高中数学人教B版 (2019)必修 第四册9.1.1 正弦定理练习题

正 弦 定 理

1.在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为 (　　)

A.10　　　B.10　　　C.15　　　D.15

2.在△ABC中,若=,则C的值为 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的面积为 (　　)

A.   B.  C.1  D.

4.在△ABC中,若a=2bsin A,则B= (　　)

A.   B.

C.或  D.或

5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　. 

6.在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是　　　　. 

能力提升

1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于 (　　)

A.-  B.   C.-   D.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于 (　　)

A.  B.-  C.±  D.

3.在△ABC中,角A,B的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x的取值范围是              (　　)

A.x>　　　　B.0<x<2

C.<x<2   D.<x≤2

4.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c=              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.0

5.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是 (　　)

A.b=7,c=3,C=30°　　　　B.b=5,c=4,B=45°

C.a=6,b=3,B=60°  D.a=20,b=30,A=30°

6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A= (　　)

A.30°　　　B.60°　　　C.150°　　　D.120°

7.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=　　　　. 

8.在△ABC中,A=60°,a=6,b=12,S△ABC=18,则=　　　,c=　　　　. 

9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=b,求C.

10.在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.

(1)求角B的大小;

(2)求cos2-sin cos 的取值范围.

11.如图所示,D是Rt△ABC的斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.

(1)求证:sin α+cos2β=0.

(2)若AC=DC,求β的值.

答案

1.在△ABC中,a=20,A=45°,B=75°,则边c的长为 (　　)

A.10　　　B.10　　　C.15　　　D.15

分析：选B.由已知C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°,

由正弦定理=得c=·sin C=×=10.

2.在△ABC中,若=,则C的值为 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

分析：选B.由正弦定理得==,

则cos C=sin C,即C=45°.

3.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=1,b=,B=60°,则△ABC的面积为 (　　)

A.   B.  C.1  D.

分析：选B.因为a=1,b=,B=60°,所以由正弦定理可得:sin A===,

因为a<b,A<60°,所以A=30°,C=180°-A-B=90°,所以S△ABC=ab=×1×=.

4.在△ABC中,若a=2bsin A,则B= (　　)

A.   B.

C.或  D.或

分析：选C.由正弦定理得×2Rsin A

=2×2Rsin Bsin A,

所以sin B=.又因为B∈(0,π),所以B=或.

5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　. 

分析：由正弦定理得sin B===,

结合b<c得B=45°,则A=180°-B-C=75°.

答案:75°

6.在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是　　　　. 

分析：由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知sin A=,sin B=,sin C=,

所以-=,即a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形.

答案:直角三角形

能力提升

1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于 (　　)

A.-  B.   C.-   D.

分析：选D.由正弦定理得=,

所以sin B===.

因为a>b,所以A>B,又因为A=60°,所以B为锐角.

所以cos B===.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于 (　　)

A.  B.-  C.±  D.

分析：选A.方法一:因为在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sin B=5sin C=5sin2B=10sin Bcos B,所以cos B=,又因为B为三角形内角,所以sin B==.所以sin C=sin 2B=2××=.

又因为cos B>cos 45°,所以B<45°,C=2B<90°,

cosC==.

方法二:因为8b=5c,所以8sin B=5sin C,即sin B=sin C,因为C=2B,所以cos C=cos2B=1-2sin2B=1-2,即25cos2C-32cos C+7=0.

解得cos C=或cos C=1(舍去).

　3.在△ABC中,角A,B的对边分别是a,b,且A=60°,b=2,a=x,若解此三角形有两解,则x的取值范围是              (　　)

A.x>　　　　B.0<x<2

C.<x<2   D.<x≤2

分析：选C.由正弦定理得sin B==,因为A=60°,所以0°<B<120°,要使此三角形有两解,则60°<B<120°,且B≠90°,即<sin B<1,所以<<1,解得<x<2.

4.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c=              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.0

分析：选D.因为acos C+ccos A=2bcos B,

所以由正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,

即sin=sin B=2sin Bcos B,因为sin B≠0,所以cos B=,B=.因为cos 2B+2sin Asin C=1,

所以2sin Asin C=1-cos 2B=2sin2B=,

sin Asin C=,cos=cos Acos C-sin Asin C=-cos B=-,所以cos Acos C=,cos=cos Acos C+sin Asin C=+=1,A-C=0,A=C,又因为A+C=π-B=,

所以A=C=B=⇒a=b=c,所以a-2b+c=0.

5.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是 (　　)

A.b=7,c=3,C=30°　　　　B.b=5,c=4,B=45°

C.a=6,b=3,B=60°  D.a=20,b=30,A=30°

分析：选BC.A. b=7,c=3,C=30°,=,故sin B=,无解.

B.b=5,c=4,B=45°,=,故sin C=,c<b,故C<B,有一解.

C.a=6,b=3,B=60°,=,故sin A=1,有一解.

D.a=20,b=30,A=30°,=,故sin B=,b>a,故B>A,有两解.

6.已知△ABC的面积为,且b=2,c=,则A= (　　)

A.30°　　　B.60°　　　C.150°　　　D.120°

分析：选BD.因为S=bcsin A=,所以×2×sin A=,所以sin A=,因为0°<A<180°,所以A=60°或120°.

7.在△ABC中,A=60°,B=45°,a+b=12,则a=　　　　. 

分析：因为=,所以=,

所以b=a,①

又因为a+b=12,②

由①②可知a=12(3-).

答案:12(3-)

8.在△ABC中,A=60°,a=6,b=12,S△ABC=18,则=　　　,c=　　　　. 

分析：由正弦定理,==,可得====12,由于a=6,b=12,S△ABC=18,则S△ABC=absinC=×6×12×sin C=18,即有sin C=,再由正弦定理,==,可得c===6.

答案:12　6

9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=b,求C.

分析：由A-C=90°,得A为钝角且sin A=cos C,利用正弦定理,a+c=b可变形为sin A+sin C=sin B,又因为sin A=cos C,

所以sin A+sin C=cos C+sin C=sin(C+45°)=

sin B,又A,B,C是△ABC的内角,

故C+45°=B或(C+45°)+B=180°(舍去),

所以A+B+C=(90°+C)+(C+45°)+C=180°.

所以C=15°.

10.在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.

(1)求角B的大小;

(2)求cos2-sin cos 的取值范围.

分析：(1)由=得到=即2sin Acos B=sin,即2sin Acos B=sin A,又因为A为三角形内角,所以sin A≠0,所以cos B=,从而B=.

(2)cos2-sincos=-sin A=cos C-sin+

=cos C-sin C+=cos+,因为0<C<,所以<C+<,

所以-<cos<,所以<cos+<.

所以cos2-sincos的取值范围为.

11.如图所示,D是Rt△ABC的斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.

(1)求证:sin α+cos2β=0.

(2)若AC=DC,求β的值.

分析：(1)在Rt△ABC中,因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABC=β.因为α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,

所以sin α=sin,即sin α=-sin.

所以sin α=-cos2β,所以sin α+cos2β=0.

(2)在△ADC中,根据正弦定理,=.

又AC=DC,∠ADC=π-β,

所以=,所以sin β=sin α.

由(1)知:sin α=-cos2β,所以sin β=-cos2β.

所以2sin2β-sin β-=0,解得sin β=或-.

因为0<β<,所以sin β=,所以β=.