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2021年湖南省益阳市赫山区中考数学模拟试卷（解析版）
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这是一份2021年湖南省益阳市赫山区中考数学模拟试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省益阳市赫山区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣6 D．6
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝
3．（4分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
5．（4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝x+7 C．y＝﹣5x﹣4 D．y＝﹣x2
6．（4分）已知一组数据7，8，8，8，9，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
7．（4分）已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
8．（4分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
9．（4分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＞0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＞0，其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）据统计，2019年某市生产总值约为1250亿元，用科学记数法表示为 万元．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．
13．（4分）不等式组的解集是 ．
14．（4分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝70°，则∠2＝ °．
15．（4分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是 ．
16．（4分）在一个不透明的袋子中有红、黄、蓝3个小球，摸到红球的概率是 ．
17．（4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝ ．
18．（4分）观察下列等式：
①3﹣2＝（1）2，②5﹣2＝（）2，③7﹣2＝（）2，…
请你根据以上规律，写出第5个等式： ．
三、解答题（本大题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2cos60°．
20．（8分）化简：．
21．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．求证：BE＝AF．
22．（10分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21
42%
良好
m
40%
合格
6
n%
待合格
3
6%
（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中m＝ ，n＝ ．
（2）补全条形统计图．
（3）若全校有5000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作⊙O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交⊙O于点E．
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由．
（2）求证：ND＝NE．
24．（10分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：
品种
A
B
原运费
45
25
现运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
25．（12分）（1）如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，试探究线段CF，BD之间的位置关系和数量关系．
（2）如图②，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，（1）中的两条结论是否仍然成立？为什么？
（3）如图③，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．
26．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME＝∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．
2021年湖南省益阳市赫山区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣6 D．6
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣6的相反数是6．
故选：D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
【解答】解：A：＝2，故本选项错误；
B：＝12，故本选项错误；
C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
故选：D．
3．（4分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选：D．
4．（4分）解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以（2x﹣1），把分式方程便可转化成一元一次方程．
【解答】解：方程两边都乘以（2x﹣1），得
x﹣2＝3（2x﹣1），
故选：C．
5．（4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝x+7 C．y＝﹣5x﹣4 D．y＝﹣x2
【分析】根据一次函数和二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：A、对于y＝4x，k＝4＞0，y随x的增大而增大，本选项不符合题意；
B、对于y＝x+7，k＝1＞0，y随x的增大而增大，本选项不符合题意；
C、对于y＝﹣5x﹣4，k＝﹣5＜0，y随x的增大而减小，本选项符合题意；
D、对于y＝﹣x2，a＝﹣1＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意；
故选：C．
6．（4分）已知一组数据7，8，8，8，9，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
【分析】分别根据平均数、众数和中位数及方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的平均数为＝8，众数为8，中位数是8，方差是×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，
故选：D．
7．（4分）已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选：B．
8．（4分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选：D．
9．（4分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．
故选：D．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＞0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＞0，其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
②∵对称轴x＜﹣1，
∴﹣＜﹣1，a＜0，
∴b＜2a，
∴b﹣2a＜0，故②错误．
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．
④当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）据统计，2019年某市生产总值约为1250亿元，用科学记数法表示为 1.25×107 万元．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1250亿＝12500000万＝1.25×107万．
故答案为：1.25×107．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 7 ．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
13．（4分）不等式组的解集是 ﹣1≤x＜2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
故答案为：﹣1≤x＜2．
14．（4分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝70°，则∠2＝ 110 °．
【分析】直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵AB∥DC，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110．
15．（4分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是 12π ．
【分析】根据题目中的数据和扇形面积的计算公式，可以计算出该扇形的面积．
【解答】解：∵一个扇形的半径为6，圆心角为120°，
∴该扇形的面积是：＝12π，
故答案为：12π．
16．（4分）在一个不透明的袋子中有红、黄、蓝3个小球，摸到红球的概率是 ．
【分析】根据题意可以求得摸到红球的概率，本题得以解决．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球各1个，
∴从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：，
故答案为：．
17．（4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝ 6 ．
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），
依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
18．（4分）观察下列等式：
①3﹣2＝（1）2，②5﹣2＝（）2，③7﹣2＝（）2，…
请你根据以上规律，写出第5个等式： 11﹣2＝（﹣）2 ．
【分析】观察等式的右侧可得到第5个等式的右边为（﹣）2，然后利用完全平方公式计算得到左边．
【解答】解：第5个等式为11﹣2＝（﹣）2．
故答案为11﹣2＝（﹣）2．
三、解答题（本大题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2cos60°．
【分析】先利用绝对值、负整数指数幂的意义、分母有理化和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣2﹣+2×
＝﹣2﹣+1
＝﹣1．
20．（8分）化简：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝．
21．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．求证：BE＝AF．
【分析】根据正方形的性质和DE＝CF，可以得到∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，AE＝DF，然后即可得到△BAE≌△ADF，从而可以得到BE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF．
22．（10分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21
42%
良好
m
40%
合格
6
n%
待合格
3
6%
（1）本次调查随机抽取了 50 名学生；表中m＝ 20 ，n＝ 12 ．
（2）补全条形统计图．
（3）若全校有5000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【分析】（1）根据等级为优秀的频数和频率可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出等级为良好的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【解答】解：（1）本次调查随机抽取了21÷42%＝50名学生，
m＝50×40%＝20，
n%＝6÷50×100%＝12%，
故答案为：50，20，12；
（2）等级为“良好”的学生有：50﹣21﹣6﹣3＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）5000×（42%+40%）
＝5000×82%
＝4100（人），
即估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有4100人．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作⊙O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交⊙O于点E．
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由．
（2）求证：ND＝NE．
【分析】（1）证明四边形AMCD的对角线互相平分，且∠CNM＝90°，可得四边形AMCD为菱形；
（2）可证得∠CMN＝∠DEN，由CD＝CM可证出∠CDM＝∠CMN，则∠DEN＝∠CDM，结论得证．
【解答】（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：
∵M是Rt△ABC中AB的中点，
∴CM＝AM，
∵CM为⊙O的直径，
∴∠CNM＝90°，
∴MD⊥AC，
∴AN＝CN，
∵ND＝MN，
∴四边形AMCD是菱形．
（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，
∴∠CEN+∠CMN＝180°，
∵∠CEN+∠DEN＝180°，
∴∠CMN＝∠DEN，
∵四边形AMCD是菱形，
∴CD＝CM，
∴∠CDM＝∠CMN，
∴∠DEN＝∠CDM，
∴ND＝NE．
24．（10分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：
品种
A
B
原运费
45
25
现运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
【分析】（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
（2）设增加m件A产品，则增加了（8﹣m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，根据（1）的结果结合图表列出W关于m的一次函数，再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”，列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．
【解答】解：（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，
根据题意得：，
解得：，
答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，
（2）设增加m件A产品，则增加了（8﹣m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，
增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8﹣m）＝（38﹣m）件，
根据题意得：W＝30（10+m）+20（38﹣m）＝10m+1060，
由题意得：38﹣m≤2（10+m），
解得：m≥6，
即6≤m≤8，
∵一次函数W随m的增大而增大
∴当m＝6时，W最小＝1120，
答：产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．
25．（12分）（1）如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，试探究线段CF，BD之间的位置关系和数量关系．
（2）如图②，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，（1）中的两条结论是否仍然成立？为什么？
（3）如图③，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）只要证明△BAD≌△CAF（SAS），推出CF＝BD，推出∠B＝∠ACF，推出∠B+∠BCA＝90°，推出∠BCA+∠ACF＝90°即可；
（2）结论不变．证明方法与探究1类似；
（3）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，于是得到CF⊥BD．
【解答】解：（1）如图1中，结论：CF⊥BD，CF＝BD．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF＝90°，
∴∠CAD+∠CAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD．
故答案为：CF⊥BD，CF＝BD．
（2）如图2中，（1）中的两条结论是否仍然成立．理由如下：
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°+∠CAD，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF＝90°，∠CAF＝90°+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF．
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD．
（3）如图3中，线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD．理由如下：
如图，过点A作AP⊥AC，交BC于点P．
∵∠BCA＝45°，∴∠APD＝45°，AP＝AC．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD＝AF，
∵∠CAP＝∠DAF＝90°，
∴∠PAD＝∠CAF，
∴△APD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°，
∴线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD．
26．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME＝∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），然后将（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；
（2）当△PBH与△AOC相似时，△PBH是直角三角形，由可知∠AHB＝90°，所以求出直线AH的解析式后，联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标；
（3）设M的坐标为（m，0），由∠BME＝∠BDC可知∠EMC＝∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出m＝时，CN有最大值，然后再证明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
把（0，﹣2）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
∴a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）当△PBH与△AOC相似时，
∴△AOC是直角三角形，
∴△PBH也是直角三角形，
由题意知：H（0，2），
∴OH＝2，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AH＝，BH＝2，
∴AH2+BH2＝AB2，
∴∠AHB＝90°，
且∠ACO＝∠AHO＝∠HBA，
∴△AOC∽△AHB，
∴A（﹣1，0）符合要求，
取AB中点G，则G（，0），
连接HG并延长至F使GF＝HG，连接AF，
则四边形AFBH为矩形，
∴∠HBD＝90°，∠BHG＝∠GBH＝∠AHO＝∠ACO，
且F点坐标为（3，﹣2），
将F（3，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得，F在抛物线上，
∴点（3，﹣2）符合要求，
所以符合要求的P点的坐标为（﹣1，0）和（3，﹣2）．
（3）过点M作MF⊥x轴于点F，
设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，﹣2），
∵∠BME＝∠BDC，
∴∠EMC+∠BME＝∠BDC+∠MBD，
∴∠EMC＝∠MBD，
∵CD∥x轴，
∴D的纵坐标为﹣2，
令y＝﹣2代入y＝x2﹣x﹣2，
∴x＝0或x＝3，
∴D（3，﹣2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理可求得：BD＝，
∵M（m，﹣2），
∴MD＝3﹣m，CM＝m（0≤m≤3）
∴由抛物线的对称性可知：∠NCM＝∠BDC，
∴△NCM∽△MDB，
∴，
∴，
∴CN＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，CN可取得最大值，
∴此时M的坐标为（，﹣2），
∴MF＝2，BF＝，MD＝
∴由勾股定理可求得：MB＝，
∵E（n，0），
∴EB＝4﹣n，
∵CD∥x轴，
∴∠NMC＝∠BEM，∠EBM＝∠BMD，
∴△EMB∽△BDM，
∴，
∴MB2＝MD•EB，
∴＝×（4﹣n），
∴n＝﹣，
∴E的坐标为（﹣，0）．
2021年湖南省益阳市赫山区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣6 D．6
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝
3．（4分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
5．（4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝x+7 C．y＝﹣5x﹣4 D．y＝﹣x2
6．（4分）已知一组数据7，8，8，8，9，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
7．（4分）已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
8．（4分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
9．（4分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＞0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＞0，其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）据统计，2019年某市生产总值约为1250亿元，用科学记数法表示为 万元．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．
13．（4分）不等式组的解集是 ．
14．（4分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝70°，则∠2＝ °．
15．（4分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是 ．
16．（4分）在一个不透明的袋子中有红、黄、蓝3个小球，摸到红球的概率是 ．
17．（4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝ ．
18．（4分）观察下列等式：
①3﹣2＝（1）2，②5﹣2＝（）2，③7﹣2＝（）2，…
请你根据以上规律，写出第5个等式： ．
三、解答题（本大题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2cos60°．
20．（8分）化简：．
21．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．求证：BE＝AF．
22．（10分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21
42%
良好
m
40%
合格
6
n%
待合格
3
6%
（1）本次调查随机抽取了 名学生；表中m＝ ，n＝ ．
（2）补全条形统计图．
（3）若全校有5000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作⊙O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交⊙O于点E．
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由．
（2）求证：ND＝NE．
24．（10分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：
品种
A
B
原运费
45
25
现运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
25．（12分）（1）如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，试探究线段CF，BD之间的位置关系和数量关系．
（2）如图②，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，（1）中的两条结论是否仍然成立？为什么？
（3）如图③，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．
26．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME＝∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．
2021年湖南省益阳市赫山区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）﹣6的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣6 D．6
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：﹣6的相反数是6．
故选：D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝ D．×＝
【分析】根据二次根式的性质以及二次根式加法，乘法及乘方运算法则计算即可．
【解答】解：A：＝2，故本选项错误；
B：＝12，故本选项错误；
C：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D：根据二次根式乘法运算的法则知本选项正确．
故选：D．
3．（4分）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥．
故选：D．
4．（4分）解分式方程+＝3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）
A．x+2＝3 B．x﹣2＝3
C．x﹣2＝3（2x﹣1） D．x+2＝3（2x﹣1）
【分析】最简公分母是2x﹣1，方程两边都乘以（2x﹣1），把分式方程便可转化成一元一次方程．
【解答】解：方程两边都乘以（2x﹣1），得
x﹣2＝3（2x﹣1），
故选：C．
5．（4分）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝4x B．y＝x+7 C．y＝﹣5x﹣4 D．y＝﹣x2
【分析】根据一次函数和二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：A、对于y＝4x，k＝4＞0，y随x的增大而增大，本选项不符合题意；
B、对于y＝x+7，k＝1＞0，y随x的增大而增大，本选项不符合题意；
C、对于y＝﹣5x﹣4，k＝﹣5＜0，y随x的增大而减小，本选项符合题意；
D、对于y＝﹣x2，a＝﹣1＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意；
故选：C．
6．（4分）已知一组数据7，8，8，8，9，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
【分析】分别根据平均数、众数和中位数及方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的平均数为＝8，众数为8，中位数是8，方差是×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，
故选：D．
7．（4分）已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【解答】解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选：B．
8．（4分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．
故选：D．
9．（4分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【分析】先根据切线长定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得OP⊥AB，根据菱形的性质，只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，由此可判断D不一定成立．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立．
故选：D．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＞0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＞0，其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
②∵对称轴x＜﹣1，
∴﹣＜﹣1，a＜0，
∴b＜2a，
∴b﹣2a＜0，故②错误．
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．
④当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11．（4分）据统计，2019年某市生产总值约为1250亿元，用科学记数法表示为 1.25×107 万元．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1250亿＝12500000万＝1.25×107万．
故答案为：1.25×107．
12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 7 ．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
13．（4分）不等式组的解集是 ﹣1≤x＜2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
故答案为：﹣1≤x＜2．
14．（4分）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝70°，则∠2＝ 110 °．
【分析】直接利用对顶角以及平行线的性质分析得出答案．
【解答】解：∵∠1＝70°，
∴∠1＝∠3＝70°，
∵AB∥DC，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110．
15．（4分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是 12π ．
【分析】根据题目中的数据和扇形面积的计算公式，可以计算出该扇形的面积．
【解答】解：∵一个扇形的半径为6，圆心角为120°，
∴该扇形的面积是：＝12π，
故答案为：12π．
16．（4分）在一个不透明的袋子中有红、黄、蓝3个小球，摸到红球的概率是 ．
【分析】根据题意可以求得摸到红球的概率，本题得以解决．
【解答】解：∵在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球各1个，
∴从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：，
故答案为：．
17．（4分）反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝ 6 ．
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），
依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
18．（4分）观察下列等式：
①3﹣2＝（1）2，②5﹣2＝（）2，③7﹣2＝（）2，…
请你根据以上规律，写出第5个等式： 11﹣2＝（﹣）2 ．
【分析】观察等式的右侧可得到第5个等式的右边为（﹣）2，然后利用完全平方公式计算得到左边．
【解答】解：第5个等式为11﹣2＝（﹣）2．
故答案为11﹣2＝（﹣）2．
三、解答题（本大题共8小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：|﹣|﹣（）﹣1+2cos60°．
【分析】先利用绝对值、负整数指数幂的意义、分母有理化和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣2﹣+2×
＝﹣2﹣+1
＝﹣1．
20．（8分）化简：．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝．
21．（8分）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．求证：BE＝AF．
【分析】根据正方形的性质和DE＝CF，可以得到∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD，AE＝DF，然后即可得到△BAE≌△ADF，从而可以得到BE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF．
22．（10分）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21
42%
良好
m
40%
合格
6
n%
待合格
3
6%
（1）本次调查随机抽取了 50 名学生；表中m＝ 20 ，n＝ 12 ．
（2）补全条形统计图．
（3）若全校有5000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【分析】（1）根据等级为优秀的频数和频率可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出等级为良好的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
【解答】解：（1）本次调查随机抽取了21÷42%＝50名学生，
m＝50×40%＝20，
n%＝6÷50×100%＝12%，
故答案为：50，20，12；
（2）等级为“良好”的学生有：50﹣21﹣6﹣3＝20（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）5000×（42%+40%）
＝5000×82%
＝4100（人），
即估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有4100人．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作⊙O交AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交⊙O于点E．
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由．
（2）求证：ND＝NE．
【分析】（1）证明四边形AMCD的对角线互相平分，且∠CNM＝90°，可得四边形AMCD为菱形；
（2）可证得∠CMN＝∠DEN，由CD＝CM可证出∠CDM＝∠CMN，则∠DEN＝∠CDM，结论得证．
【解答】（1）解：四边形AMCD是菱形，理由如下：
∵M是Rt△ABC中AB的中点，
∴CM＝AM，
∵CM为⊙O的直径，
∴∠CNM＝90°，
∴MD⊥AC，
∴AN＝CN，
∵ND＝MN，
∴四边形AMCD是菱形．
（2）∵四边形CENM为⊙O的内接四边形，
∴∠CEN+∠CMN＝180°，
∵∠CEN+∠DEN＝180°，
∴∠CMN＝∠DEN，
∵四边形AMCD是菱形，
∴CD＝CM，
∴∠CDM＝∠CMN，
∴∠DEN＝∠CDM，
∴ND＝NE．
24．（10分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：
品种
A
B
原运费
45
25
现运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
【分析】（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
（2）设增加m件A产品，则增加了（8﹣m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，根据（1）的结果结合图表列出W关于m的一次函数，再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”，列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．
【解答】解：（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，
根据题意得：，
解得：，
答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，
（2）设增加m件A产品，则增加了（8﹣m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，
增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8﹣m）＝（38﹣m）件，
根据题意得：W＝30（10+m）+20（38﹣m）＝10m+1060，
由题意得：38﹣m≤2（10+m），
解得：m≥6，
即6≤m≤8，
∵一次函数W随m的增大而增大
∴当m＝6时，W最小＝1120，
答：产品件数增加后，每次运费最少需要1120元．
25．（12分）（1）如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，试探究线段CF，BD之间的位置关系和数量关系．
（2）如图②，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，（1）中的两条结论是否仍然成立？为什么？
（3）如图③，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）只要证明△BAD≌△CAF（SAS），推出CF＝BD，推出∠B＝∠ACF，推出∠B+∠BCA＝90°，推出∠BCA+∠ACF＝90°即可；
（2）结论不变．证明方法与探究1类似；
（3）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，于是得到CF⊥BD．
【解答】解：（1）如图1中，结论：CF⊥BD，CF＝BD．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF＝90°，
∴∠CAD+∠CAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD．
故答案为：CF⊥BD，CF＝BD．
（2）如图2中，（1）中的两条结论是否仍然成立．理由如下：
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°+∠CAD，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF＝90°，∠CAF＝90°+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF．
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD．
（3）如图3中，线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD．理由如下：
如图，过点A作AP⊥AC，交BC于点P．
∵∠BCA＝45°，∴∠APD＝45°，AP＝AC．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD＝AF，
∵∠CAP＝∠DAF＝90°，
∴∠PAD＝∠CAF，
∴△APD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°，
∴线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD．
26．（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；
（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BME＝∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），然后将（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；
（2）当△PBH与△AOC相似时，△PBH是直角三角形，由可知∠AHB＝90°，所以求出直线AH的解析式后，联立一次函数与二次函数的解析式后即可求出P的坐标；
（3）设M的坐标为（m，0），由∠BME＝∠BDC可知∠EMC＝∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用对应边的比相等即可得出CN与m的函数关系式，利用二次函数的性质即可求出m＝时，CN有最大值，然后再证明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
把（0，﹣2）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
∴a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）当△PBH与△AOC相似时，
∴△AOC是直角三角形，
∴△PBH也是直角三角形，
由题意知：H（0，2），
∴OH＝2，
∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AH＝，BH＝2，
∴AH2+BH2＝AB2，
∴∠AHB＝90°，
且∠ACO＝∠AHO＝∠HBA，
∴△AOC∽△AHB，
∴A（﹣1，0）符合要求，
取AB中点G，则G（，0），
连接HG并延长至F使GF＝HG，连接AF，
则四边形AFBH为矩形，
∴∠HBD＝90°，∠BHG＝∠GBH＝∠AHO＝∠ACO，
且F点坐标为（3，﹣2），
将F（3，﹣2）代入y＝x2﹣x﹣2得，F在抛物线上，
∴点（3，﹣2）符合要求，
所以符合要求的P点的坐标为（﹣1，0）和（3，﹣2）．
（3）过点M作MF⊥x轴于点F，
设点E的坐标为（n，0），M的坐标为（m，﹣2），
∵∠BME＝∠BDC，
∴∠EMC+∠BME＝∠BDC+∠MBD，
∴∠EMC＝∠MBD，
∵CD∥x轴，
∴D的纵坐标为﹣2，
令y＝﹣2代入y＝x2﹣x﹣2，
∴x＝0或x＝3，
∴D（3，﹣2），
∵B（4，0），
∴由勾股定理可求得：BD＝，
∵M（m，﹣2），
∴MD＝3﹣m，CM＝m（0≤m≤3）
∴由抛物线的对称性可知：∠NCM＝∠BDC，
∴△NCM∽△MDB，
∴，
∴，
∴CN＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，CN可取得最大值，
∴此时M的坐标为（，﹣2），
∴MF＝2，BF＝，MD＝
∴由勾股定理可求得：MB＝，
∵E（n，0），
∴EB＝4﹣n，
∵CD∥x轴，
∴∠NMC＝∠BEM，∠EBM＝∠BMD，
∴△EMB∽△BDM，
∴，
∴MB2＝MD•EB，
∴＝×（4﹣n），
∴n＝﹣，
∴E的坐标为（﹣，0）．
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