2021届高三理科数学《大题精练》12

这是一份2021届高三理科数学《大题精练》12，共12页。试卷主要包含了设函数，，，.，已知函数等内容，欢迎下载使用。
2021届高三数学（理）“大题精练”12 17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比率10.950.900.850.80 该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：消费次数1次2次3次4次5次人数60201055 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列和数学期望 18．的内角，，的对边分别为，，，设.（1）求；（2）若的周长为8，求的面积的取值范围. 19．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 20．设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、，直线恒过点（1）证明：直线，的斜率之和为定值；（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 21．设函数，，，.（1）证明：；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 22．在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.（1）当时，求直线与曲线的普通方程；（2）若，其中，求直线的倾斜角. 23．已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式成立，证明：  2020届高三数学（理）“大题精练”12（答案解析） 17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比率10.950.900.850.80 该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：消费次数1次2次3次4次5次人数60201055 假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列和数学期望【解】（1）∵第一次消费为200元，利润为50元：第二次消费190元，利润为40元∴两次消费的平均利润为45元（2）若该会员消费1次，则若该会员消费2次，则若该会员消费3次，则若该会员消费4次，则若该会员消费5次，则故X的分布列为：50454035300.60.20.10.050.05  的期望为（元） 18．的内角，，的对边分别为，，，设.（1）求；（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.【解】（1）且，又，（2）由题意知：，或（舍）（当时取“”）综上，的面积的取值范围为 19．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【解】（1）令的中点为，连接，，，且又∵底面为边长为2的菱形，且又又平面，平面又平面，∴平面平面，（2）过作直线于，连接∵平面，面，为二面角所成的平面角又， 20．设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、，直线恒过点（1）证明：直线，的斜率之和为定值；（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【解】（1）设，直线的斜率分别为，由得，可得：，（2）由，令，得，即同理，即，设轴上存在定点则，要使为定值，即故轴上存在定点使为定值，该定值为1 21．设函数，，，.（1）证明：；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【解】（1）在上单调递增，，所以存在唯一，.当，递减；当，递增.所以，（2），当时，，在上单调递减，，满足题意当时，在上单调递增，，，所以存在唯一，.当，递减；当，递增而，.所以存在唯一.当，递增；当递减.要时，恒成立，即所以当时，，当，递减，在递增，与题意矛盾综上：的取值范围为 22．在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.（1）当时，求直线与曲线的普通方程；（2）若，其中，求直线的倾斜角.【解】（1）当时直线的普通方程为：；曲线的普通方程为；（2）将直线代入得所以直线的倾斜角为或 23．已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式成立，证明：【解】（1）解：当时若则若则成立若则综上，不等式的解集为（2）当时