人教B版 (2019)必修 第四册11.1.5 旋转体课后作业题

旋　转　体

1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是 (　　)

A.圆柱   B.圆锥   C.圆台   D.两个圆锥

2.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面,那么截面图形为              (　　)

3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　　)

A.4π(r+R)2     B.4πr2R2

C.4πRr      D.π(R+r)2

4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为　　　　. 

5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是　　　　. 

6.一个球放在墙角且与墙角的三个面都相切,球心到墙角的距离是3,求球的表面积.

能力提升

1.圆锥的中截面把圆锥的侧面分成两部分,这两部分侧面积的比为 (　　)

A.1∶1　　　 B.1∶2　　 　C.1∶3　　 　D.1∶4

2.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面圆的半径为              (　　)

A.3    B.5    C.6    D.7

3.在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后,剩余部分几何体如图所示.已知实心圆柱底面直径为2,高为3,内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形,则剩余部分几何体的表面积为              (　　)

A.8π+6+6     B.6π+6+6

C.8π+4+6     D.6π+4+6

4.若两平行平面截表面积为100π的球,若截面面积分别为9π,16π,则这两个平行平面之间的距离为 (　　)

A.1   B.7   C.3或4   D.1或7

5.下列说法正确的是 (　　)

A.以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥

B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥

C.经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形

D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径

6.等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为 (　　)

A.π    B.π

C.2π    D.π

7.圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为　　　　. 

8.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为　　　,直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为　　　　. 

9.已知圆台内有一表面积为144π cm2的内切球,如果圆台的下底面与上底面半径之差为5 cm,求圆台的表面积.

10.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为旋转轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)

11.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积.

答案

1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是 (　　)

A.圆柱   B.圆锥   C.圆台   D.两个圆锥

分析：选D.连接正方形的两条对角线知,对角线互相垂直,故绕对角线旋转一周形成两个圆锥.

2.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面平行于底面,那么截面图形为              (　　)

分析：选C.截面图形应为图C所示的圆环面.

3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为 (　　)

A.4π(r+R)2     B.4πr2R2

C.4πRr      D.π(R+r)2

分析：选C.如图,设球的半径为r1,则在Rt△CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=AB=BF+AF=R+r.由勾股定理得4=(R+r)2-(R-r)2,解得r1=,故球的表面积为S球=4π=4πRr.

4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形,则它们的表面积之比为　　　　. 

分析：因为圆柱的轴截面是边长为a的正方形,故圆柱的底面半径R=a,母线长l′=a,故圆柱的表面积S=2πR(R+l′)=a2π,因为圆锥的轴截面是边长为a的正三角形,故圆锥的底面半径r=a,母线长l=a,故圆锥的表面积S=πr(r+l)=a2π,故它们的表面积之比为:2∶1.

答案:2∶1

5.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是　　　　. 

分析：如图,设圆锥底面半径为r,母线长为l,

由题意得解得r=,

所以底面积为πr2=π×=.

答案:

6.一个球放在墙角且与墙角的三个面都相切,球心到墙角的距离是3,求球的表面积.

分析：设球心为A,墙角为O,则OA=3,过A分别作三个墙面的垂线AB,AD,AA1,垂足为B,D,A1,以AB,AD,AA1为棱可画出一个正方体ABCD-A1B1OD1,则OA为正方体的体对角线,AB为球的半径,设为R,于是=3,所以R=,故S球=4πR2=4π×()2=12π.

能力提升

1.圆锥的中截面把圆锥的侧面分成两部分,这两部分侧面积的比为 (　　)

A.1∶1　　　 B.1∶2　　 　C.1∶3　　 　D.1∶4

分析：选C.如图所示,PB为圆锥的母线,O1,O2分别为中截面与底面的圆心.

因为O1为PO2的中点,所以===.①

因为S圆锥侧=π·O1A·PA,S圆台侧=π(O1A+O2B)·AB,所以=.

由①得PA=AB,O2B=2O1A,

所以==.

2.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面圆的半径为              (　　)

A.3    B.5    C.6    D.7

分析：选D.设圆台较小底面圆的半径为r,则另一底面圆的半径为3r,而圆台的侧面积公式为π(r+3r)l=π×4r×3=84π,r=7.

3.在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后,剩余部分几何体如图所示.已知实心圆柱底面直径为2,高为3,内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形,则剩余部分几何体的表面积为              (　　)

A.8π+6+6     B.6π+6+6

C.8π+4+6     D.6π+4+6

分析：选C.由题意、棱柱和圆柱的侧面积公式以及三角形和圆的面积公式,可得剩余几何体的底面积为:

2=2π-2,

侧面积为×3+2π×3=6+6+6π,

所以剩余几何体的表面积为:8π+4+6.

4.若两平行平面截表面积为100π的球,若截面面积分别为9π,16π,则这两个平行平面之间的距离为 (　　)

A.1   B.7   C.3或4   D.1或7

分析：选D.如图,圆O为球的一个大圆,半径R==5,A2B2,A1B1分别为两截面圆的直径,截面面积分别为9π,16π,则O2B2=3,O1B1=4,

在Rt△O1OB1中OO1==3,

在Rt△O2OB2中OO2==4.当O1,O2在球心O的同侧时,两截面的距离O1O2=OO2-OO1=1;当O1,O2在球心O的两侧时,两截面的距离O1O2=O1O+OO2=7.

5.下列说法正确的是 (　　)

A.以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥

B.以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥

C.经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形

D.圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径

分析：选BCD.A不正确,直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥;

B正确,以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将

三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;C正确,因为圆锥的母线长都相等,所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;D正确,如图所示,圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径).

6.等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为 (　　)

A.π    B.π

C.2π    D.π

分析：选AB.如果是绕直角边旋转,形成圆锥,圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,所以所形成的几何体的表面积是S=πrl+πr2=π×1×+π×12=π.如果绕斜边旋转,形成的是上下两个圆锥,圆锥的半径是直角三角形斜边上的高,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是1,所以形成的几何体的表面积S=2×πrl=2×π××1=π.

综上可知形成的几何体的表面积是π或π.

7.圆锥的底面直径为6,高是4,则它的侧面积为　　　　. 

分析：作圆锥轴截面如图,高AD=4,底面半径CD=3,则母线AC=5,得S侧=π×3×5=15π.

答案:15π

8.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为　　　,直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为　　　　. 

分析：球心在面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC外接圆的直径,且外接圆圆心N位于BC中点,

所以∠BAC=90°,△A1B1C1的外心M在B1C1中点上,设正方形BCC1B1边长为x,

Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1,

所以+=1,即x=,则AB=AC=1,

所以=×1=,

=×1=,

=×=2,

S△ABC=×1×1=,所以直三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为++2++=3+2.

答案:　3+2

9.已知圆台内有一表面积为144π cm2的内切球,如果圆台的下底面与上底面半径之差为5 cm,求圆台的表面积.

分析：其轴截面如图所示,

设圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,母线长为l,球半径为R,则r2-r1=5,母线l=r1+r2.因为4πR2=144π,所以R=6.又l2=(2R)2+(r2-r1)2,

所以(r1+r2)2=(2R)2+(r2-r1)2=(2×6)2+52=132.

所以r1+r2=13.

结合r2-r1=5得r1=4,r2=9,所以l=13.

所以S圆台表=π+π+π(r1+r2)l

=π·42+π·92+π(4+9)·13=266π(cm2).

10.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为旋转轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积.(其中∠BAC=30°)

分析：所得几何体如图所示,过点C作CO1⊥AB于点O1.

在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,

AB=2R,所以AC=R,BC=R,

CO1=R,

所以S球=4πR2,=π×R×R

=πR2,=π×R×R=πR2,

所以S几何体表=S球++

=4πR2+πR2+πR2=πR2.

故所得几何体的表面积为πR2.

11.有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体的各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积.

分析：设正方体的棱长为a.

(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面(正方形)的中心,经过四个切点及球心作截面,如图(1)所示,所以有2r1=a,r1=,所以S1=4π=πa2.

(2)球与正方体各棱的切点是每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2)所示,所以有2r2=a,r2=a.

所以S2=4π=2πa2.

(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3)所示,所以有2r3=a,r3=a,所以S3=4π=3πa2.