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2021年广东省深圳市龙岗区三校联考中考数学模拟试卷（新题型） 解析版
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这是一份2021年广东省深圳市龙岗区三校联考中考数学模拟试卷（新题型） 解析版，共24页。试卷主要包含了3的绝对值是，下列几何体中，俯视图为矩形的是，纳米，下列运算等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省深圳市龙岗区三校联考中考数学模拟试卷（新题型）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．下列几何体中，俯视图为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．纳米（nm）是种非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，如果某冠状病毒的直径为110nm，那么用科学记数法表示该冠状病毒的直径为（ ）
A．1.1×10﹣7m B．1.1×10﹣8m C．110×10﹣9m D．1.1×1011m
4．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算：①x2•x3＝x6；②x2+x2＝2x2；③（x2）3＝x6；④（﹣3x）2＝9x2中，正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
6．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
8．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
9．若关于x的方程kx2﹣2x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
10．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EM，则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③CF•DM＝BM•DE；④DE2+DF2＝2DM2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．分解因式：mx2﹣m＝ ．
12．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 ．
13．对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2}＝9，则x＝ ．
14．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k＞0，x＞0）和y＝（x＞0）的图象分别相交于B，A两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为1，则k的值为 ．
15．如图，CD是大半圆O的直径，点O1在CD上，大半圆的弦AB与小半圆O1相切于点F，且AB∥CD，AB＝6，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0
17．（6分）先化简，再代入求值：，其中x＝．
18．（8分）某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
a
八
79.2
79.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上的有 人；
（2）表中a的值为
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有1600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
20．（8分）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
21．（10分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；
（3）求证：CE2＝CD•CA．
22．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）该抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与B、A重合），过Q作QP⊥x轴，交x轴于P，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．
（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点T为线段OA上的一动点（不与O、A重合），以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F，连接DF．在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【分析】根据正数的绝对值等于它的本身即可求解．
【解答】解：∵，
∴3的绝对值是3．
故选：D．
2．下列几何体中，俯视图为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从物体上面看得到的图形，即可解答．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故错误；
B、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故错误；
D、长方体俯视图是矩形，正确；
故选：D．
3．纳米（nm）是种非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，如果某冠状病毒的直径为110nm，那么用科学记数法表示该冠状病毒的直径为（ ）
A．1.1×10﹣7m B．1.1×10﹣8m C．110×10﹣9m D．1.1×1011m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以110nm＝110×10﹣9m＝1.1×10﹣7m．
故选：A．
4．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
5．下列运算：①x2•x3＝x6；②x2+x2＝2x2；③（x2）3＝x6；④（﹣3x）2＝9x2中，正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及整式的加减的计算法则进行计算，进而得出答案．
【解答】解：x2•x3＝x2+3＝x5，因此①不正确；
根据整式加减的计算方法，合并同类项可得x2+x2＝2x2，因此②正确；
（x2）3＝x2×3＝x6，因此③正确；
④（﹣3x）2＝（﹣3）2•x2＝9x2，因此④正确；
因此正确的有：②③④，
故选：A．
6．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
【分析】根据中位数、众数的意义即可求出答案．
【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是7小时，因此众数是7；
将40名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是8小时，因此中位数是8，
故选：A．
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据作图过程可得DM是BC的垂直平分线，所以DC＝DB，所以∠B＝∠DCB，再根据AD＝AC，∠A＝80°，可得∠ADC＝50°，进而求出∠ACB的度数．
【解答】解：根据作图过程可知：
DM是BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠DCB，
∵AD＝AC，∠A＝80°，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝50°，
∴∠DCB＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+50°＝75°．
∴∠ACB的度数为75°．
故选：C．
8．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝3千米，在Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案．
【解答】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴AB＝PB，
在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，
∴PC＝PA＝3千米，
在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，
∴PB＝＝＝6千米．
故选：D．
9．若关于x的方程kx2﹣2x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：当k≠0时，△＝4﹣4k×＝4﹣k≥0，
∴k≤4，
当k＝0时，也符合题意，
∴k≤4，
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EM，则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③CF•DM＝BM•DE；④DE2+DF2＝2DM2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF＝CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到∠MEF＝∠MFE＝45°，可判断②；证明△CDM∽ADE，得到对应边成比例，结合BM＝CM，AE＝CF，可判断③；证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN＝DM，可判断④．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF＝CE，故①正确；
由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，
如图，连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌△CEM（SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，
∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，
∴△CDM∽△ADE，
∴＝＝，
∵BM＝CM，AE＝CF，
∴＝，
∴CF•DM＝BM•DE，故③正确；
如图，设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，
∴△DFM≌△NEM（ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN＝DM，而∠DEA＝90°，
∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；
故正确结论为：①②③④．共4个．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．分解因式：mx2﹣m＝ m（x+1）（x﹣1） ．
【分析】首先提出公因式m，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝m（x2﹣1）＝m（x+1）（x﹣1），
故答案为：m（x+1）（x﹣1）．
12．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 ．
【分析】根据概率公式求解．
【解答】解：∵从布袋里任意摸出1个球有7种等可能结果，其中是红球的有2种结果，
∴是红球的概率是，
故答案为：．
13．对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2}＝9，则x＝ 3或﹣2 ．
【分析】首先理解题意，进而可得max{（x﹣1）2，x2}＝9时分情况讨论，当x＝0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
【解答】解：∵max{（x﹣1）2，x2}＝9，
当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最大值为9，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则x2＝9，
解得：x1＝﹣3（不合题意，舍去），x2＝3，
（x﹣1）2＜x2，
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x﹣1＝3，x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝﹣2，x2＝4（不合题意，舍去），
则综上所述：x的值为3或﹣2．
故答案为：3或﹣2．
14．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k＞0，x＞0）和y＝（x＞0）的图象分别相交于B，A两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为1，则k的值为 1 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点A、点B的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设点A的坐标为（，a），点B的坐标为（，a），
∵△ABC的面积为1，
∴×（（﹣）×a＝1，
解得，k＝1，
故答案为：1．
15．如图，CD是大半圆O的直径，点O1在CD上，大半圆的弦AB与小半圆O1相切于点F，且AB∥CD，AB＝6，则阴影部分的面积为 π ．
【分析】阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积，根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：设大圆圆心为O，作EO⊥AB，垂足为E．
连接OA，则OA是大圆半径，
∵AB∥CD，
∴EO的长等于小圆的半径，
由垂径定理知，点E是AB的中点．
由勾股定理知，OA2﹣EO2＝AE2＝9，
∴阴影部分的面积＝（OA2﹣EO2）π＝π．
故答案为：π．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×﹣1+2﹣（﹣2）﹣1＝3．
17．（6分）先化简，再代入求值：，其中x＝．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝﹣，
把x＝代入得：原式＝﹣＝﹣．
18．（8分）某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
a
八
79.2
79.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上的有 23 人；
（2）表中a的值为 77.5
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有1600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【分析】（1）根据频数分布表中的数据可以得到在这次测试中，七年级在80分以上的人数；
（2）根据统计图和统计表中的数据和七年级成绩在70≤x＜80这一组的数据，可以求得a的值；
（3）根据统计表中的数据可以得到两位学生在各自年级的排名谁更靠前；
（4）根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上的有15+8＝23（人），
故答案为：23；
（2）∵50≤x＜70的有6+10＝16（人），七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79，七年级抽查了50名学生，
∴a＝（77+78）÷2＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，七年级学生甲在本年级的排名谁更靠前，
理由：∵七年级的中位数是77.5，八年级的中位数是79.5，
78＞77.5，78＜79.5，
∴在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，七年级学生甲在本年级的排名谁更靠前；
（4）1600×＝896（人），
答：七年级成绩超过平均数76.9分的有896人．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
20．（8分）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
【分析】（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，根据用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，可得出方程，解出即可；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，根据w＝蜜枣粽的利润+肉粽的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答．
【解答】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，
由题意得：50（x+6）+30x＝620，
解得：x＝4，
∴6+4＝10，
答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，
由题意得：w＝（14﹣10）y+（6﹣4）（300﹣y）＝2y+600，
∵2＞0，
∴w随y的增大而增大，
∵y≤2（300﹣y），
∴0＜y≤200，
∴当y＝200时，w有最大值，w最大值＝400+600＝1000，
答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；
（3）求证：CE2＝CD•CA．
【分析】（1）连接OB、OE，由SSS证得△ABO≌△EBO，得出∠BAO＝∠BEO，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC＝2，再由△CEO∽△CAB，得出，求出OE长即可．
（3）连接AE，DE，证明△EDC∽△AEC，得出比例线段，则可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OB、OE，如图所示：
在△ABO和△EBO中，
，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO＝∠BEO，
∵⊙O与边BC切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO＝∠BAO＝90°，
即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BE＝3，BC＝7，
∴AB＝BE＝3，CE＝4，
∵AB⊥AD，
∴AC＝＝＝2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC＝∠BAC＝90°，
∠ECO＝∠ACB，
∴△CEO∽△CAB，
∴，
即，
解得：OE＝，
∴⊙O的半径长为．
（3）证明：连接AE，DE，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵BA是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠DEC＝∠EAD，
∴△EDC∽△AEC，
∴，
∴CE2＝CD•CA．
22．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）该抛物线的解析式为 y＝﹣x2+4x ；
（2）如图1，Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与B、A重合），过Q作QP⊥x轴，交x轴于P，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．
（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点T为线段OA上的一动点（不与O、A重合），以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F，连接DF．在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；
（2）过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM于H，先证明N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上，再证明△NMH≌△MPG，然后得到NH＝MG，HM＝PG，再设P（t，0），通过建立关于t的方程，解方程即可；
（3）设OT＝m，四边形ODFA的面积为S，过D作DR⊥AC，垂足为R，利用三角函数和三角形面积关系即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，
令y＝0，则x＝4，
∴点A为（4，0），
∵直线y＝﹣x+4经过点B，点B的横坐标为1，
∴点B的纵坐标为：y＝﹣1+4＝3，
∴点B为：（1，3），
把点A、B代入y＝ax2+bx，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x．
（2）如图1，过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM于H，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠PAN＝45°，
∵∠NMP＝90°，
∴∠PAN＝∠NMP，
∴N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上，
∴MN＝MP，
∵∠NHM＝∠PGM＝∠NMP＝90°，
∴∠NMH+∠PMG＝90°，∠PMG+∠MPG＝90°，
∴∠NMH＝∠MPG，
在△NMH和△MPG中，
，
∴△NMH≌△MPG（AAS），
∴NH＝MG，HM＝PG，
∵P（t，0），
∴Q（t，﹣t2+4t），M（，），
∴MG＝NH
∴﹣n＝，
∴n＝，（0＜t＜3）．
如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，
∵MN∥AE，QM＝MA，
∴EN＝QN，
∴N为EQ中点，即Nx＝，
∴＝，
∴t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2，
∴t＝2时，MN∥AE．
（3）四边形ODFA的面积有最小值．
设OT＝m，四边形ODFA的面积为S，
∵C是抛物线对称轴上一点，
∴CO＝CA．
∵直线AB绕A点旋转15°，
∴∠OAC＝60°，
∴△OAC是等边三角形，
∵OA＝4，S△OAC＝×42＝4，
∴CD＝AF＝AT＝4﹣m，CF＝OT＝m，
如图3，过D作DR⊥AC，垂足为R，
则DR＝DC•sin60°＝（4﹣m），
∴S△CDF＝CF•DR＝m•（4﹣m）＝﹣m2+m，
∴S＝S△OAC﹣S△CDF
＝4﹣（﹣m2+m）
＝（m﹣2）2+3．
∴在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最小值为3．
2021年广东省深圳市龙岗区三校联考中考数学模拟试卷（新题型）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
2．下列几何体中，俯视图为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．纳米（nm）是种非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，如果某冠状病毒的直径为110nm，那么用科学记数法表示该冠状病毒的直径为（ ）
A．1.1×10﹣7m B．1.1×10﹣8m C．110×10﹣9m D．1.1×1011m
4．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算：①x2•x3＝x6；②x2+x2＝2x2；③（x2）3＝x6；④（﹣3x）2＝9x2中，正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
6．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
8．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
9．若关于x的方程kx2﹣2x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
10．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EM，则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③CF•DM＝BM•DE；④DE2+DF2＝2DM2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．分解因式：mx2﹣m＝ ．
12．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 ．
13．对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2}＝9，则x＝ ．
14．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k＞0，x＞0）和y＝（x＞0）的图象分别相交于B，A两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为1，则k的值为 ．
15．如图，CD是大半圆O的直径，点O1在CD上，大半圆的弦AB与小半圆O1相切于点F，且AB∥CD，AB＝6，则阴影部分的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0
17．（6分）先化简，再代入求值：，其中x＝．
18．（8分）某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
a
八
79.2
79.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上的有 人；
（2）表中a的值为
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有1600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
20．（8分）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
21．（10分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；
（3）求证：CE2＝CD•CA．
22．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）该抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与B、A重合），过Q作QP⊥x轴，交x轴于P，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．
（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点T为线段OA上的一动点（不与O、A重合），以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F，连接DF．在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C． D．3
【分析】根据正数的绝对值等于它的本身即可求解．
【解答】解：∵，
∴3的绝对值是3．
故选：D．
2．下列几何体中，俯视图为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从物体上面看得到的图形，即可解答．
【解答】解：A、圆柱的俯视图是圆，故错误；
B、圆锥的俯视图是有圆心的圆，故错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故错误；
D、长方体俯视图是矩形，正确；
故选：D．
3．纳米（nm）是种非常小的长度单位，1nm＝10﹣9m，如果某冠状病毒的直径为110nm，那么用科学记数法表示该冠状病毒的直径为（ ）
A．1.1×10﹣7m B．1.1×10﹣8m C．110×10﹣9m D．1.1×1011m
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：因为1nm＝10﹣9m，
所以110nm＝110×10﹣9m＝1.1×10﹣7m．
故选：A．
4．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
5．下列运算：①x2•x3＝x6；②x2+x2＝2x2；③（x2）3＝x6；④（﹣3x）2＝9x2中，正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方以及整式的加减的计算法则进行计算，进而得出答案．
【解答】解：x2•x3＝x2+3＝x5，因此①不正确；
根据整式加减的计算方法，合并同类项可得x2+x2＝2x2，因此②正确；
（x2）3＝x2×3＝x6，因此③正确；
④（﹣3x）2＝（﹣3）2•x2＝9x2，因此④正确；
因此正确的有：②③④，
故选：A．
6．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
A．8，7 B．8，8 C．8.5，8 D．8.5，7
【分析】根据中位数、众数的意义即可求出答案．
【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是7小时，因此众数是7；
将40名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是8小时，因此中位数是8，
故选：A．
7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据作图过程可得DM是BC的垂直平分线，所以DC＝DB，所以∠B＝∠DCB，再根据AD＝AC，∠A＝80°，可得∠ADC＝50°，进而求出∠ACB的度数．
【解答】解：根据作图过程可知：
DM是BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠DCB，
∵AD＝AC，∠A＝80°，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣∠A）＝50°，
∴∠DCB＝∠ADC＝25°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+50°＝75°．
∴∠ACB的度数为75°．
故选：C．
8．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（ ）千米．
A．4 B．4 C．2 D．6
【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝3千米，在Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案．
【解答】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴AB＝PB，
在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，
∴PC＝PA＝3千米，
在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，
∴PB＝＝＝6千米．
故选：D．
9．若关于x的方程kx2﹣2x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k＜4且k≠0 C．k≤4 D．k≤4且k≠0
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：当k≠0时，△＝4﹣4k×＝4﹣k≥0，
∴k≤4，
当k＝0时，也符合题意，
∴k≤4，
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EM，则下列结论中：①BF＝CE；②∠AEM＝∠DEM；③CF•DM＝BM•DE；④DE2+DF2＝2DM2，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】证明△BCF≌△CAE，得到BF＝CE，可判断①；再证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到∠MEF＝∠MFE＝45°，可判断②；证明△CDM∽ADE，得到对应边成比例，结合BM＝CM，AE＝CF，可判断③；证明△DFM≌△NEM，得到△DMN为等腰直角三角形，得到DN＝DM，可判断④．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF＝CE，故①正确；
由全等可得：AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，
如图，连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌△CEM（SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴∠MEF＝∠MFE＝45°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠MEF＝∠AEM＝45°，故②正确，
∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，
∴△CDM∽△ADE，
∴＝＝，
∵BM＝CM，AE＝CF，
∴＝，
∴CF•DM＝BM•DE，故③正确；
如图，设AE与CM交于点N，连接DN，
∵∠DMF＝∠NME，FM＝EM，∠DFM＝∠DEM＝∠AEM＝45°，
∴△DFM≌△NEM（ASA），
∴DF＝EN，DM＝MN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴DN＝DM，而∠DEA＝90°，
∴DE2+DF2＝DN2＝2DM2，故④正确；
故正确结论为：①②③④．共4个．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．分解因式：mx2﹣m＝ m（x+1）（x﹣1） ．
【分析】首先提出公因式m，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式＝m（x2﹣1）＝m（x+1）（x﹣1），
故答案为：m（x+1）（x﹣1）．
12．一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 ．
【分析】根据概率公式求解．
【解答】解：∵从布袋里任意摸出1个球有7种等可能结果，其中是红球的有2种结果，
∴是红球的概率是，
故答案为：．
13．对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2}＝9，则x＝ 3或﹣2 ．
【分析】首先理解题意，进而可得max{（x﹣1）2，x2}＝9时分情况讨论，当x＝0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
【解答】解：∵max{（x﹣1）2，x2}＝9，
当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最大值为9，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则x2＝9，
解得：x1＝﹣3（不合题意，舍去），x2＝3，
（x﹣1）2＜x2，
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x﹣1＝3，x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝﹣2，x2＝4（不合题意，舍去），
则综上所述：x的值为3或﹣2．
故答案为：3或﹣2．
14．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k＞0，x＞0）和y＝（x＞0）的图象分别相交于B，A两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为1，则k的值为 1 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点A、点B的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：设点A的坐标为（，a），点B的坐标为（，a），
∵△ABC的面积为1，
∴×（（﹣）×a＝1，
解得，k＝1，
故答案为：1．
15．如图，CD是大半圆O的直径，点O1在CD上，大半圆的弦AB与小半圆O1相切于点F，且AB∥CD，AB＝6，则阴影部分的面积为 π ．
【分析】阴影部分的面积等于大半圆面积减去小半圆面积，根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：设大圆圆心为O，作EO⊥AB，垂足为E．
连接OA，则OA是大圆半径，
∵AB∥CD，
∴EO的长等于小圆的半径，
由垂径定理知，点E是AB的中点．
由勾股定理知，OA2﹣EO2＝AE2＝9，
∴阴影部分的面积＝（OA2﹣EO2）π＝π．
故答案为：π．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×﹣1+2﹣（﹣2）﹣1＝3．
17．（6分）先化简，再代入求值：，其中x＝．
【分析】原式利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝﹣，
把x＝代入得：原式＝﹣＝﹣．
18．（8分）某校为了解七、八年级学生对“新冠”传播与防治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：
b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
a
八
79.2
79.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上的有 23 人；
（2）表中a的值为 77.5
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有1600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【分析】（1）根据频数分布表中的数据可以得到在这次测试中，七年级在80分以上的人数；
（2）根据统计图和统计表中的数据和七年级成绩在70≤x＜80这一组的数据，可以求得a的值；
（3）根据统计表中的数据可以得到两位学生在各自年级的排名谁更靠前；
（4）根据统计图中的数据和题目中的数据可以计算出七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上的有15+8＝23（人），
故答案为：23；
（2）∵50≤x＜70的有6+10＝16（人），七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：70，72，74，75，76，76，77，77，77，78，79，七年级抽查了50名学生，
∴a＝（77+78）÷2＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，七年级学生甲在本年级的排名谁更靠前，
理由：∵七年级的中位数是77.5，八年级的中位数是79.5，
78＞77.5，78＜79.5，
∴在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，七年级学生甲在本年级的排名谁更靠前；
（4）1600×＝896（人），
答：七年级成绩超过平均数76.9分的有896人．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）证明△AEF∽△BCF，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形．
（2）解：∵四边形AEBD是矩形，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴＝＝，
∴EF＝EC＝．
20．（8分）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
【分析】（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，根据用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，可得出方程，解出即可；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，根据w＝蜜枣粽的利润+肉粽的利润，得一次函数，根据一次函数的增减性，可解答．
【解答】解：（1）设蜜枣粽的进货单价是x元，则肉粽的进货单价是（x+6）元，
由题意得：50（x+6）+30x＝620，
解得：x＝4，
∴6+4＝10，
答：蜜枣粽的进货单价是4元，则肉粽的进货单价是10元；
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300﹣y）个，获得利润为w元，
由题意得：w＝（14﹣10）y+（6﹣4）（300﹣y）＝2y+600，
∵2＞0，
∴w随y的增大而增大，
∵y≤2（300﹣y），
∴0＜y≤200，
∴当y＝200时，w有最大值，w最大值＝400+600＝1000，
答：第二批购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润是1000元．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；
（3）求证：CE2＝CD•CA．
【分析】（1）连接OB、OE，由SSS证得△ABO≌△EBO，得出∠BAO＝∠BEO，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AC＝2，再由△CEO∽△CAB，得出，求出OE长即可．
（3）连接AE，DE，证明△EDC∽△AEC，得出比例线段，则可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OB、OE，如图所示：
在△ABO和△EBO中，
，
∴△ABO≌△EBO（SSS），
∴∠BAO＝∠BEO，
∵⊙O与边BC切于点E，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO＝∠BAO＝90°，
即AB⊥AD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BE＝3，BC＝7，
∴AB＝BE＝3，CE＝4，
∵AB⊥AD，
∴AC＝＝＝2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC＝∠BAC＝90°，
∠ECO＝∠ACB，
∴△CEO∽△CAB，
∴，
即，
解得：OE＝，
∴⊙O的半径长为．
（3）证明：连接AE，DE，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵BA是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠DEC＝∠EAD，
∴△EDC∽△AEC，
∴，
∴CE2＝CD•CA．
22．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
（1）该抛物线的解析式为 y＝﹣x2+4x ；
（2）如图1，Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与B、A重合），过Q作QP⊥x轴，交x轴于P，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．
（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点T为线段OA上的一动点（不与O、A重合），以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F，连接DF．在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线解析式；
（2）过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM于H，先证明N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上，再证明△NMH≌△MPG，然后得到NH＝MG，HM＝PG，再设P（t，0），通过建立关于t的方程，解方程即可；
（3）设OT＝m，四边形ODFA的面积为S，过D作DR⊥AC，垂足为R，利用三角函数和三角形面积关系即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，
令y＝0，则x＝4，
∴点A为（4，0），
∵直线y＝﹣x+4经过点B，点B的横坐标为1，
∴点B的纵坐标为：y＝﹣1+4＝3，
∴点B为：（1，3），
把点A、B代入y＝ax2+bx，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x．
（2）如图1，过点M作MG⊥x轴于G，NH⊥GM于H，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠PAN＝45°，
∵∠NMP＝90°，
∴∠PAN＝∠NMP，
∴N、P、A三点在以M为圆心MA为半径的⊙M上，
∴MN＝MP，
∵∠NHM＝∠PGM＝∠NMP＝90°，
∴∠NMH+∠PMG＝90°，∠PMG+∠MPG＝90°，
∴∠NMH＝∠MPG，
在△NMH和△MPG中，
，
∴△NMH≌△MPG（AAS），
∴NH＝MG，HM＝PG，
∵P（t，0），
∴Q（t，﹣t2+4t），M（，），
∴MG＝NH
∴﹣n＝，
∴n＝，（0＜t＜3）．
如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，
∵MN∥AE，QM＝MA，
∴EN＝QN，
∴N为EQ中点，即Nx＝，
∴＝，
∴t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2，
∴t＝2时，MN∥AE．
（3）四边形ODFA的面积有最小值．
设OT＝m，四边形ODFA的面积为S，
∵C是抛物线对称轴上一点，
∴CO＝CA．
∵直线AB绕A点旋转15°，
∴∠OAC＝60°，
∴△OAC是等边三角形，
∵OA＝4，S△OAC＝×42＝4，
∴CD＝AF＝AT＝4﹣m，CF＝OT＝m，
如图3，过D作DR⊥AC，垂足为R，
则DR＝DC•sin60°＝（4﹣m），
∴S△CDF＝CF•DR＝m•（4﹣m）＝﹣m2+m，
∴S＝S△OAC﹣S△CDF
＝4﹣（﹣m2+m）
＝（m﹣2）2+3．
∴在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最小值为3．
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