高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.3 对数函数的性质与图像学案，共22页。

课程标准：了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，并通过图像了解对数函数的单调性与特殊点．
教学重点：对数函数的概念、对数函数的图像与性质．
教学难点：运用对数函数的图像与性质解决相关问题.
1．对对数函数定义的理解
同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如y＝2lg2x，y＝lg2x2等都不是对数函数，只有y＝lgax(a>0且a≠1)才是．
(1)观察图像，注意变化规律
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0②左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
(2)对于对数函数图像性质的助记口诀
对数增减有思路，函数图像看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图像逐渐往上升；底数0到1之间，图像逐渐往下降．无论函数增和减，图像都过(1,0)点．
2．函数y＝lgax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝lg2x2与y＝lgx3都不是对数函数．( )
(2)对数函数的图像一定在y轴右侧．( )
(3)当01，则y＝lgax的函数值都大于零．( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝(a2－4a＋4)lgax是对数函数，则a＝________.
(2)对数函数f(x)＝lgax的图像过点(2,1)，则f(8)＝________.
(3)若对数函数y＝lg(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
题型一 对数函数的概念
例1 已知下列函数：
①y＝lg eq \s\d10(\f(1,2)) (－x)(x<0)；
②y＝2lg4(x－1)(x>1)；
③y＝ln x(x>0)；
④y＝lg(a2＋a)x(x>0，a是常数)．
其中，是对数函数的是________(只填序号)．
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x
B．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4x
D．不确定
题型二 与对数函数有关的函数定义域问题
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(1,lg2x－1)；
(2)y＝eq \r(lg x－3)；
(3)y＝lg2(16－4x)；
(4)y＝lg(x－1)(3－x)．
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \r(lg x)＋lg (5－3x)；
(2)y＝eq \f(1,\r(lg0.54x－3)) .
题型三 对数函数的图像与性质
例3 (1)如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图像，则a，b，c，d,1,0的大小关系为( )
A．a>b>1>d>c>0B．b>a>1>c>d>0
C．a>b>1>c>d>0D．b>a>1>d>c>0
(2)函数y＝lga|x|＋1(0eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) (1)已知a>0且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图像可能是( )
(2)函数y＝lga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图像恒过点________．
题型四 对数值的大小比较
例4 比较下列各组中两个值的大小：
(1)3lg45,2lg23；
(2)lg30.2，lg40.2；
(3)lg3π，lgπ3；
(4)lg0.20.1,
eq \a\vs4\al([跟踪训练4]) 比较下列各组对数值的大小：
(1)lg eq \s\d10(\f(1,2)) 1.5，lg eq \s\d10(\f(1,2)) 1.6；
(2)lg21.9，lg23.2；
(3)lg79，lg eq \s\d10(\f(1,2)) 4；
(4)lga3，lga10(a>0且a≠1)．
题型五 解简单的对数不等式
例5 解不等式：
(1)lg2(2x＋3)≥lg2(5x－6)；
(2)lga(x－4)－lga(2x－1)>0(a>0且a≠1)．
eq \a\vs4\al([跟踪训练5]) 已知f(x)＝lg (x＋1)，若0题型六 与对数函数有关的单调性问题
例6 求函数f(x)＝lg0.4(8－2x－x2)的单调区间，并说明在每一个区间上的单调性．
eq \a\vs4\al([跟踪训练6]) 函数y＝lg2(－x2＋2x＋3)的单调递减区间是________．
题型七 有关对数函数的值域与最值问题
例7 求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(x2＋4)；
(2)y＝lg eq \s\d10(\f(1,2)) (3＋2x－x2)．
eq \a\vs4\al([跟踪训练7]) (1)函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2D．4
(2)求函数y＝lg2(2－x)＋lg2(x＋2)的值域．
1．函数f(x)＝eq \f(1,1－x)＋lg (1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)
2．函数y＝lga(x－2)＋5(a>0且a≠1)的图像过定点( )
A．(1,0)B．(3,1)
C．(3,5)D．(1,5)
3．(多选)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝lg3x，直线y＝a与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系可能是( )
A．x2C．x14．不等式lg eq \s\d10(\f(3,4)) (x＋1)>lg eq \s\d10(\f(3,4)) (3－x)的解集是________．
5．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
一、选择题
1．若f(x)＝eq \f(1,lg eq \s\d10( eq \f (1,2)) 2x＋1)，则f(x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
2．若函数y＝lga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(－1,0)和(0,1)，则( )
A．a＝2，b＝2B．a＝eq \r(2)，b＝2
C．a＝2，b＝1D．a＝eq \r(2)，b＝eq \r(2)
3．函数y＝|lg2x|的图像是( )
4．若函数y＝lga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1)B．[1，＋∞)
C．[2,3)D．(1,3)
5．(多选)已知f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在(0,10)上单调递增
D．f(x)在(0,10)上单调递减
二、填空题
6．函数f(x)＝－5lga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．
7．设a>0且a≠1，函数f(x)＝lga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式lga(x－1)>0的解集为________．
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg x2＋1，x<1，))则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝lgax(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
10．已知f(x)＝(lg eq \s\d10(\f(1,2)) x)2－3lg eq \s\d10(\f(1,2)) x，x∈[2,4]，试求f(x)的最大值与最小值．
1．已知函数f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(4－2x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)求使函数y＝f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围．
2．已知函数f(x)＝lgaeq \f(1＋x,1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
4.2.3 对数函数的性质与图像
(教师独具内容)
课程标准：了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，并通过图像了解对数函数的单调性与特殊点．
教学重点：对数函数的概念、对数函数的图像与性质．
教学难点：运用对数函数的图像与性质解决相关问题.
1．对对数函数定义的理解
同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如y＝2lg2x，y＝lg2x2等都不是对数函数，只有y＝lgax(a>0且a≠1)才是．
(1)观察图像，注意变化规律
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0②左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
(2)对于对数函数图像性质的助记口诀
对数增减有思路，函数图像看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图像逐渐往上升；底数0到1之间，图像逐渐往下降．无论函数增和减，图像都过(1,0)点．
2．函数y＝lgax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝lg2x2与y＝lgx3都不是对数函数．( )
(2)对数函数的图像一定在y轴右侧．( )
(3)当01，则y＝lgax的函数值都大于零．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝(a2－4a＋4)lgax是对数函数，则a＝________.
(2)对数函数f(x)＝lgax的图像过点(2,1)，则f(8)＝________.
(3)若对数函数y＝lg(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
答案 (1)3 (2)3 (3)(－∞，0)
题型一 对数函数的概念
例1 已知下列函数：
①y＝lg eq \s\d10(\f(1,2)) (－x)(x<0)；
②y＝2lg4(x－1)(x>1)；
③y＝ln x(x>0)；
④y＝lg(a2＋a)x(x>0，a是常数)．
其中，是对数函数的是________(只填序号)．
[解析] 对于①，真数是－x，故①不是对数函数；对于②，2lg4(x－1)的系数为2，而不是1，且真数是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，真数是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，当a＝－eq \f(1,2)时，底数小于0，故④不是对数函数．
[答案] ③
金版点睛
判断函数是对数函数的条件
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgaxa>0且a≠1的形式，即必须满足以下条件：
1系数为1.
2底数为大于0且不等于1的常数.
3对数的真数仅有自变量x.
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2x
B．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4x
D．不确定
答案 A
解析 设对数函数的解析式为y＝lgax(a>0且a≠1)，由题意可知lga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝lg2x.
题型二 与对数函数有关的函数定义域问题
例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \f(1,lg2x－1)；
(2)y＝eq \r(lg x－3)；
(3)y＝lg2(16－4x)；
(4)y＝lg(x－1)(3－x)．
[解] (1)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,lg2x－1≠0，))解得x>1且x≠2.∴函数y＝eq \f(1,lg2x－1)的定义域是{x|x>1且x≠2}．
(2)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3>0，,lg x－3≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3>0，,x－3≥1，))解得x≥4.
∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．
(3)要使函数有意义，需16－4x>0，解得x<2.
∴所求函数的定义域是{x|x<2}．
(4)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1金版点睛
求函数的定义域应考虑的几种情况
求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①eq \f(1,fx)中f(x)≠0；②eq \r(2n,fx)(n∈N*)中f(x)≥0；③lgaf(x)(a>0，且a≠1)中f(x)>0；④lgf(x)a(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) 求下列函数的定义域：
(1)y＝eq \r(lg x)＋lg (5－3x)；
(2)y＝eq \f(1,\r(lg0.54x－3)) .
解 (1)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x≥0，,x>0，,5－3x>0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥1，,x<\f(5,3)，))
∴1≤x(2)由题意得lg0.5(4x－3)>0，可得0<4x－3<1，即3<4x<4，解得eq \f(3,4)题型三 对数函数的图像与性质
例3 (1)如图所示的曲线是对数函数y＝lgax，y＝lgbx，y＝lgcx，y＝lgdx的图像，则a，b，c，d,1,0的大小关系为( )
A．a>b>1>d>c>0B．b>a>1>c>d>0
C．a>b>1>c>d>0D．b>a>1>d>c>0
(2)函数y＝lga|x|＋1(0[解析] (1)由题图可知函数y＝lgax，y＝lgbx的底数a>1，b>1，函数y＝lgcx，y＝lgdx的底数0a>1>d>c>0.故选D.
(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
[答案] (1)D (2)A
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根据对数函数的图像判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图像相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) (1)已知a>0且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图像可能是( )
(2)函数y＝lga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图像恒过点________．
答案 (1)B (2)(0，－2)
解析 (1)解法一：若0若a>1，则函数y＝ax的图像上升且过点(0,1)，而函数y＝lga(－x)的图像下降且过点(－1,0)，只有B中图像符合．
解法二：首先指数函数y＝ax的图像只可能在x轴上方，函数y＝lga(－x)的图像只可能在y轴左方，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝lga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图像符合．
解法三：如果注意到y＝lga(－x)的图像关于y轴的对称图像为y＝lgax，又y＝lgax与y＝ax互为反函数(图像关于直线y＝x对称)，则可直接确定选B.
(2)因为函数y＝lgax(a>0且a≠1)的图像恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝lga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝lga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图像恒过点(0，－2)．
题型四 对数值的大小比较
例4 比较下列各组中两个值的大小：
(1)3lg45,2lg23；
(2)lg30.2，lg40.2；
(3)lg3π，lgπ3；
(4)lg0.20.1,
[解] (1)∵3lg45＝lg4125,2lg23＝lg29＝lg481，且函数y＝lg4x在(0，＋∞)上是增函数，又125>81，∴3lg45>2lg23.
(2)∵0>lg0.23>lg0.24，∴eq \f(1,lg0.23)(3)∵函数y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴lg3π>lg33＝1.
同理，1＝lgππ>lgπ3，所以lg3π>lgπ3.
(4)∵函数y＝lg0.2x在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，
∴lg0.20.1>lg0.20.2＝1.
∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且0<0.1，
∴0.20.1<0.20＝1.
∴lg0.20.1>
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比较对数值大小的常用方法
1比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性.
2比较不同底数的两个对数值的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图像的位置关系比较大小.
3比较底数与真数都不同的两个对数值的大小，常借助中间量如1，0，－1等.
4比较多个对数值的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数值的大小即可.
5比较含参数的两个对数值的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数值的隐含条件.例如：比较lgab2－b＋1与lga eq \s\up15( eq \f (1,2)) 的大小时，要注意隐含条件：b2－b＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,2)))2 ＋eq \f(3,4) ≥eq \f(3,4)>\f(1,2) .
eq \a\vs4\al([跟踪训练4]) 比较下列各组对数值的大小：
(1)lg eq \s\d10(\f(1,2)) 1.5，lg eq \s\d10(\f(1,2)) 1.6；
(2)lg21.9，lg23.2；
(3)lg79，lg eq \s\d10(\f(1,2)) 4；
(4)lga3，lga10(a>0且a≠1)．
解 (1)∵y＝lg eq \s\d10(\f(1,2)) x在(0，＋∞)上单调递减，1.5<1.6，∴lg eq \s\d10(\f(1,2)) 1.5>lg eq \s\d10(\f(1,2)) 1.6.
(2)∵y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<3.2，
∴lg21.9(3)∵lg79>0，lg eq \s\d10(\f(1,2)) 4<0，∴lg79>lg eq \s\d10(\f(1,2)) 4.
(4)当a>1时，y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，
∴lga3当0∴lga3>lga10.
题型五 解简单的对数不等式
例5 解不等式：
(1)lg2(2x＋3)≥lg2(5x－6)；
(2)lga(x－4)－lga(2x－1)>0(a>0且a≠1)．
[解] (1)原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3>0，,5x－6>0，,2x＋3≥5x－6，))
解得eq \f(6,5)所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,5)(2)原不等式化为lga(x－4)>lga(2x－1)．
当a>1时，不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4>0，,2x－1>0，,x－4>2x－1，))解得x∈∅.
当00，,2x－1>0，,x－4<2x－1，))
解得x>4.
综上可知，当a>1时，解集为∅；当04}．
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求解简单对数不等式的一般方法
解对数不等式时应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件．常见对数不等式的类型如下：
eq \a\vs4\al([跟踪训练5]) 已知f(x)＝lg (x＋1)，若0解 因为f(x)＝lg (x＋1)，所以f(1－2x)－f(x)＝lg (2－2x)－lg (x＋1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－2x>0，,x＋1>0，))得－1由0得1因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10(x＋1)，
所以－eq \f(2,3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1所以x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(1,3))).
题型六 与对数函数有关的单调性问题
例6 求函数f(x)＝lg0.4(8－2x－x2)的单调区间，并说明在每一个区间上的单调性．
[解] 由8－2x－x2>0得函数f(x)的定义域是(－4,2)，
令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，
可知当x∈(－4，－1]时，u为增函数，
x∈[－1,2)时，u为减函数，
∵f(u)＝lg0.4u在u>0上是减函数，
∴函数f(x)＝lg0.4(8－2x－x2)的单调区间是(－4，－1]，[－1,2)，且在(－4，－1]上是减函数，在[－1,2)上是增函数．
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有关对数函数单调性问题的求解思路
(1)特别注意要在u(x)>0所确定的定义域上来讨论复合函数f(x)＝lgau(x)的单调性．
(2)对于形如f(x)＝lgau(x)(a>0且a≠1)的一类复合函数的单调性，有a>1时与函数u(x)的单调性相同，0(3)求复合函数f(x)＝lgag(x)的单调区间的步骤：
①求f(x)的定义域；②将函数f(x)＝lgag(x)分解成u＝g(x)，f(u)＝lgau两个函数；③在f(x)的定义域上求u的单调区间并判断f(x)的单调性；④利用同一区间上“同增(减)则f(x)增，异增减则f(x)减”得出结论．
eq \a\vs4\al([跟踪训练6]) 函数y＝lg2(－x2＋2x＋3)的单调递减区间是________．
答案 [1,3)
解析 函数的定义域为(－1,3)，原函数可看作由y＝lg2t，t＝－x2＋2x＋3复合而成，其中函数y＝lg2t是增函数，t＝－x2＋2x＋3在区间[1,3)上是减函数，所以原函数的单调递减区间为[1,3)．
题型七 有关对数函数的值域与最值问题
例7 求下列函数的值域：
(1)y＝lg2(x2＋4)；
(2)y＝lg eq \s\d10(\f(1,2)) (3＋2x－x2)．
[解] (1)y＝lg2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，所以lg2(x2＋4)≥lg24＝2.
所以y＝lg2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0又y＝lg eq \s\d10(\f(1,2)) u在(0，＋∞)上为减函数，
所以lg eq \s\d10(\f(1,2)) u≥lg eq \s\d10(\f(1,2)) 4＝－2，
所以y＝lg eq \s\d10(\f(1,2)) (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
金版点睛
有关对数函数的值域的求法
1求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域最值，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.
2对于形如y＝lgafxa>0且a≠1的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y＝lgau，u＝fx两个函数；
②求fx的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y＝lgau的单调性求解.
eq \a\vs4\al([跟踪训练7]) (1)函数f(x)＝ax＋lga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2D．4
(2)求函数y＝lg2(2－x)＋lg2(x＋2)的值域．
答案 (1)B (2)见解析
解析 (1)当01时，f(x)在[0,1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＋lga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋lga2＝a，解得a＝eq \f(1,2)，与a>1矛盾．综上，a＝eq \f(1,2).
(2)要使函数有意义应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x>0，,x＋2>0，))所以－2又y＝lg2(2－x)＋lg2(x＋2)
＝lg2[(2－x)(x＋2)]＝lg2(4－x2)，x∈(－2,2)，
令u＝4－x2(－2得u∈(0,4]，又因为y＝lg2u是增函数，所以ymax＝2，即函数的值域为(－∞，2]．
1．函数f(x)＝eq \f(1,1－x)＋lg (1＋x)的定义域是( )
A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x>0，,1－x≠0，))解得x>－1，且x≠1.
2．函数y＝lga(x－2)＋5(a>0且a≠1)的图像过定点( )
A．(1,0)B．(3,1)
C．(3,5)D．(1,5)
答案 C
解析 ∵lga1＝0，∴当x＝3时，y＝lga1＋5＝5，即函数图像过定点(3,5)．
3．(多选)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝lg3x，直线y＝a与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系可能是( )
A．x2C．x1答案 ABC
解析 分别作出三个函数的大致图像和直线y＝a，如图所示．由图可知，当a<0时，x20时，x14．不等式lg eq \s\d10(\f(3,4)) (x＋1)>lg eq \s\d10(\f(3,4)) (3－x)的解集是________．
答案 {x|－1解析 原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,3－x>0，,x＋1<3－x，))解得－15．已知函数f(x)＝lg (ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解 (1)∵f(x)的值域为R，
∴要求u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)．
当a<0时，显然不可能；
当a＝0时，u＝2x＋1∈R成立；
当a>0时，u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)，
则Δ＝4－4a≥0，解得0综上可知，a的取值范围是0≤a≤1.
(2)由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－4a<0，))解得a的取值范围是a>1.
一、选择题
1．若f(x)＝eq \f(1,lg eq \s\d10( eq \f (1,2)) 2x＋1)，则f(x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
答案 C
解析 由题可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1>0，,lg eq \s\d10( eq \f (1,2)) 2x＋1≠0，))解得x>－eq \f(1,2)且x≠0，故选C.
2．若函数y＝lga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(－1,0)和(0,1)，则( )
A．a＝2，b＝2B．a＝eq \r(2)，b＝2
C．a＝2，b＝1D．a＝eq \r(2)，b＝eq \r(2)
答案 A
解析 依题意可知lga(－1＋b)＝0，且lgab＝1，因此－1＋b＝1，且a＝b，解得a＝b＝2.故选A.
3．函数y＝|lg2x|的图像是( )
答案 B
解析 此函数图像过点(1,0)，且函数值为非负．故选B.
4．若函数y＝lga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围为( )
A．(0,1)B．[1，＋∞)
C．[2,3)D．(1,3)
答案 C
解析 因为二次函数f(x)＝x2－ax＋2开口向上，所以f(x)＝x2－ax＋2在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,2)))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，＋∞))上单调递增，又因为函数y＝lga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞1，,\f(a,2)≥1，,12－a×1＋2＞0，))解得2≤a＜3.
5．(多选)已知f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)，则( )
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在(0,10)上单调递增
D．f(x)在(0,10)上单调递减
答案 BD
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＋x>0，,10－x>0，))得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称．又f(－x)＝lg (10－x)＋lg (10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，而f(x)＝lg (10＋x)＋lg (10－x)＝lg (100－x2)，因为函数y＝100－x2在(0,10)上单调递减，y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0,10)上单调递减．故选BD.
二、填空题
6．函数f(x)＝－5lga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案 (2,2)
解析 令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．
7．设a>0且a≠1，函数f(x)＝lga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式lga(x－1)>0的解集为________．
答案 (2，＋∞)
解析 由x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2且f(x)有最小值，可知a>1.由lga(x－1)>0，得x－1>1，即x>2.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg x2＋1，x<1，))则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
答案 0 2eq \r(2)－3
解析 由题意知，f(－3)＝1，所以f(f(－3))＝f(1)＝0.又由复合函数的单调性，可知当x<1时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增；由对勾函数的性质，可知当x≥1时，f(x)在(1，eq \r(2))上单调递减，在(eq \r(2)，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝min{f(0)，f(eq \r(2))}＝min{0,2eq \r(2)－3}＝2eq \r(2)－3.
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝lgax(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
解 (1)∵g(x)＝lgax(a>0且a≠1)的图像过点(9,2)，
∴lga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝lg3x.
又函数y＝f(x)的图像与g(x)＝lg3x的图像关于x轴对称，∴f(x)＝lg eq \s\d10(\f(1,3)) x.
(2)由(1)知f(3x－1)>f(－x＋5)，即lg eq \s\d10(\f(1,3)) (3x－1)>lg eq \s\d10(\f(1,3)) (－x＋5)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－1>0，,－x＋5>0，,3x－1<－x＋5，))解得eq \f(1,3)∴x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)10．已知f(x)＝(lg eq \s\d10(\f(1,2)) x)2－3lg eq \s\d10(\f(1,2)) x，x∈[2,4]，试求f(x)的最大值与最小值．
解 令t＝lg eq \s\d10(\f(1,2)) x，则y＝t2－3t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2－eq \f(9,4)，
∵2≤x≤4，∴lg eq \s\d10(\f(1,2)) 4≤lg eq \s\d10(\f(1,2)) x≤lg eq \s\d10(\f(1,2)) 2，即－2≤t≤－1.
∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2－eq \f(9,4)在[－2，－1]上单调递减，
∴当t＝－2时，y取最大值为10；
当t＝－1时，y取最小值为4.
故f(x)的最大值为10，最小值为4.
1．已知函数f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(4－2x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)求使函数y＝f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围．
解 (1)由题意，知f(x)－g(x)＝lga(x＋1)－lga(4－2x)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,4－2x>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,x<2.))所以－1所以函数y＝f(x)－g(x)的定义域是(－1,2)．
(2)由f(x)－g(x)>0，得f(x)>g(x)，
即lga(x＋1)>lga(4－2x)．①
当a>1时，由①可得x＋1>4－2x，解得x>1.
又因为－1当0又因为－1综上所述，当a>1时，x的取值范围是(1,2)；
当02．已知函数f(x)＝lgaeq \f(1＋x,1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
解 (1)由eq \f(1＋x,1－x)>0，得－1(2)由(1)，知f(x)的定义域关于原点对称．
又因为f(－x)＝lgaeq \f(1－x,1＋x)＝－lgaeq \f(1＋x,1－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)当a>1时，由lgaeq \f(1＋x,1－x)>0＝lga1，得eq \f(1＋x,1－x)>1.
所以0当00＝lga1，得0所以－1故当a>1时，x的取值范围是{x|0