湖南长沙市2020年中考数学试卷

这是一份湖南长沙市2020年中考数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南长沙市2020年中考数学试卷
一、单选题（共12题；共24分）
1.的值是（    ）
A.                                          B. 6                                         C. 8                                         D. 
2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）
A.               B.               C.               D. 
3.为了将“新冠疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展，据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中632400000000用科学记数法表示为（    ）
A.                   B.                   C.                   D. 
4.下列运算正确的是（    ）
A.                     B.                     C.                     D. 
5.2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为 土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 （单位： 天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（    ）
A.                            B.                            C.                            D. 
6.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（    ）
A. 米                                B. 米                                C. 21米                                D. 42米
7.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（   ）
A.                        B. 
C.                           D. 
8.一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（    ）
A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球
D. 第一次摸出的球是红球的概率是 ；两次摸出的球都是红球的概率是
9.2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（    ）
A. ②③                                     B. ①③                                     C. ①④                                     D. ②④
10.如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线 上，斜边AB平分 ，交直线GH于点E，则 的大小为(    )

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
11.随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（    ）
A.          B.          C.          D. 
12.“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式： （ a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为(    )

A. 3.50分钟                            B. 4.05分钟                            C. 3.75分钟                            D. 4.25分钟
二、填空题（共4题；共5分）
13.长沙地铁3号线、5号线即将运行，为了解市民每周乘地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到了如下的统计表：

这次调查的众数和中位数分别是________．
14.某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为________．
15.若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是________．
16.如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合） 平分 ，交PM于点E，交PQ于点F．

（1）________．
（2）若 ，则 ________．
三、解答题（共9题；共97分）
17.计算：
18.先化简，再求值 ，其中
19.人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作： 的平分线
做法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点C
③画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是________(填序号)．
①    ② ③    ④
（2）请你证明OC为 的平分线．
20.2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”，为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图表：

（1）这次调查活动共抽取________人；
（2）m=________n =________．
（3）请将条形图补充完整
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
21.如图， 为 的直径，C为 上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分 ．

（1）求证：DC为 的切线；
（2）若 ，求 的半径．
22.今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：

第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运送货物的顿数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载


（1）求A，B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资；
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
23.在矩形ABCD中，E为 上的一点，把 沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．

（1）求证：
（2）若 ，求EC的长；
（3）若 ，记 ，求 的值．
24.我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，完成下列各题
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”
① （________）
② （________）
③ （________）
（2）若点 与点 关于x的“H函数” 的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线 的右侧，求 的值域或取值范围；
（3）若关于x的“H函数” （a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：① ，② ，求该H函数截x轴得到的线段长度的取值范围．
25.如图，半径为4的 中，弦AB的长度为 ，点C是劣弧 上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．

（1）求 的度数；
（2）当点C沿着劣弧 从点A开始，逆时针运动到点B时，求 的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记 的面积为 ，当 时，求弦AC的长度．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】 =-8，
故答案为：D.
【分析】利用有理数的乘方计算法则进行解答.
2.【解析】【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
3.【解析】【解答】解：632400000000元= 元．
故答案为A．
【分析】先将632400000000表示成a×10n的形式，其中1＜| a |＜10，n为将632400000000化成an×10n的形式时小数点向左移动的位数．
4.【解析】【解答】解：A、 ，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项符合题意；
C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；二次根式的乘法计算；幂的乘方，底数不变，指数相乘，利用排除法求解．
5.【解析】【解答】解（1）∵vt=106 ，
∴v= ，
故答案为：A．
【分析】由总量=vt，求出v即可．
6.【解析】【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42 （米）.
故答案为：A．
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
7.【解析】【解答】解： ，
由①得， x≥−2，
由②得， x＜2，
故原不等式组的解集为：−2≤x＜2．
在数轴上表示为：

故答案为：D．
【分析】先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．
8.【解析】【解答】A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故不符合题意；
B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故符合题意；
C、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球，故符合题意；
D、第一次摸出的球是红球的概率是 ；
两次摸到球的情况共有（红，红），（红，绿1），（红，绿2），（绿1，红），（绿1，绿1），（绿1，绿2），（绿2，红），（绿2，绿1），（绿2，绿2）9种等可能的情况，两次摸出的球都是红球的有1种，∴两次摸出的球都是红球的概率是 ，故符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据摸出球的颜色可能出现的情形及概率依次分析即可得到答案.
9.【解析】【解答】解：①圆周率是一个有理数，不符合题意；
② 是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法符合题意；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法符合题意；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法不符合题意；
故答案为：A．
【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．
10.【解析】【解答】∵AB平分 ，∠CAB=60 ，
∴∠DAE=60 ，
∵FD∥GH，
∴∠ACE+∠CAD=180 ，
∴∠ACE=180 -∠CAB-∠DAE=60 ，
∵∠ACB=90 ，
∴∠ECB=90 -∠ACE=30 ，
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质求得∠DAE的度数，利用平行线的性质求得∠ACE的度数，即可求解．
11.【解析】【解答】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，
依题意，得： ．
故答案为：B．
【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
12.【解析】【解答】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入 得:

②－①和③－②得
⑤－④得 ,解得a=﹣0.2．
将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴= ．
故答案为：C．
【分析】图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
二、填空题
13.【解析】【解答】从表格中可得人数最多的次数是5,故众数为5．
100÷2=50,即中位数为从小到大排列的第50位,故中位数为5．
故答案为5、5．
【分析】根据众数和中位数的概念计算即可．
14.【解析】【解答】设每个同学的扑克牌的数量都是 ；
第一步，A同学的扑克牌的数量是 ，B同学的扑克牌的数量是 ；
第二步，B同学的扑克牌的数量是 ，C同学的扑克牌的数量是 ；
第三步，A同学的扑克牌的数量是2( )，B同学的扑克牌的数量是 ( )；
∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是： ( ) ．
故答案为： ．
【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
15.【解析】【解答】解：圆锥的底面周长为：2×π×1＝2π，
侧面积为： ×2π×3＝3π．
故答案为：3π．
【分析】先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式S= lR求得答案即可．
16.【解析】【解答】(1)如图所示，过E作 于G，则 ，

∵MN为半圆的直径，
∴ ，
又∵ 平分 ， ,
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
又 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ,
又∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中， ,
又∵ ,
∴ ，
∴将 ， ，代入 得， ,
∴ ，
即 ．(2)∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 平分 ，即 ,
∴ ，
故答案为：(1) ；(2) ．
【分析】(1)过E作 于G，可得 ，根据圆周角的性质可得 ，又 平分 ，根据角平分线的性质可得 ；由 ， ， ，且 ，根据“等角的余角相等”可得 ，再根据等腰三角形的性质“等角对等边”可得 ，即有 ；由 ， ，可得 ，从而可得在 中有 ，将 、 、 代入可得， ，既而可求得 的值．(2) 由 得 ，又 ，根据等腰三角形的性质可得 平分 ，即 ，从而可求得 ．
三、解答题
17.【解析】【分析】根据绝对值、零次幂、特殊角的三角函数值、二次根式和负整数指数幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可．
18.【解析】【分析】先将代数式化简,再代入值求解即可．
19.【解析】【解答】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为 的平分线；
故答案为：①；
【分析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为 的平分线．
20.【解析】【解答】（1）这次调查活动共抽取：20÷10%＝200（人）
故答案为：200．（2）m=200×43%=86（人），
n%=54÷200=27%，n=27，
故答案为：86，27．
【分析】（1）用“1次及以下”的人数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；（2）总人数乘以“3次”所占的百分比可得m的值，“4次及以上”的人数除以总人数可得n%的值，即可求得n的值；（3）总人数乘以“2次”所占的百分比可得“2次”的人数，再补全条形统计图即可；（4）用全校总人数乘以“4次及以上”所占的百分比即可．
21.【解析】【分析】（1）连接OC，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出∠DAC=∠OCA，得到AD∥OC，即可得到OC⊥CD得到结论；（2）连接BC，先求出 ，得到∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD= ，再根据 为 的直径得到∠ACB=90°，再利用三角函数求出AB.
22.【解析】【分析】（1）设A，B两种型号货车每辆满载分别能运x，y吨生活物资，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设还需联系m辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据题中的不等关系列出不等式解答即可．
23.【解析】【分析】（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，从而求出EC的长；（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF= ，所以tan +tan = ，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到 ，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan +tan = 即可．
24.【解析】【解答】（1）① 是 “H函数”② 是 “H函数”③ 不是 “H函数”；
故答案为：√；√；×；
【分析】（1）根据“H函数”的定义即可判断；（2）先根据题意可求出m,n的取值，代入 得到a,b,c的关系，再根据对称轴在x=2的右侧即可求解；（3）设“H点”为（p,q）和（-p,-q）,代入 得到ap2+3c=0,2bp=q，得到a,c异号，再根据a+b+c=0，代入 求出 的取值，设函数与x轴的交点为（x1,0）（x2,0），t= ，利用根与系数的关系得到 = ，再根据二次函数的性质即可求解．
25.【解析】【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，由垂径定理可知AH的长，然后通过三角函数即可得到 ，从而可得到 的度数；（2）连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，可得到O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，然后用弧长公式即可算出外心P所经过的路径的长度；（3）作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，分别表示出 ， 的面积为 ， ，由 可算出 ，然后可利用勾股定理求出结果．