）﹣ab（y﹣x）2．（ ）（填写公因式）
13．如图，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，AB∥CD，MG⊥EF，垂足为G，HN平分∠CHE，∠NHC＝32°，则∠AGM＝ ．
14．如图所示，用3根火柴可拼成1个三角形，5根火柴可拼成2个三角形，7根火柴可拼成3个三角形……，按这个规律拼，用99根火柴可拼成 个三角形．
15．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为 cm2．
16．如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）（32）2×30+33；
（2）[a（a2﹣b2）﹣b（a2﹣2ab+b2）]÷4（a2+b2）．
18．把下列多项式进行因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x2y+6xy﹣9y；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
19．先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a=12．
20．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）
（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；
（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是 ．数量关系是
（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为
A．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝180°
B．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝360°
C．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°
D．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝360°
21．填写下列空格
已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，
∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：DM∥BC
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∠2＝∠CBD（ ）．
∠1＝∠2（已知）．
∠1＝∠CBD（ ）．
∴ （ ）．
∴∠AMD＝∠AGF（已知）．
∴DM∥GF（同位角相等，两直线平行）．
∴DM∥BC（ ）．
22．有一个零件如图所示，现已知∠A＝10°，∠B＝75°，∠C＝15°，则∠ADC为多少度？
23．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：
262＝（26+6）×20+62
372＝（37+7）×30+72
432＝（43+3）×40+32
…
（1）请根据上述规律填空：682＝ ．
（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字为n，十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝ ，并用所学知识说明你的结论的正确性．
24．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）选择题：图1是一个长2a、宽2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形．然后，按图2那样拼成一个（中间空的）正方形，则中间空的部分面积是
A．2ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
（2）如图3，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积．据此，你能发现什么结论，请直接写出来：
（3）如图4，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF．若两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，求阴影部分的面积．
25．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
26．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝ °；
②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列计算正确的是（ ）
A．a4÷a3＝aB．a4+a3＝a7
C．（﹣a3 ）2＝﹣a6D．a4⋅a3＝a12
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，积的除法运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解析】A．a4÷a3＝a，故本选项符合题意；
B．a4与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（﹣a3 ）2＝a6，故本选项不合题意；
D．a4⋅a3＝a7，故本选项不合题意．
故选：A．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．5x＝x+4xB．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．2x+3x2＝x2（2x+3）D．x2020+x＝x（x2019+1）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解析】A、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
3．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x﹣y）（﹣x+y）
C．（x﹣y）（﹣x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A、含x、y的项都符号相反，不能用平方差公式计算；
B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算；
C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算；
D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．
故选：A．
4．小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD∥BC，若∠2＝70°，则∠1＝（ ）
A．22°B．20°C．25°D．30°
【分析】过F作FG∥AD，则FG∥BC，即可得到∠2＝∠EFG＝70°，再根据∠AFE＝90°，即可得出∠AFG＝90°﹣70°＝20°，进而得到∠1＝∠AFG＝20°．
【解析】如图，过F作FG∥AD，则FG∥BC，
∴∠2＝∠EFG＝70°，
又∵∠AFE＝90°，
∴∠AFG＝90°﹣70°＝20°，
∴∠1＝∠AFG＝20°，
故选：B．
5．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠A＝135°，∠C＝60°，∠D＝150°，则∠E的大小为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】根据平行线的性质可得∠C+∠B＝180°，再根据多边形内角和定理即可求解．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠C+∠B＝180°，
∵五边形ABCDE中，∠A＝135°，∠D＝150°，
∴∠E＝540°﹣180°﹣135°﹣150°＝75°．
故选：D．
6．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a+b）＝a2+ab
【分析】由面积的和差关系可求解即可．
【解析】根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共20分）请把答案直接填写在横线上
7．计算：x（x﹣1）＝ x2﹣x ．
【分析】根据单项式乘多项式法则计算可得．
【解析】x（x﹣1）＝x2﹣x，
故答案为：x2﹣x．
8．自然界中，花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000042毫克，0.000042用科学记数法表示为 4.2×10﹣5 ．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】0.000042＝4.2×10﹣5．
故答案为：4.2×10﹣5．
9．在第八章“幂的运算”中，我们学习了①同底数幂的乘法：am⋅an＝am+n；②积的乘方：（ab）n＝anbn；③幂的乘方：（am）n＝amn；④同底数幂的除法：am÷an＝am﹣n等运算法则，请问算式（-12x2y3）3＝（-12）3⋅（x2）3⋅（y3）3=-18x6y9中用到以上哪些运算法则 ②③ （填序号）．
【分析】直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则得出答案．
【解析】（-12x2y3）3＝（-12）3⋅（x2）3⋅（y3）3=-18x6y9，用到②积的乘方运算法则、③幂的乘方运算法则．
故答案为：②③．
10．计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝ 9x2﹣4 ．
【分析】原式利用平方差公式化简即可．
【解析】原式＝9x2﹣4．
故答案为：9x2﹣4．
11．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 ±6 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解析】∵x2+mx+9是一个完全平方式，
∴m＝±6，
故答案为：±6．
12．a2b（x﹣y）﹣ab（y﹣x）2．（ ab（x﹣y） ）（填写公因式）
【分析】找多项式的公因式的方法是：系数找各项系数的最大公约数，相同字母找最低次幂，根据以上方法得出答案即可．
【解析】a2b（x﹣y）﹣ab（y﹣x）2的公因式是ab（x﹣y），
故答案为：ab（x﹣y）．
13．如图，直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，AB∥CD，MG⊥EF，垂足为G，HN平分∠CHE，∠NHC＝32°，则∠AGM＝ 26° ．
【分析】利用平行线的性质，角平分线的定义求出∠AGH即可解决问题．
【解析】∵HN平分∠CHG，
∴∠CHG＝2∠CHN＝64°，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴∠AGH＝116°，
∵MG⊥GH，
∴∠MGH＝90°，
∴∠AGM＝116°﹣90°＝26°，
故答案为26°．
14．如图所示，用3根火柴可拼成1个三角形，5根火柴可拼成2个三角形，7根火柴可拼成3个三角形……，按这个规律拼，用99根火柴可拼成 49 个三角形．
【分析】根据第1个图形中火柴的根数为3，2个三角形用5根火柴棍，3个三角形用7根火柴棍，得到其余图形中火柴的根数在3的基础上增加几个2，利用这一规律得到代数式，代入即可求解．
【解析】∵一个三角形需要3根火柴，
2个三角形需要3+2＝5根火柴，
3个三角形需要3+2×2＝7根火柴，
…
n个三角形需要3+2（n﹣1）＝（2n+1）根火柴．
当2n+1＝99时，n＝49
故答案为：49．
15．如图，将边长为6cm的正方形ABCD先向下平移2cm，再向左平移1cm，得到正方形A'B'C'D'，则这两个正方形重叠部分的面积为 20 cm2．
【分析】如图，向下平移2cm，即AE＝2，再向左平移1cm，即CF＝1，由重叠部分为矩形的面积为DE•DF，即可求两个正方形重叠部分的面积
【解析】
如图，向下平移2cm，即AE＝2，则DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4cm
向左平移1cm，即CF＝1，则DF＝DC﹣CF＝6﹣1＝5cm
则S矩形DEB'F＝DE•DF＝4×5＝20cm2
故答案为：20
16．如图是两位小朋友在探究某多边形的内角和时的一段对话，请根据他们的对话内容判断他们少加的内角为 120° ．
【分析】根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可．
【解析】1140°÷180°＝6…60°，
则边数是：6+1+2＝9；
他们在求九边形的内角和，
180°﹣60°＝120°，
少加的那个内角为120度．
故答案为：120°．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）（32）2×30+33；
（2）[a（a2﹣b2）﹣b（a2﹣2ab+b2）]÷4（a2+b2）．
【分析】（1）根据幂的乘方、零指数幂进行计算即可；
（2）先利用公式分解因式，再提公因式，然后合并同类项后进行约分即可求解．
【解析】（1）（32）2×30+33
＝81+27
＝108；
（2）[a（a2﹣b2）﹣b（a2﹣2ab+b2）]÷4（a2+b2）
＝[a（a+b）（a﹣b）﹣b（a﹣b）2]÷4（a2+b2）
＝[（a﹣b）（a2+ab﹣ab+b2）]÷4（a2+b2）
＝[（a﹣b）（a2+b2）]÷4（a2+b2）
=a-b4
18．把下列多项式进行因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x2y+6xy﹣9y；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
【分析】（1）提公因式﹣y，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用平方差公式，再整理即可．
【解析】（1）﹣x2y+6xy﹣9y
＝﹣y（x2﹣6x+9）
＝﹣y（x﹣3）2；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（5x+4y）（x+8y）．
19．先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a=12．
【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将a的值代入即可求出答案．
【解析】原式＝a2+6a+9﹣（a2﹣1）﹣4a﹣8
＝2a+2，
∵a=12，
∴原式＝1+2＝3．
20．如图，三角形ABC的顶点A，B，C都在格点（正方形网格线的交点）上，将三角形ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到三角形A'BC“（设点A、B、C分别平移到A′、B′、C′）
（1）请在图中画出平移后的三角形A'B′C′；
（2）若连接BB′、CC′，则这两条线段的位置关系是 BB′∥CC′ ．数量关系是 BB′＝CC′
（3）若BB'与AC相交于点P，则∠A'B'P，∠B'PA与∠PAB三个角之间的数量关系为 C
A．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝180°
B．∠A'B'P+∠B'PA+∠PAB＝360°
C．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°
D．∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝360°
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A′、B′、C′即可；
（2）根据平移的性质求解；
（3）根据平行线的性质和三角形外角性质解答．
【解析】（1）如图所示：△A'B'C'即为所求：
（2）根据平移的性质可得：BB′∥CC′，BB′＝CC′；
故答案为：BB′∥CC′；BB′＝CC′；
（3）由图可知：∠A'B'P+∠B'PA﹣∠PAB＝180°
故答案为：C
21．填写下列空格
已知：如图，点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G在AB上，
∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2．
求证：DM∥BC
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知），
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．
∴ BD∥EF （同位角相等，两直线平行）．
∠2＝∠CBD（ 两直线平行，同位角相等 ）．
∠1＝∠2（已知）．
∠1＝∠CBD（ 等量代换 ）．
∴ GF∥BC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠AMD＝∠AGF（已知）．
∴DM∥GF（同位角相等，两直线平行）．
∴DM∥BC（ 平行于同一直线的两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质得到∠2＝∠CBD，等量代换得到∠1＝∠CBD，根据平行线的判定定理得到GF∥BC，证得MD∥GF，根据平行线的性质即可得到结论．
【解析】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F（已知）
∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）
∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）
∠2＝∠CBD（ 两直线平行，同位角相等）
∠1＝∠2（已知）
∠1＝∠CBD（ 等量代换）
∴GF∥BC（ 内错角相等，两直线平行）
∴∠AMD＝∠AGF（已知）
∴DM∥GF（同位角相等，两直线平行）
∴DM∥BC（ 平行于同一直线的两直线平行）
故答案为：BD∥EF；两直线平行，同位角相等；等量代换；GF∥BC；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行．
22．有一个零件如图所示，现已知∠A＝10°，∠B＝75°，∠C＝15°，则∠ADC为多少度？
【分析】连接BD，设点E为BD延长线上一点，由三角形的外角性质可得出∠ADE＝∠A+∠ABD，∠CDE＝∠C+∠CBD，进而可得出∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠A+∠C+∠ABC，再代入∠A＝10°，∠ABC＝75°，∠C＝15°即可求出结论．
【解析】连接BD，设点E为BD延长线上一点，如图所示.
∵∠ADE＝∠A+∠ABD，∠CDE＝∠C+∠CBD，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE，
＝（∠A+∠ABD）+（∠C+∠CBD），
＝∠A+∠C+（∠ABD+∠CBD），
＝∠A+∠C+∠ABC，
＝10°+15°+75°，
＝100°．
23．我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简便方法吗？这里，我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问题：
262＝（26+6）×20+62
372＝（37+7）×30+72
432＝（43+3）×40+32
…
（1）请根据上述规律填空：682＝ （68+8）×60+82 ．
（2）我们知道，任何一个两位数（个数上数字为n，十位上的数字为m）都可以表示为10m+n，根据上述规律写出：（10m+n）2＝ （10m+n+n）×10m+n2 ，并用所学知识说明你的结论的正确性．
【分析】（1）根据已知算式得出规律，再得出即可；
（2）根据已知算式得出规律，再求出即可．
【解析】（1）682＝（68+8）×60+82；
（2）（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2．
证明：∵（10m+n）2＝（10m）2+2×10m×n+n2＝100m2+20mn+n2，
（10m+n+n）×10m+n2＝100m2+20mn+n2，
∴（10m+n）2＝（10m+n+n）×10m+n2．
故答案为：（68+8）×60+82；（10m+n+n）×10m+n2．
24．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）选择题：图1是一个长2a、宽2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形．然后，按图2那样拼成一个（中间空的）正方形，则中间空的部分面积是 C
A．2ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
（2）如图3，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积．据此，你能发现什么结论，请直接写出来： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（3）如图4，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF．若两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据题意得出小长方形的长与宽分别为a，b，然后根据图2中大正方形的面积减去四个小长方形的面积表示出中间空的部分面积即可；
（2）根据图3利用两种方法表示出这个图形的面积，列出等式即可；
（3）阴影部分面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，表示即可．
【解析】（1）中间空的部分面积是：
（a+b）2﹣4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
故选C；
（2）根据题意得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影＝a2+b2-12（a+b）•b-12a2
=12a2+12b2-12ab
=12（a+b）2-32ab
=12×102-32×20
＝50﹣30
＝20．
25．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为 60° °
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D＝∠BED，再由已知∠D＝60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B便可；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF＝n∠ABE，∠CDF＝n∠CDE求解k与n的关系即可求解．
【解析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x＝360，
解得，x＝60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为60；
（2）①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D＝60°，
∴∠D＝∠DEF＝60°，
∵∠B+60°＝∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°＝∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED＝360°﹣3∠B，
∴∠B+60°＝360°﹣3∠B，
∴∠B＝75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k＝2n．
26．∠MON＝90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ 135 °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝ 45 °；
②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；
（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）①当∠EAF＝3∠E时，②当∠EAF＝3∠F时，③当∠F＝3∠E时，④当∠E＝3∠F时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论．
【解析】（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135°；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠ABN＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN=12×150°＝75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°；
（3）∵∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，
∴∠AOE＝135°，
∴∠E=180°-∠EAO-∠AOE=45°-∠EAO=45°-12∠BAO=45°-12(180°-90°-∠ABO)=12∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，
∴∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°，
在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，
则①当∠EAF＝3∠E时，得∠E＝30°，此时∠ABO＝60°；
②当∠EAF＝3∠F时，得∠E＝60°，
此时∠ABO＝120°＞90°，舍去；
③当∠F＝3∠E时，得∠E=14×90°=22.5°，
此时∠ABO＝45°；
④当∠E＝3∠F时，得∠E=34×90°=67.5°，
此时∠ABO＝135°＞90°，舍去．
综上可知，∠ABO的度数为60°或45°．