初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定学案

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定学案，共5页。学案主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

菱形

新知详解
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形也是特殊的平行四边形，故菱形具备平行四边形的多有性质。除此之外，菱形的性质还有：
菱形的性质一： 边 菱形的四条边相等。
菱形的性质二： 对角线 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质三： 对称性 菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，菱形有2条对称轴。
例1：已知，如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。(1)求证：AM=DM；(2)若DF=2，求菱形ABCD的周长 。
练习1：如图所示，菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2．
求：（1）较短对角线的长；（2）一组对边的距离。
例2：如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值．
练习2：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，求△AEF的周长。
F
A
D
E
B
C
例3：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
练习3：已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=，菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.
小结：
S菱形ABCD =AB× DE或S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD = AC×BD （菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半）
随堂练习
一、填空题
1．菱形的邻角比为1：5，它的高为1.5cm，则它的周长为__________．
2．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，则这对角线长分别为_______，__________．
3．菱形ABCD中，AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，菱形的周长=________，面积=_______．
4．O为菱形ABCD的对角线交点，E、F、G、H分别是菱形各边的中点，若OE=3cm，则OF=__________，OG=__________，OH=___________．
5. 已知一个菱形的面积为8 EQ \r(,3) ㎝2，且两条对角线的比为1∶ EQ \r(,3) ，则菱形短的对角线长为_________。
6.如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_________cm.
二、选择题
7．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）．
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等
8．能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（ ）．
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．不存在
9．下列说法不正确的是（ ）．
A．菱形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线平分各内角
C．菱形的对角线相等 D．菱形的对角线交点到各边等距离
10．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ ）．
A．3：1B．4：1 C．5：1D．6：1
11．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．
A．4B．8 C．12 D．16
12．菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．
第11题
A．B．4 C．1D．2
13. 如图，在三角形中，＞，、分别是、上的点，△沿线段翻折，使点落在边上，记为．若四边形是菱形，则下列说法正确的是( )
A
B
C
D
E
第13题
A. 是△的中位线 B. 是边上的中线
C. 是边上的高 D. 是△的角平分线
三、解答题
14．试说明：菱形的对角线的交点到各边的中点距离相等．

15. 如图所示，已知菱形ABCD中，E、F分别在BC和CD上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF的度数。
16.已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC的度数。
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例2：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
菱形判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
例3：如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
练习1：（2009年广西梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD。
(1）求证：AD＝CE；
(2）四边形ADCE的形状是？
练习2：如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．
练习3：如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证：四边形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？
例4：如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
例5：如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
随堂练习
一、判断题
1．对角线互相平分垂直的四边形是菱形（ ）
2．一组邻边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形．（ ）
3．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（ ）
二、选择题
4．对角线互相垂直平分的四边形是( )．
(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)任意四边形
5．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．
(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)任意四边形
6．下列命题中，正确的是( )．
(A)两邻边相等的四边形是菱形 (B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 (D)对角线垂直的四边形是菱形