“超级全能生”2021届高三全国卷地区3月联考试题：文数卷及答案

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“超级全能生”2021高考全国卷地区3月联考丙卷数学文科答案及评分标准 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。 123456789101112BCACDCDABBBC 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。13．x－y＋1＝0　14．－2　15.　16．2　 三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。解答题评分标准（1）导函数：求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。取值写成区间或者集合的形式，未写扣1分。（2）选做题：[极坐标方程]直角坐标方程转换需要过程，没有过程不得分。[解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣1分。（3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。（4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。17．解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＋a2＋b1＝10，b3＝S2，联立可得解得d＝3，q＝3或q＝－3(舍)，(3分)故an＝3＋3(n－1)＝3n(n∈N*)，bn＝3n－1(n∈N*)．(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝＝，所以＝＝，(8分)所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋，(10分)＝(11分)＝.(12分) 18．解：(Ⅰ)且由表中数据可得(1分)(3分)∴＝1.1－0.03×6.5≈0.91，(4分)∴所求的线性回归方程为＝0.03x＋0.91.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知xi，yi，i对应的值如下，(8分)月份x5678910月均价y1.101.111.201.221.331.32月均价1.061.091.121.151.181.21|－y|0.040.020.080.070.150.11由表可知从5月份至10月份销售数据满足|i－yi|＞0.07的共有3个，分别设为a，b，c，其余3个分别设为1，2，3，(9分)从以上6个数据中任取2个，有ab，ac，a1，a2，a3，bc，b1，b2，b3，c1，c2，c3，12，13，23，共15种结果，其中抽取的2个销售数据中至少有一个是“好数据”有ab，ac，a1，a2，a3，bc，b1，b2，b3，c1，c2，c3，共12种结果，(11分)∴所求概率P＝＝.(12分)   19．解：(Ⅰ)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD于点O.(1分)∵D1O⊥平面ABCD，∴AC⊥D1O.(2分)又D1O∩BD＝O，∴AC⊥平面BDD1，(3分)∴AC⊥BD1.(4分)又在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC∥A1C1，(5分)∴A1C1⊥BD1.(6分)(Ⅱ)∵在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，C1D1∥平面ABCD.(7分)又E是C1D1的中点，D1O⊥平面ABCD，∴点E到平面ABCD的距离为D1O.(8分)又四棱柱的所有棱长为4，∠BAD＝60°，(9分)∴BD＝4，AC＝4，(10分)∴D1O＝＝＝2，(11分)∴VB－ACE＝VE－ABC＝D1O·S△ABC＝×2××4×2＝8.(12分) 20．解：(Ⅰ)由题意得，f′(x)＝＋4(x＞0)，(1分)当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2分)当a＜0时，令f′(x)＝＋4＝0，解得x＝－，(3分)∴当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(5分)综上可知，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上内单调递增；当a＜0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．(6分)(Ⅱ)∵f(x)＝alnx＋4x，∴f(x)－(a2＋4)x＋ax2>0恒成立，即alnx－a2x＋ax2＞0恒成立，当a＞0，x＞1时，a＜x＋恒成立．(7分)设g(x)＝x＋，x＞1，∴g′(x)＝.令h(x)＝x2－2lnx＋2，∴h′(x)＝2x－，∴当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，∴函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，(8分)∴h(x)＞h(1)＝3，∴g′(x)＝＞0，∴函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＞1时，g(x)min＞g(1)＝，∴0＜a≤；当a＝0时，alnx－a2x＋ax2＞0显然不成立；(10分)当a＜0，x＞1时，a＞＋x恒成立，设g(x)＝x＋，则g(x)min>g(1)＝，显然a＞g(x)不成立，(11分)∴实数a的取值范围为.(12分) 21．解：(Ⅰ)由题易知，点Q在直线x＝－2上，且PQ与直线x＝－2垂直，∴|PQ|即为点P到直线x＝－2的距离．(1分)∵点P在线段FQ的垂直平分线上，∴点P到点F(2，0)与点Q即到直线x＝－2的距离相等，∴点P的轨迹是以F(2，0)焦点，x＝－2为准线的抛物线，(3分)∴＝2，∴p＝4，(3分)∴点P的轨迹方程为y2＝8x.(4分)(Ⅱ)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l与x轴交于点M(－b，0)．联立消去x得y2－8y＋8b＝0.(5分)由Δ＞0得64－32b＞0，∴0＜b＜2，(6分)∴y1＋y2＝8，y1y2＝8b，(7分)∴|MF|＝2＋b，|y1－y2|＝＝，(8分)∴S△ABF＝|MF||y1－y2|＝(b＋2)＝2(b＋2)＝2·.(9分)设f(b)＝－b3－2b2＋4b＋8，则f′(b)＝－3b2－4b＋4，当b∈时f′(b)＞0；当b∈时f′(b)＜0，(10分)∴f(b)max＝f＝－－2×＋4×＋8＝，(11分)∴△ABF面积的最大值为2×＝.(12分) 22．解：(Ⅰ)将(t为参数)消去t得y2＝4x，(2分)∴曲线C的普通方程为y2＝4x.(3分)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入2ρcosθ－ρsinθ－2＝0得2x－y－2＝0，∴直线l的直角坐标方程为2x－y－2＝0.(5分)(Ⅱ)解法一：联立方程消去y得x2－3x＋1＝0，(6分)Δ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3.(7分)由于直线l恰好过抛物线y2＝4x的焦点，∴|MN|＝x1＋x2＋2＝5.(8分)又∵原点O到直线l的距离d＝＝，(9分)∴S△OMN＝|MN|×d＝×5×＝.(10分)解法二：直线l的参数方程为(t为参数)，并代入抛物线y2＝4x得＝4，(6分)即t2－t－5＝0.设点M，N对应的参数分别为t1，t2，∴t1＋t2＝，t1t2＝－5，(7分)∴|MN|＝|t1－t2|＝＝＝5，(8分)∴原点O到直线l的距离d＝＝，(9分)∴S△OMN＝|MN|×d＝×5×＝.(10分) 23．解：(Ⅰ)当a＝1时，不等式g(x)－f(x)－＞0即为|x－2|－|x－1|＞，(1分)当x≤1时，2－x－(1－x)＞，即1＞恒成立，故x≤1；(2分)当1＜x＜2时，－(x－2)－(x－1)＞，即3－2x＞，解得1<x＜；(3分)当x≥2时，(x－2)－(x－1)＞，－1＞不成立，不等式无解，(4分)综上所述，不等式g(x)－f(x)－＞0的解集为.(5分)(Ⅱ)解法一：由题意得a2＋b2＝g(4)＝|4－2|＝2，c2＋d2＝1，(6分)∴(ac＋bd)2＝(ac)2＋2abcd＋(bd)2(7分)≤(ac)2＋(bd)2＋(ad)2＋(bc)2＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝2，∴ac＋bd≤.(8分)∵a，b，c，d都为正数，∴当且仅当a＝b＝1，c＝d＝时等号成立，(9分)∴ac＋bd≤，∴ac＋bd的最大值为.(10分)解法二：由题意得a2＋b2＝g(4)＝|4－2|＝2，c2＋d2＝1，(6分)由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(7分)得2≥(ac＋bd)2.(8分)∵a，b，c，d都为正数，∴当且仅当a＝b＝1，c＝d＝时等号成立，(9分)∴ac＋bd≤，∴ac＋bd的最大值为.(10分)