数学2 矩形的性质与判定学案

矩形

一、知识回顾:

（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）平行四边形性质1　　边：平行四边形的对边相等．

平行四边形性质2    角：平行四边形的对角相等．

平行四边形性质3    对角线：平行四边形的对角线互相平分．

（3）平行四边形的判定：

定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是平行四边形.

边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是平行四边形.

边：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是平行四边形.

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是平行四边形.

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形.

二、课堂引入

探讨一：生活中常见的长方形形有哪些？

探讨二：演示平行四边形的活动架移动过程，当移动到一个角是直角时停止，观察这是什么图形？

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。由此可见，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质。

矩形其他性质1　 矩形的四个角都是直角．

矩形其他性质2　 矩形的对角线相等．

矩形其他性质3　 矩形是轴对称图形，对边中点的连线就是对称轴，矩形有2条对称轴．

例1：（2011宁夏）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOD＝60º，AD＝2，

则AB的长为（      ）

A．2          B．4          C．2          D．4

练习1：已知，如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由矩形的性质2有：

AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

例2 ：已知，如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。求证：△ACE是等腰三角形。

练习2：已知，如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，于F，若 。求证：CE＝EF。

练习3：在矩形ABCD中，，求这个矩形的周长。

例3：矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将ΔADC沿AC翻折至ΔAEC，AE与BC相交于G，求GC的长。

练习4：如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长。

练习5：如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。

矩形的判定定理

矩形的判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）

例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形

矩形的判定2：有三个角是直角的四边形是矩形

例2：已知，如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．

矩形的判定3：对角线相等的平行四边形是矩形

例3：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形。

练习1：已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．

（1）求证：四边形ABCD为矩形；

（2）作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．

练习2：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．

（1）求证：D是BC的中点；

（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

综合练习1：如图所示，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，CE⊥BD于E，OF⊥AB于F，BE：DE=1：3，OF=2cm，求AC的长．

综合练习2：如图所示，矩形ABCD中，长为7，宽为6，点E、F将BD三等分，求△AEF的面积．

综合练习3：已知矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE＝EF，CF＝CA。求证：。

【随堂练习】

1．下列叙述错误的是（     ）．

    A．平行四边形的对角线互相平分          B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

    C．矩形的对角线相等                    D．对角线相等的四边形是矩形

2．下列性质矩形不一定具备的是（      ）．

A．对角线相等    B．四个内角都相等    C．对角线互相平分   D．对角线互相垂直

3．下列说法错误的是（      ）．

A．矩形的对角线互相平分                B．矩形的对角线相等

C．有一个角是直角的四边形是矩形        D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

4. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（      ）．

A．2对         B．4对         C．6对        D．8对

5．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（      ）．

A.16   B.22   C.26   D.22或26

6．矩形ABCD的长为5，宽为3，点E、F将AC三等分，则△BEF的面积为（      ）．

    A．        D．5

7．已知矩形ABCD的AB=2BC，在CD上取点E，使AE=EB，那么∠EBC等于（      ）．

    A．60°     B．45°     C．30°     D．15°

8．如图1所示，矩形ABCD的对角线交于O，AE⊥BD于E，∠1：∠2=2：1，则∠1的度数为（      ）．

A．22．5°     B．45°     C．30°     D．60°

9．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为__________．

10．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_________°。

11．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长_________．

12．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．