数学4.4 幂函数学案

这是一份数学4.4 幂函数学案，共12页。学案主要包含了指数，函数的图像问题，数学思想方法等内容，欢迎下载使用。


堵点自记：
规律方法收藏
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
4．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
5．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
6．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图像，利用数形结合能起到十分快捷的效果．
7．在建立函数模型解决实际问题中，某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立函数模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解函数模型．利用所学数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
学科思想培优
一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略
指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论．
eq \a\vs4\al(1) 求定义域
[典例1] (1)函数y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1－27)的定义域是( )
A．[－2，＋∞)B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]D．(－∞，－2]
(2)函数f(x)＝eq \f(1,ln x＋1)＋eq \r(4－x2)的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]D．(－1,2]
eq \a\vs4\al(2) 比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图像法、特殊值法、作图法等．
[典例2] 若0A．3y<3xB．lgx3C．lg4x[典例3] 比较三个数0.32，lg20.3,20.3的大小．
eq \a\vs4\al(3) 与指数、对数函数相关的单调性问题
[典例4] 是否存在实数a，使函数f(x)＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
二、函数的图像问题
对于给定的函数图像，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图像与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图像．
eq \a\vs4\al(1) 图像的变换
[典例5] 为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图像，只需把函数y＝lg x的图像上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
eq \a\vs4\al(2) 根据图像比较底数或指数的大小
[典例6] 如图是幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限内的图像，则a，b，c，d的大小关系为( )
A．aB．aC．bD．beq \a\vs4\al(3) 根据函数解析式确定图像
[典例7] 已知f(x)＝ax－2，g(x)＝lga|x|(a>0，a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图像是( )
三、数学思想方法
在解决与指数函数、对数函数、幂函数相关的问题中，常常用到多种思想方法．如比较大小、解不等式要对底数或其中的参数进行分类讨论；复合函数常常要转化成简单的二次函数、一次函数；方程不等式往往转化成函数来解决，同时利用函数图像，也体现了数形结合思想，等等．
eq \a\vs4\al(1) 函数与方程思想
[典例8] 若方程lg (x－1)＋lg (3－x)＝lg (a－x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围．
eq \a\vs4\al(2) 数形结合思想
[典例9] 方程lg3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,1)B．(2,3)
C．(1,2)D．(3，＋∞)
eq \a\vs4\al(3) 等价转化思想
[典例10] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．
eq \a\vs4\al(4) 分类讨论思想
[典例11] 设a>0且a≠1，若P＝lga(a3＋1)，Q＝lga(a2＋1)，试比较P，Q的大小．
章末
知识系统整合
堵点自记：
规律方法收藏
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
4．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
5．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
6．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图像，利用数形结合能起到十分快捷的效果．
7．在建立函数模型解决实际问题中，某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立函数模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解函数模型．利用所学数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
学科思想培优
一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略
指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论．
eq \a\vs4\al(1) 求定义域
[典例1] (1)函数y＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1－27)的定义域是( )
A．[－2，＋∞)B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]D．(－∞，－2]
(2)函数f(x)＝eq \f(1,ln x＋1)＋eq \r(4－x2)的定义域为( )
A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]D．(－1,2]
解析 (1)由题意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1－27≥0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1≥27，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－1≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3，又指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.
(2)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,ln x＋1≠0，,4－x2≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,x≠0，,－2≤x≤2，))解得x∈(－1,0)∪(0,2]．
答案 (1)C (2)B
eq \a\vs4\al(2) 比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图像法、特殊值法、作图法等．
[典例2] 若0A．3y<3xB．lgx3C．lg4x解析 因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝lgax的影响：当0lgy3，错误．
对于C，函数y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，故lg4x对于D，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x在R上单调递减，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))y，错误．
答案 C
[典例3] 比较三个数0.32，lg20.3,20.3的大小．
解 解法一：∵0<0.32<12＝1，lg20.320＝1，∴lg20.3<0.32<20.3.
解法二：作出函数y＝x2，y＝lg2x，y＝2x的大致图像，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图像的交点位置，即可看出lg20.3<0.32<20.3.
eq \a\vs4\al(3) 与指数、对数函数相关的单调性问题
[典例4] 是否存在实数a，使函数f(x)＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解 设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．
当a>1时，为使函数f(x)＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)≤2，,g2＝4a－2>0，))解得a>eq \f(1,2)，∴a>1.
当00，))此不等式组无解．
综上可知，当a>1时，f(x)＝lga(ax2－x)在区间[2,4]上为增函数．
二、函数的图像问题
对于给定的函数图像，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图像与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图像．
eq \a\vs4\al(1) 图像的变换
[典例5] 为了得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图像，只需把函数y＝lg x的图像上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析 ∵y＝lg eq \f(x＋3,10)＝lg (x＋3)－1，∴只需将函数y＝lg x 的图像上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg eq \f(x＋3,10)的图像．
答案 C
eq \a\vs4\al(2) 根据图像比较底数或指数的大小
[典例6] 如图是幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限内的图像，则a，b，c，d的大小关系为( )
A．aB．aC．bD．b解析 作直线x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(也可作直线x＝\f(1,2)))，如图所示，直线与4个幂函数图像交点的纵坐标分别为2a,2b,2c,2d.由图可知2a<2b<2c<2d，而函数y＝2x为增函数，所以a答案 A
eq \a\vs4\al(3) 根据函数解析式确定图像
[典例7] 已知f(x)＝ax－2，g(x)＝lga|x|(a>0，a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图像是( )
解析 由f(4)·g(－4)<0知a2·lga4<0，∴lga4<0，∴0答案 B
三、数学思想方法
在解决与指数函数、对数函数、幂函数相关的问题中，常常用到多种思想方法．如比较大小、解不等式要对底数或其中的参数进行分类讨论；复合函数常常要转化成简单的二次函数、一次函数；方程不等式往往转化成函数来解决，同时利用函数图像，也体现了数形结合思想，等等．
eq \a\vs4\al(1) 函数与方程思想
[典例8] 若方程lg (x－1)＋lg (3－x)＝lg (a－x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围．
解 原方程等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,3－x>0，,a－x>0，,x－13－x＝a－x，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1设函数f(x)＝－x2＋5x－3，因为1eq \a\vs4\al(2) 数形结合思想
[典例9] 方程lg3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,1)B．(2,3)
C．(1,2)D．(3，＋∞)
解析 ∵方程lg3x＋x＝3可变形为lg3x＝3－x，而方程lg3x＝3－x的解，就是函数y＝lg3x和函数y＝3－x的交点的横坐标，根据两个函数的图像可知两个函数图像的交点的横坐标一定在区间(1,3)内．
因函数f(x)＝lg3x＋x－3在区间(1,2)上不满足f(1)·f(2)<0，所以方程lg3x＋x＝3的解所在的区间是(2,3)．故选B.
答案 B
eq \a\vs4\al(3) 等价转化思想
[典例10] 已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．
解 ∵x∈[－1,1]，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3)).
∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2x－2aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋3
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－a))2＋3－a2.
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，则t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，3)).
若a即x＝1时，ymin＝eq \f(1,9)－eq \f(2a,3)＋3＝eq \f(28,9)－eq \f(2a,3).
若eq \f(1,3)≤a≤3，则当t＝a，即x＝lg eq \s\d10(\f(1,3)) a时，ymin＝3－a2.
若a>3，则当t＝3，即x＝－1时，
ymin＝9－6a＋3＝12－6a.
综上可知，g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(28,9)－\f(2a,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a<\f(1,3)))，,3－a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤a≤3))，,12－6aa>3.))
eq \a\vs4\al(4) 分类讨论思想
[典例11] 设a>0且a≠1，若P＝lga(a3＋1)，Q＝lga(a2＋1)，试比较P，Q的大小．
解 当0又当0∴lga(a3＋1)>lga(a2＋1)，即P>Q.
当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1.
又当a>1时，y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，
∴lga(a3＋1)>lga(a2＋1)，即P>Q.
综上可得，P>Q.