2021年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷

这是一份2021年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣5的绝对值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（2分）据报道，我国自1981年开展全民义务植树运动以来，截至目前我国约有1643000万人次参与全民义务植树运动，人工林面积稳居全球第一．数据“1643000”用科学记数法表示为（　　）
A．1.643×105 B．16.43×106 C．16.43×103 D．1.643×106
3．（2分）如图，是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（2分）以下调查中，最适合采用全面调查的是（　　）
A．调查某城市居民2月份人均网上购物的次数
B．调查全国中学生的平均身高
C．检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量
D．检测某城市的空气质量
5．（2分）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，EG是∠FED的平分线，交直线AB于点G．若∠GFE＝66°，则∠EGF的大小为（　　）

A．47° B．57° C．66° D．67°
7．（2分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球，3个绿球，1个白球，这些球除颜色外其它都相同，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2分）一次函数y＝ax+a与反比例函数y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．3 B．±6 C．6 D．±3
10．（2分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（2，2）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣16a＝　 　．
12．（3分）甲，乙，丙，丁四位同学10次数学测验成绩统计如表所示，如果从这四位同学中，选出一位平均成绩高且成绩稳定的同学参加数学竞赛，那么应选　 　去．

甲
乙
丙
丁
平均分/分
86
90
90
85
方　差
24
36
42
38
13．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，点F是DE上一点，连接AF，CF，且AF⊥CF，若AC＝6，EF＝1，则AB＝　 　．

14．（3分）星期天小明步行从家去图书馆，中间要路过超市，小明以a米/分钟的速度匀速到达超市，再以b米/分钟的速度匀速到达图书馆，图中的折线OAB反映了小明从家步行到图书馆所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，的值为　 　．

15．（3分）如图，半径为6的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，重足分别为点D，E．若∠CED＝40°，则图中阴影部分的面积为　 　．

16．（3分）如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边中点，点P是对角线AC上一动点，连接PD，PE，设PC＝x，PD+PE＝y，y关于x的全部函数图象如图2所示，其中点N是图象上的最低点，则点N的纵坐标为　 　．

三、（17题6分，18题，19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：|1﹣|+3tan30°﹣+（π﹣2021）0．
18．（8分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在△BCD内部，连接BE，CE，∠BCE＝∠DBE，求∠BEC的度数．

19．（8分）在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年一班有甲，乙，丙，丁共4名学生获奖，其中甲为小明．班主任决定在这4名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，请用树状图法或列表法求小明被选中进行主题演讲的概率．
四、（20、21题各8分，共16分）
20．（8分）某校即将举行校园艺术节活动，拟定了A，B，C，D四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求抽取的学生总人数；
（2）抽取的学生中，赞成A活动方案的人数为　 　人；扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数为　 　°；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有学生1800人，估计赞成B活动方案的学生共有多少人．

21．（8分）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多50米，甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工　 　天．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，连接BF，∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OA＝CF＝3，求△BCF的面积．

六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线y＝2x+6交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）将△BOC沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t．
①当点G在直线y＝2x+6上时，求△DCG的面积；
②当△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2时，请直接写出t的值．

七、（本题12分）
24．（12分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，点E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边作等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，当点E和点F在直线AC两侧时，EF与AC交于点M，连接MN，
①求证：ME＝MF；
②求线段MN的长；
（2）将图1中的△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，点M为线段EF的中点，连接BE，MN，DM，
①如图2，当α＝90°时，请直接写出的值；
②连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出tan∠DAN的值．

八、（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣6与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（10，0），点C在线段OB上，连接AC，过点B作BE∥AC交y轴于点E，点M，N在线段BE上，且点M在点B，N之间，BM：EN＝2：3，点P，Q分别是线段AC，MN上的动点，当点P从点A匀速运动到点C时，点Q恰好从点M匀速运动到点N，设QN＝m，PA＝n，已知n＝﹣m+12．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求线段AC和BE的长；
（3）连接AB，当直线PQ经过△AOB的一个顶点时，请直接写出直线PQ与抛物线对称轴交点的纵坐标．


2021年辽宁省沈阳市铁西区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案涂在答题卡上，每小题2分，共20分）
1．（2分）﹣5的绝对值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【分析】根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．
【解答】解：﹣5的绝对值为5，
故选：B．
2．（2分）据报道，我国自1981年开展全民义务植树运动以来，截至目前我国约有1643000万人次参与全民义务植树运动，人工林面积稳居全球第一．数据“1643000”用科学记数法表示为（　　）
A．1.643×105 B．16.43×106 C．16.43×103 D．1.643×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1643000＝1.643×106．
故选：D．
3．（2分）如图，是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：C．
4．（2分）以下调查中，最适合采用全面调查的是（　　）
A．调查某城市居民2月份人均网上购物的次数
B．调查全国中学生的平均身高
C．检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量
D．检测某城市的空气质量
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
【解答】解：A、调查某城市居民2月份人均网上购物的次数，适合抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查全国中学生的平均身高，适合抽样调查，故本选项不合题意；
C、检测即将发射的一颗气象卫星的零部件质量，适合普查，故本选项符合题意；
D、检测某城市的空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意．
故选：C．
5．（2分）方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【解答】解：，
①+②得：3x＝6，
∴x＝2，
∴将x＝2代入①得：y＝﹣2，
故选：A．
6．（2分）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，点F是AB上一点，EG是∠FED的平分线，交直线AB于点G．若∠GFE＝66°，则∠EGF的大小为（　　）

A．47° B．57° C．66° D．67°
【分析】根据平行线的性质可求∠FED，再根据角平分线的性质可求∠GED，再根据平行线的性质可求∠EGF．
【解答】解：∵AB∥CD，∠GFE＝66°，
∴∠FED＝114°，
∵EG是∠FED的平分线，
∴∠GED＝57°，
∴∠EGF＝57°．
故选：B．
7．（2分）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球，3个绿球，1个白球，这些球除颜色外其它都相同，从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵袋子中共有12个除颜色外其它都相同的球，其中红球有8个，
∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是＝，
故选：A．
8．（2分）一次函数y＝ax+a与反比例函数y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分为a＞0和a＜0两种情况，然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质进行判断即可．
【解答】解：当a＞0时，一次函数y＝ax+a，经过一二三象限，反比例函数图象位于二、四象限，
当a＜0时，一次函数y＝ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于一、三象限．
故选：A．
9．（2分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．3 B．±6 C．6 D．±3
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解关于k的一次方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝6．
故选：C．
10．（2分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，下列点在平移后的图象上的是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（2，2）
【分析】抛物线平移不改变a的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，﹣2），
可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，
代入得：y＝（x+2）2﹣2．
∴所得图象的解析式为：y＝（x+2）2﹣2，
则点在平移后的图象上的是（﹣2，﹣2）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：ab2﹣16a＝　a（b+4）（b﹣4）　．
【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：ab2﹣16a＝a（b2﹣16）＝a（b+4）（b﹣4）．
故答案为：a（b+4）（b﹣4）．
12．（3分）甲，乙，丙，丁四位同学10次数学测验成绩统计如表所示，如果从这四位同学中，选出一位平均成绩高且成绩稳定的同学参加数学竞赛，那么应选　乙　去．

甲
乙
丙
丁
平均分/分
86
90
90
85
方　差
24
36
42
38
【分析】选平均分高、方差小的同学参赛．
【解答】解：由于乙同学的平均数较大，且方差较小，故选乙．
故答案为：乙．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，点F是DE上一点，连接AF，CF，且AF⊥CF，若AC＝6，EF＝1，则AB＝　8　．

【分析】根据直角三角形的性质求出DF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△AFC中，点D是AC的中点，AC＝6，
∴DF＝AC＝×6＝3，
∵EF＝1，
∴DE＝DF+EF＝3+1＝4，
∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝2×4＝8，
故答案为：8．
14．（3分）星期天小明步行从家去图书馆，中间要路过超市，小明以a米/分钟的速度匀速到达超市，再以b米/分钟的速度匀速到达图书馆，图中的折线OAB反映了小明从家步行到图书馆所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，的值为　　．

【分析】根据题意和函数图象中的数据，分别求出a、b的值，即可求解．
【解答】解：由函数图象得：a＝960÷8＝120（米/分钟），
b＝（1800﹣960）÷（20﹣8）＝70（米/分钟），
∴＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，半径为6的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，重足分别为点D，E．若∠CED＝40°，则图中阴影部分的面积为　5π　．

【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝50°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【解答】解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD＝CE，DE＝OC，
∵∠DEC＝40°，
∴∠DEO＝90°﹣∠DEC＝90°﹣40°＝50°，
在△DOE和△CEO中，
，
∴△DOE≌△CEO（SSS），
∴∠COB＝∠DEO＝50°，
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝5π，
∴图中阴影部分的面积＝5π，
故答案为5π．

16．（3分）如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边中点，点P是对角线AC上一动点，连接PD，PE，设PC＝x，PD+PE＝y，y关于x的全部函数图象如图2所示，其中点N是图象上的最低点，则点N的纵坐标为　2　．

【分析】根据函数图象求出矩形的各边长后得到∠ACD为30°，作点D关于AC对称点D'，连接ED'交于点P，连接DD'交AC于点F，作D'F⊥DA延长线于点G，此时PE+PD取最小值，最小值为ED'的长度对应N的纵坐标．通过构造的直角三角形及勾股定理可求ED'的长度．
【解答】解：由图象可知PC最大值为8，即点P与点A重合时，AC＝8，
此时PE+PD＝3PE＝6，
∴AE＝2，AD＝4．
∵AD＝AC，
∴∠DCA＝30°，∠CAD＝60°．
作点D关于AC对称点D'，连接ED'交AC于点P，连接DD'交AC于点F，作D'G⊥DA延长线于点G，此时PE+PD取最小值，最小值为ED'的长度．

由对称可知DD'垂直于AC，
∴DF⊥AC，
∴DF＝AD•sin∠CAD＝2，
∴DD'＝4，
∵∠D'DG＝90°﹣∠CAD＝30°，
∴DG＝DD'•cos30°＝6，D'G＝DD'•sin30°＝2，
∴EG＝DG﹣DE＝4．
∴ED'＝＝＝2．
故答案为：2．
三、（17题6分，18题，19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：|1﹣|+3tan30°﹣+（π﹣2021）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1+3×﹣2+1
＝﹣1+﹣2+1
＝0．
18．（8分）如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在△BCD内部，连接BE，CE，∠BCE＝∠DBE，求∠BEC的度数．

【分析】由∠BCE＝∠DBE可得∠BCE+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，进而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°．
∵∠BCE＝∠DBE，
∴∠BCE+∠CBE＝∠DBE+∠CBE＝∠DBC，
∴∠BCE+∠CBE＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．
19．（8分）在学校举办的“美德少年”评选活动中，九年一班有甲，乙，丙，丁共4名学生获奖，其中甲为小明．班主任决定在这4名获奖学生中随机选出2名学生在班级进行主题演讲，请用树状图法或列表法求小明被选中进行主题演讲的概率．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出小明被选中进行主题演讲的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：

所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有6种，
∴小明被选中进行主题演讲的概率为＝．
四、（20、21题各8分，共16分）
20．（8分）某校即将举行校园艺术节活动，拟定了A，B，C，D四种活动方案，为了解学生对方案的意见，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只能赞成一种方案），将调查结果进行统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）求抽取的学生总人数；
（2）抽取的学生中，赞成A活动方案的人数为　30　人；扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数为　18　°；
（3）补全条形统计图；
（4）若该校有学生1800人，估计赞成B活动方案的学生共有多少人．

【分析】（1）根据选择C的人数和所占的百分比，可以求得本次抽取的学生人数；
（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中A所占的百分比，可以计算出选择A的人数，再根据选择D的人数，即可计算出扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据（2）中的结果，可知选择A的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出选择赞成B活动方案的学生共有多少人．．
【解答】解：（1）44÷22%＝200（人），
即抽取的学生一共有200人；
（2）抽取的学生中，赞成A活动方案的有200×15%＝30（人），
扇形统计图中赞成D活动方案所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝18°，
故答案为：30，18；
（3）由（2）知，选择A的有30人，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）1800×＝1044（人），
估计赞成B活动方案的学生共有1044人．

21．（8分）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多50米，甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工　32　天．
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲队修路600米与乙队修路300米用的天数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工（36﹣0.5m）天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，
依题意，得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工＝（36﹣0.5m）天，
依题意，得：0.5m+1.2（36﹣0.5m）≤40，
解得：m≥32．
即：至少安排乙工程队施工32天．
故答案是：32．
五、（本题10分）
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，连接BF，∠BAC＝2∠CBF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若OA＝CF＝3，求△BCF的面积．

【分析】（1）连接AE，由圆周角定理得∠AEB＝90°，再由等腰三角形的性质结合已知条件证出∠ABF＝90°，于是得到结论；
（2）先证CF＝AF，再由勾股定理得BF＝3，然后由三角形面积关系即可求解．
【解答】（1）证明：连接AE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AB＝AC，
∴2∠BAE＝∠CAB，
∵∠BAC＝2∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠CBF+∠ABE＝90°，
即∠ABF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）解：∵OA＝CF＝3，
∴AC＝AB＝2OA＝6，AF＝AC+CF＝9，
∴CF＝AF，
∵∠ABF＝90°，
∴BF＝＝＝3，
∴△BCF的面积＝△ABF的面积＝××BF×AB＝××3×6＝3．

六、（本题10分）
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线y＝2x+6交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）将△BOC沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t．
①当点G在直线y＝2x+6上时，求△DCG的面积；
②当△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2时，请直接写出t的值．

【分析】（1）解方程，即可求D的坐标；
（2）①先求出O，B，C各点的坐标，然后根据点的平移t设G，F，E三点的坐标，根据点G在直线y＝2x+6上求出G点坐标，利用面积公式可求出△DCG的面积；
②首先计算△EFG的面积，判断当点G在直线y＝2x+6上时，E点的位置，及点F达到点A是，G点的位置．进而判断何时△EFG与四边形AOCD重合部分的面积为2，然后求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+3与直线y＝2x+6交于点D，
由，得
；
∴点D的坐标为（﹣，）；
（2）当x＝0时，y＝2×0+6＝6，y＝﹣2×0+3＝3；
当y＝0时，2x+6＝0，﹣2x+3＝0；解得x＝﹣3，x＝；
点O（0，0），A（﹣3，0），B（，0），C（0，3）；
由平移的距离为t知，点E（，0），点F（﹣t，0），点G（﹣t，3）；
①当点G在直线y＝2x+6上时，得3＝2×（﹣t）+6，解得t＝；
∴点G坐标为（﹣，3）；
∴GC＝；
S△DGC＝•（yD﹣yc）＝；
②；
当点G在直线y＝2x+6上时，
FE＝OB＝＝FD，
O，E重合，
△GFE完全在四边形AOCD内，
此时S△GFE＝S△COB＝；即重合部分面积为；
此时，t＝，
1°当t＜时，GE与y轴交于M，
此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形GFOM，面积为2．
即S△MOE+S四边形GFOM＝，
∴S△MOE＝﹣S四边形GFOM＝；
易证△MOE∽△GFE
∴
∴OE＝；
即t＝BO﹣OE＝1；

2°当t＞时，GE与y＝2x+6交于N，GF与y＝2x+6交于N，
此时△EFG与四边形AOCD重合部分的为四边形QFEN，面积为2
此时；
设直线GE解析式：y＝﹣2x+b；
把E（，0）代入得y＝﹣2x+b，解得b＝3﹣2t；
直线GE解析式：y＝﹣2x+3﹣2t；
解方程得；
；
∴点N坐标为（，）；
把x＝﹣t代入y＝2x+6，得y＝﹣2t+6，
GQ＝3﹣（﹣2t+6）＝2t﹣3，
S△GNQ＝GQ•|yG﹣yN|＝•（t﹣）＝
解得t＝或t＝（舍去）；
∴t＝1，或t＝．


七、（本题12分）
24．（12分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，点E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边作等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，当点E和点F在直线AC两侧时，EF与AC交于点M，连接MN，
①求证：ME＝MF；
②求线段MN的长；
（2）将图1中的△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，点M为线段EF的中点，连接BE，MN，DM，
①如图2，当α＝90°时，请直接写出的值；
②连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出tan∠DAN的值．

【分析】（1）①利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
②求出EC，利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
（2）①如图2中，延长BC交FE的延长线于R，过点E作EH⊥AF于H，过点D作DJ⊥FR于J．解直角三角形求出DM，BE，可得结论．
②如图3中，取AC的中点T，连接NT，BT．求出NT，BT，根据BN≤NT+BT，推出BN≤5，推出BN的最大值为5，此时B，T，N共线（如图4中）如图4中，连接AN，过点N作NQ⊥AD于Q，设AD交BN于R．解直角三角形求出NQ．AQ可得结论．
【解答】（1）①证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD＝CAB＝30°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠EAF＝60°，
∴∠EAM＝∠FAM＝30°，
∴ME＝MF．

②∵AE＝AF，EM＝MF，
∴AM⊥EF，
∵AM＝AE•cos30°＝2×＝3，
∵AC＝8，
∴CM＝AC﹣AM＝5，
∵EM＝MF＝，
∴CE＝＝＝2，
∵CN＝NE，
∴MN＝EC＝．

（2）①解：如图2中，延长BC交FE的延长线于R，过点E作EH⊥AF于H，过点D作DJ⊥FR于J．

∵α＝90°，
∴F，A，B共线，
∵△AEF，△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝8，AF＝EF＝2，∠F＝∠ABC＝60°，
∴∠R＝60°，
∴△BFR是等边三角形，
∴FB＝BR＝FR＝2+8，
∵AD⊥BC，
∴CD＝DB＝4，
∴CR＝2，DR＝2+4，
∵DJ⊥FR，
∴RJ＝DR•cos60°＝+2，DJ＝RJ＝3+2，
∵EM＝FM＝，
∴JM＝RF﹣FM﹣RJ＝6，
∴DM＝＝＝，
∵EH⊥AF，
∴FH＝AH＝，EH＝AH＝3，
∴BE＝＝2，
∴＝．

②解：如图3中，取AC的中点T，连接NT，BT．

∵CN＝NE，AT＝CT，
∴NT＝AE＝，
∵△ABC是等边三角形，CT＝AT，
∴BT⊥AC，
∴BT＝AT＝4，
∴BN≤NT+BT，
∴BN≤5，
∴BN的最大值为5，此时B，T，N共线（如图4中）
如图4中，连接AN，过点N作NQ⊥AD于Q，设AD交BN于R．

∵AD⊥BC，BT⊥AC，
∴AD，BT是△ABC的中线，
∴AR＝BR＝×4＝，RT＝×4＝，
∵NT＝，
∴NR＝NT+TR＝，
∵∠NRQ＝60°，
∴RQ＝NR＝，NQ＝RQ＝，
∵AQ＝AR﹣RQ＝﹣＝，
∴tan∠NAD＝＝＝．
八、（本题12分）
25．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣6与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（10，0），点C在线段OB上，连接AC，过点B作BE∥AC交y轴于点E，点M，N在线段BE上，且点M在点B，N之间，BM：EN＝2：3，点P，Q分别是线段AC，MN上的动点，当点P从点A匀速运动到点C时，点Q恰好从点M匀速运动到点N，设QN＝m，PA＝n，已知n＝﹣m+12．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求线段AC和BE的长；
（3）连接AB，当直线PQ经过△AOB的一个顶点时，请直接写出直线PQ与抛物线对称轴交点的纵坐标．

【分析】（1）利用待定系数法，将B点的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式，从而得到抛物线的对称轴；
（2）由题意可得，当P运动到C点时，Q到达N点，此时QN＝0，即m＝0，从而可得出CA＝PA＝n＝12；接下来求EB的长，由图显然△OAC∽△OEB，利用相似比，AC、OB均已知，现需求出OA与OC的长，由于A是抛物线与y轴的交点，可令x＝0，得出y的值，从而得出A的坐标，在Rt△OCA中，利用勾股定理可得OC的长，从而代入相似比即可得出EB的长；
（3）当直线PQ经过△AOB的一个顶点时，显然直线PQ不经过点B，需要分别讨论当直线PQ经过点A和点O，两种情况；当直线PQ经过点A时，即点P和点Q重合时，可根据m和n的关系，求出直线PQ的解析式，再求出与对称轴的交点的纵坐标；当直线PQ经过点O时，可分别用m和n表示此时点P和点Q的坐标，求出直线OQ的表达式，并代入点P的坐标即可．
【解答】解：（1）将B（10，0）代入可得b＝，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为．
（2）P在C点时，QN＝m＝0，PC＝AC＝n＝12，
令x＝0，代入，即y＝﹣6．
∴A的坐标为（0，﹣6），
在Rt△AOC中，OA＝6，AC＝12，
由勾股定理可知OC＝＝，
∵AC∥BE，
∴△OAC∽△OEB，
∴，
∴BE＝20．
（3）当点P和点A重合时，PA＝n＝0，点Q在点M处，
∵n＝﹣m+12，
∴m＝10，即QN＝MN＝10．
∴BM+EB＝10，
又BM：EN＝2：3，
∴BM＝4，EN＝6．
如图1，过点N作NN1⊥y轴于点N1，过点M作MM1⊥x轴于点M1，

由（2）知，OA：OC：AC＝1：：2，
∴∠OAC＝60°，∠OCA＝30°，
∵AC∥BE，
∴∠OEB＝60°，∠OBE＝30°，
∴EN1＝EN＝3，MM1＝，
∴NN1＝＝3，BM1＝MM1＝2，
∴N（3，﹣7），M（8，﹣2），
①当点P过点A时，P（0，﹣6），点Q和点M重合，Q（8，﹣2），
则直线PQ的表达式为：y＝x﹣6，
当x＝时，y＝﹣；
②当PQ过点O时，如图2，过点P作PL⊥y轴于点L，过点M作MT⊥x轴于点T，

∵QN＝m，AP＝n，
∴BQ＝BN﹣QN＝14﹣m，
∴TQ＝BQ＝7﹣，BT＝TQ＝7m，
∴OT＝3+m，
∴Q（3+m，﹣7），
∴直线OQ的表达式为：y＝x；
∵AP＝n＝﹣m+12，
∴AL＝AP＝n＝﹣m+6，PL＝AL＝﹣m+6，
∴OL＝m，
∴P（﹣m+6，﹣m），
∴将点P的坐标代入直线OQ的表达式得，•（﹣m+6）＝﹣m，
解得m＝，
∴直线PQ的表达式为：y＝﹣x，
∴当x＝x＝时，y＝﹣．
综上，当直线PQ经过△AOB的一个顶点时，直线PQ与抛物线对称轴交点的纵坐标为﹣或﹣．