高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.2 构成空间几何体的基本元素课时作业

构成空间几何体的基本元素

1.已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则 (　　)

A.P∉α,Q∈α    B.P∈α,Q∉α

C.P∉α,Q∉α     D.Q∈α

2.直线a在平面γ外,则 (　　)

A.a∥γ     B.a与γ至少有一个公共点

C.a∩γ=A    D.a与γ至多有一个公共点

3.如果两条直线a∥b,且a∥平面α,那么b和平面α的位置关系是 (　　)

A.相交      B.b∥α

C.b⊂α      D.b∥α或b⊂α

4.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　条. 

5.下列说法:

①若直线a不与平面α相交,则a∥α;②若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.

其中说法正确的为　　　　.(填序号) 

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中:

(1)与直线B1C1不平行也不相交的直线有哪几条?

(2)与直线B1C1平行的平面有哪几个?

(3)与直线B1C1垂直的平面有哪几个?

(4)与平面BCC1B1平行的平面有哪几个?

(5)与平面BCC1B1垂直的平面有哪几个?

能力提升

1.如果一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条直线之间的位置关系是 (　　)

A.平行

B.相交

C.异面

D.可能平行、可能相交、可能异面

2.过直线l外两点可以作l的平行线条数为 (　　)

A.1条　  　B.2条　  　C.3条  　　D.0条或1条

3.如图,模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体,则下列选择方案中,能够完成任务的为              (　　)

A.模块①,②,⑤    B.模块①,③,⑤

C.模块②,④,⑤    D.模块③,④,⑤

4.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 (　　)

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

5.关于直线与平面,下列说法中,正确的是 (　　)

A.若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点,则这两个平面平行

B.过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行

C.过平面外两点不能作平面与已知平面平行

D.若一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任何平面都与已知平面平行

6.平面α与平面β平行,且a⊂α,下列四种说法中正确的是 (　　)

A.a与β内的所有直线都平行

B.a与β内无数条直线平行

C.a与β内的任意一条直线都不垂直

D.a与β无公共点

7.已知下列说法:(1)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;(2)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;(3)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;(4)若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.

其中正确的序号是　　.(将你认为正确的序号都填上) 

8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=3,BC=2,AA1=1,则点B到面ADD1A1的距离为　　　　,直线AC与面A1B1C1D1的距离为　　　　,面ABB1A1与面DCC1D1的距离为　　　　. 

9.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,P是A′D的中点,Q是B′D′的中点,判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系,并利用定义证明.

10.三个平面α,β,γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.

(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;

(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.

11.从平面外一点P引与平面相交的直线,要使点P与交点的距离等于1,则满足条件的直线的条数可能是　　　　. 

答案

1.已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则 (　　)

A.P∉α,Q∈α    B.P∈α,Q∉α

C.P∉α,Q∉α     D.Q∈α

分析：选D.由点、线、面之间的位置关系可判断P与α的关系不确定,Q∈α.

2.直线a在平面γ外,则 (　　)

A.a∥γ     B.a与γ至少有一个公共点

C.a∩γ=A    D.a与γ至多有一个公共点

分析：选D.直线a在平面γ外,其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义,故a与γ至多有一个公共点.

3.如果两条直线a∥b,且a∥平面α,那么b和平面α的位置关系是 (　　)

A.相交      B.b∥α

C.b⊂α      D.b∥α或b⊂α

分析：选D.当直线b⊄α时,b∥α;b⊂α也有可能成立.

4.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有　　　　条. 

分析：如图所示,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.

答案:6

5.下列说法:

①若直线a不与平面α相交,则a∥α;②若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.

其中说法正确的为　　　　.(填序号) 

分析：对于①,直线a不与平面α相交包括两种情况:a∥α或a⊂α,所以a和α不一定平行,所以①说法错误.对于②,因为直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,所以a不一定平行于α,所以②说法错误.对于③,因为a∥b,b⊂α,所以a⊂α或a∥α,所以a与平面α内的无数条直线平行,所以③说法正确.

答案:③

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,如果把它的12条棱延伸为直线,6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中:

(1)与直线B1C1不平行也不相交的直线有哪几条?

(2)与直线B1C1平行的平面有哪几个?

(3)与直线B1C1垂直的平面有哪几个?

(4)与平面BCC1B1平行的平面有哪几个?

(5)与平面BCC1B1垂直的平面有哪几个?

分析：(1)与直线B1C1不平行也不相交的直线:直线AA1、直线DD1、直线AB、直线DC.

(2)与直线B1C1平行的平面:平面ADD1A1、平面ABCD.

(3)与直线B1C1垂直的平面:平面ABB1A1、平面CC1D1D.

(4)与平面BCC1B1平行的平面:平面ADD1A1.

(5)与平面BCC1B1垂直的平面:平面ABB1A1、平面A1B1C1D1、平面CDD1C1、平面ABCD.

能力提升

1.如果一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条直线之间的位置关系是 (　　)

A.平行

B.相交

C.异面

D.可能平行、可能相交、可能异面

分析：选D.可以利用长方体的棱所在的直线找到平行,相交,异面的情况.

2.过直线l外两点可以作l的平行线条数为 (　　)

A.1条　  　B.2条　  　C.3条  　　D.0条或1条

分析：选D.以如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1为例.

令A1B1所在直线为直线l,过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行,过l外的两点B、C不能作直线与l平行.

3.如图,模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体,则下列选择方案中,能够完成任务的为              (　　)

A.模块①,②,⑤    B.模块①,③,⑤

C.模块②,④,⑤    D.模块③,④,⑤

分析：选A.先将⑤放入⑥中的空缺部分,然后在上层放入①②可得棱长为3的大正方体.

4.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 (　　)

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

分析：选D.如图,构建长方体ABCD-A1B1C1D1,

记l1=DD1,l2=DC,l3=DA.

若取l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,则排除选项A和C.若l4=C1D,则l1与l4相交;若取l4=BA,则l1与l4异面;若取l4=C1D1,则l1与l4相交且垂直,因此l1与l4的位置关系不能确定.

5.关于直线与平面,下列说法中,正确的是 (　　)

A.若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点,则这两个平面平行

B.过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行

C.过平面外两点不能作平面与已知平面平行

D.若一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任何平面都与已知平面平行

分析：AB.显然AB选项正确;对于选项C中,两点所在直线与平面平行时可以;对于选项D中,经过这条直线的平面与已知平面可能相交.

6.平面α与平面β平行,且a⊂α,下列四种说法中正确的是 (　　)

A.a与β内的所有直线都平行

B.a与β内无数条直线平行

C.a与β内的任意一条直线都不垂直

D.a与β无公共点

分析：选BD.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,平面ABCD∥平面A′B′C′D′,A′D′⊂平面A′B′C′D′,AB⊂平面ABCD,A′D′与AB不平行,且A′D′与AB垂直,所以A、C错.

7.已知下列说法:(1)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;(2)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;(3)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;(4)若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.

其中正确的序号是　　.(将你认为正确的序号都填上) 

分析：因为在两个平行平面内的两条直线没有公共点,所以可能平行,也可能异面,所以(3)正确;(4)中a与β也可能平行.

答案:(3)

8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=3,BC=2,AA1=1,则点B到面ADD1A1的距离为　　　　,直线AC与面A1B1C1D1的距离为　　　　,面ABB1A1与面DCC1D1的距离为　　　　. 

分析：在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥面ADD1A1,

所以点B到面ADD1A1的距离为AB=3,

即点B到面ADD1A1的距离为3.AC∥面A1B1C1D1,

则直线AC上任意一点到面A1B1C1D1的距离相等.

由AA1⊥面A1B1C1D1,所以点A到面A1B1C1D1的距离为AA1=1,所以直线AC与面A1B1C1D1的距离为1.

面ABB1A1与面DCC1D1平行,且BC与面ABB1A1、面DCC1D1都垂直,

所以线段BC为面ABB1A1与面DCC1D1的距离,

故面ABB1A1与面DCC1D1的距离为2.

答案:3　1　2

9.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,P是A′D的中点,Q是B′D′的中点,判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系,并利用定义证明.

分析：直线PQ与平面AA′B′B平行.证明如下:

连接AD′,AB′,则P是AD′的中点,在△AB′D′中,

由已知条件可得PQ是△AB′D′的中位线,

因为平面AB′D′∩平面AA′B′B=AB′,

所以PQ在平面AA′B′B外,

又PQ在平面AB′D′内,且与直线AB′平行,

所以PQ与平面AA′B′B没有公共点,

所以PQ与平面AA′B′B平行.

10.三个平面α,β,γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c⊂β,c∥b.

(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;

(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.

分析：(1)c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点,

又c⊂β,所以c与α无公共点,则c∥α.

(2)c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点,

又γ∩α=a,γ∩β=b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,

所以a,b没有公共点.由于a,b都在平面γ内,

因此a∥b,又c∥b,所以c∥a.

11.从平面外一点P引与平面相交的直线,要使点P与交点的距离等于1,则满足条件的直线的条数可能是　　　　. 

分析：因为点到平面的距离是该点到平面内的点的所连线段中最短的一条线段的长度.因此要判断过P点作符合条件的直线的条数必须比较P点到平面的距离和1的大小.

(1)若P点到平面的距离大于1.容易知道过P点不能作出符合条件的直线;

(2)若P点到平面的距离等于1.过P点有且只有一条直线符合条件,且该直线垂直于已知平面.

(3)若P点到平面的距离小于1.过P点可作无数条符合条件的直线(如图).直线PO垂直于平面α,垂足为O,过P作直线PA交平面α于A,且PA=1,以O点为圆心,以OA长为半径在平面α中作圆.则过圆上任意一点和P的直线,都是满足点P与平面α交点的距离等于1的直线.

综合上述,满足条件的直线的条数可能是0,1或无数条.

答案:0,1或无数条