2021学年中考数学二轮复习 二次函数专题三 二次函数与面积有关的问题（含解析）

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（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线，求证：当时，；
（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
【典例3】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标;
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
【典例4】如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
【典例5】如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，－2）.
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.
【典例6】如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
三 二次函数与图形面积问题
【典例1】已知直线交轴于点，交轴于点，二次函数的图象过两点，交轴于另一点，，且对于该二次函数图象上的任意两点，，当时，总有．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线，求证：当时，；
（3）为线段上不与端点重合的点，直线过点且交直线于点，求与面积之和的最小值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）的最小值为．
【解析】
【分析】
（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，B两点的坐标，再根据BC=4，得出点C的坐标，最后利用待定系数法可求二次函数的表达式；
（2）利用反证法证明即可；
（3）先求出q的值，利用，得出，设，然后用含t的式子表示出的面积，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
解：（1）对于，
当时，，所以；
当时，，，所以，
又因为，所以或，
若抛物线过，则当时，随的增大而减少，不符合题意，舍去．
若抛物线过，则当时，必有随的增大而增大，符合题意．
故可设二次函数的表达式为，
依题意，二次函数的图象过，两点，
所以，解得
所求二次函数的表达式为．
（2）当时，直线与直线不重合，
假设和不平行，则和必相交，设交点为，
由得，
解得，与已知矛盾，所以与不相交，
所以．
（3）如图，
因为直线过，所以，
又因为直线，所以，即，
所以，，
所以，所以，
设，则，
，
所以，
所以
所以当时，的最小值为．
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的性质与判定、三角形面积等基础知识，注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】
【分析】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】
解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A、B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A、C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．
【典例3】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标;
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
【解析】解：（1）令，得 解得
令，得
∴ A B C
（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB， ∴PAB=
过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴
G
M
C
B
y
P
A
解得，（不合题意，舍去）
∴PE=
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=
(3)． 假设存在
∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP=
设M点的横坐标为，则M
①点M在轴左侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时，有=
∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）(ⅱ) 当MAG PCA时有=
即
解得：（舍去）
∴M
G
M
C
B
y
P
A
② 点M在轴右侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时有=
∵AG=，MG=
∴
解得（舍去）
∴M
(ⅱ) 当MAGPCA时有=
即
解得：（舍去）
∴M
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为，，…………………………………13分
【典例4】如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
（1）求b,c的值；
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）…………………1分
∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)
∴…………………………………………………2分
解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分
（2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)
∴直线AB的解析式为：y=x+1……………………………………4分
∵二次函数
∴设点E(t， t+1),则F（t，）………………………5分
∴EF= ………………………………………6分
=
∴当时，EF的最大值=
∴点E的坐标为（，）………………………………7分
（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）
S = S + S
=
= ………………………………………………10分
②如备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)
则有： 解得:,
∴,
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）
则有： 解得： ，（与点F重合，舍去）
∴
综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
【典例5】如图,已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点P，顶点为C（1，－2）.
（1）求此函数的关系式；
（2）作点C关于轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D.若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）∵的顶点为C（1，－2），
∴，．
（2）设直线PE对应的函数关系式为
由题意，四边形ACBD是菱形.
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．
由P(0，－1)，M（1，0），得．从而，
设E(，)，代入，得．
解之得，，根据题意，得点E(3，2)
假设存在这样的点F，可设F(，)．
过点F作FG⊥轴，垂足为点G.
在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP.
∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．
解得，，根据题意，得F(1，－2)．
故点F(1，－2)即为所求． ．
【典例6】如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．
(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，－1）∴设
将C（0，3）代入上式，得
∴， 即…（3分）
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)
令=0, 得
解之得,
∵点A在点B的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0) （5分）
②解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)
∵OA=OC, ∠AOC=, ∴∠OAD2=
当∠D2AP2=时, ∠OAP2=, ∴AO平分∠D2AP2
又∵P2D2∥轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于轴对称
设直线AC的函数关系式为
将A(3,0), C(0,3)代入上式得
, ∴∴……………（7分）
∵D2在上, P2在上,
∴设D2(,), P2(,)∴()+()=0
, ∴, (舍)∴当=2时, ==－1 ∴P2的坐标为P2(2,－1)(即为抛物线顶点)
∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,－1)
(3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点P的坐标为P2(2,－1)(即顶点Q)时,
平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.
当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形
∵P(2,－1), ∴可令F(,1)∴
解之得: , ∴F点有两点,
即F1(,1), F2(,1)