2020年浙江省温州市中考数学试卷解析版

这是一份2020年浙江省温州市中考数学试卷解析版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2020年浙江省温州市中考数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分





一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 数1，0，-，-2中最大的是（　　）
A. 1 B. 0 C. - D. -2
2. 原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（　　）
A. 17×105 B. 1.7×106 C. 0.17×107 D. 1.7×107
3. 某物体如图所示，它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.


4. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（　　）
A. B. C. D.
5. 如图，在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°


6. 山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种，某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如表：
株数（株）
7
9
12
2
花径（cm）
6.5
6.6
6.7
6.8
这批“金心大红”花径的众数为（　　）
A. 6.5cm B. 6.6cm C. 6.7cm D. 6.8cm
7. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　）
A. 1
B. 2
C.
D.


8. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）
A. （1.5+150tanα）米
B. （1.5+）米
C. （1.5+150sinα）米
D. （1.5+）米



9. 已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则（　　）
A. y3＜y2＜y1 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y3＜y2
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为（　　）
A. 14
B. 15
C. 8
D. 6




二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 分解因式：m2-25=______．
12. 不等式组的解为______．
13. 若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为______．
14. 某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有______头．


15. 点P，Q，R在反比例函数y=（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，若OE=ED=DC，S1+S3=27，则S2的
值为______．


16. 如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1=∠2．测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为______米，BC为______米．







三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）
17. （1）计算：-|-2|+（）0-（-1）．
（2）化简：（x-1）2-x（x+7）．







18. 如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE，∠B=∠DCE=90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC=5，AC=12时，求AE的长．









19. A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．
（1）要评价这两家酒店7～12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量．
（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由．









20. 如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF=GH，EF不平行GH．
（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=MN．







21. 已知抛物线y=ax2+bx+1经过点（1，-2），（-2，13）．
（1）求a，b的值；
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2=12-y1，求m的值．







22. 如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC=∠G．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF=10，tan∠1=，求⊙O的半径．












23. 某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含a的代数式表示b．
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．







24. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM=2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN=x，PD=y，已知y=x+12，当Q为BF中点时，y=．
（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．
（2）求DE，BF的长．
（3）若AD=6．
①当DP=DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．
②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．









答案和解析
1.【答案】A

【解析】解：-2＜-＜0＜1，
所以最大的是1．
故选：A．
根据有理数大小比较的方法即可得出答案．
本题考查了有理数大小比较的方法．（1）在数轴上表示的两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．（3）两个正数中绝对值大的数大．（4）两个负数中绝对值大的反而小．
2.【答案】B

【解析】解：1700000=1.7×106，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】A

【解析】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项A所表示的图形符合题意，
故选：A．
根据主视图的意义和画法进行判断即可．
考查简单几何体的三视图的画法，主视图就是从正面看物体所得到的图形．
4.【答案】C

【解析】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率=．
故选：C．
根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
5.【答案】D

【解析】解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=（180°-40°）÷2=70°，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴∠E=70°．
故选：D．
根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．
考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，关键是求出∠C的度数．
6.【答案】C

【解析】解：由表格中的数据可得，
这批“金心大红”花径的众数为6.7，
故选：C．
根据表格中的数据，可以得到这组数据的中位数，本题得以解决．
本题考查众数，解答本题的关键是明确众数的含义，会求一组数据的众数．
7.【答案】D

【解析】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，
∵OA=OB，
∴OA=AB=OB，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO=90°，
∵OB=1，
∴BD=OB=，
故选：D．
连接OB，根据菱形的性质得到OA=AB，求得∠AOB=60°，根据切线的性质得到∠DBO=90°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练正确切线的性质定理是解题的关键．
8.【答案】A

【解析】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE=150，
∴CE=AD=1.5，
在△ABE中，∵tanα==，
∴BE=150tanα，
∴BC=CE+BE=（1.5+150tanα）（m），
故选：A．
过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC=CE+BE即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9.【答案】B

【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=-=-2，
∵a=-3＜0，
∴x=-2时，函数值最大，
又∵-3到-2的距离比1到-2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
求出抛物线的对称轴为直线x=-2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
10.【答案】A

【解析】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．

∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE=∠BCH=45°，
∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，
∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°
∴B，C，H共线，A，C，I共线，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP=∠CHQ，
∵∠ECP=∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴===，
∵PQ=15，
∴PC=5，CQ=10，
∵EC：CH=1：2，
∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，
∵PQ⊥CR,CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC是平行四边形，
∴AB=CQ=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴5a2=100，
∴a=2（负根已经舍弃），
∴AC=2，BC=4，
∵•AC•BC=•AB•CJ，
∴CJ==4，
∵JR=AF=AB=10，
∴CR=CJ+JR=14，
故选：A．
如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出===，由PQ=15，可得PC=5，CQ=10，由EC：CH=1：2，推出AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB=CQ=10，根据AC2+BC2=AB2，构建方程求出a即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会踢脚线有辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
11.【答案】（m+5）（m-5）

【解析】解：原式=（m-5）（m+5），
故答案为：（m-5）（m+5）．
直接利用平方差进行分解即可．
此题主要考查了运用公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．
12.【答案】-2≤x＜3

【解析】解：，
解①得x＜3；
解②得x≥-2．
故不等式组的解集为-2≤x＜3．
故答案为：-2≤x＜3．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．
考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13.【答案】π

【解析】解：根据弧长公式：l==π，
故答案为：π．
根据弧长公式l=，代入相应数值进行计算即可．
此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
14.【答案】140

【解析】解：由直方图可得，
质量在77.5kg及以上的生猪：90+30+20=140（头），
故答案为：140．
根据题意和直方图中的数据可以求得质量在77.5kg及以上的生猪数，本题得以解决．
本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】

【解析】解：∵CD=DE=OE，
∴可以假设CD=DE=OE=a，
则P（，3a），Q（，2a），R（，a），
∴CP=，DQ=，ER=，
∴OG=AG，OF=2FG，OF=GA，
∴S1=S3=2S2，
∵S1+S3=27，
∴S3=，S1=，S2=，
故答案为．
设CD=DE=OE=a，则P（，3a），Q（，2a），R（，a），推出CP=，DQ=，ER=，推出OG=AG，OF=2FG，OF=GA，推出S1=S3=2S2，根据S1+S3=27，求出S1，S3，S2即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】15  20

【解析】解：∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE=45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE=EN，BF=FN，
∴EF=15米，FM=2米，MN=8米，
∴AE=EN=15+2+8=25（米），BF=FN=2+8=10（米），
∴AN=25，BN=10，
∴AB=AN-BN=15（米）；
过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，
∴PE=BF=QH=10，PB=EF=15，BQ=FH，
∵∠1=∠2，∠AEF=∠CHM=90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴===，
∴设MH=3x，CH=5x，
∴CQ=5x-10，BQ=FH=3x+2，
∵∠APB=∠ABC=∠CQB=90°，
∴∠ABP+∠PAB=∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠PAB=∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴，
∴=，
∴x=6，
∴BQ=CQ=20，
∴BC=20，
故答案为：15，20．
根据已知条件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE=EN=15+2+8=25（米），BF=FN=2+8=10（米），于是得到AB=AN-BN=15（米）；过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根据矩形的性质得到PE=BF=QH=10，PB=EF=15，BQ=FH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】解：（1）原式=2-2+1+1
=2；

（2）（x-1）2-x（x+7）
=x2-2x+1-x2-7x
=-9x+1．

【解析】（1）直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了实数运算以及完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18.【答案】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠B=∠DCE=90°，AC=DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE=BC=5，
∵∠ACE=90°，
∴AE===13．

【解析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE=BC=5，由勾股定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
19.【答案】解：（1）选择两家酒店月盈利的平均值；
==2.5，
==2.3；
（2）平均数，方差反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好．
理由：A酒店盈利的平均数为2.5，B酒店盈利的平均数为2.3．A酒店盈利的方差为1.073，B酒店盈利的方差为0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是A酒店比较大，故A酒店的经营状况较好．

【解析】（1）由要评价两家酒店月盈利的平均水平，即可得选择两家酒店月盈利的平均值，然后利用求平均数的方法求解即可求得答案；
（2）平均数，盈利的方差反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好．
此题考查了折线统计图的知识．此题难度适中，注意掌握折线统计图表达的实际意义是解此题的关键．
20.【答案】解：（1）如图1，线段EF和线段GH即为所求；
（2）如图2，线段MN和线段PQ即为所求．

【解析】（1）根据题意画出线段即可；
（2）根据题意画出线段即可．
本题考查了作图-应用与设计作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21.【答案】解：（1）把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y=x2-4x+1，
把x=5代入y=x2-4x+1得，y1=6，
∴y2=12-y1=6，
∵y1=y2，
∴对称轴为x=2，
∴m=4-5=-1．

【解析】（1）把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x=5代入y=x2-4x+1得到y1=6，于是得到y1=y2，即可得到结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，正确的理解题意是解题的关键．
22.【答案】解：（1）∵∠ADC=∠G，
∴=，
∵AB为⊙O的直径，
∴=，
∴∠1=∠2；
（2）如图，连接DF，

∵=，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE=DE，
∴FD=FC=10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC=DF=10，
∴DE=5，
∵tan∠1=，
∴EB=DE•tan∠1=2，
∵∠1=∠2，
∴tan∠2=，
∴AE==，
∴AB=AE+EB=，
∴⊙O的半径为．

【解析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1=∠2；
（2）连接DF，根据垂径定理可得FD=FC=10，再根据对称性可得DC=DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．
本题考查了圆周角定理、轴对称的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
23.【答案】解：（1）设3月份购进x件T恤衫，
，
解得，x=150，
经检验，x=150是原分式方程的解，
则2x=300，
答：4月份进了这批T恤衫300件；
（2）①每件T恤衫的进价为：39000÷300=130（元），
（180-130）a+（180×0.8-130）（150-a）=（180-130）a+（180×0.9-130）b+（180×0.7-130）（150-a-b）
化简，得
b=；
②设乙店的利润为w元，
w=（180-130）a+（180×0.9-130）b+（180×0.7-130）（150-a-b）=54a+36b-600=54a+36×-600=36a+2100，
∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
∴a≤b，
即a≤，
解得，a≤50，
∴当a=50时，w取得最大值，此时w=3900，
答：乙店利润的最大值是3900元．

【解析】（1）根据4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得4月份进了这批T恤衫多少件；
（2）①根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于a、b的方程，然后化简，即可用含a的代数式表示b；
②根据题意，可以得到利润与a的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到a的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
24.【答案】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：
如图1所示：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，
∴∠ADE=∠ADC，∠ABF=∠ABC，
∴∠ADE+∠ABF=×180°=90°，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ABF，
∴DE∥BF；
（2）令x=0，得y=12，
∴DE=12，
令y=0，得x=10，
∴MN=10，
把y=代入y=-x+12，
解得：x=6，即NQ=6，
∴QM=10-6=4，
∵Q是BF中点，
∴FQ=QB，
∵BM=2FN，
∴FN+6=4+2FN，
解得：FN=2，
∴BM=4，
∴BF=FN+MN+MB=16；
（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：
∵FM=2+10=12=DE，DE∥BF，
∴四边形DFME是平行四边形，
∴DF=EM，
∵AD=6，DE=12，∠A=90°，
∴∠DEA=30°，
∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，
∴∠DFM=∠DEM=120°，
∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，
∴∠MEB=∠FBE=30°，
∴∠EHB=180°-30°-30°-30°=90°，DF=EM=BM=4，
∴MH=BM=2，
∴EH=4+2=6，
由勾股定理得：HB===2，
∴BE===4，
当DP=DF时，-x+12=4，
解得：x=，
∴BQ=14-x=14-=，
∵＞4，
∴BQ＞BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：
y=0，
则x=10；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：
∵BF=16，∠FCB=90°，∠CBF=30°，
∴CF=BF=8，
∴CD=8+4=12，
∵FQ∥DP，
∴△CFQ∽△CDP，
∴=，
∴=，
解得：x=；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：
∵PE∥BQ，
∴△APE∽△AQB，
∴=，
由勾股定理得：AE===6，
∴AB=6+4=10，
∴=，
解得：x=，
由图可知，PQ不可能过点B；
综上所述，当x=10或x=或x=时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．

【解析】（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；
（2）求出DE=12，MN=10，把y=代入y=-x+12，解得x=6，即NQ=6，得出QM=4，由FQ=QB，BM=2FN，得出FN=2，BM=4，即可得出结果；
（3）连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=4，MH=2，EH=6，由勾股定理得HB=2，BE=4，当DP=DF时，求出BQ=，即可得出BQ＞BE；
②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=10；
（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则=，即可求出x=；
（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则=，求出AE=6，AB=10，即可得出x=，由图可知，PQ不可能过点B．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．