2021年湖南省常德市中考数学模拟试卷（解析版）

这是一份2021年湖南省常德市中考数学模拟试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省常德市中考数学模拟试卷
一、选择题：（每小题3分，共计24分）
1．（3分）|﹣2|的相反数为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）已知三角形中，某两条边的长分别为4和9，则另一条边的长可能是（　　）
A．4 B．5 C．12 D．13
3．（3分）若函数y＝（k+1）x+2中，y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围为（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＜﹣1
4．（3分）若实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．|c|＞|a| B．bc＞0 C．b+c＜0 D．a+c＜0
5．（3分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别为S甲2＝26.5，S乙2＝29，则两组成绩的稳定性是（　　）
A．甲组比乙组的成绩稳定
B．乙组比甲组的成绩稳定
C．甲、乙两组的成绩一样稳定
D．无法确定
6．（3分）如图，矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交AB、CD于点E、F，若AD＝2，AB＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B． C． D．
7．（3分）下列计算错误的是（　　）
A．（a3b）•（ab2）＝a4b3 B．（﹣mn3）2＝m2n6
C．a5÷a﹣2＝a3 D．xy2﹣xy2＝xy2
8．（3分）已知实数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：﹣2的差倒数是的差倒数是．如果a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，则a1+a2+…+a100＝（　　）
A．48.5 B．49.5 C．50 D．51.5
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．（3分）﹣27的立方根等于　 　．
10．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　 　．
11．（3分）为防疫新冠病毒，我国的口罩产能大幅提升，今年四月初我国日产口罩达到210000000只，将210000000用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）5个正整数中，中位数是6，唯一的众数是8，则这5个数的和的最大值为　 　．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的一个根是﹣1，则另一个根是　 　．
14．（3分）如图，要用纸板制作一个母线长为8cm，底面圆半径为6cm的圆锥形漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是　 　cm2．

15．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　 　．
16．（3分）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为　 　．

三.（每小题5分，共10分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组．
四、（每小题4分，共12分）
19．（4分）先化简，再求值：，其中，．
20．（4分）如图Rt△OAB的面积为6，∠OBA＝90°，反比例函数的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）从M（1，6），N（3，4），P（﹣1，12），Q（﹣6，﹣2）四个点中任取两个点，请用树状图或列表法，求恰有一个点在反比例函数图象上的概率．

五、（每小题7分，共14分）
21．（7分）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2．单价和为80元．
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？
22．（7分）如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．

六、（每小题8分，共16分）
23．（8分）某种水彩笔，在购买时，若同时额外购买笔芯，每个优惠价为3元，使用期间，若备用笔芯不足时需另外购买，每个5元．现要对在购买水彩笔时应同时购买几个笔芯作出选择，为此收集了这种水彩笔在使用期内需要更换笔芯个数的30组数据，整理绘制出下面的条形统计图：

设x表示水彩笔在使用期内需要更换的笔芯个数，y表示每支水彩笔在购买笔芯上所需要的费用（单位：元），n表示购买水彩笔的同时购买的笔芯个数．
（1）若n＝9，求y与x的函数关系式；
（2）若要使这30支水彩笔“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小于0.5，确定n的最小值；
（3）假设这30支笔在购买时，每支笔同时购买9个笔芯，或每支笔同时购买10个笔芯，分别计算这30支笔在购买笔芯所需费用的平均数，以费用最省作为选择依据，判断购买一支水彩笔的同时应购买9个还是10个笔芯．
24．（8分）在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳篷，如图（a），现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳篷，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°．把图（a）画成图（b），其中AB表示窗户的高，BCD表示直角形遮阳篷．

（1）遮阳篷BCD怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内，而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？请在图（c）中画图表示；
（2）已知AB＝150cm，在（1）的条件下，求出BC，CD的长度．
七、（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣4，﹣3），与x轴交于A（﹣5，0），C（﹣1，0）两点，D为顶点，P为抛物线上一动点（与点B、C不重合）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
（3）该抛物线上是否存在点P，使∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（14分）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，求证：AE＝EF；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上时，设AF交BC于点G，求证：AG•CF＝AF•CG．

2021年湖南省常德市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共计24分）
1．（3分）|﹣2|的相反数为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】先计算|﹣2|，再写出它的相反数．
【解答】解：|﹣2|＝2，
2的相反数时﹣2，
所以|﹣2|的相反数是﹣2
故选：B．
2．（3分）已知三角形中，某两条边的长分别为4和9，则另一条边的长可能是（　　）
A．4 B．5 C．12 D．13
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：9+4＝13，9﹣4＝5，
所以第三边在5到13之间，
只有C中的12满足．
故选：C．
3．（3分）若函数y＝（k+1）x+2中，y的值随x值的增大而减小，则k的取值范围为（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＜﹣1
【分析】根据一次函数y＝（k+1）x+2的增减性列出不等式k+1＜0，通过解该不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（k+1）x+2图象是函数值y随自变量x的值增大而减小，
∴k+1＜0，
解得，k＜﹣1；
故选：D．
4．（3分）若实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．|c|＞|a| B．bc＞0 C．b+c＜0 D．a+c＜0
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置即可得到答案．
【解答】解：A、|c|＜2，|a|＞2，则|c|＜|a|，故A不符合题意，
B、b＜0，c＞0，则bc＜0，故B不符合题意，
C、b＜0，c＞0，且|c|＞|b|，则b+c＞0，故C不符合题意，
D、a＜0，c＞0，且|c|＜|a，则a+c＜0，故D符合题意，
故选：D．
5．（3分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别为S甲2＝26.5，S乙2＝29，则两组成绩的稳定性是（　　）
A．甲组比乙组的成绩稳定
B．乙组比甲组的成绩稳定
C．甲、乙两组的成绩一样稳定
D．无法确定
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝26.5，S乙2＝29，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲组比乙组的成绩稳定，
故选：A．
6．（3分）如图，矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF⊥BD分别交AB、CD于点E、F，若AD＝2，AB＝4，则DE的长为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】根据题意可得EF垂直平分BD，EB＝ED，再根据勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：根据题意可知：EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣ED＝4﹣DE，
根据勾股定理，得
DE2＝AE2+AD2，
∴DE2＝（4﹣DE）2+22，
解得DE＝．
故选：B．
7．（3分）下列计算错误的是（　　）
A．（a3b）•（ab2）＝a4b3 B．（﹣mn3）2＝m2n6
C．a5÷a﹣2＝a3 D．xy2﹣xy2＝xy2
【分析】选项A为单项式×单项式；选项B为积的乘方；选项C为同底数幂的除法；选项D为合并同类项，根据相应的公式进行计算即可．
【解答】解：
选项A，单项式×单项式，（a3b）•（ab2）＝a3•a•b•b2＝a4b3，选项正确
选项B，积的乘方，（﹣mn3）2＝m2n6，选项正确
选项C，同底数幂的除法，a5÷a﹣2＝a5﹣（﹣2）＝a7，选项错误
选项D，合并同类项，xy2﹣xy2＝xy2﹣xy2＝xy2，选项正确
故选：C．
8．（3分）已知实数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：﹣2的差倒数是的差倒数是．如果a1＝﹣1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，则a1+a2+…+a100＝（　　）
A．48.5 B．49.5 C．50 D．51.5
【分析】先求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，用100除以3，从而可以求得答案．
【解答】解：∵a1＝﹣1，
∴a2＝＝，
a3＝＝2，
a4＝＝﹣1，
∴这列数是以﹣1，，2依次循环，且﹣1++2＝，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×﹣1＝48.5；
故选：A．
二、填空题：（每题3分，共24分）
9．（3分）﹣27的立方根等于　﹣3　．
【分析】根据立方根的定义求出即可．
【解答】解：﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：﹣3．
10．（3分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是　8　．
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方程即可．
【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
11．（3分）为防疫新冠病毒，我国的口罩产能大幅提升，今年四月初我国日产口罩达到210000000只，将210000000用科学记数法表示为　2.1×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：210000000＝2.1×108，
故答案为：2.1×108．
12．（3分）5个正整数中，中位数是6，唯一的众数是8，则这5个数的和的最大值为　31　．
【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案．
【解答】解：因为五个正整数从小到大排列后，其中位数是6，这组数据的唯一众数是8，
所以这5个数据分别是x，y，6，8，8，其中x＝3或4，y＝4或5．
所以这5个数的和的最大值是4+5+6+8+8＝31．
故答案为：31．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2＝0的一个根是﹣1，则另一个根是　﹣2　．
【分析】设方程的另一个根为t，利用两根之积为﹣2得到﹣1×t＝2，然后解方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得﹣1×t＝2，
解得t＝﹣2，
即方程的另一个根为﹣2．
故答案为﹣2．
14．（3分）如图，要用纸板制作一个母线长为8cm，底面圆半径为6cm的圆锥形漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是　48π　cm2．

【分析】根据圆锥的侧面展开是扇形，即求扇形的面积，根据圆锥的母线长即扇形的半径，再由扇形的面积公式S＝lR即可得出答案．
【解答】解：∵l＝2×6×π＝12π（cm），
∴S＝lR＝×12π×8＝48π（cm2）．
故答案为：48π．
15．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为　y＝﹣（x+1）2+3　．
【分析】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线y＝﹣x2顶点坐标为（0，0），向左平移1个单位，然后向上平移3个单位后，顶点坐标为（﹣1，3），根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式．
【解答】解：根据题意，
原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，3），
∴平移后抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．
故答案为：y＝﹣（x+1）2+3．
16．（3分）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为　1　．

【分析】由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．
【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16＝1．
故答案为：1
三.（每小题5分，共10分）
17．（5分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+1+3﹣3×
＝﹣1+1+3﹣
＝3．
18．（5分）解不等式组．
【分析】本题可根据不等式组分别求出x的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解．
【解答】解：由①得：去括号得，x﹣3x+6≤4，
移项、合并同类项得，﹣2x≤﹣2，
化系数为1得，x≥1．（12分）
由②得：去分母得，1+2x＞3x﹣3，
移项、合并同类项得，﹣x＞﹣4，
化系数为1得，x＜4（4分）

∴原不等式组的解集为：1≤x＜4．
四、（每小题4分，共12分）
19．（4分）先化简，再求值：，其中，．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当时，原式＝．
20．（4分）如图Rt△OAB的面积为6，∠OBA＝90°，反比例函数的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）从M（1，6），N（3，4），P（﹣1，12），Q（﹣6，﹣2）四个点中任取两个点，请用树状图或列表法，求恰有一个点在反比例函数图象上的概率．

【分析】（1）直接利用反比例函数的性质得出函数解析式；
（2）直接利用树状图得出所有的可能，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵Rt△OAB的面积为6，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）如图所示：
，
∵只有N（3，4），Q（﹣6，﹣2）在反比例函数图像上，
∴恰有一个点在反比例函数图象上的有8种情况，
故恰有一个点在反比例函数图象上的概率为：＝．
五、（每小题7分，共14分）
21．（7分）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2．单价和为80元．
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量多于25个，有哪几种购买方案？
【分析】（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为x元．根据等量关系“单价和为80元”，列方程求解；
（2）设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为（36﹣n）个．
根据不等关系：①买的篮球数量多于25个；②不超过1600元的资金购买一批篮球和排球．列不等式组，进行求解．
【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，
∵篮球和排球的单价比为3：2，
则排球的单价为x元．
依题意，得：x+x＝80，
解得x＝48，
∴x＝32．
即篮球的单价为48元，排球的单价为32元．

（2）设购买的篮球数量为n个，则购买的排球数量为（36﹣n）个．
∴，
解，得25＜n≤28．
而n为整数，所以其取值为26，27，28，对应的36﹣n的值为10，9，8．
所以共有三种购买方案：
方案一：购买篮球26个，排球10个；
方案二：购买篮球27个，排球9个；
方案三：购买篮球28个，排球8个．
22．（7分）如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．

【分析】（1）由圆周角定理可知∠ABC＝∠BAC＝60°，从而可证得△ABC是等边三角形；
（2）由△ABC是等边三角形可得出“AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°”，在直角三角形PAC和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度，二者作差即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠BPC，∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．

（2）解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，
∴AC＝BC＝AB＝2，∠ACB＝60°．
在Rt△PAC中，∠PAC＝90°，∠APC＝60°，AC＝2，
∴AP＝＝．
在Rt△DAC中，∠DAC＝90°，AC＝2，∠ACD＝60°，
∴AD＝AC•tan∠ACD＝2．
∴PD＝AD﹣AP＝．
六、（每小题8分，共16分）
23．（8分）某种水彩笔，在购买时，若同时额外购买笔芯，每个优惠价为3元，使用期间，若备用笔芯不足时需另外购买，每个5元．现要对在购买水彩笔时应同时购买几个笔芯作出选择，为此收集了这种水彩笔在使用期内需要更换笔芯个数的30组数据，整理绘制出下面的条形统计图：

设x表示水彩笔在使用期内需要更换的笔芯个数，y表示每支水彩笔在购买笔芯上所需要的费用（单位：元），n表示购买水彩笔的同时购买的笔芯个数．
（1）若n＝9，求y与x的函数关系式；
（2）若要使这30支水彩笔“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小于0.5，确定n的最小值；
（3）假设这30支笔在购买时，每支笔同时购买9个笔芯，或每支笔同时购买10个笔芯，分别计算这30支笔在购买笔芯所需费用的平均数，以费用最省作为选择依据，判断购买一支水彩笔的同时应购买9个还是10个笔芯．
【分析】（1）根据题意列出函数关系式；
（2）由条形统计图得到需要更换笔芯的个数为7个对应的频数为4，8个对应的频数为6，9个对应的频数为8，即可．
（3）分两种情况计算
【解答】解：（1）当n＝9时，y＝＝；
（2）根据题意，“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频率不小于0.5，则“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频数大于或等于30×0.5＝15，
根据统计图可得，需要更换笔芯的个数为7个对应的频数为4，8个对应的频数为6，9个对应的频数为8，
因此当n＝9时，“更换笔芯的个数不大于同时购买笔芯的个数”的频数＝4+6+8＝18＞15．
因此n的最小值为9．
（3）30支笔在购买时每支笔同时购买9个笔芯所需费用的平均数为：
27+＝，
30支笔在购买时每支笔同时购买10个笔芯所需费用的平均数为：
30+＝，
而，
∴购买一支水彩笔的同时应购买9个笔芯的费用最省．
24．（8分）在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳篷，如图（a），现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳篷，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°．把图（a）画成图（b），其中AB表示窗户的高，BCD表示直角形遮阳篷．

（1）遮阳篷BCD怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内，而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？请在图（c）中画图表示；
（2）已知AB＝150cm，在（1）的条件下，求出BC，CD的长度．
【分析】（1）夏天，光线最高经过点A，冬天，光线最低经过点B．应过点A作与水平线成60°的角，过B作∠CBD＝60°与前一个60°的角交于点D，过D向AB引垂线，垂足为C即可；
（2）根据题意可知：∠BDA＝∠BAD＝30°，根据30度角的直角三角形可得结果．
【解答】解：（1）根据题意画出图形：

（2）根据题意可知：∠BDA＝∠BAD＝30°，
∴∠CBD＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴BD＝AB＝150cm，
∴BC＝BD＝75（cm），
∴CD＝BC＝75（cm）；
答：BC、CD长度分别为．
七、（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣4，﹣3），与x轴交于A（﹣5，0），C（﹣1，0）两点，D为顶点，P为抛物线上一动点（与点B、C不重合）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
（3）该抛物线上是否存在点P，使∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）证明△BCD是直角三角形，且．①当点P在直线BC下方时，求出直线BH的表达式为，进而求解，②当点P在直线BC上方时，BP∥CD求出直线BP的表达式为y＝2x+5，进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线过A（﹣5，0），C（﹣1，0）两点，
可设为y＝a（x+5）（x+1），
又过点B（﹣4，﹣3），
∴﹣3＝a（﹣4+5）（﹣4+1），
∴a＝1，
∴解析式为y＝x2+6x+5；

（2）由点B、C的坐标得：直线BC的解析式为：y＝x+1，
过点P作x轴的垂线，交BC于点Q，

设点P的横坐标为t，
则点P的坐标为（t，t2+6t+5），点Q的坐标为（t，t+1），
∴PQ＝t+1﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
∴，
∵，﹣4＜1＜﹣1．
∴当时，△PBC的面积最大，最大值为；

（3）存在．理由：
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（﹣3，﹣4），
连接BD，

则BD2＝2，CD2＝20，BC2＝18，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，且．
①当点P在直线BC下方时，
设CD的中点为H，
则H（﹣2，﹣2），
且点P为直线BH与抛物线的交点（不与点B重合）易得直线BH的表达式为，
令，
解得x＝﹣4（舍去）或，
∴此时P的坐标为；
②当点P在直线BC上方时，BP∥CD．
由C、D的坐标得：直线CD的表达式为y＝2x+2，
则可设直线BP的表达式为y＝2x+c，
将点B（﹣4，﹣3）代入y＝2x+c，解得c＝5
故直线BP的表达式为y＝2x+5．
令2x+5＝x2+6x+5，
解得x＝﹣4或x＝0，
∴此时点P的坐标为（0，5），
综上所述，点P的坐标为或（0，5）．
26．（14分）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，求证：AE＝EF；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上时，设AF交BC于点G，求证：AG•CF＝AF•CG．
【分析】（1）连接AC，可得△ABE≌△ACF，进而判断出△AEF是等边三角形，即可得出结论；
（2）连接AC，可得△ABE≌△ACF，进而得出结论；
（3）由已知可得△AEG～△CFG，进而得出，再判断出AE＝AF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，
连接AC，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝60°＝∠ABC，
∵∠EAF＝60°＝∠BAC，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAF+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF；

（2）如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝60°＝∠ABC，
∵∠EAF＝60°＝∠BAC，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAF+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；

（3）由（1）知，∠FCG＝60°＝∠EAF，
∵∠AGE＝∠FGC，
∴△AEG～△CFG，
∴，
同（1）知，△AEF为等边三角形，
∴AE＝AF，
∴
即．