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2020-2021学年河南省焦作市八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年河南省焦作市八年级（上）期中数学试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．，，
2．下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，
（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）a2的算术平方根是a，
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．已知点平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣5C．1或﹣3D．1或﹣5
4．函数y＝﹣，y＝x2+2，y＝，y＝x+8，y＝，其中一次函数的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣2+B．﹣1﹣C．﹣2﹣D．1+
6．如图，在正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A．B．3C．4D．3
7．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD．若BC+CD＝8，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．16B．32C．48D．64
8．的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值为（ ）
A．3﹣B．9﹣3C．﹣2D．2
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题：（每道3分，总分15分）
11．计算：＝ ．
12．如图，数轴上点B、C分别表示数0，1，以线段BC为边长作正方形BCDE，以点C为圆心．正方形对角线的长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则点A表示的数为 ．
13．如图，在一个长为8cm，宽为5cm的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．
14．已知直线l1：y＝x+4与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°（如图所示），则直线l2的函数表达式为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 ．
三.解答题（八道题，共75分）
16．计算：
（1）5+﹣（+2）；
（2）÷﹣2×﹣（﹣）2；
（3）（2﹣）2019（2+）2020﹣2|﹣1|﹣（）﹣1．
17．请你给如图建立平面直角坐标系，使文化宫的坐标为（﹣3，1），超市的坐标为（2，﹣3）．
（1）画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标；
（2）直接写出由超市、文化馆、市场围成的三角形的面积．
18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b﹣c的平方根．
19．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
20．小东根据学习函数的经验，对函数y＝图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
（2）如表是y与x的几组对应值．
表中m的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质：
（5）解决问题：如果函数y＝与直线y＝a的交点有2个，那么a的取值范围是 ．
21．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（﹣4，0），直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
23．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
2020-2021学年河南省焦作十七中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．，，
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵1.52+22＝2.52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵（）2+（）2≠（）2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选：B．
2．下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，
（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）a2的算术平方根是a，
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】运用算术平方根和平方根的定义判定即可．
【解答】解：（1）因为负数没有平方根，所以原说法不正确；
（2）一个数的算术平方根不一定是正数，0的算术平方根是0，所以原说法不正确；
（3）当a≥0时，a2的算术平方根是a，当a＜0时，a2的算术平方根是﹣a，所以原说法不正确；
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．正确．
不正确的有3个，
故选：D．
3．已知点平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣5C．1或﹣3D．1或﹣5
【分析】根据点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a+2|，即可解答．
【解答】解：∵点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，
∴4＝|2a+2|，a+2≠3
解得：a＝﹣3，
故选：A．
4．函数y＝﹣，y＝x2+2，y＝，y＝x+8，y＝，其中一次函数的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】一次函数的一般形式为y＝kx+b（k≠0），根据一次函数的定义作判断．
【解答】解：一次函数的一般形式为y＝kx+b（k≠0），
∴，y＝x+8 是一次函数．
故选：B．
5．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣2+B．﹣1﹣C．﹣2﹣D．1+
【分析】先求出AB的长度为+1，再用﹣1减（+1）即可得到答案．
【解答】解：数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，
∴AB＝﹣（﹣1）＝+1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB＝+1，即C表示的数比A表示的数小+1，
∴C表示的数为：﹣1﹣（+1）＝﹣2﹣，
故选：C．
6．如图，在正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A．B．3C．4D．3
【分析】根据勾股定理表示出BC的长，再根据三角形的面积为3，求出BC，即可求出点A到边BC的距离．
【解答】解：设单位方格的边长为a，
∵BC＝＝a，△ABC的面积等于3，
∴（2a）2﹣×2a×a×2﹣×a×a＝3，
解得a＝±（负值舍去），
BC＝a＝×＝2，
∴点A到边BC的距离为＝＝3．
故选：D．
7．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD．若BC+CD＝8，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．16B．32C．48D．64
【分析】将BC+CD＝8进行平方运算，然后根据等腰直角三角形的面积＝结合四边形ABCD的面积表达式即可得出答案．
【解答】解：连接BD，
∵∠A＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2．
∵AB＝AD．
∴2AD2＝BD2．
∴AD2＝BD2．
∵S四边形ABCD＝SABD+SBCD＝BC•CD+AB×AD＝BC•CD+AB2
∴S四边形ABCD＝BC•CD+BD2．
∴4S四边形ABCD＝2BC•CD+BD2．
∵BC+CD＝8，
∴BC2+CD2+2BC×CD＝64．
∵∠C＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴BD2+2BC×CD＝64
∴4S四边形ABCD＝64，
∴S四边形ABCD＝16．
故选：A．
8．的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值为（ ）
A．3﹣B．9﹣3C．﹣2D．2
【分析】先估算的大小，求解x，y值，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴x＝3，y＝﹣3，
∴y（x+）
＝（﹣3）（3+）
＝11﹣9
＝2．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB＝∠EBO，进而可得出OE＝BE，设点E的坐标为（m，1），则OE＝BE＝3﹣m，CE＝m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．
【解答】解：∵A（3，0），B（3，1），C（0，1），O（0，0），
∴四边形OABC为矩形，
∴∠EBO＝∠AOB．
又∵∠EOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE．
设点E的坐标为（m，1），则OE＝BE＝3﹣m，CE＝m，
在Rt△OCE中，OC＝1，CE＝m，OE＝3﹣m，
∴（3﹣m）2＝12+m2，
∴m＝，
∴点E的坐标为（，1）．
设OD所在直线的解析式为y＝kx，
将点E（，1）代入y＝kx中，
1＝k，解得：k＝，
∴OD所在直线的解析式为y＝x．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．由DC＝1，BC＝4，得到BD＝3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．
∵BD＝3，DC＝1
∴BC＝4，
∴BD＝3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝4，
根据勾股定理可得DC′＝＝＝5．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．计算：＝ ﹣6 ．
【分析】先化简二次根式，计算完全平方式，再去括号，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝10×﹣（5+2+1）
＝2﹣5﹣2﹣1
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．如图，数轴上点B、C分别表示数0，1，以线段BC为边长作正方形BCDE，以点C为圆心．正方形对角线的长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则点A表示的数为 1﹣ ．
【分析】根据EC＝AC即可求．
【解答】解：根据勾股定理得：EC＝．
∴AC＝．
∴点A表示的数是：1﹣．
故答案为：1﹣．
13．如图，在一个长为8cm，宽为5cm的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 13cm ．
【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答
【解答】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为8+2×2＝12（cm）；宽为5cm．
于是最短路径为：＝13（cm）．
故答案为13cm．
14．已知直线l1：y＝x+4与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°（如图所示），则直线l2的函数表达式为 y＝x+4 ．
【分析】直线l1：y＝x+4与y轴交于点A（0，4），交x轴于B（﹣3，0）．作BD⊥AB交直线l2于D，作DC⊥x轴于D，利用全等三角形的性质求出点D坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：直线l1：y＝x+4与y轴交于点A（0，4），交x轴于B（﹣3，0）．
作BD⊥AB交直线l2于D，作DC⊥x轴于D．
∵∠DAB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AB，
∵∠DCB＝∠ABD＝∠AOB＝90°，
∴∠DBC+∠CDB＝90°，∠DBC+∠ABO＝90°，
∴∠CDB＝∠ABO，
∴△DCB≌△BOA，
∴DC＝OB＝3，BC＝AO＝4，
∴D（﹣7，3），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝x+4．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 或 ．
【分析】由折叠的性质可得BD＝DF，由勾股定理可求BD的长．
【解答】解：∵折叠
∴BD＝DF，
∵点F落在AC的三等分点上
∴CF＝1或CF＝2，
若CF＝1时，
在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，
∴BD2＝（4﹣BD）2+1
∴BD＝
当CF＝2时，
在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，
∴BD2＝（4﹣BD）2+4
∴BD＝
故答案为：或
三．解答题
16．计算：
（1）5+﹣（+2）；
（2）÷﹣2×﹣（﹣）2；
（3）（2﹣）2019（2+）2020﹣2|﹣1|﹣（）﹣1．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）直接利用积的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝5×+×2﹣5﹣2
＝+﹣5﹣2
＝﹣5；
（2）原式＝4﹣2﹣（2+3﹣2）
＝4﹣2﹣5+2
＝﹣1；
（3）原式＝[（2﹣）（2+）]2019（2+）﹣2（1﹣）﹣
＝2+﹣2+﹣
＝．
17．请你给如图建立平面直角坐标系，使文化宫的坐标为（﹣3，1），超市的坐标为（2，﹣3）．
（1）画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标；
（2）直接写出由超市、文化馆、市场围成的三角形的面积．
【分析】（1）以文化宫向右3个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后分别写出各位置坐标即可；
（2）用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）画坐标轴如图所示，
火车站（0，0），体育场（﹣4，3），医院（﹣2，﹣2）；
（2）三角形的面积＝7×6﹣×5×4﹣×2×6﹣×2×7，
＝42﹣10﹣6﹣7，
＝42﹣23，
＝19．
18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b﹣c的平方根．
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出的大小，可求得c的值，接下来，求得a+2b﹣c的值，最后求它的平方根即可．
【解答】解：由题意得：，
∴a＝5，b＝2．
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∴c＝3．
∴a+2b﹣c＝6．
∴a+2b﹣c的平方根是±．
19．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
【分析】设BD＝x，由CD＝BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC•AD＝×14×12＝84．
20．小东根据学习函数的经验，对函数y＝图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 全体实数 ；
（2）如表是y与x的几组对应值．
表中m的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质： ①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
（5）解决问题：如果函数y＝与直线y＝a的交点有2个，那么a的取值范围是 0＜a＜4 ．
【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（3）根据描点法画函数图象，可得答案；
（4）根据图象的变化趋势，可得答案；
（5）根据图象，可得答案．
【解答】解：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是：全体实数，
故答案为：全体实数；
（2）把x＝4代入y＝得，y＝＝，
∴m＝，
故答案为：；
（3）如图所示：
（4）①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的政大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
故答案为：①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
（5）由图象，得
0＜a＜4．
故答案为：0＜a＜4．
21．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款＝A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
【解答】解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，
根据题意得，30x+50（100﹣x）＝3500，
解得x＝75，
所以，100﹣75＝25，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
则y＝（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x），
＝15x+2000﹣20x，
＝﹣5x+2000，
即y＝﹣5x+2000，
∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴100﹣x≤3x，
∴x≥25，
∵k＝﹣5＜0，y随x的增大而减小，
∴x＝25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000＝1875（元）
答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（﹣4，0），直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；然后计算自变量为0对应的函数值得到C点坐标；
（2）先求出直线OA的解析式为y＝x，作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，设P（t，t），则Q（t，t+），利用三角形面积公式得到×PQ×4＝4，即|t+﹣t|＝2，然后求出t得到
P点坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（2，2），B（﹣4，0）分别代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+；
当x＝0时，y＝x+＝
∴C点坐标为（0，）；
（2）易得直线OA的解析式为y＝x，
作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，
设P（t，t），则Q（t，t+），
∵△BCP的面积为4，
∴×PQ×4＝4，即|t+﹣t|＝2，
∴t＝﹣1或t＝5，
∴P点坐标为（﹣1，﹣1）或（5，5）．
23．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 AE＝BD ，位置关系是 AE⊥BD ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
【分析】（1）如图1中，延长AE交BD于H．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（2）结论不变．如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
x
…
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
4
…
y
…
2
4
2
m
…
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
x
…
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
4
…
y
…
2
4
2
m
…
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．，，
2．下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，
（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）a2的算术平方根是a，
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．已知点平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣5C．1或﹣3D．1或﹣5
4．函数y＝﹣，y＝x2+2，y＝，y＝x+8，y＝，其中一次函数的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣2+B．﹣1﹣C．﹣2﹣D．1+
6．如图，在正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A．B．3C．4D．3
7．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD．若BC+CD＝8，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．16B．32C．48D．64
8．的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值为（ ）
A．3﹣B．9﹣3C．﹣2D．2
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题：（每道3分，总分15分）
11．计算：＝ ．
12．如图，数轴上点B、C分别表示数0，1，以线段BC为边长作正方形BCDE，以点C为圆心．正方形对角线的长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则点A表示的数为 ．
13．如图，在一个长为8cm，宽为5cm的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ．
14．已知直线l1：y＝x+4与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°（如图所示），则直线l2的函数表达式为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 ．
三.解答题（八道题，共75分）
16．计算：
（1）5+﹣（+2）；
（2）÷﹣2×﹣（﹣）2；
（3）（2﹣）2019（2+）2020﹣2|﹣1|﹣（）﹣1．
17．请你给如图建立平面直角坐标系，使文化宫的坐标为（﹣3，1），超市的坐标为（2，﹣3）．
（1）画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标；
（2）直接写出由超市、文化馆、市场围成的三角形的面积．
18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b﹣c的平方根．
19．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
20．小东根据学习函数的经验，对函数y＝图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
（2）如表是y与x的几组对应值．
表中m的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质：
（5）解决问题：如果函数y＝与直线y＝a的交点有2个，那么a的取值范围是 ．
21．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（﹣4，0），直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
23．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
2020-2021学年河南省焦作十七中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．，，
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵1.52+22＝2.52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵（）2+（）2≠（）2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
故选：B．
2．下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，
（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）a2的算术平方根是a，
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】运用算术平方根和平方根的定义判定即可．
【解答】解：（1）因为负数没有平方根，所以原说法不正确；
（2）一个数的算术平方根不一定是正数，0的算术平方根是0，所以原说法不正确；
（3）当a≥0时，a2的算术平方根是a，当a＜0时，a2的算术平方根是﹣a，所以原说法不正确；
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．正确．
不正确的有3个，
故选：D．
3．已知点平面内不同的两点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣5C．1或﹣3D．1或﹣5
【分析】根据点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，得到4＝|2a+2|，即可解答．
【解答】解：∵点A（a+2，4）和B（3，2a+2）到x轴的距离相等，
∴4＝|2a+2|，a+2≠3
解得：a＝﹣3，
故选：A．
4．函数y＝﹣，y＝x2+2，y＝，y＝x+8，y＝，其中一次函数的个数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】一次函数的一般形式为y＝kx+b（k≠0），根据一次函数的定义作判断．
【解答】解：一次函数的一般形式为y＝kx+b（k≠0），
∴，y＝x+8 是一次函数．
故选：B．
5．数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（ ）
A．﹣2+B．﹣1﹣C．﹣2﹣D．1+
【分析】先求出AB的长度为+1，再用﹣1减（+1）即可得到答案．
【解答】解：数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，
∴AB＝﹣（﹣1）＝+1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB＝+1，即C表示的数比A表示的数小+1，
∴C表示的数为：﹣1﹣（+1）＝﹣2﹣，
故选：C．
6．如图，在正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A．B．3C．4D．3
【分析】根据勾股定理表示出BC的长，再根据三角形的面积为3，求出BC，即可求出点A到边BC的距离．
【解答】解：设单位方格的边长为a，
∵BC＝＝a，△ABC的面积等于3，
∴（2a）2﹣×2a×a×2﹣×a×a＝3，
解得a＝±（负值舍去），
BC＝a＝×＝2，
∴点A到边BC的距离为＝＝3．
故选：D．
7．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD．若BC+CD＝8，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．16B．32C．48D．64
【分析】将BC+CD＝8进行平方运算，然后根据等腰直角三角形的面积＝结合四边形ABCD的面积表达式即可得出答案．
【解答】解：连接BD，
∵∠A＝90°，
∴AB2+AD2＝BD2．
∵AB＝AD．
∴2AD2＝BD2．
∴AD2＝BD2．
∵S四边形ABCD＝SABD+SBCD＝BC•CD+AB×AD＝BC•CD+AB2
∴S四边形ABCD＝BC•CD+BD2．
∴4S四边形ABCD＝2BC•CD+BD2．
∵BC+CD＝8，
∴BC2+CD2+2BC×CD＝64．
∵∠C＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴BD2+2BC×CD＝64
∴4S四边形ABCD＝64，
∴S四边形ABCD＝16．
故选：A．
8．的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+）的值为（ ）
A．3﹣B．9﹣3C．﹣2D．2
【分析】先估算的大小，求解x，y值，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴x＝3，y＝﹣3，
∴y（x+）
＝（﹣3）（3+）
＝11﹣9
＝2．
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB＝∠EBO，进而可得出OE＝BE，设点E的坐标为（m，1），则OE＝BE＝3﹣m，CE＝m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．
【解答】解：∵A（3，0），B（3，1），C（0，1），O（0，0），
∴四边形OABC为矩形，
∴∠EBO＝∠AOB．
又∵∠EOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE．
设点E的坐标为（m，1），则OE＝BE＝3﹣m，CE＝m，
在Rt△OCE中，OC＝1，CE＝m，OE＝3﹣m，
∴（3﹣m）2＝12+m2，
∴m＝，
∴点E的坐标为（，1）．
设OD所在直线的解析式为y＝kx，
将点E（，1）代入y＝kx中，
1＝k，解得：k＝，
∴OD所在直线的解析式为y＝x．
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．由DC＝1，BC＝4，得到BD＝3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．
此时DP+CP＝DP+PC′＝DC′的值最小．
∵BD＝3，DC＝1
∴BC＝4，
∴BD＝3，
连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，
∴∠CBC′＝90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC＝BC′＝4，
根据勾股定理可得DC′＝＝＝5．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．计算：＝ ﹣6 ．
【分析】先化简二次根式，计算完全平方式，再去括号，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝10×﹣（5+2+1）
＝2﹣5﹣2﹣1
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．如图，数轴上点B、C分别表示数0，1，以线段BC为边长作正方形BCDE，以点C为圆心．正方形对角线的长为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则点A表示的数为 1﹣ ．
【分析】根据EC＝AC即可求．
【解答】解：根据勾股定理得：EC＝．
∴AC＝．
∴点A表示的数是：1﹣．
故答案为：1﹣．
13．如图，在一个长为8cm，宽为5cm的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 13cm ．
【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答
【解答】解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为8+2×2＝12（cm）；宽为5cm．
于是最短路径为：＝13（cm）．
故答案为13cm．
14．已知直线l1：y＝x+4与y轴交于点A，直线l2经过点A，l1与l2在A点相交所形成的夹角为45°（如图所示），则直线l2的函数表达式为 y＝x+4 ．
【分析】直线l1：y＝x+4与y轴交于点A（0，4），交x轴于B（﹣3，0）．作BD⊥AB交直线l2于D，作DC⊥x轴于D，利用全等三角形的性质求出点D坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：直线l1：y＝x+4与y轴交于点A（0，4），交x轴于B（﹣3，0）．
作BD⊥AB交直线l2于D，作DC⊥x轴于D．
∵∠DAB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AB，
∵∠DCB＝∠ABD＝∠AOB＝90°，
∴∠DBC+∠CDB＝90°，∠DBC+∠ABO＝90°，
∴∠CDB＝∠ABO，
∴△DCB≌△BOA，
∴DC＝OB＝3，BC＝AO＝4，
∴D（﹣7，3），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝x+4．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为 或 ．
【分析】由折叠的性质可得BD＝DF，由勾股定理可求BD的长．
【解答】解：∵折叠
∴BD＝DF，
∵点F落在AC的三等分点上
∴CF＝1或CF＝2，
若CF＝1时，
在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，
∴BD2＝（4﹣BD）2+1
∴BD＝
当CF＝2时，
在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，
∴BD2＝（4﹣BD）2+4
∴BD＝
故答案为：或
三．解答题
16．计算：
（1）5+﹣（+2）；
（2）÷﹣2×﹣（﹣）2；
（3）（2﹣）2019（2+）2020﹣2|﹣1|﹣（）﹣1．
【分析】（1）直接化简二次根式进而合并得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算即可；
（3）直接利用积的乘方运算法则以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝5×+×2﹣5﹣2
＝+﹣5﹣2
＝﹣5；
（2）原式＝4﹣2﹣（2+3﹣2）
＝4﹣2﹣5+2
＝﹣1；
（3）原式＝[（2﹣）（2+）]2019（2+）﹣2（1﹣）﹣
＝2+﹣2+﹣
＝．
17．请你给如图建立平面直角坐标系，使文化宫的坐标为（﹣3，1），超市的坐标为（2，﹣3）．
（1）画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标；
（2）直接写出由超市、文化馆、市场围成的三角形的面积．
【分析】（1）以文化宫向右3个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后分别写出各位置坐标即可；
（2）用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）画坐标轴如图所示，
火车站（0，0），体育场（﹣4，3），医院（﹣2，﹣2）；
（2）三角形的面积＝7×6﹣×5×4﹣×2×6﹣×2×7，
＝42﹣10﹣6﹣7，
＝42﹣23，
＝19．
18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b﹣c的平方根．
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出的大小，可求得c的值，接下来，求得a+2b﹣c的值，最后求它的平方根即可．
【解答】解：由题意得：，
∴a＝5，b＝2．
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∴c＝3．
∴a+2b﹣c＝6．
∴a+2b﹣c的平方根是±．
19．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
【分析】设BD＝x，由CD＝BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．
【解答】解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC•AD＝×14×12＝84．
20．小东根据学习函数的经验，对函数y＝图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 全体实数 ；
（2）如表是y与x的几组对应值．
表中m的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数y＝的大致图象；
（4）结合函数图象，请写出函数y＝的一条性质： ①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
（5）解决问题：如果函数y＝与直线y＝a的交点有2个，那么a的取值范围是 0＜a＜4 ．
【分析】（1）根据分母不为零分式有意义，可得答案；
（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（3）根据描点法画函数图象，可得答案；
（4）根据图象的变化趋势，可得答案；
（5）根据图象，可得答案．
【解答】解：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是：全体实数，
故答案为：全体实数；
（2）把x＝4代入y＝得，y＝＝，
∴m＝，
故答案为：；
（3）如图所示：
（4）①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的政大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
故答案为：①图象位于一二象限，②当x＝1时，函数由值最大4，③当x＜1时，y随x的增大而增大，④当x＞1时，y随x的增大而减小，⑤图象与x轴没有交点．
（5）由图象，得
0＜a＜4．
故答案为：0＜a＜4．
21．某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：
（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？
【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100﹣x）盏，然后根据进货款＝A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．
【解答】解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，
根据题意得，30x+50（100﹣x）＝3500，
解得x＝75，
所以，100﹣75＝25，
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；
（2）设商场销售完这批台灯可获利y元，
则y＝（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x），
＝15x+2000﹣20x，
＝﹣5x+2000，
即y＝﹣5x+2000，
∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，
∴100﹣x≤3x，
∴x≥25，
∵k＝﹣5＜0，y随x的增大而减小，
∴x＝25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000＝1875（元）
答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），点B（﹣4，0），直线AB交y轴于点C．
（1）求直线AB的表达式和点C的坐标；
（2）在直线OA上有一点P，使得△BCP的面积为4，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求直线AB的解析式；然后计算自变量为0对应的函数值得到C点坐标；
（2）先求出直线OA的解析式为y＝x，作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，设P（t，t），则Q（t，t+），利用三角形面积公式得到×PQ×4＝4，即|t+﹣t|＝2，然后求出t得到
P点坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（2，2），B（﹣4，0）分别代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+；
当x＝0时，y＝x+＝
∴C点坐标为（0，）；
（2）易得直线OA的解析式为y＝x，
作PQ∥y轴交直线AB于Q，如图，
设P（t，t），则Q（t，t+），
∵△BCP的面积为4，
∴×PQ×4＝4，即|t+﹣t|＝2，
∴t＝﹣1或t＝5，
∴P点坐标为（﹣1，﹣1）或（5，5）．
23．如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 AE＝BD ，位置关系是 AE⊥BD ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．
【分析】（1）如图1中，延长AE交BD于H．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（2）结论不变．如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．只要证明△ACE≌△BCD即可；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．
（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．
（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．
∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．
②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．
同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
x
…
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
4
…
y
…
2
4
2
m
…
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
x
…
﹣2
﹣1
﹣
0
1
2
3
4
…
y
…
2
4
2
m
…
类型价格
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
30
45
B型
50
70
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