2021年广东省中考数学全真模拟试卷（五）（解析版）

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2021年广东省中考数学全真模拟试卷（五）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. ﹣的相反数为（ ）
A. ﹣ B. C. ﹣ D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的概念解题即可．
【详解】的相反数为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查相反数，掌握相反数的概念是关键．
2. 中国结算最新数据显示，今年2月份，两市新增投资者160.94万个．将160.94万用科学计数法表示为（ ）
A. 1.6094×107 B. 1.6094×106 C. 16.094×106 D. 16.094×105
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：160.94万=1.6094×106，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念选择即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．解题关键在于掌握轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4. 图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义，可得：俯视图是在水平面内从上向下观察几何体得到的平面图形，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】在水平面内从上向下观察几何体，得到的图形有三行，第一行在第二列处有一个正方形，第二行有三个正方形，第三行在第一列处有一个正方形．
故选B．
【点睛】本题主要考查三视图描述几何体，掌握三视图的定义，是解题的关键．
5. 下列运算中，正确的是（ ）
A. x＋2x2＝3x2 B. （﹣3x2）3＝-9x6
C. xy•2x3＝2x3y D. x6y2÷x2＝x4y2
【答案】D
【解析】
【分析】根据同类项的定义，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法逐项计算得出结果即可判断．
【详解】A．x和不是同类项不能合并，故该选项错误，不符合题意．
B．，故该选项错误，不符合题意．
C．，故该选项错误，不符合题意．
D．，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查同类项的定义，幂的乘方，积的乘方以及同底数幂的除法．掌握各运算法则是解答本题的关键．
6. 某车间20名工人每天加工零件数如下表所示：
每天加工零件数
4
5
6
7
8
人数
3
6
5
4
2
这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（ ）．
A. 5，5 B. 5，6 C. 6，6 D. 6，5
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：由表知数据5出现次数最多，所以众数为5；
因为共有20个数据，
所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是（　　）

A. 3 cm B. 2.5 cm C. 2 cm D. 1 cm
【答案】A
【解析】
【详解】解：连接OB，∵半径OC⊥弦AB，∴BD=AB=×8=4，在Rt△BOD中，OD= = =3．故选A．

8. 如图，在▱ABCD中，E为AC的三等分点，AE=AD，连接BE交AC于点F，若△AEF的面积是8，则△BCF的面积为（ ）

A. 16 B. 18 C. 24 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据平行四边形的性质得出，然后利用相似三角形的性质解题即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
，
．
，
，
．
∵△AEF的面积是8，
∴△BCF的面积为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的性质是关键．
9. 已知关于x的方程x2+5x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A. 3 B. ﹣7 C. 7 D. ﹣3
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后求解即可．
【详解】由根与系数的关系可知，，
∵一个根为-2，
∴另一根为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握根与系数的关系是关键．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：
①abc＜0；②b＜a＋c；③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）⑥2a+b+c＞0，
其中正确的结论的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象与系数的关系和二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0；
故①正确；
②由图象可知，当x=-1，时，y=a﹣b +c＜0，
∴a+c＜b，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x＝2和x＝0时，函数值相同，且y＞0，即4a+2b+c＞0；故③正确；
④∵对称轴方程x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴a＝﹣b，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴﹣b+c＜0，
∴2c＜3b，
故④正确；
⑤∵x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，
x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，
又x＝1时函数取得最大值，
当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞m（am+b），
故⑤错误．
⑥∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
∵c＞0，
∴2a+b+c＞0，
故⑥正确．
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥．
故选：D．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数最值的熟练运用．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 分解因式：a2b-18ab+81b＝_____．
【答案】b(a-9) 2．
【解析】
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解】解：a2b-18ab+81b，
= b(a2-18a+81)
= b(a-9) 2．
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是明确因式分解的顺序：先提取公因式，再用公式，并能熟练运用相关知识分解；注意：因式分解要彻底．
12. 若二次根式有意义，则x取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，然后解答即可．
【详解】解：由题意得 ，即且
故答案为且．
【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意列出不等式组是解答本题的关键．
13. 均匀的正四面体各面分别标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的四面体，它们着地一面数字相同的概率是______
【答案】
【解析】
【分析】用列表法或画树状图法计算概率即可．
【详解】解：画树状图如图：

着地一面数字相同的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图发求概率；画出树状图或列出表格是解决本题的关键．
14. 分式方程=的解是______________
【答案】
【解析】
【分析】先去分母，再解整式方程，然后检验即可．
【详解】解：=，
两边同乘得，，
解整式方程得，，
检验：当时，，所以是原方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解题关键是熟练运用解分式方程的方法进行计算，注意：分式方程要检验．
15. 将对边平行的纸带折叠成如图所示，已知∠1＝56°，则∠α＝_____．

【答案】62°
【解析】
【分析】依据∠α=∠3，以及∠1=∠4=56°，即可得到∠α=（180°﹣56°）=62°．
【详解】解：∵对边平行，
∴∠2=∠α，

由折叠可得：∠2=∠3，
∴∠α=∠3．
又∵∠1=∠4=56°，
∴∠α=(180°﹣56°)=62°．
故答案为62°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
16. 有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=_________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，延长交于点，连接、；根据扇形性质，得，结合圆周角性质，得；根据直径对应圆周角为直角的性质计算，得；通过三角函数计算，得；根据弧长公式，计算得，从而完成求解．
【详解】如图，连接，延长交于点，连接、

∵扇形ABC
∴
∴
∵为直径
∴
∴，
∴
由题意得：，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆、直角三角形两锐角互余、扇形、圆锥、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、三角函数、弧长的性质，从而完成求解．
17. 如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为_____．

【答案】-．
【解析】
【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：∵A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∵点C为坐标平面内一点，BC=1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
如图，在x轴上取OD=OA=2，连接CD，

∵M为线段AC的中点，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，
当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB=OD=2，∠BOD=90°，
∴BD=OB=2，
∴CD=2-1，
∴OM=CD=-，
即OM的最小值为-，
故答案为：-．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
18. 计算：2tan60°＋（）-1－＋（π-4）0
【答案】4
【解析】
【分析】先逐项化简，再合并同类二次根式和同类项即可．
【详解】解：原式=
=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的意义，以及二次根式的性质是解答本题的关键．
19. 先化简，再求值：（2－）÷，其中x=－3．
【答案】，
【解析】
【分析】首先利用分式的基本性质进行化简，然后将x的值代入即可．
详解】原式=
=
=
，
∴原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是关键．
20. 如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8．点D在边BC上，且点D到边AB和边AC距离相等．
（1）用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求点D到边AC的距离．

【答案】（1）见解析；（2）2.4
【解析】
【分析】（1）作∠A的角平分线与BC的交点即为点D．
（2）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．
【详解】解：（1）作∠A的角平分线与BC的交点即为点D．

（2）∵AB=AC，AD是∠A角平分线
∴AD⊥BC，垂足为D，
∵BC=8，
∴BD=CD=4，
∵AB=5，
在Rt△ABD中，
∴根据勾股定理得AD=3，
设点D到AC的距离为h，则×5h=4×3×，解得h=2.4，
所以点D到边AC的距离为2.4．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角的平分线，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、解答题（二）（每小题8分，共24分）
21. 随着人民生活水平的提高和环境的不断改善，带动了旅游业的发展．某市旅游景区有A，B，C，D四个著名景点，该市旅游部门统计绘制出2020年游客去各景点情况统计图，根据给出的信息解答下列问题：

（1）2020年该市旅游景区共接待游客　 　万人；把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中C景点所对应的圆心角的度数是　 　度；
（3）甲，乙两位同学去该景区旅游，用树状图或列表法，求甲，乙两位同学在A，B，C三个景点中，同时选择去同一景点的概率．
【答案】（1）100，补全统计图见解析；（2）28.8；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据条形图可知A景点人数，根据扇形统计图可知A景点人数的百分比，即可求出总人数．再利用总人数减去其它景点的人数即得到B景点的人数，即可补全条形统计图．
（2）根据C景点的百分数乘以即可求出C景点所对应的圆心角的度数；
（3）根据题意画出树状图，可得所有可能的结果有9种，同时选择去同一景点的有3种，即可求出同时选择去同一景点的概率．
【详解】解：（1）万人，
B景点的人数为100-44-8-28=20万人．
所以，如图即为补全的条形统计图；

（2）．
（3）根据题意画出树状图为：

根据树状图可得所有可能的结果有9种，其中同时选择去同一景点的情况有3种，
所以同时选择去同一景点的概率是．
【点睛】本题考查利用列表法或树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图相关联．解决本题的关键是找出条形统计图和扇形统计图中的隐藏数据以及正确的画出树状图．
22. 为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？
（2）该工厂计划让A、B两种型号机器人一共工作20个小时，并且B型号机器人的工作时间不得低于A型号机器人，求最多搬运多少千克原料？
【答案】（1）型为：120千克小时，型为：100千克每小时；（2）最多搬运2200千克．
【解析】
【分析】（1）根据“A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等”建立方程即可得解；
（2）根据题意设工作（）小时，共搬运了千克，由已知建立一元一次不等式确定参数范围，再建立关于的函数关系式，根据参数的范围，函数的性质确定最大值即可．
【详解】解：（1）谁设型机器人的搬运速度为千克每小时，则型为：千克每小时，
由题：，
解得：，
经检验是方程的根，
故型：120千克小时，型为：100千克每小时；
（2）设工作（）小时，共搬运了千克，则型工作小时，
由题，且，
解得：，
，
当时，
当时，根据一次函数的性质，
时，有最大值，，
最多搬运2200千克．
【点睛】本题考查了分式方程、一元一次函数、一元一次不等式的实际应用；能找准等量关系建立方程，能结合参数范围确定函数的最大值时解决本题的关键．
23. 如图，反比例函数y与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C坐标和△ABC的面积．

【答案】（1）y；(2) 8
【解析】
【分析】（1）由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，从而得出，进一步求出三角形AOM的面积，求出k的值即可；
（2）由（1）可得k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，联立解析式可求出点A，C的坐标，再构造矩形ANGE，根据S△ABC＝S矩形ANGE -S△AEB-S△CAN-S△BGC计算结果即可．
【详解】解：（1）设AE交x轴于M．

由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，
∵OM∥EB，
∴∠AMO＝∠AEB，∠AOM＝∠ABE，
∴△AMO∽△AEB，
∴，
∵S△ABE＝6，
∴S△AOMS△ABE6，
∵S△AOM|k|，k＜0，
∴|k|，
解得k＝﹣3，
∴反比例函数的关系式为y；
（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，
由题意得，，
解得，
经检验：它们都是原方程组的解，
∵A在第二象限，点C在第四象限，
∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），
∵A与B关于原点O中心对称，
∴B（1，﹣3），
∴S△ABC＝S矩形ANGE -S△AEB-S△CAN-S△BGC＝6×42×62×24×4＝8．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
五、解答题（三）（每小题10分，共20分）
24. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．
（1）求证：CH是⊙O的切线；
（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE；
（3）若cos∠DBA＝，CG＝10，求BD的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）16．
【解析】
【分析】（1）连接OC，OD，证得∠BAH=∠BOC，得出AH∥OC，则OC⊥CH，则结论得证；
（2）连接AC，得出CE=CH，证明Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），则BE=DH，证出AD=DH，则可得出结论；
（3）延长CE交⊙O于点F，得出GB=GC=5，在Rt△GEB中，cos∠DBA=，可求出GE=3，由勾股定理求出BE，证明Rt△AEC∽△Rt△CEB，由可求出AE，得到AB，在Rt△ADB中，cos∠DBA==，则可得出BD的长．
【详解】（1）证明：如图1，连接OC，OD，

∵BC=CD，
∴∠BOC=∠COD=∠BOD，
又∵∠BAH=∠BOD，
∴∠BAH=∠BOC，
∴AH∥OC，
∵AH⊥CH，
∴OC⊥CH，
∴CH是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AC，

∵BC=CD，
∴，
∴∠BAC=∠CAH，
又∵CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CE=CH，
∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），
∴BE=DH，
∵点D为AH的中点，
∴AD=DH，
∴AD=BE；
（3）解：如图3，延长CE交⊙O于点F，

∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，
∴，
∴∠BCE=∠CBD，
∴GB=GC=5，
在Rt△GEB中，cos∠DBA=，
∴EB=4，
∴，
∴CE=CG+GE=5+3=8，
∵∠EAC=∠CAD=∠CBD=∠BCE，∠AEC=∠CEB=90°，
∴Rt△AEC∽△Rt△CEB，
∴，
即，
∴AE=16，
∴AB=AE+BE=16+4=20，
在Rt△ADB中，cos∠DBA==，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆周角定理，平行线的判定性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键．
25. 如图，已知抛物线的图象与x轴交于A（2，0）和B（-8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．

【答案】（1），（2），；（3）存在为或或或．
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法解求出函数的解析式即可；
（2）设，将△BCF的面积用的式子表示出来，根据二次函数的性质解出点的坐标，再根据“将军饮马”模型确定点的坐标即可；
（3）分为①为底边；②为腰：（Ⅰ）：当当时，（Ⅱ）：当时，两种情况讨论，利用参数构建方程即可得解．
【详解】解：（1）将A（2，0）、B（-8，0）代入解析式：
，解得，
；
（2）令，解得，
设，代入、两点，
解得，
设，
作垂直于轴交于如图1，
则，
，
是定值，
当取得最大值时，取得最大值，
，
当时，取得最大值，取得最大值，
，
作关于对称轴对称得到，
，
当、、共线时，有最小值，此时有最小值，
设，代入、，
解得，
又，
，
综上，；
（3）存在，理由如下：
①为底边，如图2
此时在的中垂线上，又在轴上，所以的中垂线与轴交点即为所求，
连接，，作垂直于轴，
，
设，则，，，
，即，
解得，
时满足题意；
②为腰如图2，

（Ⅰ）：当时，
设，则，
，
解得，
当时，为，
当时，为，
两点均满足题意，
（Ⅱ）：当时：
由图发现：，
在中垂线上，
，
满足题意，
由关于点对称得，
轴，
，
但此时、、三点共线，不合题意，
综上为或或或．

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，线段和最值问题，等腰三角形的判定与性质；熟练地掌握二次函数的性质，会构建二次函数模型求最值，用参数构建方程，不重不漏的进行分类讨论是解决本题的关键；本题是常见中考压轴题，思维跨度较长，难度较大．