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2021年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
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这是一份2021年山东省济南市历城区中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）
1．（4分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
2．（4分）下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（ ）
A．5.19×10﹣3 B．5.19×10﹣4 C．5.19×10﹣5 D．5.19×10﹣6
4．（4分）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠BDC＝55°，则∠ABF的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
5．（4分）下面图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）某校举办体能比赛，其中一项是引体向上，每完成一次记录1分，达到10个即为满分10分．甲、乙两班各出代表10个人，比赛成绩分别如表，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是（ ）
甲班成绩
7
8
9
10
人数
2
2
3
3
乙班成绩
7
8
9
10
人数
1
2
3
4
A．甲班成绩的众数是10
B．乙班成绩的中位数是9
C．甲班的成绩的平均数是8.6
D．乙班成绩的方差是2
7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，6），B（﹣3，﹣3）．将线段AB平移后A点的对应点是A′（10，10），则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（10，10） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（7，1）
9．（4分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
10．（4分）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（ ）
A．3π﹣4 B．3π﹣2 C．3π﹣4 D．2π
11．（4分）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（ ）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm
12．（4分）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤4 C．2≤m≤4 D．m＞4
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）分解因式：a2+2a＝ ．
14．（4分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
15．（4分）化简：m（m+3）﹣（m+1）2＝ ．
16．（4分）在一个不透明的盒子中有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是 ．
17．（4分）甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，图中的l1、l2分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用时间x（h）的函数关系图象，则甲出发 小时与乙相遇．
18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝2AB＝12，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C落在线段AD上，点M、N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向下翻折，点A恰好落在线段DE的中点A'处．则线段MN的长为 ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（2﹣）0++（）﹣1﹣sin45°．
20．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．
21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
22．（8分）某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：
9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8．
根据数据绘制了表格和统计图：
换算为体考分数
成绩（米）
频数
10
x≥9.6
4
8
7.7≤x≤9.5
a
6
5.3≤x≤7.6
7
4
3.0≤x≤5.2
b
合计
20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ；b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是 ；
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
23．（8分）如图，已知△ABE，AB＝BE，以AB为直径作⊙O，交AE于点D，过D点作⊙O的切线交边BE于点C，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC⊥BE；
（2）如果PD＝2，∠ABC＝60°，求BC的长．
24．（10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
25．（10分）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝（x＞0）的交点为A（1，a），与x轴的交点为B（﹣1，0），点C为双曲线y＝（x＞0）上的一点．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）如图1，当OC∥AB时，求△AOC的面积；
（3）如图2，当∠AOC＝45°时，求点C的坐标．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．
（1）如图1，当α＝60°时，请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是 ，∠DCP为 度；
（2）如图2，当α＝120°时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当AB＝2时，求BP+PC的最小值．
27．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q．
①当△APQ为直角三角形时，求m的值；
②当﹣3＜m＜0时，若∠PCA＝3∠ACO，求m的值．
2021年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）
1．（4分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
2．（4分）下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一列两个小正方形．
故选：A．
3．（4分）世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（ ）
A．5.19×10﹣3 B．5.19×10﹣4 C．5.19×10﹣5 D．5.19×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．
故选：A．
4．（4分）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠BDC＝55°，则∠ABF的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【分析】线根据直角三角形性质可得出∠C的度数，再根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可得出答案．
【解答】解：∵BD⊥CF，
∴∠DBC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠BDC＝90°﹣55°＝35°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠C＝35°．
故选：C．
5．（4分）下面图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．（4分）某校举办体能比赛，其中一项是引体向上，每完成一次记录1分，达到10个即为满分10分．甲、乙两班各出代表10个人，比赛成绩分别如表，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是（ ）
甲班成绩
7
8
9
10
人数
2
2
3
3
乙班成绩
7
8
9
10
人数
1
2
3
4
A．甲班成绩的众数是10
B．乙班成绩的中位数是9
C．甲班的成绩的平均数是8.6
D．乙班成绩的方差是2
【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的定义逐一判断即可．
【解答】解：甲班成绩的众数是9和10，故A选项错误；
乙班成绩的中位数是＝9，故B选项正确；
甲班成绩的平均数为＝8.7，故C选项错误；
乙班成绩的平均数为＝9，
则乙班成绩的方差为×[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故D选项错误；
故选：B．
7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合各选项中解集在数轴上的表示即可．
【解答】解：解不等式﹣2x+5≥3，得：x≤1，
解不等式3（x﹣1）＜2x，得：x＜3，
故选：B．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，6），B（﹣3，﹣3）．将线段AB平移后A点的对应点是A′（10，10），则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（10，10） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（7，1）
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：∵点A（0，6）向右平移10个单位，向上平移4个单位得到A′（10，10），
∴点B（﹣3，﹣3）向右平移10个单位，向上平移4个单位得到B′（7，1），
故选：D．
9．（4分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
10．（4分）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（ ）
A．3π﹣4 B．3π﹣2 C．3π﹣4 D．2π
【分析】根据题意和折叠的性质，可以得到OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，然后根据OA＝OD，即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根据扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，可以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC的面积．
【解答】解：连接OD，
∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，
∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，
又∵OA＝OD，
∴OA＝AD＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAC＝∠DAC＝30°，
∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，
∴OC＝2，
∴阴影部分的面积是：（×2）＝3π﹣4，
故选：A．
11．（4分）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（ ）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，构造直角三角形，利用三角函数，求出BC，再用BC减去BE即可．
【解答】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝0.9m，即CN＝90cm时，CM＝60cm
∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，
∴sin∠ABE＝sin70°＝＝0.94
∴BC≈64cm
∴CE＝BC﹣BE＝64﹣40＝24（cm）
故选：B．
12．（4分）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤4 C．2≤m≤4 D．m＞4
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，
∴2≤m≤4，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）分解因式：a2+2a＝ a（a+2） ．
【分析】直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
14．（4分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 八 ．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
15．（4分）化简：m（m+3）﹣（m+1）2＝ m﹣1 ．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果．
【解答】解：原式＝m2+3m﹣（m2+2m+1）
＝m2+3m﹣m2﹣2m﹣1
＝m﹣1，
故答案是：m﹣1．
16．（4分）在一个不透明的盒子中有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，摸出的两个球都是红球的结果有2个，
∴摸出的两个球都是红球的概率为＝，
故答案为：．
17．（4分）甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，图中的l1、l2分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用时间x（h）的函数关系图象，则甲出发 1.4 小时与乙相遇．
【分析】由函数图像求出l1和l2的解析式，然后由l1和l2的解析式组成的方程组，求出交点坐标即可．
【解答】解：由图象可得，
设l1对应的函数解析式为y1＝k1x+b1，
∴，
解得：，
∴l1对应的函数解析式为y1＝﹣30x+60，
设l2对应的函数解析式为y2＝k2x+b2，
∴，
解得：
∴l2对应的函数解析式为y2＝20x﹣10，
由方程组，
解得：，
即点A的坐标为（1.4，18），
故答案为1.4．
18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝2AB＝12，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C落在线段AD上，点M、N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向下翻折，点A恰好落在线段DE的中点A'处．则线段MN的长为 ．
【分析】作A′G⊥AD于G，连接AA′交MN于K，连接AN．依据勾股定理以及折叠的性质即可得到AM的长以及AK的长，再根据面积法即可得到MN的长．
【解答】解：如图所示，作A′G⊥AD于G，连接AA′交MN于K，连接AN．
由题意可得，四边形DCEC′是正方形，△DGA′是等腰直角三角形，
∴DG＝GA′＝＝3，AG＝AD﹣DG＝12﹣3＝9，
设AM＝MA′＝x，则MG＝9﹣x，
在Rt△MGA′中，A'M2＝MG2+A'G2，
即x2＝（9﹣x）2+32，
解得x＝5，
∴AM＝5，
在Rt△AA'G中，AA′＝＝3，
由折叠可得AK＝AA'＝，AK⊥NM，
∵MN×AK＝AM×AB，
∴MN＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（2﹣）0++（）﹣1﹣sin45°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1++3﹣
＝4．
20．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．
【分析】首先将分式的分子与分母进行因式分解，再去括号，约分最后代入求值．
【解答】解：原式＝÷（），
＝×，
＝，
x＝3时，原式＝．
21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
22．（8分）某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：
9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8．
根据数据绘制了表格和统计图：
换算为体考分数
成绩（米）
频数
10
x≥9.6
4
8
7.7≤x≤9.5
a
6
5.3≤x≤7.6
7
4
3.0≤x≤5.2
b
合计
20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 6 ；b＝ 3 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是 108° ；
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
【分析】（1）根据题目中的数据，可以写出a、b的值；
（2）根据（1）中a、b的值，可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数；
（4）根据题目中的数据，可以计算出该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的人数．
【解答】解：（1）由题目中的数据可知，
a＝6，b＝3，
故答案为：6，3；
（2）由（1）知，a＝6，b＝3，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：108°；
（4）400×＝180（人），
即估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有180人．
23．（8分）如图，已知△ABE，AB＝BE，以AB为直径作⊙O，交AE于点D，过D点作⊙O的切线交边BE于点C，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC⊥BE；
（2）如果PD＝2，∠ABC＝60°，求BC的长．
【分析】（1）连接DO，根据切线的性质得到OD⊥PC，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠E，由平行线的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠P＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DO，
∵PC与⊙O相切，
∴OD⊥PC，
∵OC＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AB＝BE，
∴∠EAB＝∠E，
∴∠ODA＝∠E，
∴OD∥BE，
∴PC⊥BE；
（2）解：∵∠ABC＝60°，∠PCB＝90°，
∴∠P＝30°，
∵∠PDO＝90°，PD＝2，
∴OD＝PD＝2，
∴OP＝2OD＝4，
∴PB＝6，
∴BC＝PB＝3．
24．（10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得：，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
25．（10分）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝（x＞0）的交点为A（1，a），与x轴的交点为B（﹣1，0），点C为双曲线y＝（x＞0）上的一点．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）如图1，当OC∥AB时，求△AOC的面积；
（3）如图2，当∠AOC＝45°时，求点C的坐标．
【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线AB的表达式，由点A的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a的值，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，过点O作OE⊥AB于点E，设直线AB于y轴交于点M，由直线AB的表达式及OC∥AB可得出OC的表达式，联立两函数表达式成方程组，解之可得出点C的坐标，利用勾股定理可求出OC的长，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，进而可得出△BOM为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求出OE的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出△AOC的面积；
（3）过点A作AF⊥x轴于点F，利用勾股定理可求出AB的长，结合AE＝AB﹣BE可求出AE的长，进而可得出tan∠OAE＝，过点C作CN⊥x轴于点N，利用三角形的外角性质及各角之间的关系可得出∠CON＝∠BAO，设点C的坐标为（m，m），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵直线AB过点B（﹣1，0），
∴﹣1+b＝0，解得：b＝1，
∴直线AB的表达式为y＝x+1．
∵点A（1，a）在直线AB上，
∴a＝1+1＝2，
∴点A的坐标为（1，2）．
又∵双曲线y＝（x＞0）过点A（1，2），
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）．
（2）在图1中，过点C作CD⊥x轴于点D，过点O作OE⊥AB于点E，设直线AB于y轴交于点M．
∵直线AB的表达式为y＝x+1，OC∥AB，
∴直线OC的表达式为y＝x．
联立两函数表达式成方程组，，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为（，），
∴OD＝CD＝，
∴OC＝＝2．
当x＝0时，y＝0+1＝1，
∴点M的坐标为（0，1），
∴OM＝OB＝1，
∴△BOM为等腰直角三角形，
∴OE＝BM＝＝，
∴S△AOC＝OC•OE＝×2×＝.
（3）在图1中，过点A作AF⊥x轴于点F，则BF＝1﹣（﹣1）＝2，AF＝2，
∴AB＝＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝2﹣＝，
∴tan∠OAE＝＝．
∵OB＝OM，∠BOM＝90°，
∴∠ABO＝45°．
在图2中，过点C作CN⊥x轴于点N．
∵∠AON＝∠ABO+∠BAO，∠AOC＝∠ABO＝45°，∠AON＝∠AOC+∠CON，
∴∠CON＝∠BAO，
∴tan∠CON＝．
设点C的坐标为（m，m），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m×m＝2，
∴m＝或m＝﹣（舍去），
∴点C的坐标为（，）．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．
（1）如图1，当α＝60°时，请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是 PA＝CD ，∠DCP为 60 度；
（2）如图2，当α＝120°时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当AB＝2时，求BP+PC的最小值．
【分析】（1）证明△PBA≌△DBC（SAS），进而利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）证明△CBD∽△ABP，可得解决问题．
（3）根据（2）中的关系式利用三角形边关系解答即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB＝PD，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴PA＝DC．
设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．
故答案为：PA＝DC；60；
（2）结论：CD＝PA．
理由：如图2中，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP，
∴，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴，
∴CD＝PA．
（3）如图3，
∵AB＝2，
∴AC＝AB＝2，
∵BP+PC＝BP+（PA+2）＝DP+PA+，
且DP+DC≥PA+AC，
即DP+DC≥PA+2，
即DP≥DC﹣DC+2，
∴＝，
故最小值为．
27．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q．
①当△APQ为直角三角形时，求m的值；
②当﹣3＜m＜0时，若∠PCA＝3∠ACO，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）分两种情形：∠APQ＝90°或∠QAP＝90°，分别求解；
（3）发现∠ACO＝∠BCO，将3倍角转化为2倍角，用角平分线的知识来解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3），
∴，
∴a＝1，b＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3，
（2）①∵PQ∥y轴，
∴∠APQ＝90°或∠QAP＝90°，
当∠APQ＝90°时，
点P的纵坐标为﹣1，
∴点P（﹣2，﹣1），
∴m＝﹣2，
当∠QAP＝90°时，
直线PA的解析式为y＝x﹣2，
由，
解得或，
∴P（﹣1，﹣3），
∴m＝﹣1
综上所述：m＝﹣1或﹣2，
（2）②连接AC、BC交x轴于F，延长CP交x轴于M，作FH⊥CM于H，
∵A（1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（0，﹣3），
∴tan∠ACO＝tan∠BCO，
∴∠ACO＝∠BCO，
∵∠PCA＝3∠ACO，
∴∠MCF＝∠FCO，
∵FH⊥CH，
∴△HCF≌△OCF（AAS），
∴FH＝OF＝，CH＝CO＝3，
∵△MHF∽△MOC，
∴，
∴设MH＝x，则MO＝2x，
在△MHF中，
由勾股定理得：，
解得x＝0或2，
∴M（﹣4，0），
∴直线MC的函数关系式为：y＝﹣，
直线MC与抛物线表达式联立得：
﹣，
∴x1＝0，x2＝﹣，
∴m的值为﹣．
2021年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）
1．（4分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
2．（4分）下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（ ）
A．5.19×10﹣3 B．5.19×10﹣4 C．5.19×10﹣5 D．5.19×10﹣6
4．（4分）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠BDC＝55°，则∠ABF的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
5．（4分）下面图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）某校举办体能比赛，其中一项是引体向上，每完成一次记录1分，达到10个即为满分10分．甲、乙两班各出代表10个人，比赛成绩分别如表，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是（ ）
甲班成绩
7
8
9
10
人数
2
2
3
3
乙班成绩
7
8
9
10
人数
1
2
3
4
A．甲班成绩的众数是10
B．乙班成绩的中位数是9
C．甲班的成绩的平均数是8.6
D．乙班成绩的方差是2
7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，6），B（﹣3，﹣3）．将线段AB平移后A点的对应点是A′（10，10），则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（10，10） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（7，1）
9．（4分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
10．（4分）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（ ）
A．3π﹣4 B．3π﹣2 C．3π﹣4 D．2π
11．（4分）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（ ）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm
12．（4分）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤4 C．2≤m≤4 D．m＞4
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）分解因式：a2+2a＝ ．
14．（4分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
15．（4分）化简：m（m+3）﹣（m+1）2＝ ．
16．（4分）在一个不透明的盒子中有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是 ．
17．（4分）甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，图中的l1、l2分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用时间x（h）的函数关系图象，则甲出发 小时与乙相遇．
18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝2AB＝12，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C落在线段AD上，点M、N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向下翻折，点A恰好落在线段DE的中点A'处．则线段MN的长为 ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（2﹣）0++（）﹣1﹣sin45°．
20．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．
21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
22．（8分）某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：
9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8．
根据数据绘制了表格和统计图：
换算为体考分数
成绩（米）
频数
10
x≥9.6
4
8
7.7≤x≤9.5
a
6
5.3≤x≤7.6
7
4
3.0≤x≤5.2
b
合计
20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ ；b＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是 ；
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
23．（8分）如图，已知△ABE，AB＝BE，以AB为直径作⊙O，交AE于点D，过D点作⊙O的切线交边BE于点C，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC⊥BE；
（2）如果PD＝2，∠ABC＝60°，求BC的长．
24．（10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
25．（10分）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝（x＞0）的交点为A（1，a），与x轴的交点为B（﹣1，0），点C为双曲线y＝（x＞0）上的一点．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）如图1，当OC∥AB时，求△AOC的面积；
（3）如图2，当∠AOC＝45°时，求点C的坐标．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．
（1）如图1，当α＝60°时，请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是 ，∠DCP为 度；
（2）如图2，当α＝120°时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当AB＝2时，求BP+PC的最小值．
27．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q．
①当△APQ为直角三角形时，求m的值；
②当﹣3＜m＜0时，若∠PCA＝3∠ACO，求m的值．
2021年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）
1．（4分）的相反数是（ ）
A． B．﹣6 C．6 D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，在数轴上表示，分别位于原点的两侧，且到原点距离相等的两点所表示的数是互为相反数．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
2．（4分）下列几何体由5个相同的小正方体搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看，是一列两个小正方形．
故选：A．
3．（4分）世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为0.00519秒．数据0.00519用科学记数法可以表示为（ ）
A．5.19×10﹣3 B．5.19×10﹣4 C．5.19×10﹣5 D．5.19×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．
故选：A．
4．（4分）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠BDC＝55°，则∠ABF的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【分析】线根据直角三角形性质可得出∠C的度数，再根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可得出答案．
【解答】解：∵BD⊥CF，
∴∠DBC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠BDC＝90°﹣55°＝35°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠C＝35°．
故选：C．
5．（4分）下面图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．（4分）某校举办体能比赛，其中一项是引体向上，每完成一次记录1分，达到10个即为满分10分．甲、乙两班各出代表10个人，比赛成绩分别如表，根据表格中的信息判断，下列结论正确的是（ ）
甲班成绩
7
8
9
10
人数
2
2
3
3
乙班成绩
7
8
9
10
人数
1
2
3
4
A．甲班成绩的众数是10
B．乙班成绩的中位数是9
C．甲班的成绩的平均数是8.6
D．乙班成绩的方差是2
【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的定义逐一判断即可．
【解答】解：甲班成绩的众数是9和10，故A选项错误；
乙班成绩的中位数是＝9，故B选项正确；
甲班成绩的平均数为＝8.7，故C选项错误；
乙班成绩的平均数为＝9，
则乙班成绩的方差为×[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故D选项错误；
故选：B．
7．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合各选项中解集在数轴上的表示即可．
【解答】解：解不等式﹣2x+5≥3，得：x≤1，
解不等式3（x﹣1）＜2x，得：x＜3，
故选：B．
8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，6），B（﹣3，﹣3）．将线段AB平移后A点的对应点是A′（10，10），则点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（10，10） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣3，3） D．（7，1）
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：∵点A（0，6）向右平移10个单位，向上平移4个单位得到A′（10，10），
∴点B（﹣3，﹣3）向右平移10个单位，向上平移4个单位得到B′（7，1），
故选：D．
9．（4分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500，
故选：C．
10．（4分）如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（ ）
A．3π﹣4 B．3π﹣2 C．3π﹣4 D．2π
【分析】根据题意和折叠的性质，可以得到OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，然后根据OA＝OD，即可得到∠OAC和∠DAC的度数，再根据扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，可以得到OC的长，结合图形，可知阴影部分的面积就是扇形AOB的面积减△AOC和△ADC的面积．
【解答】解：连接OD，
∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，
∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，
又∵OA＝OD，
∴OA＝AD＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAC＝∠DAC＝30°，
∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，
∴OC＝2，
∴阴影部分的面积是：（×2）＝3π﹣4，
故选：A．
11．（4分）为出行方便，近日来越来越多的重庆市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30cm，BE＝40cm．小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，此时CE的长约为（ ）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）
A．26cm B．24cm C．22cm D．20cm
【分析】过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N，构造直角三角形，利用三角函数，求出BC，再用BC减去BE即可．
【解答】解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N
由题意可知MN＝30cm，当CN＝0.9m，即CN＝90cm时，CM＝60cm
∴在Rt△BCM中，∠ABE＝70°，
∴sin∠ABE＝sin70°＝＝0.94
∴BC≈64cm
∴CE＝BC﹣BE＝64﹣40＝24（cm）
故选：B．
12．（4分）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m＜2 B．0≤m≤4 C．2≤m≤4 D．m＞4
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴该函数的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，该函数取得最大值1，该函数图象开口向下，
∵当0≤x≤m时，此函数的最小值为﹣3，最大值为1，当x＝0时，y＝﹣3，
∴2≤m≤4，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．（4分）分解因式：a2+2a＝ a（a+2） ．
【分析】直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
14．（4分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 八 ．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
15．（4分）化简：m（m+3）﹣（m+1）2＝ m﹣1 ．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果．
【解答】解：原式＝m2+3m﹣（m2+2m+1）
＝m2+3m﹣m2﹣2m﹣1
＝m﹣1，
故答案是：m﹣1．
16．（4分）在一个不透明的盒子中有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出2个球，则摸出的两个球都是红球的概率是 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，摸出的两个球都是红球的结果有2个，
∴摸出的两个球都是红球的概率为＝，
故答案为：．
17．（4分）甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，图中的l1、l2分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用时间x（h）的函数关系图象，则甲出发 1.4 小时与乙相遇．
【分析】由函数图像求出l1和l2的解析式，然后由l1和l2的解析式组成的方程组，求出交点坐标即可．
【解答】解：由图象可得，
设l1对应的函数解析式为y1＝k1x+b1，
∴，
解得：，
∴l1对应的函数解析式为y1＝﹣30x+60，
设l2对应的函数解析式为y2＝k2x+b2，
∴，
解得：
∴l2对应的函数解析式为y2＝20x﹣10，
由方程组，
解得：，
即点A的坐标为（1.4，18），
故答案为1.4．
18．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AD＝2AB＝12，点E在线段BC上，将△ECD沿DE向上翻折，点C的对应点C落在线段AD上，点M、N分别是线段AD与线段BC上的点，将四边形ABNM沿MN向下翻折，点A恰好落在线段DE的中点A'处．则线段MN的长为 ．
【分析】作A′G⊥AD于G，连接AA′交MN于K，连接AN．依据勾股定理以及折叠的性质即可得到AM的长以及AK的长，再根据面积法即可得到MN的长．
【解答】解：如图所示，作A′G⊥AD于G，连接AA′交MN于K，连接AN．
由题意可得，四边形DCEC′是正方形，△DGA′是等腰直角三角形，
∴DG＝GA′＝＝3，AG＝AD﹣DG＝12﹣3＝9，
设AM＝MA′＝x，则MG＝9﹣x，
在Rt△MGA′中，A'M2＝MG2+A'G2，
即x2＝（9﹣x）2+32，
解得x＝5，
∴AM＝5，
在Rt△AA'G中，AA′＝＝3，
由折叠可得AK＝AA'＝，AK⊥NM，
∵MN×AK＝AM×AB，
∴MN＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（2﹣）0++（）﹣1﹣sin45°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1++3﹣
＝4．
20．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．
【分析】首先将分式的分子与分母进行因式分解，再去括号，约分最后代入求值．
【解答】解：原式＝÷（），
＝×，
＝，
x＝3时，原式＝．
21．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．
【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
22．（8分）某学校九年级共400名男生，为了解实心球训练情况，从中随机抽取20名学生的实心球成绩作为样本，数据统计如下（单位：米）：
9.6，5，8.6，8.3，9.5，10.3，7.2，6，5.4，7.7，7.6，5.1，12.5，5.5，7.4，7.3，8.1，10.2，9.3，4.8．
根据数据绘制了表格和统计图：
换算为体考分数
成绩（米）
频数
10
x≥9.6
4
8
7.7≤x≤9.5
a
6
5.3≤x≤7.6
7
4
3.0≤x≤5.2
b
合计
20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）统计表中的a＝ 6 ；b＝ 3 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是 108° ；
（4）根据抽样调查结果，请估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有多少人？
【分析】（1）根据题目中的数据，可以写出a、b的值；
（2）根据（1）中a、b的值，可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数；
（4）根据题目中的数据，可以计算出该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的人数．
【解答】解：（1）由题目中的数据可知，
a＝6，b＝3，
故答案为：6，3；
（2）由（1）知，a＝6，b＝3，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）在扇形统计图中，“8分”对应的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：108°；
（4）400×＝180（人），
即估计该校九年级学生实心球体考分数不低于8分的有180人．
23．（8分）如图，已知△ABE，AB＝BE，以AB为直径作⊙O，交AE于点D，过D点作⊙O的切线交边BE于点C，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC⊥BE；
（2）如果PD＝2，∠ABC＝60°，求BC的长．
【分析】（1）连接DO，根据切线的性质得到OD⊥PC，根据等腰三角形的性质得到∠ODA＝∠E，由平行线的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到∠P＝30°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DO，
∵PC与⊙O相切，
∴OD⊥PC，
∵OC＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AB＝BE，
∴∠EAB＝∠E，
∴∠ODA＝∠E，
∴OD∥BE，
∴PC⊥BE；
（2）解：∵∠ABC＝60°，∠PCB＝90°，
∴∠P＝30°，
∵∠PDO＝90°，PD＝2，
∴OD＝PD＝2，
∴OP＝2OD＝4，
∴PB＝6，
∴BC＝PB＝3．
24．（10分）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．
（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，
依题意，得：，
解得：20＜m≤22．
又∵m为正整数，
∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．
25．（10分）如图，直线y＝x+b与双曲线y＝（x＞0）的交点为A（1，a），与x轴的交点为B（﹣1，0），点C为双曲线y＝（x＞0）上的一点．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）如图1，当OC∥AB时，求△AOC的面积；
（3）如图2，当∠AOC＝45°时，求点C的坐标．
【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线AB的表达式，由点A的横坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a的值，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，过点O作OE⊥AB于点E，设直线AB于y轴交于点M，由直线AB的表达式及OC∥AB可得出OC的表达式，联立两函数表达式成方程组，解之可得出点C的坐标，利用勾股定理可求出OC的长，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，进而可得出△BOM为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可求出OE的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出△AOC的面积；
（3）过点A作AF⊥x轴于点F，利用勾股定理可求出AB的长，结合AE＝AB﹣BE可求出AE的长，进而可得出tan∠OAE＝，过点C作CN⊥x轴于点N，利用三角形的外角性质及各角之间的关系可得出∠CON＝∠BAO，设点C的坐标为（m，m），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m值，进而可得出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵直线AB过点B（﹣1，0），
∴﹣1+b＝0，解得：b＝1，
∴直线AB的表达式为y＝x+1．
∵点A（1，a）在直线AB上，
∴a＝1+1＝2，
∴点A的坐标为（1，2）．
又∵双曲线y＝（x＞0）过点A（1，2），
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）．
（2）在图1中，过点C作CD⊥x轴于点D，过点O作OE⊥AB于点E，设直线AB于y轴交于点M．
∵直线AB的表达式为y＝x+1，OC∥AB，
∴直线OC的表达式为y＝x．
联立两函数表达式成方程组，，
解得：或（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为（，），
∴OD＝CD＝，
∴OC＝＝2．
当x＝0时，y＝0+1＝1，
∴点M的坐标为（0，1），
∴OM＝OB＝1，
∴△BOM为等腰直角三角形，
∴OE＝BM＝＝，
∴S△AOC＝OC•OE＝×2×＝.
（3）在图1中，过点A作AF⊥x轴于点F，则BF＝1﹣（﹣1）＝2，AF＝2，
∴AB＝＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝2﹣＝，
∴tan∠OAE＝＝．
∵OB＝OM，∠BOM＝90°，
∴∠ABO＝45°．
在图2中，过点C作CN⊥x轴于点N．
∵∠AON＝∠ABO+∠BAO，∠AOC＝∠ABO＝45°，∠AON＝∠AOC+∠CON，
∴∠CON＝∠BAO，
∴tan∠CON＝．
设点C的坐标为（m，m），
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴m×m＝2，
∴m＝或m＝﹣（舍去），
∴点C的坐标为（，）．
26．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB、DC．
（1）如图1，当α＝60°时，请直接写出线段PA与线段CD的数量关系是 PA＝CD ，∠DCP为 60 度；
（2）如图2，当α＝120°时，写出线段PA和线段DC的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，当AB＝2时，求BP+PC的最小值．
【分析】（1）证明△PBA≌△DBC（SAS），进而利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）证明△CBD∽△ABP，可得解决问题．
（3）根据（2）中的关系式利用三角形边关系解答即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，
∴PB＝PD，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，
∴△ABC，△PBD是等边三角形，
∴∠ABC＝∠PBD＝60°，
∴∠PBA＝∠DBC，
∵BP＝BD，BA＝BC，
∴△PBA≌△DBC（SAS），
∴PA＝DC．
设BD交PC于点O．
∵△PBA≌△DBC，
∴∠BPA＝∠BDC，
∵∠BOP＝∠COD，
∴∠OBP＝∠OCD＝60°，即∠DCP＝60°．
故答案为：PA＝DC；60；
（2）结论：CD＝PA．
理由：如图2中，
∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，
∴BC＝2•AB•cos30°＝BA，BD═2BP•cos30°＝BP，
∴，
∵∠ABC＝∠PBD＝30°，
∴∠ABP＝∠CBD，
∴△CBD∽△ABP，
∴，
∴CD＝PA．
（3）如图3，
∵AB＝2，
∴AC＝AB＝2，
∵BP+PC＝BP+（PA+2）＝DP+PA+，
且DP+DC≥PA+AC，
即DP+DC≥PA+2，
即DP≥DC﹣DC+2，
∴＝，
故最小值为．
27．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q．
①当△APQ为直角三角形时，求m的值；
②当﹣3＜m＜0时，若∠PCA＝3∠ACO，求m的值．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）分两种情形：∠APQ＝90°或∠QAP＝90°，分别求解；
（3）发现∠ACO＝∠BCO，将3倍角转化为2倍角，用角平分线的知识来解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，﹣1）、B（﹣3，3），
∴，
∴a＝1，b＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3，
（2）①∵PQ∥y轴，
∴∠APQ＝90°或∠QAP＝90°，
当∠APQ＝90°时，
点P的纵坐标为﹣1，
∴点P（﹣2，﹣1），
∴m＝﹣2，
当∠QAP＝90°时，
直线PA的解析式为y＝x﹣2，
由，
解得或，
∴P（﹣1，﹣3），
∴m＝﹣1
综上所述：m＝﹣1或﹣2，
（2）②连接AC、BC交x轴于F，延长CP交x轴于M，作FH⊥CM于H，
∵A（1，﹣1）、B（﹣3，3）、C（0，﹣3），
∴tan∠ACO＝tan∠BCO，
∴∠ACO＝∠BCO，
∵∠PCA＝3∠ACO，
∴∠MCF＝∠FCO，
∵FH⊥CH，
∴△HCF≌△OCF（AAS），
∴FH＝OF＝，CH＝CO＝3，
∵△MHF∽△MOC，
∴，
∴设MH＝x，则MO＝2x，
在△MHF中，
由勾股定理得：，
解得x＝0或2，
∴M（﹣4，0），
∴直线MC的函数关系式为：y＝﹣，
直线MC与抛物线表达式联立得：
﹣，
∴x1＝0，x2＝﹣，
∴m的值为﹣．
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