2021学年中考数学二轮复习 二次函数专题一 二次函数公共点问题（含解析）

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一   二次函数公共点问题【典例1】平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．（1）用含的式子表示；（2）求点的坐标；（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．                         【典例2】如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．                 【典例3】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．                       【典例4】如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．（3）在（2）的旋转变换下，若（如图）．①求证：．②当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．               一   二次函数公共点问题【典例1】平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．（1）用含的式子表示；（2）求点的坐标；（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）或；（3）当时，有＜＜【解析】【分析】（1）把代入：，即可得到答案；（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与的交点为，确定顶点的位置，分情况利用，求解，从而可得答案；（3）分情况讨论，先求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案．【详解】解：（1）把代入：， （2） 抛物线为： 抛物线的对称轴为： 顶点不在第一象限，顶点在第四象限，如图，设＜ 记对称轴与的交点为，则 ， 当＞同理可得： 综上：或（3） 当，设为： 解得： 为 消去得： 由根与系数的关系得： 解得： 当时， 当时， 当时，，当时，有＜＜ 当，同理可得为： 同理消去得： 解得： 此时，顶点在第一象限，舍去，综上：当时，有＜＜【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．【典例2】如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求解抛物线解析式；（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，．【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）分0<t<1、、三种情况解答即可；（3）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可．【详解】解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：，解得：∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；（2）∵y=-x2-2x+3= ∴抛物细的顶点坐标为（-1,4）∵A(-3,0)在直线AD上设抛物线解析式为y=kx+b则有 ，解得：∴直线AD的解析式为y=2x+6,当在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-①如图所示，当0<t<1时，∴OC=O＇C＇=3,O＇B＇=OB=1,OB＇=1-t∵O＇C//OC∴△∽△OM∴,即，解得：OM=3(1-t)S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇= ②当时，完全在四边形AOCD内，③当时，如图所示，过G点作GH⊥，设HG=x，∵GH//AB∴,∠HGK=∠KAO∵∴∴，∵直线AD的解析式为y=2x+6,∴∴ , ∴,KO＇=2AO＇∴∵∴∵O＇C＇= C＇K+AO＇∴∴S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK= ∴综上：；（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）∴∴∴而∴∴∴=-∴，即∴．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．【典例3】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，∴点B（0，c），∵OA＝OB＝c，∴点A（c，0），∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0（舍去），∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点G为（1，4）；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，∴﹣21≤yQ≤4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．【典例4】如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．（3）在（2）的旋转变换下，若（如图）．①求证：．②当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．【答案】（1）；（2）（，0）；（3）①见解析；②=或=【解析】【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45°，因此设直线EF的解析式为y=x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6-m），直线与抛物线只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由及旋转的性质，证明△EHM≌△MGP，得到点E的坐标为（m-1，5-m），再根据两点距离公式证明，注意分两种情况，均需讨论；②把E（m-1，5-m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长．【详解】（1）∵点在抛物线上，∴，得到，又∵对称轴，∴，解得，∴，∴二次函数的解析式为；（2）当点M在点C的左侧时，如下图：∵抛物线的解析式为，对称轴为，∴点A（2，0），顶点B（2，4），∴AB=AC=4，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=45°；∵将逆时针旋转得到△MEF，∴FM=CM，∠2=∠1=45°，设点M的坐标为（m，0），∴点F（m，6-m），又∵∠2=45°，∴直线EF与x轴的夹角为45°，∴设直线EF的解析式为y=x+b，把点F（m，6-m）代入得：6-m=m+b，解得：b=6-2m，直线EF的解析式为y=x+6-2m，∵直线与抛物线只有一个交点，∴，整理得：，∴Δ=b2-4ac=0，解得m=，点M的坐标为（，0）．当点M在点C的右侧时，如下图：由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线与抛物线不可能只有一个交点．综上，点M的坐标为（，0）．（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H， ∵，由（2）知∠BCA=45°，∴PG=GC=1，∴点G（5，0），设点M的坐标为（m，0），∵将逆时针旋转得到△MEF，∴EM=PM， ∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，∴∠HEM=∠GMP，在△EHM和△MGP中，，∴△EHM≌△MGP（AAS），∴EH=MG=5-m，HM=PG=1，∴点H（m-1，0），∴点E的坐标为（m-1，5-m）；∴EA==，又∵为线段的中点，B（2，4），C（6，0），∴点D（4，2），∴ED==，∴EA= ED．当点M在点C的右侧时，如下图：同理，点E的坐标仍为（m-1，5-m），因此EA= ED．②当点在（1）所求的抛物线上时，把E（m-1，5-m）代入，整理得：m2-10m+13=0，解得：m=或m=，∴=或=．