考场仿真卷04-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)

这是一份考场仿真卷04-2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷(新课标Ⅰ卷)，共25页。试卷主要包含了已知函数，若，且，设，则等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前
2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第四模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．若，（ ）
A． B． C． D．
2．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）
A． B． C． D．
4．A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有（ ）

A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
5．世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如下图），若在棋盘内随机取一点，则此点取自白色区域的概率为（ ）

A． B． C． D．
6．在平行四边形中，，，点为边的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知边长为的正的顶点和点都在球的球面上.若，且平面，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（ ）

A．当时，随着的增大而增大
B．当时，随着的增大而减小
C．当时，随着的增大而减小
D．当时，随着的增大而增大
10．已知函数，若，且，设，则（ ）
A．没有最小值 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．已知数列与满足，，，且，下列正确的是（ ）
A． B．
C．是等差数列 D．是等比数列
12．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．在一组样本数据为，，…，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数_______．
14．设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.
15．已知函数(，)与函数的部分图像如图所示，且函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到，则___________，函数在区间上的值域为___________.

16．已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，若，且.给出以下不等式：
①；
②；
③；
④.
其中正确的有___________.(填写所有正确的不等式的序号)
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 在中，角，，的对边分别为，，．，边上的高为．
（1）若，求的周长；
（2）求的最大值．
18.(12分) 如图，三棱锥中，平面，，，点E，F分别是，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19.(12分) 单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度､完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲､乙二人在2021赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如下表：
分站
运动员甲的三次滑行成绩
运动员乙的三次滑行成绩
第1次
第2次
第3次
第1次
第2次
第3次
第1站
80.20
86.20
84.03
80.11
88.40
0
第2站
92.80
82.13
86.31
79.32
81.22
88.60
第3站
79.10
0
87.50
89.10
75.36
87.10
第4站
84.02
89.50
86.71
75.13
88.20
81.01
第5站
80.02
79.36
86.00
85.40
87.04
87.70
假设甲､乙二人每次比赛成绩相互独立.
（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
（2）从上表5站中任意选取2站，用表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；
（3）假如从甲､乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.
(注：方差，其中为，，…，的平均数)
20.(12分) 已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点且.
（1）分别求与的值；
（2）直线交于，两点，点与点关于轴对称，直线分别与直线，交于点，（为坐标原点），求证：.
21.(12分) 已知函数．
（1）求函数在的最大值；
（2）证明：函数在有两个极值点，并判断与的大小关系．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，点是曲线上的动点，满足的点的轨迹是.
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线，的极坐标方程；
（2）直线的参数方程是(为参数)，点的直角坐标是，若直线与曲线交于，两点，当时，求的值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，且，求证：，
绝密★启用前
2021年高考数学（理）模拟考场仿真演练卷
第四模拟
本试卷共23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．若，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以.故选D.
2．已知全集，集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知，则.故选D.
3．已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，由得，∴，故选A．
4．A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有（ ）

A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
【答案】B
【解析】由图可知，活动开始后两机关的用电量变化率不同，节能效果也就不同，故A错；在相同的时间内，A机关单位比B机关单位用电量减少的多，故B对；在上两机关的用电量都在减少，所以变化率都为负值，A机关单位的用电量变化的幅度更大，所以变化率反而更小，故C错；自节能以来，A机关单位比B机关单位用电量大，在天时用电量相等，故D错．故选B.
5．世界著名的数学杂志《美国数学月刊》于1989年曾刊登过一个红极一时的棋盘问题.题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如下图），若在棋盘内随机取一点，则此点取自白色区域的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接数出正六边形共包含菱形48个，其中白色16个，则此点此点取自白色区域的概率．故选B．
6．在平行四边形中，，，点为边的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，如图建立平面直角坐标系，，
∴，∴，故选C

7．已知边长为的正的顶点和点都在球的球面上.若，且平面，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知：球为三棱锥的外接球，为边长为的正三角形，的外接圆半径，又平面，，球的半径，球的表面积.故选B.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则空白判断框中可填入的条件是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】模拟执行程序框图，
输入，，不满足，则，，需不满足判断框，循环；
不满足，则，，需不满足判断框，循环；
不满足，则，，需不满足判断框，循环；
不满足，则，，需不满足判断框，循环；
满足，则，，需满足判断框，输出；
判断框中的条件应为：.故选C.
9．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（ ）

A．当时，随着的增大而增大
B．当时，随着的增大而减小
C．当时，随着的增大而减小
D．当时，随着的增大而增大
【答案】D
【解析】当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即，设正四面体的棱长为3，则，
可求得，所以在中，有，令，则，时，有正有负，函数有增有减，
所以故A与B错误；

当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即.同样设正四面体的棱长为3，则，
可求得，,在中，有，
所以，即，
所以在中，有，
令，则，
所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故D正确，C错误. 故选D.

10．已知函数，若，且，设，则（ ）
A．没有最小值 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B
【解析】如图，作出函数的图象，且，则，且，
，即.由，解得.
，
又，当时，.故选B.

11．已知数列与满足，，，且，下列正确的是（ ）
A． B．
C．是等差数列 D．是等比数列
【答案】D
【解析】因为数列与满足， 令，，由，所以，令，，由，所以，所以，故A错误；令，，由，所以，所以，故B错误；由已知得，即，，即，
两式相减得，，
所以是以6为首项，9为公比的等比数列，故D正确；
由得

，
由，得，
所以，
不是常数，
不是等差数列，故C错误.故选D.
12．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整理得，由知：
，整理得，
同理，，可得，∴，即，故.故选B.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．在一组样本数据为，，…，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数_______．
【答案】
【解析】因为，所以这两个变量成负相关，故这组样本数据的相关系数为负值，又所有样本点都在直线上，则，所以．
14．设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝________.
【答案】1
【详解】法一:　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，
则
从而c2＝a2＋4，又，从而a＝1.
法二:　由题意得，，得b2＝4，
又且c2＝a2＋b2，所以a＝1.
15．已知函数(，)与函数的部分图像如图所示，且函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到，则___________，函数在区间上的值域为___________.

【答案】
【解析】由题意可知将函数的图像上的点向右平移个单位长度，
可得的图像在五点法作图时的第一个点，坐标为，即，
由的部分图像可知五点法作图时的第二个点坐标为，
则，解得，∴，由得，
则当，时，，当，时，，
故函数在区间的值域为.故答案为：；
16．已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，若，且.给出以下不等式：
①；
②；
③；
④.
其中正确的有___________.(填写所有正确的不等式的序号)
【答案】①②③
【解析】设，则，由此可得单调递减，所以，即，故①正确；
因为，，所以，所以单调递减，所以，所以，故②正确；
对于③，由①分析可知，欲使，且，即成立，只需满足即可，即证，设，则，则单调递增，所以，故③正确；
对于④，假设成立，因为，所以，所以，取，则，所以，矛盾，故④不正确.故答案为：①②③.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.(12分) 在中，角，，的对边分别为，，．，边上的高为．
（1）若，求的周长；
（2）求的最大值．
【解析】（1）依题意，可得，(2分)
因为，所以．由余弦定理得，
因此，即．(5分)
故的周长为．(6分)
（2）由（1）及正弦定理可得，
，（其中为锐角，且）(10分)
由题意可知，因此，当时，取得最大值．(12分)
18.(12分) 如图，三棱锥中，平面，，，点E，F分别是，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为平面，平面，
所以．
因为，
所以．(3分)
因为，
所以平面．(5分)
（2）因为平面，
所以．(6分)
以点为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系．
设，则．
因为点，分别是，的中点，
所以，，，，，．
所以，，．(8分)

设平面的法向量为，
则即
令，则，．
所以．(10分)
设直线与平面所成角为．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值．(12分)
19.(12分) 单板滑雪型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度､完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲､乙二人在2021赛季单板滑雪型池世界杯分站比赛成绩如下表：
分站
运动员甲的三次滑行成绩
运动员乙的三次滑行成绩
第1次
第2次
第3次
第1次
第2次
第3次
第1站
80.20
86.20
84.03
80.11
88.40
0
第2站
92.80
82.13
86.31
79.32
81.22
88.60
第3站
79.10
0
87.50
89.10
75.36
87.10
第4站
84.02
89.50
86.71
75.13
88.20
81.01
第5站
80.02
79.36
86.00
85.40
87.04
87.70
假设甲､乙二人每次比赛成绩相互独立.
（1）从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
（2）从上表5站中任意选取2站，用表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望；
（3）假如从甲､乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.
(注：方差，其中为，，…，的平均数)
【解析】（1）设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件；
运动员乙第1站､第2站､第3站､第4站､第5站的成绩分别为：，(1分)
运动员甲第1站､第2站､第3站､第4站､第5站的成绩分别为： ，
其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩
，(3分)
（2）的可能取的值为，则


(5分)
所以的分布列为

0
1
2




(7分)
（3）推荐乙.
甲5站的平均成绩为：
乙5站的平均成绩为：(9分)
甲5站成绩方差为：乙5站成绩方差为：(11分)
说明甲乙二人水平相当，表明乙的发挥比甲的更稳定
所以预测乙的成绩会更好. (12分)
20.(12分) 已知焦点为的抛物线经过圆的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点且.
（1）分别求与的值；
（2）直线交于，两点，点与点关于轴对称，直线分别与直线，交于点，（为坐标原点），求证：.
【解析】（1）由已知得抛物线过点，所以，所以.(1分)
即抛物线的方程为.(2分)
设点，则，所以，于是得，即，(3分)
将点的坐标代入圆的方程，得，所以.
所以，；(5分)
（2）设，，则，显然，均不为.
联立，消去，得.
则 ①， ②.
由题意得，且，即，(7分)
因为，所以直线的方程为，故.
直线的方程为，故.
若要证，只需证，即证，即证，
将代入上式，即证，即证 ③，(10分)
将①②代入③得，此等式显然成立.
所以恒成立，故.(12分)
21.(12分) 已知函数．
（1）求函数在的最大值；
（2）证明：函数在有两个极值点，并判断与的大小关系．
【解析】（1）
当时，，则，故在上单调递增，
又，所以在有唯一的零点t．(2分)
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以在的最大值为．(5分)
（2），
①当时，均单调递增，所以单调递增，
又，
所以在有唯一的零点，
此时当时，；时，，
所以是极小值点，不妨让．(7分)
②当时，，单调递增，所以；
故在上单调递增，没有极值点；(8分)
③当，．由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
且，故有唯一的零点，
则时，，即单调递减；时，，即单调递增，
又，
所以在有唯一的零点，(10分)
此时时，；时，，
所以是极大值点，即，
所以在有两个极值点，其中，，
且，由于，所以．
因为，，且在上单调递减，
所以，即．
（判断极值点的时候，也对．）(12分)
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，点是曲线上的动点，满足的点的轨迹是.
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线，的极坐标方程；
（2）直线的参数方程是(为参数)，点的直角坐标是，若直线与曲线交于，两点，当时，求的值.
【解析】（1）把，代入，
化简得曲线的极坐标方程为.（2分）
设动点极坐标为，则由可知，点的极坐标为，
代入曲线的极坐标方程，得，
所以曲线的极坐标方程为.（5分）
（2）因为曲线的极坐标方程为，所以，
所以，即，
即曲线的直角坐标方程为：，（7分）
把直线的参数方程代入的直角坐标方程，
得，整理得，
由于直线与曲线交于，两点，
设，两点对应的参数分别为，，则有，
因为，，，
因为，即，
所以，
即，，所以.（10分）
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，且，求证：，
【解析】（1）不等式可化为：，
当时，，解得：，；
当时，，；
当时，，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.（5分）
（2）（当且仅当时取等号），（8分）
又（当且仅当，即时取等号），
.（10分）