名校真题-组合原理篇含答案

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时间：15分钟 满分5分 姓名_________ 测试成绩_________
(2009年清华附中入学测试题)如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作个扇形将不能保证上述结论成立．
(2009年清华附中入学测试题)对四位数，若存在质数和正整数，使，且，求这样的四位数的最小值，并说明理由．
(2008年西城实验考题)有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ．
(2008年101中学考题)一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段．
【解析】
在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1～12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘．
另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘．
因为，，太大，所以．因为是3的幂，所以四个数字中不能包含3以外的质因子，也就是说只能含有1，3，9．
观察可知恰好有，所以最小的这样的四位数是1399．
设中间数是，则它们的和为， 中间三数的和为．
由于是平方数，设，则．
是立方数，设，则，，即，，故，所以，那么，至少是225，中间的数至少是1125，这五个数中最小数的最小值为1123．经检验，当中间的数为1125时，它们的和为，中间三数的和为，满足题意，所以本题答案为1123．
要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、100、101这101个自然数中2或3或5的倍数的个数，为：
，故木棒上共有74个刻度，可以截出75段．