3.2整式的概念-浙教版七年级（暑假班）数学上册讲义（教师版+学生版）（教育机构专用）

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整式的概念
知识梳理
1、单项式
（1）单项式的含义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做代数式（单独的一个数字或者字母也叫做单项式）.如：代数式、、、、，它们都是单项式.
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
注意：①关于单项式的系数，要包括前面的符号；系数是1或-1时，通常省略不写.
②关于单项式的次数，当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；对于不含字母的非0数，如，0.5，等，这些单项式叫做“零次单项式”.
2、多项式
（1）多项式的含义：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.
（2）多项式的项与常数项：在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.如：多项式共有三项，分别是，，；其中常数项是2.
注意：在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.
（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.
注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与单项式的次数区分开.
（4）多项式的降（升）幂排列：按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序来排列.
（5）整式：单项式和多项式统称为整式.
注意：单项式中不含加或减法运算；而多项式必须含有加或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算.
例题解析
【例1】在式子，﹣1，x2﹣3x，，中，是整式的有 个．
【例2】下列代数式：（1），（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有 ．（填序号）
【例3】求单项式的系数与次数之积.
【例4】观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…
（1）按此规律写出第9个单项式；
（2）试猜想第N个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？
【例5】下表中的字母都是按移动规律排列的．
我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为6x+2y，第2格的“特征多项式”为9x+4y，回答下列问题．
（1）第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第n格的“特征多项式”为 （n为正整数）；
（2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．
【例6】已知式子：ax5+bx3+3x+c，当x=0时，该式的值为﹣1．
（1）求c的值；
（2）已知当x=1时，该式的值为﹣1，试求a+b+c的值；
（3）已知当x=3时，该式的值为﹣1，试求当x=﹣3时该式的值；
（4）在第（3）小题的已知条形下，若有3a=5b成立，试比较a+b与c的大小．

【例7】学规律在数学中有着极其重要的意义，我们要善于抓住主要矛盾，提炼出我们需要的信息，从而解决问题．
（1）观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，通过观察，用你所发现的规律确定32014的个位数字是 ；
（2）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= ，an= ；
（3）观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第5个单项式为 ；第7个单项式为 ；第n个单项式为 ．
【例8】已知关于x、y的多项式5x2﹣2xy2﹣[3xy+4y2+（9xy﹣2y2﹣2mxy2）+7x2]﹣1
（1）若该多项式不含三次项，求m的值；
（2）在（1）的条件下，当x2+y2=13，xy=﹣6时，求这个多项式的值．
【例9】已知多项式3x2﹣y3﹣5xy2﹣x3﹣1；
（1）按x的降幂排列；
（2）当x=﹣1，y=﹣2时，求该多项式的值．
【例10】（1）已知代数式：4x﹣4xy+y2﹣x2y3
①将代数式按照y的次数降幂排列．
②当x=2，y=﹣1时，求该代数式的值
（2）已知：关于xyz的代数式﹣（m+3）x2y|m+1|z+（2m﹣n）x2y+5为五次二项式，求|m﹣n|的值．

【例11】当多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1不含二次项和一次项时，求m、n的值．
【例12】已知多项式是八次三项式，求n的值．

反思总结
单项式次数与多项式次数的区别
（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.
随堂检测
一．判断题
(1)是关于x的一次两项式． ( )
(2)－3不是单项式．( )
(3)单项式xy的系数是0．( )
(4)x3＋y3是6次多项式．( )
(5)多项式是整式．( )
二、选择题
1．在下列代数式：ab，，ab2+b+1，+，x3+ x2－3中，多项式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D5个
2．多项式－23m2－n2是（ ）
A．二次二项式 B．三次二项式 C．四次二项式 D五次二项式
3．下列说法正确的是（ ）
A．3 x2―2x+5的项是3x2，2x，5
B．－与2 x2―2xy－5都是多项式
C．多项式－2x2+4xy的次数是３
D．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6
4．下列说法正确的是（ ）
A．整式abc没有系数 B．++不是整式
C．－2不是整式 D．整式2x+1是一次二项式
5．下列代数式中，不是整式的是（ ）
A、 B、 C、D、－2005
6．下列多项式中，是二次多项式的是（ ）
A、B、 C、3xy－1 D、
7．x减去y的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。已知该楼梯长S米，同学上楼速度是a米/分,下楼速度是b米/分,则他的平均速度是（ ）米/分。
A、B、C、D、
9．下列单项式次数为3的是( )
A.3abc B.2×3×4 C.x3yD.52x
10．下列代数式中整式有( )
， 2x+y， a2b， ， ， 0.5 ， a
A.4个 B.5个 C.6个D.7个
11．下列整式中，单项式是( )
A.3a+1B.2x－y C.0.1D.
12．下列各项式中，次数不是3的是( )
A．xyz＋1 B．x2＋y＋1 C．x2y－xy2 D．x3－x2＋x－1
13．下列说法正确的是( )
A．x(x＋a)是单项式 B．不是整式 C．0是单项式 D．单项式－x2y的系数是
14．在多项式x3－xy2＋25中，最高次项是( )
A．x3B．x3，xy2 C．x3，－xy2D．25
15．在代数式中，多项式的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
16．单项式－的系数与次数分别是( )
A．－3，3B．－，3C．－，2D．－，3
17．下列说法正确的是( )
A．x的指数是0 B．x的系数是0 C．－10是一次单项式D．－10是单项式
18．已知：与是同类项，则代数式的值是( )
A、 B、 C、 D、
19．系数为－且只含有x、y的二次单项式，可以写出( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．多项式的次数是（ ）
A、1 B、 2 C、－1 D、－2
课后练习
1．当a＝－1时，＝ ；
2．单项式： 的系数是 ，次数是 ；
3．多项式：是 次 项式；
4．是 次单项式；
5．的一次项系数是 ，常数项是 ；
6．_____和_____统称整式.
7．单项式xy2z是_____次单项式.
8．多项式a2－ab2－b2有_____项，其中－ab2的次数是 .
9．整式①，②3x－y2,③23x2y,④a,⑤πx+y,⑥,⑦x+1中 单项式有 ，多项式有
10．x+2xy+y是 次多项式.
11．比m的一半还少4的数是 ；
12．b的倍的相反数是 ；
13．设某数为x，10减去某数的2倍的差是 ；
14．n是整数，用含n的代数式表示两个连续奇数 ；
15．的次数是 ；
16．当x＝2，y＝－1时，代数式的值是 ；
17．当t＝ 时，的值等于1；
18．当y＝ 时，代数式3y－2与的值相等；
19．－23ab的系数是 ，次数是 次．
20．把代数式2a2b2c和a3b2的相同点填在横线上：
（1）都是 式；（2）都是 次．
21．多项式x3y2－2xy2－－9是___次___项式，其中最高次项的系数是 ，二次项是 ，常数项是 ．
22.若与是同类项,则m = .
23．在x2， (x＋y)，，－3中，单项式是 ，多项式是 ，整式是 ．
24．单项式的系数是____________，次数是____________．
25．多项式x2y＋xy－xy2－53中的三次项是____________．
26．当a=____________时，整式x2＋a－1是单项式．
27．多项式xy－1是____________次____________项式．
28．当x＝－3时，多项式－x3＋x2－1的值等于____________．
29．如果整式(m－2n)x2ym+n-5是关于x和y的五次单项式，则m+n
30．一个n次多项式，它的任何一项的次数都____________．
31．系数是－3，且只含有字母x和y的四次单项式共有 个，分别是 ．
32．组成多项式1－x2＋xy－y2－xy3的单项式分别是 ．教师
日期
学生
课程编号
课型
新课
课题
整式的概念
教学目标
掌握整式的概念；
掌握多项式、单项式的概念；
3、能够区分系数和次数。
教学重点
1、掌握多项式、单项式的概念；
2、能够区分系数和次数。
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
20
2
例题解析
60
3
师生总结
10
4
当堂检测
30
5
课后练习
30
……
序号
1
2
3
…
图形
x x
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