专题一 代数学-2021年中考数学暑假知识点复习（基础）

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第一部分 有理实数
一、实数相关概念
1、有理数
（1）定义：凡能写成为整数形式的数都是有理数。
（2）分类: ① ②
2、实数分类
★3、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。

①数轴三要素：原点、正方向、单位长度；
②实数和数轴上的点是一一对应的。
★4、相反数：符号不同的两个数，互为相反数； = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0的相反数还是 = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0。其中：互为相反数。
★5、绝对值
（1）定义：数轴上表示某数的点离开原点的距离。
正数的绝对值是其本身， = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0的绝对值是 = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0，负数的绝对值是它的相反数。
（2）绝对值可表示为： 或
★6、倒数：用 = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1除以一个数的商，叫做这个数的倒数；乘积为 = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1的两个数互为倒数，其中 = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0没有倒数；
①若，那么的倒数是； ②实数互为倒数，则；
二、有理数运算
1、有理数运算法则
★2、科学记数法：把一个数或有限小数记成的形式，其中，为整数，这种记数法叫做科学记数法．
①原数的绝对值大于10时，利用科学记数法，写成的形式，
注意,等于原数的整数位数减1，也是小数点向左移动的位数，如：．
②原数的绝对值小于10时，利用科学记数法，写成的形式，
注意，等于原数左边第一个非0的数字前的所有0的个数，是小数点向右移动的位数，如：．
★3、近似数的精确：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
4、有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字叫近似数的有效数字.
第二部分 无理实数
一、根式
1、算术平方根：如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫做的算术平方根。
一个非负数的算术平方根记作读作根号或者读作二次根号。
2、平方根：如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根。
一个非负数的平方根记做读作正负根号或者读作正负二次根号。
3、立方根：如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根三次方根。
一个数的立方根记做读作三次根号。
二、二次根式
1、二次根式的定义：一般地，把形如的式子叫做二次根式。称为二次根号。
★2、二次根式的性质:
二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
中可以取任何实数，而中的必须取非负数；
3、最简二次根式：满足以下条件的根式叫最简二次根式
①被开方数不含分母（分母中也不能含有根号）； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
4、同类二次根式：
化为最简二次根式后的被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。
★5、二次根式的运算
（1）乘除法法则：算术平方根的积等于积的算术平方根：，
算术平方根的商等于商的算术平方根．，
（2）加减法法则：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．二次根式进行加减运算时，实数的运算法则、运算律仍然适用．
★6、分母有理化：指将该原为无理数的分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去．
①单项式分母的分母有理化（运用有理化）：
②分母中有一根号一数字或两个根号的分母有理化（运用平方差公式）：
7、实数大小的比较：
（1）作差法：任意两个实数，若：
（2）作商法：任意两个实数，若：
（3）平方法：对含有根号的式子可以通过比较平方数的大小得根式大小。
8、绝对值、二次根式、平方三者都具有非负性，它们的任意搭配和为。
第三部分 整式与分式
一、整式概念与计算
1、整式：单项式和多项式统称为整式。
（1）单项式：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
（2)多项式：单项式的和叫做多项式。每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫做常数项，单项式的次数是几，就叫几次项。一个多项式中有几项，就叫 几项式。多项式里次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。
（3）同类项：字母相同、字母的指数也相同叫同类项。同类项与系数、字母位置无关。合并是指同类项的系数相加作为新的系数，同类项的字母和字母的指数不变。
2、整式的运算
（1）整式的加减法运算：
①几个整式相加减，用括号把每个整式括起来，用加减号连接；然后去括号、合并同类项。
②化简求值的步骤：去括号合并同类项化到最简代入特殊值
★（2）指数幂运算
①：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。逆用公式：
②：同底数幂相除，底数不变，指数相减。逆用公式：
③：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用公式：
④：积的乘方，等于积的因式乘方积。 逆用公式：
⑤任何不等于 = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0的数的 = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0次幂都等于 = 1 \* Arabic \* MERGEFORMAT 1。即
⑥负整数指数幂：
（3）整式乘除法运算：
①单项式的乘除法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式;单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
②单项式与多项式相乘的法则: 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
③多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
★（4）整式乘法公式
平方差公式：
完全平方公式：
以下是常见的变形：
二、因式分解
1、概念：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。
★2、因式分解的方法：
（1）提公因式法：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式。把多项式分解成两个因式的乘积的形式，即。
①用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.如：
②当多项式第一项的系数是负数时，先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.如：
③用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋”或“－”，不要把该项漏掉，或认为是而出现错误。
如：
★（2）公式法：利用平方差公式：和完全平方公式：对多项式进行因式分解的方法。如：
对多项式可以先用整体法，即先令，则上式变为,简单明了，继续用公式法分解因式。
★（3）十字相乘法 ：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
对于二次三项式，若存在 ，则
判断方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和为一次项即可用该方法。判断时十字交叉，书写时横向相加再相乘。在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，则二次三项式可分解为两因式与之积，即.
举例：
三、分式概念与计算
1、分式定义：如果表示两个整数，并且中含有字母，那么式子叫做分式。
★2、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为 分式无意义：分母为
②分式值为：分子为且分母不为,
★3、分式的性质
①基本性质：,为不等于的整式.
②最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
3、分式的运算
（1）分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减，.
★关于通分：单项式分母以数字最小公倍数和字母最高次项的积为公分母。
多项式先进行因式分解，然后以公因式和各项的独因式积为公分母。
整式与分式相加减时，对整式进行通分，以分式的分母为分母，整式乘分母为分子。
（2）分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，
★①分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘。
②整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分。
（3）分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
★分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.加法交换律：
加法结合律：
同号两数相加，取相同的符号并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值
减去一个数，等于加上这个数的相反数，即。
乘法交换律：、乘法结合律：、乘法分配律：.
两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；几个数相乘，某因式为零，则积为零；各因式不为零，积的符号由负因式的个数决定.
除以一个数等于乘以这个数的倒数；
注意：零不能做除数，.
求相同因式积的运算，叫做乘方；
乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；
⑴先算乘方，再算乘除，最后加减；⑵有括号先算括号；⑶同级运算，从左到右进行。
★小结：算术平方根具有双重非负性：①负数没有算术平方根被开方数
②非负数的算术平方根只有一个且为正数的算术平方根等于本身
★小结：正数的平方根有两个，互为相反数； = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0的平方根是 = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0；负数没有平方根
开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方，非负数叫做被开方数。
★小结：①任何一个数且只有一个立方根。
②正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0的立方根为 = 0 \* Arabic \* MERGEFORMAT 0。