2021学年中考数学二轮复习 二次函数专题六 二次函数与等腰三角形有关的问题（含解析）

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六 二次函数与等腰三角形有关的问题
【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．











【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．












【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.
(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，PA＝QA?
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．













【典例4】如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为1：7．点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）







【典例5】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．










【典例6】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．












【典例7】如图，抛物线y＝－x2＋x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)．
(1)求点A，B的坐标；
(2)连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；
(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．

　










【典例8】如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，作QN⊥x轴于点N，交BC于点M，当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；
(3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于点F，交OC于点G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线CO－OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当△PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度．











六 二次函数与等腰三角形有关的问题
【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：(1)根据题意得，－＝3，
即b＝－6a，
则抛物线的解析式为y＝ax2－6ax＋4，将B(8，0)代入得，
0＝64a－48a＋4，
解得a＝－，则b＝，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
由抛物线解析式可知：当x＝0时，y＝4，即点C(0，4)，
将B(8，0)，C(0，4)代入得：

解得，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，
设点M的横坐标为x(0＜x＜8)，
则点M的纵坐标为－x2＋x＋4，点N的纵坐标为－x＋4，
∵点M在抛物线上，点N在线段BC上，MN∥y轴，
∴MN＝－x2＋x＋4－(－x＋4)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，
∴当x＝4时，MN的值最大，最大值为4；
（3）存在．
令－x2＋x＋4＝0，
解得x1＝－2，x2＝8，
∴A(－2，0)，
又∵C(0，4)，
由勾股定理得，AC＝＝2，
如解图，过点C作CD⊥对称轴于点D，连接AC.

∵抛物线对称轴为直线x＝3，
∴CD＝3，D(3，4)．
①当AC＝CQ时，
DQ＝＝＝，
当点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4＋，
此时，点Q1(3，4＋)，
当点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4－，
此时点Q2(3，4－)；
②当AQ＝CQ时，设Q（3，t），则AQ2=（3+2）2+t2，CQ=9+（4-t）2，
则（3+2）2+t2=9+（4-t）2，解得t=0，
此时，点Q3(3，0)；
③当AC＝AQ时，
∵AC＝2，点A到对称轴的距离为5，2AC2，
∴△ABC为锐角三角形．
(3)存在满足条件的点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形
理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂线交抛物线于点P，

直线MP与抛物线必有两个满足条件的交点P，
∵A(0，－6)，C(6，0)，
∴点M的坐标为(3，－3)，且OA=OC，
∴直线MP过点O，
设直线MP的解析式为y＝kx，
将点M(3，－3)代入得，k＝－1，
即直线MP的解析式为y＝－x，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为(2－，－2)或(2＋，－2－)．
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.
(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，PA＝QA?
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：(1)∵直线y＝－2x＋10与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴A(5，0)，B(0，10)，
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx(a≠0)，
把点A(5，0)和C(8，4)代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x；
∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，
∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)如解图，连接AP，AQ，当P，Q运动t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP＝CQ，
∴2t＝10－t，
∴t＝，
∵t