4.1方程的概念及等式的性质-浙教版七年级（暑假班）数学上册讲义（教师版+学生版）（教育机构专用）

初一数学暑假班（教师版）

知识点一：方程的有关概念

1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程.

注意未知数的理解，等，都可以作为未知数

2．一元一次方程：只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。

3.判断一元一次方程的条件

1. 首先是一元一次方程。
2. 其次是必须只含有一个未知数
3. 未知数的指数是1
4. 分母中不含有未知数

注意：1、分式的含义，分式不能在方程中出现。

2、必须进行方程的化简，最后的结果中，仍然满足满足一元一次方程的定义时才可。

3、是字母，但不是未知数，是一个常数。

知识点二 等式的基本性质

等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍是等式。

              用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c。

等式的性质(2)：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍是等式。

             用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么 =

          ⑴ 等式：用等号“=”来表示         关系的式子叫等式.

          ⑵ 性质：等式的性质① 如果，那么         ；

 等式的性质② 如果，那么     ；如果，那么

    .

要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
　即：（其中m≠0）
特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程： 将其化为： 。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

【例1】在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－x＝x＋l，④2x ＋y＝3中方程的个数是(    )B

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【例2】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．

①3x+5=9：②x2+4x+4=0；③2x+3y=5：④x2+y=0；⑤x﹣y+z=8：⑥xy=﹣1．

2

1

3/5

【例3】已知方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，

（1）求m和x的值．

（2）若n满足关系式|2n+m|=1，求n的值．

；

【例4】已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+8=0是关于x的一元一次方程，求a的值.

-2

【例5】已知关于x的方程的两个解是；

又已知关于x的方程的两个解是；

又已知关于x的方程的两个解是；

…，

小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．

关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．

（1）关于x的方程的两个解是x1=　    　和x2=　     　；

（2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？

12，

【例6】已知方程x2k﹣1+k=0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（　　）A

     A．﹣1        B．1          C．       D．﹣

【例7】若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（　　）A

      A．x=0      B．x=3        C．x=﹣3       D．x=2

【例8】已知m﹣1=n，试用等式的性质比较m与n的大小．

m>n

【例9】已知梯形的面积公式为S=．

（1）把上述的公式变形成已知S，a，b，求h的公式；

（2）若a：b：S=2：3：4，求h的值．

；

【例10】利用等式基本性质，把5+x=9﹣y中的x用关于y的代数式表示，再将等式中的y用关于x的代数式表示．

；

【例11】不论x取何值，等式2ax+b=4x﹣3总成立，求a+b的值．

【例12】阅读理解：

若p、q、m为整数，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整数解c，则将c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移项得：m=﹣c3﹣pc2﹣qc，即有：m=c×（﹣c2﹣pc﹣q），由于﹣c2﹣pc﹣q与c及m都是整数，所以c是m的因数．上述过程说明：整数系数方程x3+px2+qx+m=0的整数解只可能是m的因数．例如：方程x3+4x2+3x﹣2=0中﹣2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x3+4x2+3x﹣2=0进行验证得：x=﹣2是该方程的整数解，﹣1，1，2不是方程的整数解．

解决问题：

（1）根据上面的学习，请你确定方程x3+x2+5x+7=0的整数解只可能是哪几个整数？

（2）方程x3﹣2x2﹣4x+3=0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由．

1，-1,7，-7

3

重点区分:方程的解与解方程.

注：

（1） 方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。

（2）方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。

01．下面四个式子是方程的是(    )B

    A．3 ＋2 ＝5    B．x＝2    C．2x −5    D．a2 ＋2ab≠b2

02，下列方程是一元一次方程的是(    )C

A．x2 −2x−3＝0    B．2x−3y＝3    C．x2−x−1＝ x2＋1    D．

03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是(    )     A

A． ＝7−x    B．＋7 ＝−x   C．＋7 ＝x   D．＝x＋7

04．把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为(    )B

A．5x ＋15＝ 1200         B．5x －15 ＝1200  

 C．4x ＋15＝ 1200        D．4（x＋15)＝1200

05．在方程①3x−4 ＝7；②＝3；③5x−2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的方程是(    )D

A．①②    B．①③    C．②④    D．③④

06．如果方程2n＋b＝n−1的解是n＝－4，那么b的值是(    )A

A．3    B．5    C．－5    D．－13

07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝ a2 ＋b则（－2）△x＝10中x为(    )B

A．－6    B．6    C．8    D．－8

08．小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是(    )B

A．(a＋10)(b－1) ＝ab        B．（a−10)(b＋l) ＝3000

C．＝a＋10            D．＝b−1

09．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．-1

10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x−2＝ 10 ＋x的解是_______．4

11．已知−1＝，试用等式的性质比较m、n的大小．

m>n

12.已知方程a−2x＝－4的解为x＝4，求式子a3−a2−a的值．

44

13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．

10/11/12

14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？

21

15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？

15

01．下列判断中正确的是(    )     B

A．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x同解，

B．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x没有相同的解．

C．方程x(2x －3)＝x的解是方程2x －3 ＝1的解．

D．方程2x −3 ＝1的解是方程x(2x －3)＝x的解．

02．方程的解是(  )C

A．2008    B．2009    C．2010    D．2011

03．已知a是任意有理数，在下面各题中  

 (1)方程ax ＝0的解是x＝l    (2)方程ax ＝a的解是x＝l

 (3)方程ax ＝1的解是x＝   (4)的解是x＝±1

结论正确的的个数是(    )A

A．0    B．1    C．2    D．3

04．已知关于x的一元一次方程(3a ＋8b)x＋7 ＝0无解，则ab是(    )B

A．正数    B．非正数    C．负数    D．非负数

05．已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3−3 a2−5a ＋4有整数解，则a的值共有(    )C

A．1个    B．3个    C．6个    D．9个

06．方程＋（x−5）＝0的解的个数为(    )B

A．不确定    B．无数个    C．2个    D．3个

07．若x＝9是方程的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程的解是______．1;9或3

08．方程的解是_____，方程的解是_____．；

09．已知 ＝1995，那么x＝____．0；-1

10．已知，那么19x99 ＋3x＋27的值为____．7

11．解关于x的方程＝－3．

，无数组解或

12．a为何值，方程有无数个解．

1

13．若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？

17；150

14．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？

18