2020-2021学年9.2 正弦定理与余弦定理的应用课后练习题

正弦定理与余弦定理的应用

1.海上有A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.10 n mile  B. n mile

C.5 n mile  D.5 n mile

2.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6千米处.该船由A处向正北方向航行8千米到达C处,这时灯塔B与船相距              (　　)

A.2千米　　　 B.2千米

C.6千米    D.8千米

3.如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1 km,CD=3 km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠BED=120°,则两山顶A,C之间的距离为              (　　)

A.2 km    B. km

C. km   D.3 km

4.如图,有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,汽车在A点测得公路北侧山顶D的仰角为30°,汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向上,且仰角为45°,则山的高度CD为              (　　)

A.150 m  B.150 m

C.300 m  D.300 m

5.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为　　　　km. 

6.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,求河的宽度.

能力提升

1.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔在这次测量中的高度是              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.100 m  B.400 m  C.200 m  D.500 m

2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,则起吊的货物与岸的距离AD为              (　　)

A.30 m  B. m  C.15 m  D.45 m

3.小赵开车从A处出发,以每小时40千米的速度沿南偏东40°的方向直线行驶,30分钟后到达B处,此时,小王发来微信定位,显示他自己在A的南偏东70°方向的C处,且A与C的距离为15千米,若此时,小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王,则小赵到达C处所用的时间大约为(　　)

A.10分钟　 B.15分钟　 C.20分钟　 D.25分钟

4.马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一,如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏东15°的方向上,现在船往东开2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的方向上,再开回C处,由C向西开2百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的方向上,则A,B两座岛之间的距离为　　　　百海里              (　　) 

A.3  B.3   C.4  D.4

5.某人在A处向正东方向走x km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3 km到达C处,结果他离出发点恰好 km,那么x的值可能是              (　　)

A.　　　B.2　　　C.3　　　D.3

6.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有              (　　)

A.d1>d2　　　　　　B.d1<d2

C.d1<20 m    D.d2<20 m

7.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10 km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走　　　　.(结果精确到0.1 km)(参考数据:≈1.41,≈1.73) 

8.地平面上一旗杆设为OP,为测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,AB=200 m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高h为　　　　m. 

9.如图,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,求山高MN.

10.如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,

(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后到达E,甲到达D,求此时甲、乙两人之间的距离;

(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠DEF=,请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.

11.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两市相距20 km,C,D相距34 km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B,C,D三市的距离.

12.如图,A,B,C三地有直道相通,其中AB、BC为步行道,AC为机动车道,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向6千米处,某校开展步行活动,从A地出发,经B地到达C地,中途不休息.

(1)媒体转播车从A出发,沿AC行至点P处,此时∠ABP=45°,求PB的距离;

(2)媒体记者随队步行,媒体转播车从A地沿AC前往C,两者同时出发,步行的速度为6千米/小时,为配合转播,转播车的速度为12千米/小时,记者和转播车通过专用对讲机保持联系,转播车开到C地后原地等待,直到记者到达C地,若对讲机的有效通话距离不超过9千米,求他们通过对讲机能保持联系的总时长.

答案

1.海上有A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.10 n mile  B. n mile

C.5 n mile  D.5 n mile

分析：选D.在△ABC中C=180°-60°-75°=45°.

由正弦定理得=,所以=,

解得BC=5(n mile).

2.某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6千米处.该船由A处向正北方向航行8千米到达C处,这时灯塔B与船相距              (　　)

A.2千米　　　 B.2千米

C.6千米    D.8千米

分析：选A.由题意,画示意图如图:

已知AB=6,AC=8,∠A=60°,

由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos A

=64+36-2×8×6×=52,

所以BC==2.

所以灯塔B与船之间的距离为2千米.

3.如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1 km,CD=3 km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠BED=120°,则两山顶A,C之间的距离为              (　　)

A.2 km    B. km

C. km   D.3 km

分析：选C.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠BED=120°,

所以BE===,DE===;

在△BED中,由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2·BE·DE·cos∠BED=3+3-2×××=9,所以BD=3;所以AC===,即两山顶A,C之间的距离为 km.

4.如图,有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,汽车在A点测得公路北侧山顶D的仰角为30°,汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向上,且仰角为45°,则山的高度CD为              (　　)

A.150 m  B.150 m

C.300 m  D.300 m

分析：选D.由题意可知:∠DAC=30°,∠DBC=45°,因为汽车到B点,测得D在北偏西30°方向上,所以∠ABC=120°.设山的高度为h,

在Rt△DCA中,tan∠DAC=⇒AC=h.

在Rt△DBC中,tan∠DBC=⇒BC=h.

在△BCA中,由余弦定理可得:AC2=BC2+AB2-2·BC·AB·cos∠ABC⇒h2-150h-45 000=0⇒h=300,h=-150(舍去).

5.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为　　　　km. 

分析：如图所示,由题意可知AB=3,BC=2,∠ABC=150°.

由余弦定理得AC2=27+4-2×3×2×cos 150°=49,AC=7.则A,C两地的距离为7 km.

答案:7

6.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,求河的宽度.

分析：在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,

所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120(m).

如图作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.

由正弦定理得=,

所以=,所以CD=60,所以河的宽度为60 m.

能力提升

1.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔在这次测量中的高度是              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.100 m  B.400 m  C.200 m  D.500 m

分析：选D.

由题意画出示意图,设高AB=h,

在Rt△ABC中,由已知得BC=h,

在Rt△ABD中,由已知得BD=h,

在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos ∠BCD,即3h2=h2+5002+h·500,

解得h=500或h=-250(舍).

2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,则起吊的货物与岸的距离AD为              (　　)

A.30 m  B. m  C.15 m  D.45 m

分析：选B.在△ABC中,AC=15 m,

AB=5 m,BC=10 m,

由余弦定理得cos ∠ACB=

==-,

所以sin ∠ACB=.

又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin ∠ACD=sin ∠ACB=.在Rt△ADC中,AD=AC·sin ∠ACD=15×= m.

3.小赵开车从A处出发,以每小时40千米的速度沿南偏东40°的方向直线行驶,30分钟后到达B处,此时,小王发来微信定位,显示他自己在A的南偏东70°方向的C处,且A与C的距离为15千米,若此时,小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王,则小赵到达C处所用的时间大约为(　　)

A.10分钟　 B.15分钟　 C.20分钟　 D.25分钟

分析：选B.根据条件可得∠BAC=30°,AB=20,AC=15,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 30°=175,则BC=5≈13(千米),由B到达C所需时间约为=0.25小时=15分钟.

4.马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一,如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏东15°的方向上,现在船往东开2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的方向上,再开回C处,由C向西开2百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的方向上,则A,B两座岛之间的距离为　　　　百海里              (　　) 

A.3  B.3   C.4  D.4

分析：选B.由题意,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°,∠BCE=75°,∠BEC=60°,在△ADC中,可得∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,

所以AC=DC=2,在△BCE中,可得∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=45°,

由正弦定理可得=,可得BC===,

在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=+-2×2×cos60°=18,所以AB=3.

5.某人在A处向正东方向走x km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3 km到达C处,结果他离出发点恰好 km,那么x的值可能是              (　　)

A.　　　B.2　　　C.3　　　D.3

分析：选AB.由题意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=,解得x=2或x=.

6.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有              (　　)

A.d1>d2　　　　　　B.d1<d2

C.d1<20 m    D.d2<20 m

分析：选BC.

如图,设旗杆高为h,则d1=,d2=.

因为tan 50°>tan 40°,所以d1<d2.又因为tan 50°>tan 45°=1,所以d1<20 m.

7.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB行驶.已知AC=10 km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走　　　　.(结果精确到0.1 km)(参考数据:≈1.41,≈1.73) 

分析：过点C作CD⊥AB,垂足为D.

在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10 km,

CD=AC·sin 30°=5(km),AD=AC·cos 30°=5(km).

在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5(km),

BC==5(km).AB=AD+BD=(5+5)(km),AC+BC-AB=10+5-(5+5)

=5+5-5≈5+5×1.41-5×1.73=3.4(km).

答案:3.4 km

8.地平面上一旗杆设为OP,为测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,AB=200 m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高h为　　　　m. 

分析：如图,OP=h,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠AOB=60°,AB=200 m.

在△AOP中,因为OP⊥OA,

所以∠AOP=90°,则OA==h,

同理,在△BOP中,∠BOP=90°,且∠OBP=45°,

所以OB=OP=h.在△OAB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,

即2002=3h2+h2-2h2·cos 60°,

解得h=.

答案:

9.如图,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,求山高MN.

分析：在△ABC中,因为∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100,

所以AC==100.

在△AMC中∠MAC=75°,∠MCA=60°,

所以∠AMC=45°.

由正弦定理得=,即=,所以AM=100.在Rt△AMN中,MN=AMsin∠MAN=100×sin60°=150,故山高MN是150 m.

10.如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200 m,斜边AB=400 m.现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB,BC,AC大道上嬉戏,

(1)若甲、乙都以每分钟100 m的速度从点B出发在各自的大道上奔走,乙比甲迟2分钟出发,当乙出发1分钟后到达E,甲到达D,求此时甲、乙两人之间的距离;

(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠DEF=,请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.

分析：(1)依题意得BD=300,BE=100,

在△ABC中cos B==,所以B=,

在△BDE中由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcosB

=3002+1002-2×300×100×=70 000,

所以DE=100.

答:甲、乙两人之间的距离为100 m.

(2)由题意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,

在Rt△CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycos θ,

在△BDE中,由正弦定理得=,

即=

所以y==,0≤θ≤,所以当θ=时,y有最小值50.

答:甲、乙之间的最小距离为50 m.

11.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两市相距20 km,C,D相距34 km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B,C,D三市的距离.

分析：在△ABC中,由题意得AB-AC=1.5×8=12(km).

在△ACD中,由题意得AD-AC=1.5×20=30(km).

设AC=x km,AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.

在△ABC中,cos ∠ACB=

==,

在△ACD中,cos∠ACD=

==.

因为B,C,D在一条直线上,所以=-,

即=,解得x=.

所以AB= km,AD= km.即震中A到B,C,D三市的距离分别为 km, km, km.

12.如图,A,B,C三地有直道相通,其中AB、BC为步行道,AC为机动车道,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向6千米处,某校开展步行活动,从A地出发,经B地到达C地,中途不休息.

(1)媒体转播车从A出发,沿AC行至点P处,此时∠ABP=45°,求PB的距离;

(2)媒体记者随队步行,媒体转播车从A地沿AC前往C,两者同时出发,步行的速度为6千米/小时,为配合转播,转播车的速度为12千米/小时,记者和转播车通过专用对讲机保持联系,转播车开到C地后原地等待,直到记者到达C地,若对讲机的有效通话距离不超过9千米,求他们通过对讲机能保持联系的总时长.

分析：(1)在Rt△ABC中,sin A===,

所以A=60°,则∠APB=180°-60°-45°=75°,

在△APB中由正弦定理得=,

则PB==9-3;

(2)设步行时间为t小时,记者位于E,媒体车位于F,①当t∈[0,1]时,E在AB上,AE=6t,AF=12t,由余弦定理可得EF=

==6t,

由EF≤9得6t≤9,所以0≤t≤;

②当t∈(1,1+]时,此时F在点C处,E在BC上,且BE=6(t-1),

EF=BC-BE=6-6(t-1)=6+6-6t,

由EF≤9得6+6-6t≤9,解得t≥-,

故他们通过对讲机能保持联系的总时长为+1+-(-)=.