2021年河南省中考数学全真模拟试卷（一）

这是一份2021年河南省中考数学全真模拟试卷（一），共26页。
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（一）
一.选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一-个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内.
1．（3分）﹣6的绝对值等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
2．（3分）世界上最小的动物是原生动物中的一种同肋膜肺炎菌相似的单细胞动物，它只有0.1微米长，即0.0000001米，只有在显微镜下才能看得到．其中数字0.0000001用科学记数法表示为（　　）
A．0.1×10﹣5 B．1×10﹣7 C．﹣1×105 D．10×10﹣4
3．（3分）如图是一个正五棱柱，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x+x2＝x3 C．x3+x2＝x5 D．（x2）3＝x6
5．（3分）将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．85° B．75° C．60° D．45°
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）某次数学测试中，该校八年级1200名学生成绩均在70分以上，具体成绩统计如表：
分数x
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
人数
400
600
200
平均分
78.1
85
91.9
请根据表格中的信息，计算这1200名学生的平均分为（　　）
A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．83.85
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是（　　）
A．b＝﹣1 B．b＝﹣2 C．b＝﹣3 D．b＝0
9．（3分）如图，将一个含45°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，其中∠C＝90°，点A坐标为（1，2），点C坐标为（4，4），则点B的坐标为（　　）

A．（2，6） B．（3，6） C．（3，7） D．（2，7）
10．（3分）如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为（　　）

A．﹣ B．﹣﹣ C．﹣ D．﹣
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣2﹣1＝　 　．
12．（3分）不等式组的最小整数解是　 　．
13．（3分）一个不透明的袋子中装有写着2，3，4，6的四个小球，小球除标号外其余均相同，将小球摇匀后随机摸出一个记下标号后放回，再次摇匀后再随机摸出一个记下标号，则第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的概率为　 　．
14．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则k的值为　 　．

15．（3分）如图，正方形ABCD中，点M，N分别为边CD，AB上一个动点，且CM＝AN，连接MN，过点D作DP⊥MN于点P，连接CP，若AB＝4，则CP的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，然后从满足﹣2＜x≤2的整数中选择一个你喜欢的数代入求值．
17．（9分）为了解某市八年级数学期末考试情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据随机抽取甲乙两所学校的各20名学生的数学成绩进行分析（满分为100分）：
甲91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据
按如表数据段整理、描述这两组数据
分析数据
分段
学校
30≤x≤39
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
甲
1
1
0
0
3
7
8
乙
0
0
1
4
2
8
5
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
统计量
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
81.85
a
b
268.43
乙
c
86
88
115.25
经统计，表格中a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；
得出结论
（1）若甲学校有600名八年级学生，估计这次考试成绩80分以上人数为　 　；
（2）可以推断出　 　学校学生的数学水平较高，理由为：　 　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
18．（9分）如图，直角三角形ABC中，以斜边AC为直径作⊙O，∠ABC的角平分线BP交⊙O于点P，过点P作⊙O的切线交BC延长线于点Q，连接OP，CP．
（1）求证：∠CPO＝∠CBP；
（2）若BC＝3，CQ＝4，求PQ的长．

19．（9分）如图，在某景区，小明走到景点A处发现景点C位于北偏东65度方向，他沿正东方向走了900米到达景点B处时发现景点C位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面内）．你能求出景点A与景点C之间的距离吗（结果精确到1米）？
（参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）

20．（9分）某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把．经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．
（1）求A种，B种办公椅每把各多少元？
（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
21．（10分）已知，平面直角坐标系中，二次函数的解析式为y＝ax2+2bx﹣b2+4b+1，A（5，0），B（0，5）．
（1）若二次函数的图象经过点A，B，求二次函数解析式．
（2）若二次函数的顶点在△AOB内，且a＝﹣1，二次函数的图象经过点C（，y1），D（，y2）试比较y1与y2的大小．
22．（10分）如图，半圆O中，点C是弧AB上一个动点，过点C作MC⊥AB，垂足为M，点N为弧AB的中点，已知AB＝6cm，连接MN，CN．
小明想根据函数学习经验，研究AM，MC，CN的变化情况，他先设AM长度为xcm，MC长度为yMC，CN长度为yCN，
（1）小明根据AM的不同长度分别作图，测量MC，CN的长度，绘制了表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
yMC/cm
0
2.24
2.83
3.00
2.83
2.24
0
yCN/cm
4.24
2.14
1.02
0
a
2.14
4.24
操作中发现：
表中a的值是　 　．
（2）小明在平面直角坐标系xOy中画出了函数yMC的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCN的图象；
（3）结合图象直接写出：当△NCM为等腰三角形时，AM的长度的近似值约为 （结果保留一位小数）．
23．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC＝3，AB＝6．
（1）当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为　 　；
（2）如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；
（3）旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．

2021年河南省中考数学全真模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一-个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内.
1．（3分）﹣6的绝对值等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣ D．
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．
【解答】解：|﹣6|＝6，
故选：B．
2．（3分）世界上最小的动物是原生动物中的一种同肋膜肺炎菌相似的单细胞动物，它只有0.1微米长，即0.0000001米，只有在显微镜下才能看得到．其中数字0.0000001用科学记数法表示为（　　）
A．0.1×10﹣5 B．1×10﹣7 C．﹣1×105 D．10×10﹣4
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000001＝1×10﹣7．
故选：B．
3．（3分）如图是一个正五棱柱，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形．
【解答】解：从正五棱柱左面看，是一列2个矩形，
故选：A．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．x+x2＝x3 C．x3+x2＝x5 D．（x2）3＝x6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、x2•x3＝x5，故本选项不合题意；
B、x与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、x3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、（x2）3＝x6，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）

A．85° B．75° C．60° D．45°
【分析】首先根据∠1＝60°，判断出∠3＝∠1＝60°，进而求出∠4的度数；然后对顶角相等，求出∠5的度数，再根据∠2＝∠5+∠6，求出∠2的度数为多少即可．
【解答】解：如图1，，
∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
∴∠4＝90°﹣60°＝30°，
∵∠5＝∠4，
∴∠5＝30°，
∴∠2＝∠5+∠6＝30°+45°＝75°．
故选：B．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：由2x+3≥1，得x≥﹣1，
由4﹣x≥1，得x≤3，
不等式组的解集是﹣1≤x≤3，
在数轴上表示为：

故选：B．
7．（3分）某次数学测试中，该校八年级1200名学生成绩均在70分以上，具体成绩统计如表：
分数x
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
人数
400
600
200
平均分
78.1
85
91.9
请根据表格中的信息，计算这1200名学生的平均分为（　　）
A．92.16 B．85.23 C．84.73 D．83.85
【分析】根据加权平均数的定义求解即可．
【解答】解：这1200名学生的平均分为＝83.85，
故选：D．
8．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则在下列选项中，b的值可以是（　　）
A．b＝﹣1 B．b＝﹣2 C．b＝﹣3 D．b＝0
【分析】利用判别式的意义得到△＝b2﹣4＞0，然后对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△＝b2﹣4＞0，
则b2＞4，
所以b的值可取﹣3．
故选：C．
9．（3分）如图，将一个含45°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，其中∠C＝90°，点A坐标为（1，2），点C坐标为（4，4），则点B的坐标为（　　）

A．（2，6） B．（3，6） C．（3，7） D．（2，7）
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，过A作AG⊥CF于G，过B作BH⊥CF于H，由矩形的选择得到AG＝EF，AE＝FG，求得AE＝FG＝2，AG＝EF＝4﹣1＝3，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
过A作AG⊥CF于G，过B作BH⊥CF于H，
则四边形AEFC是矩形，
∴AG＝EF，AE＝FG，
∵点A坐标为（1，2），点C坐标为（4，4），
∴AE＝FG＝2，AG＝EF＝4﹣1＝3，
∵∠ACB＝∠CHB＝∠AGCC＝90°，
∴∠ACG+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠ACG，
在△ACG与△CBH中，
，
∴△ACG≌△CBH（AAS），
∴BH＝CG＝2，AG＝CH＝3，
∴HF＝7，
∴B（2，7）．
故选：D．

10．（3分）如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为（　　）

A．﹣ B．﹣﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】连接AB、连接OC'，根据等腰直角三角形的性质求出OD，进而得到C′D的长，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接AB，OC'，AC'，BC'，
要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足△ABC的面积最大即可，
从而可得当点C位于弧AB的中点C′时，△ABC的面积最大，
连接OC'，则OC'⊥AB于D，
∴OD＝AB＝＝，
∴DC'＝OC'﹣OD＝1﹣，
∴S四边形AOBC′＝S△AOB+S△ABC′＝×1×1+××（1﹣）＝，
∵扇形AOB的面积＝＝，
∴阴影部分面积的最小值＝﹣，
故选：C．

二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣2﹣1＝　2.5　．
【分析】首先计算负整数指数幂、开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣2﹣1
＝3﹣0.5
＝2.5．
故答案为：2.5．
12．（3分）不等式组的最小整数解是　﹣3　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得答案．
【解答】解：解不等式3x+12＞2，得：x＞﹣，
解不等式x﹣5＜x+5，得：x＜，
则不等式组的解集为﹣＜x＜，
∴不等式组的最小整数解为﹣3，
故答案为：﹣3．
13．（3分）一个不透明的袋子中装有写着2，3，4，6的四个小球，小球除标号外其余均相同，将小球摇匀后随机摸出一个记下标号后放回，再次摇匀后再随机摸出一个记下标号，则第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的概率为　　．
【分析】画树状图，共有16个等可能的结果，第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的结果有7个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有16个等可能的结果，第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的结果有7个，
∴第二次摸出小球的标号数字能够整除第一次摸出小球的标号数字的概率为，
故答案为：．
14．（3分）如图，直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则k的值为　﹣4　．

【分析】先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO＝3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA＝3，
∵AO＝3BO，
∴OB＝1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y＝﹣x+3上，
∴点C（﹣1，4），
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
故答案为﹣4．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，点M，N分别为边CD，AB上一个动点，且CM＝AN，连接MN，过点D作DP⊥MN于点P，连接CP，若AB＝4，则CP的最小值为　﹣　．

【分析】连接AC交MN于O．证明点O是AC的中点，连接BD，则BD经过点O，取OD的中点T，连接CT，PT．求出PT，CT，可得结论．
【解答】解：连接AC交MN于O．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OCM＝∠OAN，
∵CM＝AN，∠COM＝∠AON，
∴△COM≌△AON（AAS），
∴OA＝OC，
连接BD，则BD经过点O，取OD的中点T，连接CT，PT．
∵AB＝4，
∴OD＝OC＝AD＝2，
∵DP⊥MN，
∴∠DPO＝90°，
∵DT＝TO，
∴PT＝OD＝，
∵∠COT＝90°，
∴CT＝＝＝，
∴PC≥CT﹣PT，
∴PC≥﹣，
∴PC的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，然后从满足﹣2＜x≤2的整数中选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】先将原式化简，然后根据分式有意义的条件即可选出x的值代入．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝
∵﹣2＜x≤2且x取整数
∴x＝﹣1，0，1，2
要使分式有意义，x只从能取，0，1值
当x＝0时，原式＝＝﹣1（或当x＝1时原式＝＝﹣3）．
17．（9分）为了解某市八年级数学期末考试情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．
收集数据随机抽取甲乙两所学校的各20名学生的数学成绩进行分析（满分为100分）：
甲91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85 95 88 88 90 44 91
乙84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88 91 96 68 97 59 88
整理、描述数据
按如表数据段整理、描述这两组数据
分析数据
分段
学校
30≤x≤39
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
甲
1
1
0
0
3
7
8
乙
0
0
1
4
2
8
5
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
统计量
学校
平均数
中位数
众数
方差
甲
81.85
a
b
268.43
乙
c
86
88
115.25
经统计，表格中a＝　88　；b＝　91　；c＝　81.95　；
得出结论
（1）若甲学校有600名八年级学生，估计这次考试成绩80分以上人数为　450人　；
（2）可以推断出　甲　学校学生的数学水平较高，理由为：　两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高　．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【分析】将甲学校20名学生数学成绩重新排列，再根据中位数和众数及平均数的概念求解即可得出a、b、c的值；
（1）依据甲学校考试成绩80分以上人数所占的百分比，即可得到有600名八年级学生中这次考试成绩80分以上人数；
（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个学校学生的数学水平较高．
【解答】解：将甲学校20名学生数学成绩重新排列如下：
31、44、71、72、77、81、85、85、86、88、88、89、90、91、91、91、92、93、95、97，
所以甲学校20名学生数学成绩的中位数a＝＝88，众数b＝91，
乙学校20名学生数学成绩的平均数c＝×（84+93+66+69+76+87+77+82+85+88+90+88+67+88+91+96+68+97+59+88）＝81.95；
故答案为：88、91、81.95；
（1）若甲学校有600名八年级学生，估计这次考试成绩80分以上人数为600×＝450（人），
故答案为：450人；
（2）可以推断出甲学校学生的数学水平较高，
理由为：两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．
故答案为：甲，两校平均数基本相同，而甲校的中位数以及众数均高于乙校，说明甲校学生的数学水平较高．
18．（9分）如图，直角三角形ABC中，以斜边AC为直径作⊙O，∠ABC的角平分线BP交⊙O于点P，过点P作⊙O的切线交BC延长线于点Q，连接OP，CP．
（1）求证：∠CPO＝∠CBP；
（2）若BC＝3，CQ＝4，求PQ的长．

【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出结论；
（2）证明△CPQ∽△PBQ，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝45°，
∴∠POC＝2∠PBC＝90°，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝45°，
∴∠CPO＝∠CBP；
（2）解：∵PQ是⊙O的切线，
∴OP⊥PQ，
∴∠OPQ＝90°，
∴∠CPQ＝45°，
∴∠CPQ＝∠PBQ，
∵∠PQC＝∠PQB，
∴△CPQ∽△PBQ，
∴，
∴PQ2＝CQ•BQ，
∵BC＝3，CQ＝4，
∴PQ2＝4×7＝28，
∴PQ＝2．
19．（9分）如图，在某景区，小明走到景点A处发现景点C位于北偏东65度方向，他沿正东方向走了900米到达景点B处时发现景点C位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面内）．你能求出景点A与景点C之间的距离吗（结果精确到1米）？
（参考数据：sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）

【分析】作CD⊥AB交AB的延长线于点D，设AC＝x，则AD＝xsin65°，根据x＝进行解答．
【解答】解：如图，作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
则∠BCD＝45°，∠ACD＝65°．
在Rt△ACD和Rt△BCD中，
设AC＝x，则AD＝xsin65°，
BD＝CD＝xcos65°，
∴100+xcos65°＝xsin65°，
∴x＝≈≈1861（米）．
∴景点A与景点C之间的距离约为1861米．

20．（9分）某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把．经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元．
（1）求A种，B种办公椅每把各多少元？
（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其它因素），实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．
【分析】（1）设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，根据“购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅（100﹣m）把，根据购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设实际所花费用为w元，利用实际花费＝单价×总价×折扣率，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，
依题意得：，
解得：．
答：A种办公椅100元/把，B种办公椅80元/把．
（2）设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅（100﹣m）把，
依题意得：m≥3（100﹣m），
解得：m≥75．
设实际所花费用为w元，则w＝[100m+80（100﹣m）]×0.9＝18m+7200．
∵k＝18＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝18×75+7200＝8550，此时100﹣m＝25．
答：当购买75把A种办公椅，25把B种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550元．
21．（10分）已知，平面直角坐标系中，二次函数的解析式为y＝ax2+2bx﹣b2+4b+1，A（5，0），B（0，5）．
（1）若二次函数的图象经过点A，B，求二次函数解析式．
（2）若二次函数的顶点在△AOB内，且a＝﹣1，二次函数的图象经过点C（，y1），D（，y2）试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）将A，B两点的坐标代入抛物线解析式，解方程组可得出答案；
（2）根据抛物线的顶点在△AOB的内部，确定b的取值范围，由于抛物线的对称轴为x＝b，再根据点C（，y1），D（，y2）的横坐标与对称轴的距离和抛物线的增减性进行判断．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A，B，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）a＝﹣1时，y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，
若点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∵二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点M（b，4b+1）在△AOB内部，
，
解得：0＜b＜，
由抛物线的对称轴为x＝b，
①当0＜b＜时，点C（，y1），D（，y2）根据抛物线的对称性和增减性可得：y1＞y2，
②当b＝时，点C（，y1），D（，y2）根据抛物线的对称性和增减性可得：y1＝y2，
③当＜b＜时，点C（，y1），D（，y2）根据抛物线的对称性和增减性可得：y1＜y2，
答：当0＜b＜时，y1＞y2；当b＝时，y1＝y2；当＜b＜时，y1＜y2．
22．（10分）如图，半圆O中，点C是弧AB上一个动点，过点C作MC⊥AB，垂足为M，点N为弧AB的中点，已知AB＝6cm，连接MN，CN．
小明想根据函数学习经验，研究AM，MC，CN的变化情况，他先设AM长度为xcm，MC长度为yMC，CN长度为yCN，
（1）小明根据AM的不同长度分别作图，测量MC，CN的长度，绘制了表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
yMC/cm
0
2.24
2.83
3.00
2.83
2.24
0
yCN/cm
4.24
2.14
1.02
0
a
2.14
4.24
操作中发现：
表中a的值是　1.02　．
（2）小明在平面直角坐标系xOy中画出了函数yMC的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCN的图象；
（3）结合图象直接写出：当△NCM为等腰三角形时，AM的长度的近似值约为 （结果保留一位小数）．
【分析】（1）观察表格或描图象可以发现是对称的，即可求a＝1.02cm．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）利用图象寻找yMC和yNC的图象的交点坐标，即可解决问题．
【解答】解：（1）a＝1.02． 由函数yNC 图象是对称的．
（2）如图所示，用描点法画出yNC的图象．

（3）当△NCM为等腰三角形时，即MC＝NC，即yMC＝yNC，取yMC和yNC图象交点的横坐标，即AM的值，此时AM的近似值约为0.9或5.1．
23．（11分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC＝3，AB＝6．
（1）当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为　AD＝DQ　；
（2）如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；
（3）旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．
【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线的性质证明即可．
（2）结论：CQ﹣PQ＝2AD．如图2中，延长CA到E，使得AE＝AC，连接BE，EP，在QC上取一点T，使得QT＝QP，连接BT．利用全等三角形以及三角形的中位线的性质证明即可．
（3）如图3中，取BC的中点K，连接AK，DK．求出AK，DK，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，结论：AD＝DQ．理由如下：

∵PQ⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠CAP＝∠PQC＝90°，
∵CD＝DP，
∴AD＝PC，DQ＝PC，
∴AD＝DQ．
故答案为：AD＝DQ．

（2）结论：CQ﹣PQ＝2AD．
理由：如图2中，延长CA到E，使得AE＝AC，连接BE，EP，在QC上取一点T，使得QT＝QP，连接BT．

∵AC＝AE，BA⊥EC，
∴BC＝BE，∠ABC＝∠ABE，
∵QP＝QT，PQ⊥PT，
∴BT＝BP，∠TBQ＝∠QBP，
∴∠CBE＝∠TBP，
∴∠CBT＝∠EBT，
∴△CBT≌△EBP（SAS），
∴CT＝EP，
∵CA＝EA，CD＝DP，
∴PE＝2AD，
∵CT＝QC﹣QT＝CQ﹣PQ，
∴CT＝PE＝2AD，
∴CQ﹣PQ＝2AD．

（3）如图3中，取BC的中点K，连接AK，DK．

∵AC＝3，AB＝6，∠CAB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵CK＝BK，
∴AK＝BC＝，
∵CD＝DP，CK＝KB，
∴DK＝PB＝××6＝1，
∴AD≤AK+DK，
∴AD≤+1，
∴AD的最大值为+1．