2021年暑假人教版七年级数学上册第14讲 一元一次方程解实际问题 复习讲义（无答案）

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2021年暑假七年级数学（上）讲义第十四讲 一元一次方程解实际问题导入:       “方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。方程的应用问题的学习可以说贯穿了整个小学高年级学段和初中学段，在学生的数学学习活动中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题学时为41学时，约占整个初中数学学时的11.5％），而一元一次方程应用题的学习，又是所有方程应用题中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的成功学习，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的学习有着至关重要的作用。  第一部分   本讲考点、重难点分析 考点新动态动态点新  动  态高频考点会根据实际问题中的数量关系列方程，熟练地掌握一元一次方程的解法；培养学生运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力；③建立实际问题的方程模型，通过探究活动，加强数学建模思想。试题题型题型灵活，以填空、选择、应用等类型出现，以检测学生的运算和逻辑能力为主。试题难度源于课本，多为常规题，少部分难度略高于教材，但计算复杂，容易丢分。题量分值分值比较固定，百分比在10%～20%之间。 第二部分   本讲考点、重难点精讲精练教材知识详解：（一）用一元一次方程解决实际问题的一般步骤(1)  审： 审题，分析问题中已知是什么，求什么，明确各个数量间的关系；(2)  找：找等量关系；(3)  设:设未知数（一般要求什么，就设什么为x）；(4)  列：根据这个相等关系列出方程；(5)  解：解出这个方程；(6)  检：检验所求的解是否符合题意；(7)  答：写出答案。  （一）行程问题灵活运用公式V=，有以下几种情况：①相遇问题：S+S=S ；           ②追击问题：S=S+S ；③航空问题：V= V+ V； V=V-V ；④行船问题：V=V+ V；V=V- V。问题1：“甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是，甲每小时走，乙每小时走，问他俩几小时可以碰到？”画出示意图： 引导分析：甲乙相遇时，他们共行的路程为       。本题有哪些相等关系呢？从路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程=     。从时间角度分析：甲行走的时间=乙行走的时间。如果设：甲、乙相遇他们的时间为，此时相等关系：甲行走的路程+乙行走的路程=      。即甲行走的速度×甲行走的      +乙行走的    ×乙行走的时间=        。则可得方程：                           再问：如果设甲行走的路程为，那么相等关系是什么呢？ 问题2：接上题：一只小狗每小时走，它同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，碰到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时，一共走了多少千米？”你知道怎样解答的吗？①    画出示意图；②    分析： 问题3：如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出发3小时，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？①    画出示意图；（略）②      分析：变换情境后，变成了什么问题？问题的等量关系又是什么？      问题4：如果甲、乙、小狗从同一点出发，同向而行，而甲先出发5小时，乙才和小狗一起出发，当小狗追上甲时，甲走了多少米？乙还能追上甲吗？为什么？   跟踪练习：已知甲跑5步的时间，乙跑6步；乙跑4步的距离，甲要跑7步。现在甲先跑出55米，乙开始追甲。问甲再跑多少米，乙可以追上甲？    （二）销售中的盈亏引例①某商品原来每件零售价是元，现在每件降价，降价后每件零售价是          ；②某种品牌的彩电降价以后，每台售价为元，则该品牌彩电每台原价应为         元；③某商品按定价的八折出售，售价是元，则原定价是             ；④某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利，则该商品的标价为              ； 例1  某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？分析：进价、售价和利润之间有什么关系？什么是利润率？  本题看是否盈利还是亏损的依据是什么？   现在我们来看卖出盈利25%的这件衣服盈利多少。设盈利25%的这件衣服进价是x元，可得怎样的方程？  再来看亏损25%的这件衣服亏损多少元。设亏损25%的这件衣服进价是y元，可得怎样的方程？    例2  某种商品零售价每件900元，为了适应市场的竞争，商店按零售价的9折降价并让利40元销售，仍可获利10%，则这种商品进货每件多少元？分析：问题中的等量关系是什么？      设这种子商品进货每件x元，那么实际售价是多少？利润是多少？         自主探索问题1：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？     问题2：我国股市交易中每天、卖一次各交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为多少？      （三）球赛积分问题问题导入我们都喜欢打篮球，你知道篮球比赛胜一场积多少分，负一场积多少分吗？我们今天就来讨论与球赛积分有关的问题。例题某次篮球赛积分榜 队  名比赛场次胜  场负  场积  分前  进1410424东  方1410424光  明149523蓝  天149523雄  鹰147721远  大147721卫  星1441018钢  铁1401414 （1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？分析：要解决这个问题，必须求出胜一场积多少分，负一场积多少分。你能从积分表中看出负一场积多少分吗？从最后一行可以看出                         。你能从表中看出求胜一场积分的等量关系吗？由第四行可知，                                     拓展：如果删去积分榜的最后一行，你还能知道胜一场得多少分，负一场得多少分吗？思考：设胜一场得x分,那么负一场得多少分?还可以怎么表示?       自主探索问题：一次足球赛11轮（即每队均需要需要11场）胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京“国安”队所负的场数是所胜场数的一半，结果共得14分，求“国安”队共平了多少场？    （四）方案问题油菜种植问题某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率40%，今年改种新选育的油菜籽后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点。（1）今年与去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所产油菜籽的产油量提高20%，今年油菜种植面积是多少？（2）油菜种植成本为210元/亩，菜油收购价为6元/千克，请比较这个村去今两年油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入。分析：（1）我们先来弄清楚什么是产油量？当题目中的数量关系比较复杂时，运用列表法可以较方便的处理问题。请你找出问题中的两类量并列出草表。设今年油菜种植面积为x亩，请填表： 今    年去 年种植面积xx +44亩产量160+20160含油率（10+40）%40%产油量（160+20）×（10+40）%·x160×40%·（x +44）问题中的等量关系是什么？          （2）去年油菜种植成本是多少？售油收入是多少？   今年油菜种植成本是多少？售油收入是多少？ 因此，今年比去年种植油菜的成本减少了：      今年比去年售油收入增加了：     通过上面的比较，可以知道今年比去年的成本降低了，收入增加了。这就是科学种田给我们带来的好处。 自主探索问题1、水费问题我市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元／吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.8元／吨收费，超过20吨部分按0.50元／吨收费，某月甲户比乙户多交水费3.75元，已知乙户交水费3.15元．问：(1)甲、乙两户该月各用水多少吨？（自来水按整吨收费）    (2)根据你家用水情况，设计出最佳用水方案．      问题2、用气问题某市按下列规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60 立方米，按每立方米o.8元收费；如果超过60 立方米，超过部分按每立方米1．2元收费．怎样用气最节约？请设计出方案来．      问题3、电价问题 据我们调查，我市居民生活用电价格为每天早晨7时到晚上23时每度0.47元，每天23时到第二天7时每度0.25元．请根据你家每月用电情况，设计出用电的最佳方案．     问题4、电信支费随着电信事业的发展，各式各样的电信业务不断推出，请你通过市场调查，为你家设计出一种通讯方案．（1)两地间打长途电话所付电费有如下规定：若通话在3分钟以内都付2.4元．超过3分钟以后，每分钟付1元．(2)某移动通讯公司升级了两种通讯业务，“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.4元，“快捷通”不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．，  根据上述资料,(1)你认为一个月通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？(2)某人估计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯或用长途电话合算些？     巩固练习：1．数字交换问题解决本问题的关键是数字占的位置不同，代表的数值也不同，分析时要画出数位图，排列出原数与新数的代数式。1、一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的2倍，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原来少36，求新的两位数。2．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少1，十位上的数字与个位上的数字的和是这个数的，求这个两位数。2.工程问题解这类问题的关键是灵活运用两个公式：①工作效率=；     ②各个工作分量之和=工作总量。(没有具体的工作量时常常把工作总量看做单位“1”。)   3、整理一批图书，由一个人做要40小时，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，问先安排多少人做了4小时？