2021年高考数学三轮冲刺训练圆锥曲线中的综合性问题含解析

这是一份2021年高考数学三轮冲刺训练圆锥曲线中的综合性问题含解析，共42页。试卷主要包含了直线与圆锥曲线的位置关系，弦长公式，中点弦所在直线的斜率，设F为双曲线C，数学中有许多形状优美，斜率为的直线过抛物线C等内容，欢迎下载使用。
圆锥曲线中的综合性问题
考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.

1、直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．
例：由消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程为+y2=1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–30，
.
当时，取得最小值，此时G（2，0）．

一、 单选题
1、已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：为，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】
因为抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离
所以过焦点作直线的垂线
则到直线的距离为的最小值，如图所示：

所以
故选：B
2、已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
双曲线的焦点坐标为
由，又，可得双曲线的渐近线方程为：
则焦点到渐近线的距离为，由
所以
故选：C
3、已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，，A为垂足.若直线AF的斜率为，则的面积为( )
A． B． C．8 D．
【答案】B
【解析】
由题意，抛物线的焦点为，
设抛物线的准线与轴交点为，则，
又直线AF的斜率为，所以，因此，；
由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，
所以的面积为.
故选：B.

4、已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
取的中点，连接 ,由条件可知，
是的中点，
又，
,
根据双曲线的定义可知，
，
直线的方程是： ，即 ，
原点到直线的距离，
中，，
整理为： ，
即 ，
解得： ，或（舍）
故选：C
5、已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足，若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设直线与圆相切，切点为，可得，从而可得，再由即可求解.
【详解】
设直线与圆相切，切点为，

连接，则，因为，所以，
所以， 且，所以，
由双曲线的定义可得，
又，则，
整理可得，所以，
解得，解得.
故选：C
6、在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
【答案】C
【解析】
由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
7、已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
延长交于点，∵是的平分线，∴，，
又是中点，所以，且，
又，∴，
，∴．
故选：B．

8、已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以.

二、多选题
9、已知抛物线的准线与轴交于，其焦点为.过点的直线与抛物线交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若在准线上存在一点，使为等边三角形，则的周长为
C．若在准线上存在一点，使为直角三角形，则的内切圆的面积可能为
D．若在准线上存在一点，使直线与轴的交点为且的重心在轴上，则当取得最小值时，
【答案】AB
【解析】
已知抛物线的准线与轴交于，所以，解得，
所以抛物线，焦点，
设，，

对于选项A：，



同理：，
故， A正确；
对于选项B： ，直线的中点为，则准线上任意一点 满足

所以，周长为，故B正确；
对于选项C： 若，所以内切圆半径，
而直角三角形ABC内切圆半径最小为，故C错误；
对于选项D:设重心G,
令，，
又



令
当且仅当取最小值，


（此时C在直线AB上）
故D 错误.
故选：AB
10、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
【答案】ACD
【解析】
对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
故选:ACD.
11、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，的外角平分线交x轴于点Q，过Q作交的延长线于，作交线段于点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】

由抛物线的定义，，A正确；
∵，是的平分线，∴，∴，B正确；
若，由是外角平分线，，得，从而有，于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；
连接，由A、B知，又，是平行四边形，∴，显然，∴，D正确．
12、已知抛物线的焦点到准线的距离是2，过点的直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4
C．的坐标可能是（4，2） D．存在直线，使得与垂直
【答案】AB
【解析】
由题意，所以准线方程为，A正确；焦点为，
当直线斜率不存在时，方程为，则，此时，中点为，，与不垂直．
当直线斜率存在时，设方程为，设，
由得，，，
，
所以的最小值为4，B正确；
若，则，此时，因此中点不可能是，C错；
，即，（显然在轴两侧），
则，与不垂直．D错．
故选：AB．

三、填空题
13、双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.
【答案】
【解析】
设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，
由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，
又PF1＝PF2，
∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，
由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，
故而a＝PQ，又c＝2，
∴双曲线的离心率为e．
故答案为：．

14、已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.
【答案】2
【解析】
由题意，一条渐近线方程为，即，
∴ ，由得，
∴，，∴．
故答案为：2.
15、在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A，过点F且平行于OA的直线交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率为____________.
【答案】
【解析】
解：设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，则，
设直线的方程为，
由，得，所以，
所以直线的斜率为，
因为，所以，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：
16、双曲线的左焦点为F，A､B分别为C的左，右支上的点，O为坐标原点，若四边形为菱形，则C的离心率为______.
【答案】.
【解析】
设右焦点为，连接，过作轴于，

因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，
所以，，
所以，所以，所以，
根据双曲线的定义可得，
所以，
故答案为：.
17、已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，离心率为.若动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，满足恒成立，则双曲线的渐近线的方程为_________.
【答案】
【解析】

如图：因为恒成立，取特殊位置轴时，此时，所以，
在中，，
双曲线中，，
将代入双曲线方程得，整理可得：，
取点位于第一象限，所以，
则，
所以，
当时，，，此时不符合题意，故不成立，
当时，，，此时不符合题意，故不成立，
当时，，
所以，即，可得，所以，
所以，，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
四、解答题
18、已知椭圆长轴的左､右端点分别为，点是椭圆上不同于的任意一点，点满足，,为坐标原点.
（1）证明：与的斜率之积为常数，并求出点的轨迹的方程；
（2）设直线与曲线交于，且，当为何值时的面积最大?
【解析】
（1）设，由已知，
，，即，
，
，
设，，
即，∴轨迹的方程为.
（2）将直线代入曲线中整理得，，
到的距离，
，
此时，满足.
19、已知椭圆的离心率e满足，右顶点为A，上顶点为B，点C(0，－2)，过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．

(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：为定值．
【解析】
（1）由解得或（舍去），
∴，又，
，
又，
，，
椭圆E的方程为；
（2）由题知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
设，
由得，
∴，
=
，
∴，
=，
直线BP的方程为，令解得，则，
同理可得，
=
==，
为定值．
20、已知椭圆：的左、右顶点分别为，且左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点，在点的运动过程中，有且只有个位置使得为直角三角形，且的内切圆半径的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线交椭圆于，两点，记的中点为，求点到直线的距离的最大值.
【解析】
点为椭圆上的动点，当或时，为直角三角形.
此时满足条件的点有4个，根据满足条件的点有6个.
则满足条件的点的另2个位置位于椭圆的上下顶点处.
当点位于椭圆的上下顶点处时，为等腰直角三角形，即
的内切圆半径我为 ，则
即，所以
当点位于椭圆的上下顶点处时，的的内切圆半径的最大值.
所以，即，由 ，即
解得 ，所以椭圆的标准方程为：
（2）由条件，设 ，设直线的方程为
由，得
所以
据条件直线，的斜率存在，由条件可得
即，即
所以
则
化简可得，即或
当时，直线过点，不满足条件.
所以 ，则
由的中点为，则
所以
所以
所以直线的方程为，即
所以点到直线的距离为

当且仅当,即时取等号.
所以点到直线的距离的最大值为
21、已知椭圆：经过点，且离心率为，直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）求椭圆的方程;
（2）若的角平分线与轴垂直，求长度的最小值．
【解析】
解：（1）因为椭圆经过点且离心率为，
所以其中，解得所以椭圆方程为．
（2）因为的角平分线与轴垂直，所以．
设直线的斜率为，则直线的方程为：，
设，
由得．
则，
所以，代入得．
即，同理可得．
所以．
则在直线上，所以的最小值为到直线的距离．
即，此时在椭圆内，
所以的最小值为．