名校真题-数论篇㈡含答案

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时间：15分钟 满分80分 姓名_________ 测试成绩_________
(2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为 ．
(2008年实验中学考题)在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共有 种．
(2008年101中学考题)将200分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能的小，那么此时这个最大的质数是 ．
(2009年清华附中考题)设，是两个正整数，它们的最小公倍数是，那么这样的有序正整数对共有 组．
【解析】
设这样的四位数为，则，即，则或2．
⑴若，则，得，，；
⑵若，则，由于，所以，所以，故为9，，则为偶数，且，故，由为偶数知，，；
所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：．
这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3．
8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．
奇数的排列一共有种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有种，所以一共有种．
，即这10个质数的平均数为20，那么其中最大的数不小于20，又要为质数，所以至少应为23；而由可知，将200分拆成8个23与1个11和1个5，满足条件，所以符合题意的最大质数为23．
先将9504分解质因数：，所含2的幂的情况可能是(0，5)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(5，5)；(5，0)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有种．