山东省菏泽市2020年中考数学试卷

这是一份山东省菏泽市2020年中考数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


山东省菏泽市2020年中考数学试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.下列各数中，绝对值最小的数是（    ）
A. -5                                         B.                                          C. -1                                         D. 
2.函数 的自变量x的取值范围是（    ）
A.                           B. 且                           C.                           D. 且
3.在平面直角坐标系中，将点 向右平移3个单位得到点 ，则点 关于x轴的对称点的坐标为（    ）
A.                               B.                               C.                               D. 
4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（    ）

A.                      B.                      C.                      D. 
5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（    ）
A. 互相平分                           B. 相等                           C. 互相垂直                           D. 互相垂直平分
6.如图，将 绕点 顺时针旋转角 ，得到 ，若点E恰好在 的延长线上，则 等于（    ）

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
7.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为（    ）
A. 3                                          B. 4                                          C. 3或4                                          D. 7
8.一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）
A.                                 B. 
C.                                         D. 
二、填空题（共6题；共6分）
9.计算 的结果是________．
10.方程 的解是________．
11.如图，在 中， ，点D为 边的中点，连接 ，若 ， ，则 的值为________．

12.从-1，2，-3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数 ，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是________．
13.如图，在菱形 中， 是对角线， ，⊙O与边 相切于点D，则图中阴影部分的面积为________．

14.如图，矩形 中， ， ，点P在对角线 上，且 ，连接 并延长，交 的延长线于点Q，连接 ，则 的长为________．

三、解答题（共10题；共90分）
15.计算： ．
16.先化简，再求值： ，其中a满足 ．
17.如图，在 中， ，点E在 的延长线上， 于点D，若 ，求证： ．

18.某兴趣小组为了测量大楼 的高度，先沿着斜坡 走了 米到达坡顶点 处，然后在点 处测得大楼顶点 的仰角为 ，已知斜坡 的坡度为 ，点 到大楼的距离 为 米，求大楼的高度 ．（参考数据： ， ， ）

19.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A： ；B： ；C： ；D： ，并绘制出如下不完整的统计图．

（1）求被抽取的学生成绩在C： 组的有多少人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
（3）若该学校有 名学生，估计这次竞赛成绩在A： 组的学生有多少人．
20.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线 交x轴于点C，点P是x轴上的点，若 的面积是 ，求点P的坐标．
21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
22.如图，在 中， ，以 为直径的⊙O与 相交于点D，过点D作⊙O的切线交 于点E．

（1）求证： ；
（2）若⊙O的半径为5， ，求 的长．
23.如图1，四边形 的对角线 ， 相交于点O， ， ．

       图1                  图2         
（1）过点A作 交 于点E，求证： ；
（2）如图2，将 沿 翻折得到 ．
①求证： ；
②若 ，求证： ．
24.如图，抛物线 与 轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C， ， ，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接 ， ， ， ．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当 的面积是 时，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解： ， ， ， ，
∵ ，
∴绝对值最小的数是 ；
故答案为：B．
【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：由题意得：

解得： 且
故答案为：D．
【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵将点 向右平移3个单位，
∴点 的坐标为：(0，2)，
∴点 关于x轴的对称点的坐标为：(0，-2)．
故答案为：A．
【分析】先根据点向右平移3个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点 的坐标，再根据关于x轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：从正面看所得到的图形为a选项中的图形．
故答案为：a．
【分析】从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可．
5.【答案】 C
【解析】【解答】根据题意画出图形如下：

答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．
证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故答案为：C．
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形．
6.【答案】 D
【解析】【解答】由旋转的性质得：∠BAD= ，∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC+∠ABE=180º，
∴∠ADE+∠ABE=180º，
∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD=
∴∠BED=180º- ，
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解．
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x1+x2=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4，
故答案为：C．
【分析】分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可计算出k的值即可．
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A不符合题意；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B符合题意；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C不符合题意；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
二、填空题
9.【答案】 ﹣13
【解析】【解答】 .
故答案为﹣13.
【分析】根据平方差公式计算即可.
10.【答案】
【解析】【解答】方程两边都乘以 ，得： ，
解得： ，
检验： 时， ，
所以分式方程的解为 ，
故答案为： ．
【分析】方程两边都乘以 化分式方程为整式方程，解整式方程得出x的值，再检验即可得出方程的解．
11.【答案】
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定义即可求解．
12.【答案】
【解析】【解答】从-1，2，-3，4中任取两个数值作为a，b的值，其基本事件总数有：

共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为： ．
【分析】从-1，2，-3，4中任取两个数值作为a，b的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
13.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接OD，

∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形 中，
∴ ，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD= ，
∴ ，
∴扇形的面积为： ，
∴阴影部分的面积为： ；
故答案为： ．
【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
14.【答案】
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形， ， ，
∴∠BAD=∠BCD=90º，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，
∴ ，又 =5，
∴PD=8，
∵AB∥DQ，
∴ ，即
解得：CQ=3，
在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，
．
故答案为：
【分析】由矩形的性质求得BD，进而求得PD ，再由AB∥CD得 ，求得CQ，然后由勾股定理解得BQ即可．
三、解答题
15.【答案】 解：


．
【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用进行计算即可．
16.【答案】 解：原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵ ，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
17.【答案】 证明：∵ ，
∴∠ADE=90°，
∵ ，
∴∠ACB=∠ADE，
在 和 中
 ，
∴ ，
∴AE=AB，AC=AD，
∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．
【解析】【分析】利用AAS证明 ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
18.【答案】 解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，

在Rt△ABE中，AB=52，
∵
∴tan∠BAE= = ，
∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2 ，
∴BE2+(2.4BE)2=522 ，
解得：BE=20，
∴AE=2.4BE=48；
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；
在Rt△BCF中，
tan∠CBF= ，
即：tan53°= =
∴CF= BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大楼的高度 为52米．
【解析】【分析】过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，根据坡度 及勾股定理求出BE和AE的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形BEDF是矩形，得到BF和FD的长，再在Rt△BCF中，根据∠CBF的正切函数解直角三角形，得到CF的长，由CD=CF+FD得解．
19.【答案】 （1）解：由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%，
∴本次抽取的总人数为： （人），
∴抽取的学生成绩在C： 组的人数为： （人）；

（2）解：∵总人数为60人，
∴中位数为第30,31个人成绩的平均数，
∵ ，且
∴中位数落在C组

（3）解：本次调查中竞赛成绩在A： 组的学生的频率为： ，
故该学校有 名学生中竞赛成绩在A： 组的学生人数有： （人）．
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图的B组所占比例，条形统计图得B在人数，用总人数减去A，B，D人数，可得C组人数；（2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可；（3）根据样本中A组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案．
20.【答案】 （1）解：将点A（1,2）坐标代入 中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为 ，
将点B(n，-1)代入 中得：
，∴n=﹣2，
∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入 中得：
解得： ，
∴一次函数的表达式为 ；

（2）解：设点P（x，0），
∵直线 交x轴于点C，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵ 的面积是 ，
∴
∴解得： ，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入 中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B两点坐标可得一次函数表达式；（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
21.【答案】 （1）解：设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得： ，
解得： ，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；

（2）解：设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得： ，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
【解析】【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可；（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式解之得m的范围，进而可判断购买方案．
22.【答案】 （1）解：连接OD，如图：

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；

（2）解：连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD= ，∠ADC=90°，
∵AB=AC= ，
由勾股定理，得： ，
∵ ，
∴ ；
【解析】【分析】（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长度．
23.【答案】 （1）解：连接CE，

∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴△OAE≌△OCD，
∴AE=CD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE=CD，OE=OD，
∵ ，
∴CD=BE，
∴

（2）解：①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，

由（1）得， ，
∴ ，
由翻折的性质得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴EF=DE，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴CD=AE=BE，
∵AF∥CD，
∴ ，
∵EF=DE，CD=BE， ，
∴△BEF≌△CDE（SAS），
∴ ，
∵ ，
∴∠CED=∠BCD，
又∵∠BDC=∠CDE，
∴△BCD∽△CDE，
∴ ，即 ，
∵DE=2OD，
∴ ．
【解析】【分析】（1）连接CE，根据全等证得AE=CD，进而AECD为平行四边形，由 进行等边代换，即可得到 ；（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE， ，得 ，利用翻折的性质得到 ，即可证明；②证△BEF≌△CDE，从而得 ，进而得∠CED=∠BCD，且 ，得到△BCD∽△CDE，得 ，即可证明．
24.【答案】 （1）解：∵OA=2，OB=4，
∴A（-2，0），B（4，0），
将A（-2，0），B（4，0）代入 得：
，
解得：
∴抛物线的函数表达式为：

（2）解：由（1）可得抛物线 的对称轴l： ， ，
设直线BC： ，
可得：
解得 ，
∴直线BC的函数表达式为： ，
如图1，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，

设 ，则 ，
∴ ，
由题意可得
整理得
解得 （舍去），
∴ ，
∴
∴

；

（3）解：存在
由（1）可得抛物线 的对称轴l： ，由（2）知 ，
①如图2

当 时，四边形BDNM即为平行四边形，
此时MB=ND=4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为-1，将x=-1代入
解得
∴此时 ，四边形BDNM即为平行四边形．
②如图3

当 时，四边形BDMN为平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP=DF
∴此时N点纵坐标为
将y= 代入 ，
得 ，解得：
∴此时 或 ，四边形BDMN为平行四边形．
综上所述， 或 或 ．
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；（2）先求出函数的对称轴和直线BC的函数表达式，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，用式子表示出 的面积从而求出D的坐标，进一步可得 的面积；（3）根据平行四边形的性质得到 ，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标．