甘肃省天水市2020年中考数学试卷

这是一份甘肃省天水市2020年中考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

甘肃省天水市2020年中考数学试卷
一、选择题（共10题；共20分）
1.下列四个实数中，是负数的是(   )
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2.天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元，将数341000用科学记数法表示为(   )
A.                        B.                        C.                        D. 
3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是(   )

A. 文                                         B. 羲                                         C. 弘                                         D. 化
4.某小组8名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43，40，42.该组数据的众数、中位数分别为(   )
A. 40，42                               B. 42，43                               C. 42，42                               D. 42，41
5.如图所示， 、 分别与 相切于A、B两点，点C为 上一点，连接 、 ，若 ，则 的度数为(   )

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
6.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(   )
A.                   B.                   C.                   D. 
7.若函数 的图象如图所示，则函数 和 在同一平面直角坐标系中的图象大致是(   )

A.        B.        C.        D. 
8.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 测量建筑物的高度，已知标杆 高 ，测得 ， ，则建筑物 的高是(   )

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
9.若关于x的不等式 只有2个正整数解，则a的取值范围为(   )
A.                B.                C.                D. 
10.观察等式： ； ； ；…已知按一定规律排列的一组数： ，若 ，用含S的式子表示这组数据的和是(   )
A.                           B.                           C.                           D. 
二、填空题（共8题；共9分）
11.分解因式： ________.
12.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程 的根，则该三角形的周长为________.
13.函数 中，自变量x的取值范围是________.
14.已知 ， ，则a+b的值为________.
15.如图所示， 是放置在正方形网格中的一个角，则 的值是________.

16.如图所示，若用半径为8，圆心角为 的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的底面半径是________.

17.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为________．

18.如图，在边长为6的正方形 内作 ， 交 于点 ， 交 于点F，连接 ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，若 ，则 的长为________.

三、解答题（共8题；共90分）
19.     
（1）计算： .
（2）先化简，再求值： ，其中 .
20.为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计.将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图.
请结合图中的信息，解决下列问题：

（1）此次调查中接受调查的人数为________人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为________度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性.请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率.
21.如图所示，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限的点 和点 ，过A点作x轴的垂线，垂足为点C， 的面积为4.

（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出 中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使 取得最大值时，求出点P的坐标.
22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理.如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东 方向上，继续航行30分钟后到达 处，此时测得灯塔P在北偏东 方向上.

（1）求 的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？(参考数据： ， )
23.如图，在 中， ， 平分 交 于点D，点O在 上，以点O为圆心， 为半径的圆恰好经过点D，分别交 、 于点E、F.

（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积(结果保留 ).
24.    
（1）性质探究
如图（1），在等腰三角形 中， ，则底边 与腰 的长度之比为________.

（2）理解运用
Ⅰ.若顶角为 的等腰三角形的周长为 ，则它的面积为________；
Ⅱ.如图（2），在四边形 中， .在边 ， 上分别取中点 ，连接 .若 ， ，求线段 的长.________

（3）类比拓展
顶角为 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________(用含 的式子表示)
25.天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠 元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.
26.如图所示，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，对称轴为直线 .点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 ，连接 ， ， ， .

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当 的面积等于 的面积的 时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分
一、选择题
1.【解析】【解答】解：A、 ，3不是负数，故本选项不符合题意；
B、 ，4不是负数，故本选项不符合题意；
C、 ，4不是负数，故本选项不符合题意；
D、 是负数，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据负数的定义逐项判断即得答案.
2.【解析】【解答】解：341000用科学记数法表示为 .
故答案为：A.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3.【解析】【解答】解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“羲”，与“伏”字所在面相对面上的汉字是“化”，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”.
故答案为：D.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可.
4.【解析】【解答】解：将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为39，40，40，42，42，42，43，44，
因为42出现了三次，最多，所以这组数据的众数为42，
因为共有8个数据，所以中间两个数据的平均数就是中位数，即中位数为 ，
故答案为：C.
【分析】先将数据按照从小到大的顺序重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可得出答案.
5.【解析】【解答】解：连接OA、OB，

∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠P=70°，
∴∠AOB=180°-∠P=180°-70°=110°，
∴∠ACB= ∠AOB= ×110°=55°.
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数.
6.【解析】【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故错误；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故错误；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故正确；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项进行分析判断即可得出答案.
7.【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上
∴ ＞0
∵抛物线对称轴 ＞0
∴b＜0
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上
∴c＞0
∴当 ＞0，b＜0时，一次函数 的图像过第一、三、四象限；
当c＞0时，反比例函数 的图像过第一、三象限.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图像即可判断出 、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案.
8.【解析】【解答】解：∵ ，
∴AC=1.2m+12.8m=14m
∵标杆 和建筑物CD均垂直于地面
∴BE//CD
∴△ABE∽△ACD
∴ ,即 ,解得CD=17.5m.
故答案为：A.
【分析】先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可.
9.【解析】【解答】解： ，
，
则 ，
不等式只有2个正整数解，
不等式的正整数解为1、2，
则 ，
解得： ，
故答案为：D.
【分析】先解不等式得出 ，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出 ，解之可得答案.
10.【解析】【解答】解：由题意得：这组数据的和为：





∵ ，
∴原式= ,
故答案为：A.
【分析】由题意得出 ，再利用整体代入思想即可得出答案.
二、填空题
11.【解析】【解答】解：
=
= .
故答案为： .
【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可.
12.【解析】【解答】解：∵x2-8x+12=0，
∴ ，
∴x1=2，x2=6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6=13.
故答案为：13.
【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求.
13.【解析】【解答】根据二次根式的性质以及分式的意义可得： ，且 ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 .
【分析】根据二次根式的性质以及分式的意义，分别得出关于x的关系式，然后进一步加以计算求解即可.
14.【解析】【解答】解： ①， ②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1.
【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解.
15.【解析】【解答】连接AB如图所示：

设小正方形的边长为1，
∴ = =10， ， ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB，设小正方形的边长为1，可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得 是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.
16.【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为 ，
由题意得， ，
解得， ，
故答案为： .
【分析】根据半径为8，圆心角为120°的扇形弧长，等于围成的圆锥的底面周长，列方程求解即可.
17.【解析】【解答】如图，

过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
 ，
∴△OGM≌△EOH（ASA），
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（﹣3，2），
∴O′（﹣ ， ），
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5），
故答案是：（﹣1，5）．

【分析】此题的难点在于正确添加辅助线。先利用正方形的性质为三角形全等创造条件，从而求出关键点G的坐标，然后再根据中心对称的性质得出点F的坐标 。
18.【解析】【解答】解：∵将△ 绕点 顺时针旋转 得到△ ，
∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵ ，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
又AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
设BE=x，则CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，
∵DF=3，∴CF=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得： ，
解得：x=2，即BE=2.
故答案为：2.
【分析】根据旋转的性质可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根据正方形的性质和等量代换可得∠GAE=∠FAE，进而可根据SAS证明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，设BE=x，则CE与EF可用含x的代数式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即得答案.
三、解答题
19.【解析】【分析】（1）先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂、化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法、去括号，最后计算加减可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 的值代入计算可得.
20.【解析】【解答】解：（1） (人)，
故答案为：50；
（ 3 ） ，
故答案为：144；
【分析】（1）由非常满意的有18人，占36%，即可求得此次调查中接受调查的人数.（2）用总人数减去不满意人数、一般人数、非常满意人数，即可求得此次调查中结果为满意的人数.（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案.
21.【解析】【分析】（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值.（2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方即可，注意由两部分.（3）由对称点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交点就是所求的点P，求出直线与y轴的交点坐标即可.
22.【解析】【分析】（1）作 交 的延长线于点H，根据题意可得∠PBH=45°、∠PAB=60°,然后利用三角形外角的性质即可解答；（2）设 海里，则 海里，然后行程关系求得AB，再利用正切函数求得x，最后与25海里比较即可解答.
23.【解析】【分析】（1）连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出 ，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可.
24.【解析】【解答】（1）解：性质探究
作CD⊥AB于D，如图①所示：

则∠ADC=∠BDC=90°，
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴AD=BD，∠A=∠B=30°，
∴AC=2CD，AD= CD，
∴AB=2AD=2 CD，
∴ ；
故答案为： (或 )；
（ 2 ）理解运用
Ⅰ.解：如图①所示：同上得：AC=2CD，AD= CD，
∵AC+BC+AB=4+2 ，
∴4CD+2 CD=4+2 ，
解得：CD=1，
∴AB=2 ，
∴△ABC的面积= AB×CD= ×2 ×1= ；
故答案为：
（ 3 ）类比拓展
解：如图③所示：作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，
∴BD=CD，∠BAD= ∠BAC=α，
∵ ，
∴BD=AB×sinα，
∴BC=2BD=2AB×sinα，
∴ ；
故答案为：2sinα（或 ）.
【分析】（1）性质探究作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性质得出AC=2CD，AD= CD，得出AB=2AD=2 CD，即可得出结果；（2）理解运用Ⅰ.同上得出则AC=2CD，AD= CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2 CD=4+2 ，解得：CD=1，得出AB=2 ，由三角形面积公式即可得出结果；Ⅱ.①由等腰三角形的性质得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四边形内角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH=30°，由直角三角形的性质得出PE= EF=10，PF= PE=10 ，得出FH=2PF=20 ，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；（3）类比拓展作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=CD，∠BAD= ∠BAC=α，由三角函数得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出结果.
25.【解析】【分析】（1）设 种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为 元，然后根据“用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可；（2）设购进A种商品a件，购进B种商品 件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“A种商品的数量不低于 种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可；（3）设销售A、B两种商品总获利 元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可.
26.【解析】【分析】（1）把A、C两点坐标代入函数解析式，结合对称轴方程 ，联立方程组，求出a，b，c的值即可；（2）过点 作 轴于点E，交 于点 ，过点C作 交 的延长线于点F.首先计算出 的面积=6，得 ，求得B（4，0），直线 的函数表达式为 ，可得点D的坐标为 ，点G的坐标为 ，根据 得方程 求解即可；（3）根据平行四边形的判定与性质分三种情况进行求解：①当 为对角线时；②当 为对角线时；③当 为对角线时.