理科数学-2021年高考OK打靶卷（课标全国卷）（含解析）

这是一份理科数学-2021年高考OK打靶卷（课标全国卷）（含解析），共27页。试卷主要包含了设，，，则，，的大小关系是等内容，欢迎下载使用。

2021年高考OK打靶卷（课标全国卷）
理科数学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则
A． B．
C． D．
2．若复数，且，则
A． B．
C． D．
3．已知向量a＝(－1，2)，向量b满足a⊥b，|a＋b|＝3，则|b|＝
A．4 B．2
C．2 D．
4．设，，，则，，的大小关系是．
A． B．
C． D．
5．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A． B．
C． D．
6．若的展开式中的系数为，则实数的值为
A． B．
C． D．
7．已知点为抛物线的焦点，点A在抛物线上，线段的垂直平分线交轴于点，则
A． B．
C． D．
8．的内角A，，的对边分别为，，，已知，，则
A． B．
C． D．
9．已知直线与圆交于A，B两点，且A，B在x轴同侧，过A，B分别作x轴的垂线，交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若，则
A． B．
C． D．
10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
11．已知函数，，若成立，则的最小值为
A． B．
C． D．
12．已知四面体的顶点A，，，在同一个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，均为锐角，且，则__________.
14．已知实数满足，则的最大值为__________.
15．在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是__________.

16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，与轴垂直的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A，，且，则双曲线的离心率的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，求证：.


18．（12分）
如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点M为棱上一点，平面与棱交于点N．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．
19．（12分）
为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回地抽球，每次抽取一个，最多抽取3次．已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次．
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
（2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．
20．（12分）
已知A、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知是自然对数的底数，，.
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）是否存在实数，对任意，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.







2021年高考OK打靶卷（课标全国卷）
理科数学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则
A． B．
C． D．
1．C 【解析】因为集合，所以，
因为，所以，
所以，.故选C．
2．若复数，且，则
A． B．
C． D．
2．D 【解析】由，得，．故选D．
3．已知向量a＝(－1，2)，向量b满足a⊥b，|a＋b|＝3，则|b|＝
A．4 B．2
C．2 D．
3．B【解析】因为a⊥b，又|a＋b|＝3，|a|＝，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋|b|2．所以5＋|b|2＝9，即|b|＝2．
4．设，，，则，，的大小关系是．
A． B．
C． D．
4．C 【解析】， ；，；，，故，故选C.
5．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为
A． B．
C． D．
5．D 【解析】设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，
该金字塔的侧棱长为，
所以需要灯带的总长度约为.故选 D．
6．若的展开式中的系数为，则实数的值为
A． B．
C． D．
6．D 【解析】的二项展开式的通项，的展开式中含的项包含两部分，即，，故的展开式中的系数为，所以.故选D．
7．已知点为抛物线的焦点，点A在抛物线上，线段的垂直平分线交轴于点，则
A． B．
C． D．
7．D 【解析】因为点为抛物线的焦点，所以，设点，则，由抛物线的定义得，故直线的斜率为，线段的中点坐标为，即，所以线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以
.故选D.
8．的内角A，，的对边分别为，，，已知，，则
A． B．
C． D．
8．A 【解析】在中，由正弦定理及，
得，∴，
又，∴.由正弦定理及，得，
又由余弦定理得，所以，得．故选A.
9．已知直线与圆交于A，B两点，且A，B在x轴同侧，过A，B分别作x轴的垂线，交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若，则
A． B．
C． D．
9．B 【解析】将化为，则直线恒过点，而点满足，所以点在圆上，不妨设点，又，所以点，所以，又圆的半径为，所以是等边三角形，所以．故选B．
10．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法不正确的是
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
10．C 【解析】，将其图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，所以的最小正周期为，故A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确；
当时，，所以在间上不单调，故C错误；
当时，，所以函数的图象关于点对称，故D正确．
故选C.
11．已知函数，，若成立，则的最小值为
A． B．
C． D．
11．D 【解析】令，则，，∴，，即，若，则，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，即的最小值为.故选D．
12．已知四面体的顶点A，，，在同一个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为
A． B．
C． D．
12．C 【解析】如图所示，作的外接圆，过作直线平面，又平面，，连接，并延长交球于，连接，与的交点为球心，（为外接球的半径），则，在中，由余弦定理得，，又由正弦定理得
(为外接圆的半径)，，
，则四面体的外接球的表面积为.故选C．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，均为锐角，且，则__________.
13． 【解析】因为，，均为锐角，所以，因为，所以，即，所以，得，因为为锐角，所以，所以.
14．已知实数满足，则的最大值为__________.
14． 【解析】画出表示的可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，

目标函数，其中可以看成是可行域内的点和点确定的直线l的斜率，由图可得，当直线过点A时，直线l的斜率最大，由解得，即，此时直线l的斜率为，故的最大值为.
15．在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是__________.

15． 【解析】边长为2的正方体中，动点M满足平面，由面面平行的性质可得当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意，过作与平面平行的平面，如图， 连接，，，则平面平面，所以动点M的轨迹所形成区域的面积是.

16．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，与轴垂直的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A，，且，则双曲线的离心率的取值范围为__________.
16． 【解析】由题意得，则．设，则，连接，在中，
．由双曲线的定义得，所以双曲线的离心率
．因为，所以，所以，即双曲线的离心率的取值范围为.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知等差数列的公差，且，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列满足，其前项和为，求证：.
【解析】（1）由，且，得，则.
故.（2分）
∵为等比数列，，设公比为，则，
∴，∴，∴，
，
所以，.（5分）
（2）由（1）得，（6分）
∴①，
②，
①②得（9分）
，
∴，
∴.（12分）
18．（12分）
如图，在多面体中，四边形和都是直角梯形，，，，，，点M为棱上一点，平面与棱交于点N．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的值．
【解析】（1）因为，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面.（3分）
（2）因为，，，
所以是平行四边形，则，
又因为平面，平面，
所以平面，（4分）
又因为平面平面，
所以.（5分）
（3）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，
依题意有，，，，，
则，，，，（7分）
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
则平面的一个法向量为，
因为平面，所以平面的一个法向量为，（10分）
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
解得，所以，
故．（12分）
19．（12分）
为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回地抽球，每次抽取一个，最多抽取3次．已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次．
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
（2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．
【解析】（1）若顾客所获得的减免金额为40元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽红球、第二次抽白球．
则顾客所获得的减免金额为40元的概率为．（4分）
（2）某顾客所获得的减免金额X可能为30，40，50，60．
，
，
，
． （9分）
所以X的分布列为
X
30
40
50
60
P




（10分）
．
所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为元．（12分）
20．（12分）
已知A、分别为椭圆的左顶点和下顶点，为直线上的动点，的最小值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设与椭圆的另一交点为，与椭圆的另一交点为，问：是否存在点，使得四边形为梯形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题设得，．
设，则，．
所以，（3分）
于是当时，取得最小值，所以，解得．
所以椭圆的方程为．（5分）
（2）假设存在点满足题设，设，．
所以直线的方程为，直线的方程为．
将代入椭圆的方程，得，
可得，所以．
将代入椭圆的方程，得，
可得．（8分）
若四边形为梯形，则，所以，
因为，，
所以，所以，
所以，整理可得，
即，解得．
故当时，四边形为梯形．（12分）
21．（12分）
已知是自然对数的底数，，.
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）是否存在实数，对任意，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1），.
.（2分）
，，.
当时，在上单调递增.（4分）
（2）由（1）知：当时，在上单调递增.
此时，由于，，所以，与题意不相符. （5分）
当时，设，则在上是增函数.
根据函数与的性质，得与的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为，则，即，
，即.
.（7分）
当时，，故，所以在上是减函数；
当时，，，所以在上是增函数.
当时，取得最小值，且的最小值为.
对，都有.（9分）
设，则.
当时，，所以在上是增函数；
当时，，所以在上是减函数；
当时，取得最大值，且的最大值为.
当时，，即，且“”成立.
由得.
.
综上，存在唯一的实数，且，对，都有.（12分）
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）分别写出曲线和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线交于，两点，若，求直线的斜率.
【解析】（1）由得.
由得曲线的极坐标方程为.（3分）
直线的极坐标方程为.（5分）
（2）将直线代入曲线的方程，得.
由，解得.（7分）
设，，
由根与系数的关系得，.
，，则，
则，满足.
，或，
则直线的斜率.（10分）
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，则等价于，
即或或（2分）
解得，
故不等式的解集为.（5分）
（2）由，
得的最大值为.（7分）
所以对于任意实数，不等式恒成立等价于恒成立，
即，解得或.
故的取值范围为.（10分）