九年级期中考试解答题复习 初中 / 数学 / 期中专区

这是一份九年级期中考试解答题复习 初中 / 数学 / 期中专区，试卷主要包含了如图，为求出河对岸两棵树A等内容，欢迎下载使用。

一．解答题（共30小题）
1．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．
（1）求证：PB=PD．
（2）若DF：FA=1：2
①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；
②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．
3．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
4．如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．
（1）求点B的坐标；
（2）求△OAB的面积．
5．如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点、与y轴交于点P，且点A的纵坐标和点B的横坐标都是4，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．
（3）并利用图象指出，当x为何值时有y1＞y2．
6．如图，直线y1=2x与反比例函数的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B．已知OB=1．
（1）求点A的坐标和这个反比例函数的关系式；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y1＞y2？
7．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
8．如图，为求出河对岸两棵树A．B间的距离，小明在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12米到达D，测得∠CDB=90°．取CD的中点E，测∠AEC=56°，∠BED=67°．
（1）求AC长；
（2）求河对岸两树间的距离AB．
（参考数据sin56°≈，tan56°≈，sin67°≈，tan67°≈）
9．如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10海里．
求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向？
（2）两军舰M、N的距离．（结果保留根号）
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，8），与x轴交于A，B两点，其中A（﹣2，0），B（6，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若E是线段BC上一点，P是抛物线（在第一象限内的）上一点，EC=EP，且点E关于直线PC的对称点F在y轴上，求证：PE平行于y轴，并求出此时点P的坐标．
11．如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
12．如图：对称轴x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P点坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
一．解答题（共30小题）
1．（2015•陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）
【解答】解：由题意得：∠CAD=∠MND=90°，∠CDA=∠MDN，
∴△CAD～△MND，
∴，
∴，
∴MN=9.6，
又∵∠EBF=∠MNF=90°，
∠EFB=∠MFN，
∴△EFB～△MFN，
∴，
∴
∴EB≈1.75，
∴小军身高约为1.75米．

2．（2015•武侯区模拟）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．
（1）求证：PB=PD．
（2）若DF：FA=1：2
①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；
②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
在△APB和△APD中，
，
∴△APB≌△APD，
∴PB=PD；
（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AFP∽△CBP，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知PB=PD，
∴，
∴PF=PD．
②由（1）证得△APB≌△APD，
∴∠ABP=∠ADP，
∵GC∥AB，
∴∠G=∠ABP，
∴∠ADP=∠G，
∴∠GDP＞∠G，
∴PD≠PG．
（Ⅰ），若DG=PG，
∵DG∥AB，
∴△DGP∽△EBP，
∴PB=EB，
由（2）知，设PF=2a，
则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，
由△DGP∽△EBP，得DG=a，
∴AB=AD=2DG=9a，
∴AF=6a，
如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，
则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，
解得x=a，∴FH=，
∴tan∠DAB=；
（Ⅱ）若DG=DP，如图2，
设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，
AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，
设AH=x，
∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，
解得x=m，
∴FH=，
∴tan∠DAB==．

3．（2015秋•太原期末）如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当=时，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；
当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．

4．（2016•静安区一模）如图，直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=．
（1）求点B的坐标；
（2）求△OAB的面积．
【解答】解：（1）∵直线y=x与反比例函数的图象交于点A（3，a），
∴A（3，4），
反比例函数解析式y=，
∵点B在这个反比例函数图象上，
设B（x，），
∵tanα=，
∴=，
解得：x=±6，
∵点B在第一象限，
∴x=6，
∴B（6，2）．
答：点B坐标为（6，2）．
（2）设直线OB为y=kx，（k≠0），
将点B（6，2）代入得：k=，
∴OB直线解析式为：y=x，
过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如下图：
则点C坐标为：（3，1），
∴AC=3
S△OAB的面积
=S△OAC的面积+S△ACB的面积，
=×|AC|×6
=9．
△OAB的面积为9．

5．（2010秋•广陵区校级期中）如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点、与y轴交于点P，且点A的纵坐标和点B的横坐标都是4，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积．
（3）并利用图象指出，当x为何值时有y1＞y2．
【解答】（1）解：∵y=4代入y2=﹣得：x=﹣1，
把x=4代入y2=﹣得：y=﹣1，
∴A（﹣1，4）B（4，﹣1），
∵把A、B的坐标代入y1=kx+b得：，
解得：k=﹣1，b=3，
∴一次函数的解析式是：y=﹣x+3；
（2）解：设直线AB交x轴于C，
把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，
即OC=3，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×|﹣1|=7.5，
即△AOB的面积是7.5；
（3）解：∵A（﹣1，4），B（4，﹣1），
∴当x＜﹣1 或 0＜x＜4时有y1＞y2．

6．（2009•翔安区质检）如图，直线y1=2x与反比例函数的图象在第一象限的交点为A，AB垂直于x轴，垂足为B．已知OB=1．
（1）求点A的坐标和这个反比例函数的关系式；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y1＞y2？
【解答】解：（1）∵AB垂直于x轴，垂足为B，OB=1，
∴B点的横坐标为1，
∵点A在直线y1=2x上，
∴y1=2×1=2，
∴A点坐标为：（1，2）；
∵A点在反比例函数y2=的图象上，
∴k=2×1=2，
∴此反比例函数的关系式为：y=；
（2）∵反比例函数的图象关于原点对称，A点坐标为：（1，2），
∴直线y1=2x与反比例函数y2=的另一交点坐标为（﹣1，﹣2），
由函数图象可知，当x＞1或﹣1＜x＜0时，y1在y2的上方，
∴当x＞1或﹣1＜x＜0时，y1＞y2．

7．（2016•厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．
【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴EC==5x，
EM==x，
CM==2x，
∴EM2+CM2=CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM==．

8．（2014•青羊区校级模拟）如图，为求出河对岸两棵树A．B间的距离，小明在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12米到达D，测得∠CDB=90°．取CD的中点E，测∠AEC=56°，∠BED=67°．
（1）求AC长；
（2）求河对岸两树间的距离AB．
（参考数据sin56°≈，tan56°≈，sin67°≈，tan67°≈）
【解答】解：（1）∵E为CD中点，CD=12m，
∴CE=DE=6m．
在Rt△ACE中，
∵tan56°=，
∴AC=CE•tan56°≈6×=9m；
（2）在Rt△BDE中，∵tan67°=，
∴BD=DE．tan67°=6×=14m．
∵AF⊥BD，
∴AC=DF=9m，AF=CD=12m，
∴BF=BD﹣DF=14﹣9=5m．
在Rt△AFB中，AF=12m，BF=5m，
∴AB===13m．
∴两树间距离为13米．

9．（2011•庐阳区模拟）如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10海里．
求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向？
（2）两军舰M、N的距离．（结果保留根号）
【解答】解：（1）如图所示，
∵∠OPM=60°，PM=20海里，
∴∠OMP=30°，
∴OP=10海里，
∴PN=10海里，
∴cs∠OPN===，
∴∠OPN=45°，
∴军舰N在雷达站P的东南方向（5分）
（2）∵Rt△OPM中，PM=20海里，OP=10海里，
∴OM===10，
∵∠OPN=45°，
∴ON=OP=10海里，
∴MN=10﹣10（海里）．（10分）

10．（2016•肥城市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，8），与x轴交于A，B两点，其中A（﹣2，0），B（6，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若E是线段BC上一点，P是抛物线（在第一象限内的）上一点，EC=EP，且点E关于直线PC的对称点F在y轴上，求证：PE平行于y轴，并求出此时点P的坐标．
【解答】（1）解：∵点C（0，8）ZA在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=8
又∵A（﹣2，0），B（6，0）在抛物线y=ax2+bx+8上，
把（﹣2，0），（6，0）代入解析式得
解得
∴抛物线的表达式为：y=2+
（2）证明：∵E和F关于直线PC对称
∴∠FCP=∠ECP
∵EC=EP
∴∠EPC=∠ECP
∴∠FCP=∠EPC
∴PE∥y轴
设线段BC的解析式为y=kx+b，把B（6，0），C（0，8）代入得，
解得
∴线段BC的解析式为y=﹣x+8（0≤x≤6）
设P（x，﹣x2+x+8）则E（x，﹣x+8）
∴PE的距离为（﹣x2+x+8）﹣（﹣x+8）=﹣x2+4x
过点E作EG⊥y轴于点，
∴GE∥OB∴
∴CE=EG 即CE=x
由PE=EC得x2+4x=x
解得：x1= x2=0（舍去），
此时点P到x轴的距离为
∴点P的坐标为（）

11．（2016•乌审旗模拟）如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，
解得，
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，
∵DC=DE，
∴m2+9=m2+8m+16+1，
解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；
（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD===，
在△COD和△DFE中，
∵，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴=，
即=，
解得DP=，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则==，
即==，
解得DG=1，PG=，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，
所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（，﹣2）；
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴=，
即=，
解得DP=3，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则==，
即==，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．

12．（2015•德州模拟）如图：对称轴x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且点（2，5）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为抛物线与y轴的交点．
①点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P点坐标．
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【解答】解：（1）因为抛物线的对称轴为x=﹣1，A点坐标为（﹣3，0）与（2，5）在抛物线上，则：
，
解得：．
所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3．
（2）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴×3×|x|=4××3×1，
∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；
当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．
∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得，
解得：．
即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．
设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），
QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣，
∴当x=﹣时，QD有最大值．