高中人教B版 (2019)9.1.2 余弦定理巩固练习

余 弦 定 理

1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)

A.90° B.120° C.135° D.150°

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b= (　　)

A.  B.  C.2 D.3

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于 (　　)

A.4 B. C.3 D.

4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=bcos A,a2+b2=c2+ab,则△ABC是              (　　)

A.钝角三角形     B.直角三角形

C.等腰直角三角形    D.等边三角形

5.在△ABC中,B=60°,a=1,c=2,则=　　　　. 

6.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-asin C=bsin B,则B=　　　　. 

能力提升

1.已知△ABC中,=,则B= (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= (　　)

A.   B.   C.  D.

3.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围为 (　　)

A.　 B.　 C.　 D.

4.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.6

5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan B=ac,则角B的值为 (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

6.三角形有一个角是60°,夹这个角的两边长分别为8和5,则 (　　)

A.三角形另一边长为6

B.三角形的周长为20

C.三角形内切圆面积为3π

D.三角形外接圆周长为π

7.在△ABC中,a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=　　　　. 

8.在△ABC中,A=60°,最大边长与最小边长是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC的长为　　　　. 

9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-,则sin C=　　　　;当a=2,2sin A=sin C时,则b=　　　　. 

10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.

(1)求角A的大小.

(2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状.

11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-a=0 .

(1)求角C;

(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.

12.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2 min,从点D沿DC走到点C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,求该扇形的半径.

答案

1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)

A.90° B.120° C.135° D.150°

分析：选B.设中间角为θ,则θ为锐角,由余弦定理得cos θ==,θ=60°,180°-60°=120°,所以三角形最大角与最小角的和是120°.

2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b= (　　)

A.  B.  C.2 D.3

分析：选D.由余弦定理得5=b2+22-2×b×2×,解得b=3.

3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=2,cos(A+B)=,则c等于 (　　)

A.4 B. C.3 D.

分析：选D.由三角形内角和定理可知cos C=-cos(A+B)=-,又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+4-2×3×2×=17,所以c=.

4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B=bcos A,a2+b2=c2+ab,则△ABC是              (　　)

A.钝角三角形     B.直角三角形

C.等腰直角三角形    D.等边三角形

分析：选D.根据正弦定理:acos B=bcos A,即sin Acos B=sin Bcos A,即sin=0,A=B;根据余弦定理及a2+b2=c2+ab,解得cos C=,C∈,故C=.

故△ABC是等边三角形.

5.在△ABC中,B=60°,a=1,c=2,则=　　　　. 

分析：由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=3,所以b=,由正弦定理得===2.

答案:2

6.若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-asin C=bsin B,则B=　　　　. 

分析：由正弦定理得a2+c2-ac=b2,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,故cos B=.

又因为B为三角形的内角,所以B=45°.

答案:45°

能力提升

1.已知△ABC中,=,则B= (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

分析：选C.因为=,利用正弦定理角化边得=,所以(c-b)(c+b)=a(c-a),所以c2-b2=ac-a2,所以a2+c2-b2=ac,所以=,根据余弦定理可得cos B==,因为0<B<π,所以B=.

2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= (　　)

A.   B.   C.  D.

分析：选A.因为在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,所以BC=AB·sin B⇒AB=BC×=BC,由余弦定理得AC===BC,故△ABC的面积为BC·BC=AB·AC·sin A=·BC·BC·sin A,所以sin A=.

3.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,则a的取值范围为 (　　)

A.　 B.　 C.　 D.

分析：选D.钝角三角形的三边长为a,a+1,a+2,其最大角不超过120°,可设a+2所对的角为C,且为最大,cos C===,由题意可得90°<C≤120°,则-≤cos C<0,解得≤a<3.

4.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.6

分析：选A.由2cos2-cos 2C=1,

可得2cos2-1-cos 2C=0,

则有cos 2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=或cos C=-1(舍),

由4sin B=3sin A,得4b=3a,①

又a-b=1,②

联立①,②得a=4,b=3,

所以c2=a2+b2-2abcos C=16+9-12=13,则c=.

5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan B=ac,则角B的值为 (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

分析：选BD.根据余弦定理可知a2+c2-b2=2accos B代入化简可得2accos B·=ac即sin B=,因为0<B<π,所以B=或B=.

6.三角形有一个角是60°,夹这个角的两边长分别为8和5,则 (　　)

A.三角形另一边长为6

B.三角形的周长为20

C.三角形内切圆面积为3π

D.三角形外接圆周长为π

分析：选BC.由余弦定理可得另一边长为=7,则A错误,B正确.设内切圆半径为r,则(8+7+5)r=×8×5sin 60°,则r=,则内切圆面积为πr2=3π,则C正确.

设外接圆半径为R,则2R=,其周长为2πR=π,则D错误.

7.在△ABC中,a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=　　　　. 

分析：由sin C=2sin B及正弦定理得c=2b,

把它代入a2-b2=bc,得a2-b2=6b2,即a2=7b2.

由余弦定理得cos A====,又因为0°<A<180°,所以A=30°.

答案:30°

8.在△ABC中,A=60°,最大边长与最小边长是方程x2-9x+8=0的两个实根,则边BC的长为　　　　. 

分析：设内角B,C所对的边分别为b,c.因为A=60°,所以可设最大边与最小边分别为b,c.由条件可知b+c=9,bc=8,所以BC 2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A=92-2×8-2×8×cos 60°=57,所以BC=.

答案:

9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-,则sin C=　　　　;当a=2,2sin A=sin C时,则b=　　　　. 

分析：cos 2C=1-2sin2C=-,所以sin2C=,因为0<C<π,所以sin C=;

所以cos C=±,由正弦定理可知c=2a=4,

所以c2=a2+b2-2abcos C,

当cos C=时,整理为b2-b-12=0 ,

即=0 ,所以b=2(负值舍去),

当cos C=-,整理为b2+b-12=0,

即=0,所以b=(负值舍去),

所以b=2或.

答案:　或2

10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.

(1)求角A的大小.

(2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状.

分析：(1)因为2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,

所以2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,

所以cos A==.因为0°<A<180°,

所以A=60°.

(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°,

由sin B+sin C=,得sin B+sin(120°-B)=,

所以sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=,

所以sin B+cos B=,即sin(B+30°)=1.

又因为0°<B<120°,所以30°<B+30°<150°,

所以B+30°=90°,即B=60°,

所以A=B=C=60°,所以△ABC为正三角形.

11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且-a=0 .

(1)求角C;

(2)若△ABC的中线CE的长为1,求△ABC的面积的最大值.

分析：(1)由-a=0,

得=a,即=sin C,由余弦定理得cos C=sin C,

所以tan C=,因为C∈,所以C= .

(2)由余弦定理b2=1+-2×1×·cos∠CEA①,a2=1+-2×1×·cos∠CEB②,

①+②得,

b2+a2=2+ 即2(b2+a2)=4+c2,

因为c2=a2+b2-2ab·cos C,所以a2+b2=4-ab≥2ab,所以ab≤,当且仅当a=b时取等号,所以S△ABC=absin C≤××=.

12.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2 min,从点D沿DC走到点C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,求该扇形的半径.

分析：依题意得OD=100 m,CD=150 m,

连接OC,易知∠ODC=180°-∠AOB=60°,

因此由余弦定理得OC2=OD2+CD2-2OD×CD×cos ∠ODC,即OC2=1002+1502-2×100×150×,

解得OC=50(m).则该扇形的半径为50 m.