浙教版备考中考数学一轮专题复习含答案

这是一份浙教版备考中考数学一轮专题复习含答案，共156页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。




中考数学一轮专题 1 数与式
一、选择题（共 14 题；共 28 分）
1. 下列说法中错误的有（ ）个
（ 1 ）一个无理数与一个有理数的和是无理数；（2）一个无理数与一个有理数的积是无理数；（3）两个无理数和是无理数；（4）两个无理数积是无理数．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2.实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的是( )


A. a＞－4 B. bd＞0 C. |a|＞|d| D. b＋c＞0 3.若多项式 x5－(m－2)xmy＋4y5 是五次三项式，则正整数 m 可以取( )
A. 4 B. 1，3，4 C. 1，2，3，4 D. 2，3，4
4. G20 峰会来了，在全民的公益热潮中，杭州的志愿者们摩拳擦掌，想为世界展示一个美丽幸福文明的杭州．据统计，目前杭州市注册志愿者已达 9.17×105 人．而这个数字，还在不断地增加．请问近似数 9.17×105 的精确度是（ ）

A. 百分位 B. 个位 C. 千位 D. 十万位5.把 8a3-8a2+2a 进行因式分解,结果正确的是( )
A. 2a(4a2-4a+1) B. 8a2(a-1) C. 2a(2a-1)2 D. 2a(2a+1)2
6. 已知 y＝ ＋ －3，则 2xy 的值为( )
A. －15 B. 15 C. － D.
7. 下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D. 8.若 A. 1 9.若 x2+mx-15=(x+3)(x+n)，则 m 的值为( )


A. -5 B. 5 C. -2 D. 2
10. 已知 a 是方程 x2＋x－1＝0 的一个根，则 的值为( )
A. B. C. －1 D. 1
11. 已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足 a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2 ， 则△ABC 的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

12.请你计算:(1-x)(1+x)，(1-x)(1+x+x2)，…，则(1-x)(1+x+x2+…+xn)的结果是( )
A. 1-xn+1 B. 1+xn+1 C. 1-xn D. 1+xn
13. 一个三角形的三边长分别为 1，k，4，化简|2k－5|－ 的结果是( ) A. 3k－11 B. k＋1 C. 1 D. 11－3k
14. 在矩形 ABCD 内将两张边长分别为 a 和 b(a>b)的正方形纸片
按图 K2-4①②两种方式放置(图 K2-4①②中两张正方形纸片均有部分重叠)， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示， 设图①中阴影部分的面积为 S1 ， 图②中阴影部分的面积为 S2.当
AD-AB=2 时， S2-S1 的值为( )

A. 2a B. 2b C. 2a-2b D. -2b
二、填空题（共 8 题；共 8 分）
15.如果 ＋|b2－10|＝0，则 a＋b 的值为
16.已知代数式 x2-mx+9 是完全平方式， 则常数 m= .
17.化简(π－3.14)0＋|1－2 |－ ＋( )－1 的结果是
18.若 m＋ ＝3，则 m2＋ ＝
19.等式 = 成立的 x 的条件是 ．
20.如果 ＝4.098， ＝40.98，那么 a＝ ， ，则 21.若 x 满足|2017-x|+ =x， 则 x-20172=
22. 有理数 a、b、c 在数轴上的点如图，则 =
三、解答题（共 7 题；共 50 分）
23. 计算
（1）(－ )2－ ＋(－1)2 017－1 ×(0.5－ )÷1 .
（2）|－3|＋(π－2017)0－2sin30°＋( )－1


（3）(2 - )0+|2- |+(-1)2017- × ;
24. 若 a，b，c 都是非零有理数，求 的值．
25. 已知 a，b 为常数，且三个单项式 4xy2 ， axyb ， －5xy 相加得到的和仍是单项式， 求 a，b 的值．
26. 先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a－b)2－(2a2－ab)，其中 a，b 是一元二次方程 x2＋x－2＝0 的两个实数根．
27. 已知关于 x 的二次三项式 x2+mx+n 有一个因式为 x+5，且 m+n=17，试求 m，n 的值.
28.设 ＝a(a≠0)，求 的值．
29. 已知 A= - .
（1） 化简 A;
（2） 当 x 满足不等式组 且为整数时，求 A 的值.
四、应用题（共 2 题；共 14 分）
30. 如图，将一张矩形纸板按照图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块是边长都为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小矩形，且 m>n，(以上长度单位：cm)
（1） 观察图形，可以发现代数式 2m2＋5mn＋2n2 可以因式分解为 ；



（2） 若每块小矩形的面积为 10 cm2 ， 四个正方形的面积和为 58 cm2 ， 试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和．
31. 某公司派出甲车前往某地完成任务，此时，有一辆流动加油车与他同时出发，
时间（h）
0
5
7
x
甲车位置（km）
190
-10


流动加油车位（km）

170
270


且在同一条公路上匀速行驶（速度保持不变）．为了确定汽车的位置，我们用 OX 表示这条公路，原点 O 为零千米路标，并作如下约定：速度为正，表示汽车向数轴的正方向行驶；速度为负，表示汽车向数轴的负方向行驶；速度为零，表示汽车静止．行程为正，表示汽车位于零千米的右侧；行程为负，表示汽车位于零千米的左侧；行程为零，表示汽车位于零千米处．两车行程记录如表：






由上面表格中的数据，解决下列问题：

（1） 甲车开出 7 小时时的位置为 km，流动加油车出发位置为 km；
（2） 当两车同时开出 x 小时时，甲车位置为 km，流动加油车位置为 km （用 x 的代数式表示）；
（3） 甲车出发前由于未加油，汽车启动后司机才发现油箱内汽油仅够行驶 3 小时，问：甲车连续行驶 3
小时后，能否立刻获得流动加油车的帮助？请说明理由．



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】解：（1）此说法正确；
（2）此说法错误，如无理数与有理数 0 的乘积为 0，而 0 是有理数不是无理数；

（3）此说法错误，如
与-
， 它们都是无理数，但
， 是有理数；
（4）此说法错误，如
与-
， 它们都是无理数，但
， 是有理数.
故答案为：C.
【分析】利用举反例的方法即可一一判断.
2. 【解析】【解答】解：根据数轴上所表示的数的特点得出-5＜a＜-4＜b＜0＜c＜d=4， ，
A、因为 a＜-4，所以 A 选项错误； B、因为 bd＜0，所以 B 选项错误；
C、因为|a|＞|d| ，所以 C 选项正确；
D、因为 b+c＜0，所以此选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据数轴上点的位置关系，即可判断出 a,b,c,d 的大小及正负，进而再根据有理数的乘法法则、加法法则及绝对值的性质即可一一判断得出答案.
3. 【解析】【解答】解：由题意可得： ， 解得 m≤4 且 m≠2，又因 m 为正整数，所以 m 可以为 1,3,4.故答案为：B.
【分析】几个单项式的和就是多项式，其中每一个单项式就是多项式的项，次数最高的项的次数就是多项式的次数，根据定义即可列出混合组，求解即可.
4. 【解析】【解答】解：近似数 9.17×105 精确到千位．

故选 C．
【分析】根据近似数的精确度求解．
5. 【解析】【解答】解：8a3﹣8a2+2a
=2a（4a2﹣4a+1）
=2a（2a﹣1）2 ． 故答案为：C
【分析】观察此多项式的特点：三项都有公因式 2a，因此先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可得出答案。


6. 【解析】【解答】解：由题意可得： ,

解得 x= ,
将 x= 代入方程 y＝ ＋ －3 得出 y=-3,
∴2xy=2× =-15.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，求解得出 x 的值，将 x 的值代入方程即可算出 y 的值
，从而即可解决问题.
7. 【解析】【解答】解：A、原式= ，错误，不符合题意；
B、 是最简分式，正确，符合题意； C、原式= ，错误，不符合题意；； D、原式= ，错误，不符合题意；． 故答案为：B
【分析】当一个分式的分子与分母，除去 1 以外没有其他的公因式，这样的分式叫做最简分式。A 选项中分子与分母有公因式 x，B 选项中分子与分母除 1 以外没有其他公因式，C 选项中分子与分母有公因式 x-2， D 选项中分子与分母有公因式 x+1。
8. 【解析】【解答】解：∵， ， 又∵ 各选项中只有 B 符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据估算无理数大小的方法，估算出、的大小即可做出选择. 9.【解析】
【分析】把等式的右边展开得：x2+mx-15=x2+nx+3x+3n，然后根据对应项系数相等列式求解即可．
【解答】∵x2+mx-15=（x+3)（x+n)，
∴x2+mx-15=x2+nx+3x+3n，
∴3n=-15，m=n+3，
解得 n=-5，m=-5+3=-2． 故选 C．
【点评】本题考查因式分解与多项式的乘法是互为逆运算，根据对应项系数相等列出等式是解本题的关键
．
10. 【解析】【解答】解：将 x=a 代入方程 x2＋x－1＝0
得 a2+a-1=0，即 a2+a=1，


∴ .

故答案为：D.
【分析】根据方程根的概念，将 x=a 代入方程 x2＋x－1＝0 得 a2+a=1，然后根据异分母分式减法法则通分计算后整体代入即可算出答案.
11. 【解析】【解答】解：∵a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2 ，
∴a3−b3−a2b＋ab2−ac2＋bc2＝0，
（a3−a2b）＋（ab2−b3）−（ac2−bc2）＝0，
a2（a−b）＋b2（a−b）−c2（a−b）＝0，
（a−b）（a2＋b2−c2）＝0， 所以 a−b＝0 或 a2＋b2−c2＝0． 所以 a＝b 或 a2＋b2＝c2 ．
故△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 故答案为：C.
【分析】把所给的等式 a3＋ab2＋bc2＝b3＋a2b＋ac2 所有的项都移到方程的左边，然后将左边利用分组分解法分解因式，根据两个因式的乘积为 0，则这两个因式中至少有一个为 0，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
12.【解析】【解答】解：∵（1−x）（1＋x）＝1−x2 ，
（1−x）（1＋x＋x2）＝1＋x＋x2−x−x2−x3＝1−x3 ，
…，
依此类推（1−x）（1＋x＋x2＋…＋xn）＝1−xn＋1. 故答案为：A.
【分析】探索式子规律的题，用多项式乘以多项式法则计算，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
13.【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别为 1、k、4，
∴4-1＜k＜1+4，即 3＜k＜5，
∴，2k−5＞0，k−6＜0，
∴|2k−5|− =2k−5− =2k−5− =2k−5−[−（k−6）]＝3k−11． 故答案为：A.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可列出不等式组，求解得
出 k 的取值范围，再根据 k 的取值范围及二次根式的性质绝对值的意义对代数式进行化简． 14.【解析】【解答】解：∵S1=AB×AD-a2-b(AD-a)=AB×AD-a2-bAD+ab,
S2=AB×AD-a2-b(AB-a)=AB×AD-a2-bAB+ab，
∴S2-S1=AB×AD-a2-bAB+ab-(AB×AD-a2-bAD+ab)=b(AD-AB)=2b.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的面积计算方法及割补法，分别表示出 S1,S2 ， 再根据整式加减法法则即可算出答案
.
二、填空题


15.【解析】【解答】解：∵ ＋|b2－10|＝0 ，
∴ ,
解得 ,
∴a+b= ± －5 .
故答案为： ± －5 .
【分析】根据二次根式的非负性及绝对值的非负性，由两个非负数的和为 0，则这两个数都等于 0 求出
a,b 的值，再代入代数式即可解决问题.
16.【解析】【解答】解：∵代数式 x2−mx＋9 是完全平方式，
∴−m＝±6，
解得：m＝±6， 故答案为：±6.
【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可确定出 m 的值. 17.【解析】【解答】解：原式= =2.
故答案为：2.
【分析】根据 0 指数幂的意义、负指数幂的意义、绝对值的意义、二次根式的性质分别化简，再根据实数加减法法则算出答案.
18. 【解析】【解答】解：∵ m＋ ＝3 ，
∴（ m＋ ）2=9，
∴m2+2+ =9,
∴m2+ =7.
故答案为：7.
【分析】将等式的两边都平方，再根据完全平方公式展开即可得出答案.
19. 【解析】【解答】解：由题意得 ， 解得 x≥3 .
故答案为： x≥3 .
【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不能为 0，列出不等式组，求解即可. 20.【解析】【解答】解：（1）∵ ＝4.098 ， ＝40.98 ，∴a=68800; 故答案为：68800；
（2）∵ ，∴ 4.491.

故答案为：4.491.
【分析】（1）根据被开方数的小数点每移动三位，立方根的小数点就向相同的方向移动一位即可得出 a
的值；
（2）根据被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点就向相同的方向移动一位即可得出答案. 21.【解析】【解答】解：由条件知，x-2018≥0， 所以 x≥2018，|2017-x|=x-2017.
所以 x-2017+ =x， 即 =2017，所以 x-2018=20172 ， 所以 x-20172=2018.
故答案为：2018.
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解得出 x 的取值范围，再根据绝对值的意义化简即
可得出方程 =2017，将方程的两边同时平方即可解决问题.
22. 【解析】【解答】解：如图可知： ， ， ，且 ， 则 ， ， ， ，
则原式 ．
故答案为：b.
【分析】根据数轴上所表示的数的特点得出 b＜c＜0＜a，， 从而根据绝对值的意义去绝对值符号，再合并同类项即可.
三、解答题

23. 【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方运算的法则计算乘方，接着计算括号内的减法，再计算乘法， 最后根据有理数的加减法法则算出答案；
（2） 先根据绝对值的意义、0 指数的意义、负指数的意义及特殊锐角三角函数值分别化简，再计算乘法，最后根据有理数的加减法法则算出答案；
（3） 先根据绝对值的意义、0 指数的意义、有理数乘方的意义及二次根式的性质分别化简，再根据实数加减法法则算出答案.
24. 【解析】【分析】由于此题没有明确的告知 a,b,c 的正负，故需要分 ①当 a，b，c 都是正数时 ， ② 当 a，b，c 都是负数时 ， ③当 a，b，c 中有两个正数 ， ④当 a，b，c 中有一个正数 四种情况考虑， 再分别根据绝对值的意义去绝对值，最后根据有理数的加法法则即可算出答案.
25. 【解析】【分析】因为 4xy2，axyb，−5xy 相加得到的和仍然是单项式，它们 y 的指数不尽相同，所以这几个单项式中有两个为同类项，从而分①axyb 与−5xy 为同类项，②4xy2 与 axyb 为同类项，两种情况考虑即可求出 b 的值，再分别根据这两个式子相加后再加一个式子仍是单项式，说明这两个式子相加得 0 即可求出 a 的值．
26. 【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式及去括号法则分别去括号，再合并同类项化为最简形式，再根据一元二次方程根与系数的关系得出 ab 的值，从而即可解决问题.
27. 【解析】【分析】二次三项式 x2＋mx＋n 有一个因式（x＋5），则一定还有一个因式，一次项系数是 1
，设另一个因式是 x＋a，利用多项式乘法法则展开后，再利用对应项系数相等列出方程组求解即可． 28.【解析】【分析】首先根据分式的值不为 0 判断出 x 不为 0，然后由等式的性质即可得出 x＋ ＝
－1 ，将该市两边同时平方得出 x2＋ = ( －1)2 -2，最后将代数式变形后，整体代入即可求解.

29.【解析】【分析】（1）首先将各个分式的分子分母能分解因式的分别分解因式，再将被减式约分化为最简形式，最后根据同分母分式减法法则算出答案；
（2）解出不等式组的解集，再在解集范围内求出其整数解，接着根据分式有意义的条件判断出 x 的值， 代入（1）化简的结果即可算出答案.
四、应用题

30.【解析】【解答】解：(1) 2m2＋5mn＋2n2 = (m＋2n)(2m＋n) ； 故答案为： (m＋2n)(2m＋n) ；
【分析】（1）根据长方形的面积计算方法即可将该二次三项式分解因式；
（2）据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为 10 厘米 2 列出等式求出 m＋n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．
31.【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
甲车开出 7 小时时的位置为：190−7×（200÷5）＝−90（km）， 流动加油车出发位置为：270−（270−170）÷2×7＝−80（km）； 故答案为：−90，−80；
（2）根据题意得：
当两车同时开出 x 小时时，甲车位置为：190−40x， 流动加油车位置为：−80＋50x；
【分析】（1）根据甲车的位置和时间求出甲车的速度，再用原来的位置减去 7 小时以后的位置，即可求
出甲车开出 7 小时时的位置；
根据 5 小时流动车的位置和 7 小时的位置求出流动车的速度，再根据路程＝速度×时间，即可得出答案；
（2） 根据（1）求出的速度得出 x 小时后的路程，再用原位置减去现在的位置即可得出甲车的位置； 用（1）求出流动车的速度乘以时间求出现在的位置，再加上流动车原来的位置即可得出答案；
（3） 先计算出开出 3 小时甲车的位置和流动加油车的位置，两者比较即可得出答案．




中考数学一轮专题 2 代数式与整式的乘除
一、选择题（共 19 题；共 38 分）
1.a 表示一个一位数，b 表示一个两位数，把 a 放在 b 的左边，得到一个三位数，这个三位数可以表示为（
）
A. ab B. 10a＋b C. 100a＋b D. 100a＋10b
2.下列各式： ， a2b2 ， ，－25， ， ，a2－2ab＋b2.其中单项式的个数有（ ）

A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个3.若 A＝3x2＋5x＋2，B＝4x2＋5x＋3，则 A 与 B 的大小关系是（ ）
A. A＞B B. A＜B C. A≤B D. 无法确定4.下列说法中，正确的是（ ）
A. 不是整式 B. － 的系数是－2，次数是 3
C. 0 是单项式，x＋2 是多项式 D. 多项式 2x2－4y3＋1 是五次三项式
5. 若 A，B 都是 6 次多项式，则 A＋B 是（ ）
A. 6 次多项式 B. 12 次多项式 C. 次数不超过 6 次的多项式 D. 次数不低于 6 次的多项式
6. 若多项式 x2＋3x＝3，则多项式 3x2＋9x－4 的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 若 -2amb4 与 5an+2b2m+n 可以合并一项，则 mn 的值是（ ）

A. 2 B. 0 C. D. 1

8. 两列火车都从 A 地驶向 B 地．已知甲车的速度是 x 千米/时，乙车的速度是 y 千米/时，经过 3 小时，乙车距离 B 地 5 千米，此刻甲车距离 B 地（ ）
A. [3(－x＋y)－5]千米 B. [3(x＋y)－5]千米 C. [3(－x＋y)＋5]千米 D. [3(x＋y)＋5]千米
9. 如图，下列每个图都是由若干个点组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有 n 个点，每个图案的总点数是 S，按此推断 S 与 n 的关系式为（ ）


A. S＝3n
B. S＝3(n－1)
C. S＝3n－1
D. S＝3n＋1
10.下列计算错误的有（
）


①(－ )－3＝8；②( －π)0＝1；③39÷3－3＝3－3；④9a－3·4a5＝36a2；⑤5x2÷(3x)× ＝5x2. A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③⑤

11.若 a＝2b－2，则(a－2b＋1)999＋(2b－a)0 的值为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 无法确定12.若(－5am＋1b2n－1)·(2anbm)＝－10a4b4 ， 则 m－n 的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. －3 D. 3
13. 要使多项式(x2－px＋2)(x－q)不含 x 的二次项，则 p 与 q 的关系是（ ）
A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 乘积为－1 14.计算[(a＋b)2]3·(a＋b)3 的结果是（ ）
A. (a＋b)8 B. (a＋b)9 C. (a＋b)10 D. (a＋b)11

15. 一个正方形的边长增加了 2 ，面积相应增加了 32 ，则原正方形的边长为（ ）
A. B. C. D. 16.已知 a=8131 ， b=2741 ， c=961 ， 则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. a＜b＜c D. b＞c＞a 17.已知 P＝ ，Q＝ ， 那么 P，Q 的大小关系是（ ）
A. P＞Q B. P＝Q C. P＜Q D. 无法比较18.已知 xa＝3，xb＝6，xc＝12，那么下列关系正确的是（ ）
A. a＋b＞c B. 2b＜a＋c C. 2b＝a＋c D. 2a＜b＋c 19.已知 a＋b＝m，ab＝－4，则计算(a－1)(b－1)的结果是（ ）
A. 3 B. m C. 3－m D. －3－m
二、填空题（共 10 题；共 17 分）
20.已知 n 为自然数，代数式 xn＋1－2y3＋1 是三次多项式，则 n 可以取值的个数是 个．
21.若 m，n 互为相反数，则 3(m－n)－ (2m－10n)＝ ．
22.已知关于 x，y 的单项式 A＝3nx3ym ， B＝2mxny2 ， 若 A＋B＝13x3y2 ， 则 A－B＝ ．
23.如果 x2+mx+1=（x+n）2 ， 且 m＞0，则 n 的值是 ．


24. 如果正方形面积是 9x2+6xy+y2（x＞0，y＞0），则这个正方形周长是 ．
25. 若单项式 5x3y2 与一个多项式的积为 20x5y2-15x3y4+70(x2y3)2 ，则这个多项式为 .
26. 已知多项式 2x2-4x-1 除以一个多项式 A，得商式为 2x，余式为 x-1，则这个多项式 A= .
27.已知 xa＝5, xb＝3,则 x3a-2b＝ .
28. 若 3xm+5y2 与 x3yn 的和是单项式，则 nm = .
29. 计算：
（1）98×102＝
（2）31×29=
（3）|-2|＋(－1)2012×(π－3)0－ ＋(－2)－2
三、计算题（共 6 题；共 66 分）

30. 化简
（1）(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2
（2）(y＋2x)(2x－y)＋(x＋y)2－2x(2x－y)
（3）( x－y)7÷(y－x)6 +( x+y)3÷(y+x)2
（4）[（m＋n）（m－n）－（m－n）2＋2n（m－n）]÷（4n）．
31. 根据已知条件求值
（1）已知 xm＝9－4 ， xn＝3－2 ， 求 xm－3n 的值；

（2） 已知 ，求 的值；

（3） 已知 ab＝－1，a＋b＝2，求代数式 ＋ 的值；

（4） 已知 x＋ ＝3，求代数式 x2＋ 的 值 ；
32. 若代数式(2x2＋ax－y＋6)－(2bx2－3x＋5y－1)的值与字母 x 的取值无关，求代数式 a2－2b＋4ab 的值．
33. 一种长方形餐桌的四周可坐 6 人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．

（1） 若把 4 张、8 张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？



（2） 若用餐的人数有 90 人，则需要这样的餐桌多少张？


34. 为了节约用水，某市自来水公司采取以下收费方法：每户每月用水不超过 10 吨，每吨收费 1.5 元；每户每月用水超过 10 吨，超过的部分按每吨 3 元收费 现在已知小明家 2 月份用水 x 吨 (x＞10），请用代数式表示小明家 2 月份应交水费多少元？如果 x=16 ，那么小明家 2 月份应交水费多少元？
35. 李老师刚买了一套 2 室 2 厅的新房，其结构如图 3－3－5 所示(单位：米)．施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室 1 铺上地毯，其余铺地板砖．问：




（1） 他至少需要多少平方米的地板砖？



（2） 如果这种地砖板每平方米 m 元，那么李老师至少要花多少钱？



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】解：∵a 表示一个一位数，b 表示一个两位数，把 a 放在 b 的左边，得到一个三位数，
∴这个三位数为 100a+b.
故答案为：C.
【分析】根据数位的意义，可知把 a 放在 b 的左边，得到一个三位数，而 a 是一个一位数，可得到百位数字为 a，再根据 b 是一个两位数，由此可表示出这个三位数。
2. 【解析】【解答】解：单项式有 ， a2b2 ，-25，一共 3 个.

故答案为：B.
【分析】由一个数字与一个字母的积或一个字母与一个字母的积所组成的代数式叫做单项式(单独的一个数字或字母也是单项式)，据此得出单项式的个数。
3.【解析】【解答】解：∵ A＝3x2＋5x＋2，B＝4x2＋5x＋3
∴A-B=（3x2＋5x＋2）-（4x2＋5x＋3）
=3x2＋5x＋2-4x2-5x-3
=-x2-1
=-（x2+1）
∵当 x 取任意实数，x2≥0，则 x2+1＞0
∴-（x2+1）＜0 即 A-B＜0
∴A＜B.
故答案为：B.
【分析】先列式 A-B，代入后去括号，再合并同类项，可得当 x 取任意实数，x2≥0，则 x2+1＞0，然后利用不等式的性质，就可得到 A，B 的大小关系。
4. 【解析】【解答】解：A、 是单项式，是整式，故 A 不符合题意； B、的系数是 ， 次数是 3，故 B 不符合题意；
C、0 是单项式，x＋2 是多项式，故 C 符合题意；
D、多项式 2x2－4y3＋1 是三次三项式，故 D 不符合题意； 故答案为：C.
【分析】单项式和多项式统称为整式，可对 A 作出判断；根据单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数，可对 B 作出判断；单独的一个数也是单项式，几个单项式的和是多项式，可对 C 作出判断；然后根据多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，可对 D 作出判断。
5. 【解析】【解答】解：∵A，B 都是 6 次多项式，
当 A，B 的 6 次项的系数互为相反数，则 A+B 的次数低于 6 次；

当 A，B 的 6 次项的系数不互为相反数时，则 A+B 的次数是 6 次，
∴A+B 的系数是不超过 6 次的多项式， 故答案为：C.
【分析】由题意可知 A+B 不可能是 12 次多项式，因此排除 B，再分情况讨论：当 A，B 的 6 次项的系数互为相反数；当 A，B 的 6 次项的系数不互为相反数时，即可得出结果。
6. 【解析】【解答】解：∵x2＋3x＝3，
∴3x2＋9x－4=3（x2＋3x）-4=3×3-4=5.
故答案为：C.
【分析】将多项式转化为 3（x2＋3x）-4，再整体代入求值。7.【解析】【解答】解：∵-2amb4 与 5an+2b2m+n 可以合并为一项
∴-2amb4 与 5an+2b2m+n 是同类项，
∴
解之：
∴mn=2×0=0.
故答案为：B.
【分析】由题意可知-2amb4 与 5an+2b2m+n 是同类项，再根据同类项中相同字母的指数相等，建立关于 m， n 的二元一次方程组，解方程组求出 m，n 的值，然后求出 mn 的值。
8. 【解析】【解答】解：∵经过 3 小时，乙车距离 B 地 5 千米，
∴A、B 两地的距离为 3y+5
∴此刻甲车距离 B 地 3y+5-3x=[3(－x＋y)＋5]千米.
故答案为：C.
【分析】抓住题中关键已知条件经过 3 小时，乙车距离 B 地 5 千米，可表示出 A、B 两地的距离，再用 A
、B 的距离减去甲车 3 小时行驶的路程，列式计算即可。
9. 【解析】【解答】解：当 n=2 时 S=3=3（2-1）;
当 n=3 时 S=6=3（3-1）;
当 n=4 时，S=3（4-1）

∴S 与 n 的关系式为 3（n-1）.
故答案为：B.
【分析】观察图形及前三个图形中的 n 和 S 的值之间的规律，可得到 S 与 n 的关系式。
10. 【解析】【解答】解：① ， 故①错误；
② ， 故②正确；
③39÷3-3=39-（-3）=312 ， 故③错误；
④ 9a－3·4a5＝36a2； 故④正确；

⑤原式=5x2× ， 故⑤错误.

计算错误的序号为：①③⑤ 故答案为： ①③⑤.
【分析】利用负整数指数幂的意义可对①作出判断；任何不等于 0 的数的零次幂都等于 1，可对②作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对③作出判断；利用整式乘法和除法法则进行计算， 可对④⑤作出判断，继而可得计算错误的序号。
11. 【解析】【解答】解：∵a＝2b－2
∴a-2b=-2，2b-a=2
∴ (a－2b＋1)999＋(2b－a)0
=（-2+1）999+20
=-1+1=0.
故答案为：B.
【分析】将已知等式转化为 a-2b=-2，2b-a=2，再整体代入求值。12.【解析】【解答】解：∵ (－5am＋1b2n－1)·(2anbm)＝－10a4b4 ，
∴-10am+n+1bm+2n-1=－10a4b4 ，
∴
解之：
∴m-n=1-2=-1.
故答案为：A.
【分析】利用单项式乘以单项式的法则将等式的左边进行化简，然后利用恒等的意义，可建立关于 m，n
的二元一次方程组，解方程组求出 m，n 的值，然后求出 m-n 的值。


13.【解析】【解答】解：(x2－px＋2)(x－q)
=x3-qx2-px2+pqx+2x-2q
=x3-（p+q）x2+(pq+2)x-2q
∵ 多项式(x2－px＋2)(x－q)不含 x 的二次项，
∴-（p+q）=0
∴p+q=0
则 p 与 q 的关系为互为相反数. 故答案为：B.
【分析】利用多项式乘以多项式的法则，先去括号，再合并同类项，然后根据已知多项式不含 x 的二次项，就可得到-（p+q）=0，继而可得 p 与 q 的关系。
14.【解析】【解答】解：[(a＋b)2]3·(a＋b)3=（a+b）6（a+b）3=（a+b）9.
故答案为：B.
【分析】利用幂的乘方，底数不变，指数相乘及同底数幂相乘，底数不变，指数相加，先算乘方，再算乘法可得结果。
15.【解析】【解答】解：设原正方形的边长为 xcm，则面积增加后的正方形的边长为（x+2）cm,
根据题意得：（x+2）2=x2+32

解之：x=7. 故答案为：C
【分析】此题的等量关系为：面积增加后的正方形的边长=原正方形的边长+2，面积增加后的正方形的面积=原正方形的面积+32，设未知数，列方程求出方程的解即可。
16.【解析】【解答】解：∵a=8131=（34）31=3124 b=2741=（33）41=3123；
c=961=（32）61=3122 ．
则 a＞b＞c． 故答案为：A．
【分析】不同底数幂可化为同底数幂，都与 3 有关系，可化为底数为 3 的幂. 17.【解析】【解答】解：
∴P=Q.
故答案为：B.
【分析】解答此题的关键：999=（11×9）99 ， 999=990×99 ， 将 P 的值进行转化，就可得到 P、Q 的大小关系。
18. 【解析】【解答】解：∵ xa＝3，xb＝6，
∴xb＝2×3=2xa
∴2=xb÷xa=xb-a ，
∵xc＝12
∴xc＝22×3
∴xc＝（xb-a）2×xa=x2b-a
∴c=2b-a 即 a+c=2b
故答案为：C.
【分析】由 xa＝3，xb＝6，可推出 2=xb-a ， 再将 xc＝12 转化为 xc＝22×3，由此可得 xc＝x2b-a ， 继而可得到 a，b，c 之间的数量关系。
19. 【解析】【解答】解：(a－1)(b－1)
=ab-a-b+1
=ab-（a+b）+1
=-4-m+1=-3-m.
故答案为：D.
【分析】利用去括号法则将(a－1)(b－1)转化为 ab-（a+b）+1，再整体代入即可求解。二、填空题
20. 【解析】【解答】解： xn＋1－2y3＋1 是三次多项式
∴ 当 n+1=0 解之：n=-1 当 n+1=3
解之：n=2； 当 n+1=2

解之：n=1； 当 n+1=1， 解之：n=0，
∵n 为自然数，
∴n 的值可以是 2，1，0，一共 3 个数， 故答案为：3.
【分析】根据代数式 xn＋1－2y3＋1 是三次多项式，就可得到 n+1 的值可能为 0，1，2，3，分别求出 n 的值，再由 n 为自然数，可得到符合题意的 n 的值。
21. 【解析】【解答】解：∵m，n 互为相反数，
∴m+n=0，
∵ 3(m－n)－ (2m－10n) =3m-3n-m+5n=2m+2n=2（m+n）
∴原式=2×0=0.
故答案为：0.
【分析】利用互为相反数的两数之和为 0，可得到 m+n=0，再将代数式进行化简，可转化为 2（m+n）， 然后整体代入求值。
22. 【解析】【解答】解：∵ A＋B＝13x3y2 ，
∴n=3 且 m=2
∴A=9x3y2 ， B＝4x3y2 ，
∴A-B=9x3y2-4x3y2=5x3y2.
故答案为：5x3y2.
【分析】由题意可知 A，B 两单项式是同类项，即可求出 m，n 的值，即可得到两单项式，然后求出 A 与B 的差。
23.【解析】【解答】解：∵x2+mx+1=（x±1）2=（x+n）2 ，

∴m=±2，n=±1，
∵m＞0，
∴m=2，
∴n=1，
故答案为：1．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，即可确定 n 的值．本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
24. 【解析】【解答】解：∵ 正方形面积是 9x2+6xy+y2=（3x+y） 2 ，
∴这个正方形的边长为（3x+y）
∴正方形的周长为 4（3x+y）=12x+4y.
故答案为：12x+4y.
【分析】利用完全平方公式将正方形的面积转化为（3x+y） 2 ， 即可得到正方形的边长，然后求出此正方形的周长即可。

25. 【解析】【解答】解：由题意得： [20x5y2-15x3y4+70(x2y3)2]÷5x3y2
=[20x5y2-15x3y4+70x4y6]÷5x3y2
=4x2-3y2+14xy4.
故答案为：4x2-3y2+14xy4.
【分析】根据这个多项式=积÷已知单项式，先列式，再算乘方运算，然后利用多项式除以单项式的法则进行计算，可求出这个多项式。
26. 【解析】【解答】解：由题意得： A=[（2x2-4x-1）-（x-1）]÷2x
=（2x2-4x-1-x+1）÷2x
=（2x2-5x）÷2x
= .
故答案为： .
【分析】由题意可知除式 A=（被除式-余式）÷商，先列式，再利用去括号法则和整式的加减法法则进行计算，然后利用多项式除以单项式的法则化简即可。
27. 【解析】【解答】解： x3a-2b＝ x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2
∵ xa＝5, xb＝3
∴原式=53÷32= .

故答案为： .
【分析】根据 xm-n=xm÷xn（x≠0，m，n 为正整数），xmn=（xm）n=（xn）m ， 先将原式转化为
（xa）3÷（xb）2 ， 然后代入求值。
28. 【解析】【解答】解： ∵ 3xm+5y2 与 x3yn 的和是单项式
∴ 3xm+5y2 与 x3yn 是同类项，
∴m+5=3，n=2
解之：m=-2，n=2
∴nm=2-2= .
故答案为： .
【分析】由题意可知这两个单项式可以合并，可得它们是同类项，再根据同类项的相同字母的指数相等， 可得到关于 m，n 的方程，解方程求出 m，n 的值，然后利用负整数指数幂的计算方法进行求解。
29.【解析】【解答】解：（1）98×102=（100-2）×（100+2）
=1002-22=10000-4=9996；
（2）31×29=（30+1）（30-1）
=302-12=900-1=899；
【分析】（1）观察两数的特点：它们与 100 相差 2，因此将原式转化为（100-2）×（100+2），再利用平

方差公式进行计算。
（2） 观察两数的特点：它们与 30 相差 1，因此将原式转化为（30+1）（30-1），再利用平方差公式进行计算。
（3） 此题的运算顺序：先算乘方运算（ （a≠0，n 为正整数）），同时化简绝对值，再算乘法运算，然后算加减法。
三、计算题

30. 【解析】【分析】（1）利用平方差公式、单项式乘以多项式及单项式除以单项式的法则进行计算，再合并同类项。
（2） 利用平方差公式、完全平方公式及单项式乘以多项式的法则进行计算，再合并同类项。
（3） 利用（y-x）6=（x-y）6 ， 分别将 x-y 和 x+y 看着整体，利用同底数幂相除，底数不变，指数相减， 先化简，再合并同类项。
（4） 先利用整式乘法运算的法则，将括号里的运算进行化简，再利用多项式除以单项式的法则进行计算
，可得结果。
31. 【解析】【分析】（1）利用幂的逆运算法则将原式转化为 xm÷(xn)3 ， 再代入计算，即可求出结果。
（2） 先将代数式进行化简转化为 x2-5x+1，再整体代入求值。
（3） 先将分式进行通分，再利用完全平方公式将分子进行配方，然后整体代入求值。
（4） 将原式加上 2 减去 2，转化为完全平方公式，然后整体代入求值。
32. 【解析】【分析】先去括号（去括号注意：括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号
。再合并同类项（同类项才能合并），由已知代数式的值与字母 x 的取值无关，则 x 的系数和 x2 的系数为0，建立关于 a，b 的方程组，解方程组求出 a，b 的值，然后将 a，b 的值代入代数式进行计算即可求解。
33. 【解析】【分析】（1） 根据凳子的摆放规律：一张方桌坐（2+4）个人；2 张方桌拼接，则可以坐（2×4+2
）个人；3 张方桌拼接，则可以坐（3×4+2）个人，观察变量的规律，可得到 x 张方桌拼接可以坐（4x+2） 个人，将 x=4 代入可求出结果。
（2）根据用餐人数=90，建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值即可。



34. 【解析】【分析】抓住关键的已知条件：每户每月用水不超过 10 吨，每吨收费 1.5 元；每户每月用水超过 10 吨，超过的部分按每吨 3 元收费，再由小明家用水超过 10 吨，就可列出小明家用水 x 吨所需交的水费；再将 x=16 代入计算可求解。
35. 【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：施工方已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖， 因此可得总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室 1 的面积即是所铺地板砖的面积，再根据图中的相关数据先列式，再化简可得结果.
（2）利用铺地板砖的面积×地砖的单价，列式即可。




中考数学一轮专题 3 因式分解
一、选择题（共 10 题；共 20 分）
1. 若 4x2－2(k－1)x＋9 是完全平方式，则 k 的值为（ ）
A. ±2 B. ±5 C. 7 或－5 D. －7 或 5
2. 如果 257＋513 能被 n 整除，则 n 的值可能是（ ）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
3.已知 a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，则（ ）
A. a＝1，b＝2 B. a＝－1，b＝2 C. a＝1，b＝－2 D. a＝－1，b＝－2
4. 要在二次三项式 x2＋（ ）x－6 的括号中填上一个整数，使它能按公式 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)分解因式，那么这些数只能是（ ）
A. 1，－1 B. 5，－5 C. 1，－1，5，－5 D. 以上答案都不对5.把多项式 x2＋ax＋b 分解因式，得(x＋2)(x－3)，则 a，b 的值分别是（ ）
A. a＝1，b＝6 B. a＝－1，b＝－6 C. a＝－1，b＝6 D. a＝1，b＝－6 6.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A. x(a－b)＝ax－bx B. x2－ ＝(x＋ )(x－ )
C. x2－4x＋4＝(x－2)2 D. ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c 7.多项式 m2－m 与多项式 2m2－4m＋2 的公因式是（ ）
A. m－1 B. m＋1 C. m2－1 D. (m－1)2 8.下列各式中，不能分解因式的是（ ）
A. 4x2＋2xy＋ y2 B. 4x2－2xy＋ y2 C. 4x2－ y2 D. －4x2－ y2 9.已知多项式 4x2－(y－z)2 的一个因式为 2x－y＋z，则另一个因式是（ ）

A. 2x－y－z B. 2x－y＋z C. 2x＋y＋z D. 2x＋y－z 10.若多项式 x2＋px＋12 可分解为两个一次因式的积，则整数 p 的可能取值的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题（共 5 题；共 5 分）
11.分解因式：x2＋2x(x－3)－9＝ ；－3x2＋2x－ ＝ ．
12.若 x2－4y2＝－32，x＋2y＝4，则 yx＝ ．
13.若 x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则 2x＋3y 的值为 ．
14.若 ab2＋1＝0，则－ab(a2b5－ab3－b)的值为 ．
15.已知 a2＋a＋1＝0，则 1＋a＋a2＋a3＋…＋a8 的值为 ．
三、解答题（共 6 题；共 30 分）
16.已知 y(2x＋1)－x(2y＋1)＝－3，求 6x2＋6y2－12xy 的值．

17.已知 P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－1，比较代数式 P，Q 的大小．
18.已知 x2＋y2＋6x＋4y＝－13，求 yx 的值．
19.已知 x＝156，y＝144，求代数式 x2＋xy＋ y2 的值．
20.已知 a－2b= ，ab=2，求－a4b2＋4a3b3－4a2b4 的值.
21.若|x－2|＋x2－xy＋ y2＝0，求 x，y 的值．
四、简答题（共 3 题；共 20 分）
22. 利用因式分解计算或说理：
（1）523-521 能被 120 整除吗？
（2）817-279-913 能被 45 整除吗？
23. 已知关于 x 的多项式 3x2＋x＋m 因式分解后有一个因式是 3x－2，求 m 的值．
24. 在分解因式 x2＋ax＋b 时，小明看错了 b，分解结果为(x＋2)(x＋4)；小王看错了 a，分解结果为(x－1)(x－
9)，求 ab 的值．



答案解析部分

一、选择题

1.【解析】【解答】解：∵ 4x2－2(k－1)x＋9 =（2x±3）2 ，
4x2－2(k－1)x＋9 =4x2±12x＋9 ，
∴2(k－1)=±12， 解得 k=7 或-5. 故答案为：C.

【分析】根据原式为完全平方式列式，根据 x 项系数相等列方程求解即可. 2.【解析】【解答】 解：257＋513
=（52）7+513
=514+513
=513(5+1)
=513×6，
=30×512,
∴n 的值可能是 30,
故答案为：B.


【分析】先提取公因数，再根据乘法交换律变形，得出一个因数为 30，则可解答. 3.【解析】【解答】解：∵ a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，
∴ a2＋2a＋1+b2－4b＋4＝0，
∴（a+1）2+(b-2)2=0,
∴a+1=0, b-2=0,
∴a=-1, b=2,
故答案为：B.


【分析】先配方，因左边是两个完全平方式，根据非负数之和等于 0，则每项等于 0 列式求出 a、b 即可. 4.【解析】【解答】解：① x2＋（-1+6 ）x+(－1 )×6=（x-1）(x+6),
∴a=-1, b=6,
∴a+b=-1+6=5;
② x2＋（-6+1 ）x+(－6 )×1=（x+1）(x-6),
∴a=1, b=-6,
∴a+b=1+(-6)=-5；
③ x2＋（-2+3 ）x+(－2 )×3=（x-2）(x+3),
∴a=-2, b=3,
∴a+b=-2+3=1;

④ x2＋（-3+2 ）x+(－3 )×2=（x-3）(x+2),
∴a=-3, b=2,
∴a+b=-3+2=-1;
综上，共有四个答案. 故答案为：C.

【分析】根据题意，-6 可以分成两个整数乘积，有四种形式，每种形式 a+b 都有一个值，故有四种答案. 5.【解析】【解答】解：由题意得： x2＋ax＋b=(x＋2)(x－3) ，
∴ x2＋ax＋b= x2-x-6 ，
∴a=-1, b=-6.
故答案为：B.


【分析】根据题意列等式，再将右边展开，比较各项系数，即可得出 a、b 值.
6.【解析】【解答】解：A、∵ax－bx 不是几个因式连乘积的因式，不是因式分解，不符合题意；
B、∵ x2－ 是分式，不是整式，不符合题意；
C、 x2－4x＋4＝(x－2)2 是把一个多项式分成几个因式连乘积的形式，是因式分解； D、 x(a＋b)＋c 不是几个因式连乘积的因式，不是因式分解，不符合题意.
故答案为：C.


【分析】因式分解是把一个多项式分成几个因式连乘积的形式，据此逐项分析即可判断. 7.【解析】【解答】解：∵ m2－m =m(m-1),
2m2－4m＋2=2(m2-2m+1) =2(m-1)2,
∴公因式为：m-1.
故答案为：A.


【分析】分别将两式分解因式，再找出它们的公因式即可.
8.【解析】【解答】解：A、 4x2＋2xy＋ y2 =（2x+ y）2, 能分解因式，不符合题意；
B、 4x2－2xy＋ y2 =（2x- y）2, 能分解因式，不符合题意； C、 4x2－ y2 =（2x- y）(x+ y)，能分解因式，不符合题意； D、 －4x2－ y2 ，不能分解因式，不符合题意.
故答案为：D.



【分析】分别根据公式法把每项分解因式，看能否分解因式即可判断. 9.【解析】【解答】解： 4x2－(y－z)2 =（2x）2－(y－z)2
=(2x-y+z)(2x+y-z).

∴另一个因式为：2x+y-z.
故答案为：D.
【分析】根据平方差公式分解因式，由分解的结果，即可找出另一个因式. 10.【解析】【解答】解： ∵12=1×12=(-1)(-12)=2×6=(-2)×(-6)=3×4=(-3)×(-4), 故 P=±13，±8，±7.
∴p 可取 6 个数. 故答案为：D.

【分析】把 12 分解因数，有六种形式，可知 p 的值相应也有 6 个. 二、填空题
11.【解析】【解答】解： x2＋2x(x－3)－9
＝x2－9+2x(x-3)
=(x+3)(x-3)+2x(x-3)
=(x-3)(x+3+2x)
=(x-3)(3x+3)
=3(x+1)(x-3)；
－3x2＋2x－
=- (9x2-6x+1)
=- (x-3)2.
故答案为： 3(x＋1)(x－3) 和 － (3x－1)2 .

【分析】对于 x2＋2x(x－3)－9，先分组，再用平方差公式将前两项分解，然后用提取公因式法分解即可
；对于－3x2＋2x－ 提取公因数- ， 然后用完全平方公式继续分解即可. 12.【解析】【解答】解： x2－4y2＝－32，
∴（x+2y）(x-2y)=-32,
∴4(x-2y)=-32,
∴x-2y=-8,

∴
解得
,
,



∴ yx＝3-2= .
故答案为： .



【分析】先将左式分解因式，求出 x-2y 的值，然后列方程组，求出 x、y 的值，于是 yx 的值可求. 13.【解析】【解答】解：∵ x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，
x2－4x＋4＋y2+6y＋9＝0，
∴(x-2)2+(y+3)2=0,
∴x-2=0, y+3=0,
∴x=2, y=-3,
∴2x+3y=2×2+3×(-3)=-5.
故答案为：-5.


【分析】先把左式化成两个完全平方式的和，根据非负数之和等于 0，则每个非负数等于 0 列式求出 x、y, 代入原式求值即可.
14.【解析】【解答】解： ∵ab2＋1＝0，
∴ab2=-1,
∴ －ab(a2b5－ab3－b)
=-ab2(a2b4-ab2-1)
=-(-1)(1-(-1)-1)
=1.


【分析】先求出 ab2 的值，再把原式分解因式，然后把 ab2 的值代入计算求值即可. 15.【解析】【解答】解： 1＋a＋a2＋a3＋…＋a8
= （1＋a＋a2）+a3（1＋a＋a2）+a6（1＋a＋a2）
=（1＋a＋a2）(1+a3+a6)
=0×(1+a3+a6)
=0.
故答案为：0.


【分析】先用分组分解法分解因式，因为有公因式 1＋a＋a2 ， 则得出其结果为 0.
三、解答题

16. 【解析】【分析】先把已知式展开化简得出 x－y＝3， 再把原式分解因式，最后代值即可求出结果.
17. 【解析】【分析】用作差法比较大小，先把 P－Q 表示出来，然后配方，根据完全平方式的值大于等于
0，可得 P－Q 大于等于 1，则可得出 P>Q.
18. 【解析】【分析】把已知式化成两个完全平方式之和，于是根据非负数之和等于 0，则每个非负数等于
0 列式求出 x、y 的值，代入 yx 中即可求出结果.
19. 【解析】【分析】先提取 ， 再用公式法分解因式，最后把 x、y 的值代入即可求出结果.
20. 【解析】【分析】首先提取公因式，然后再利用完全平方公式将所求的代数式进行因式分解，最后将值代入得出答案.

21. 【解析】【分析】先把左边的三项化成完全平方的形式，因为左边是两个非负数之和，则每个非负数等于 0 其和才等于 0，据此列式求出即可求出 x、y 的值.
四、简答题

22. 【解析】【解答】（1） 在 523 和 521 中可以先提取 520 ， 则 523-521=520（53-5）=520×120 ，
∴能被 120 整除.
（2） ∵45 可以分解为 5×3×3，
故只需说明 817-279-913 能分解为 5×3×3 即可，
∵817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326×（32-3-1）=326×5=324×32×5=324×45，
∴能被 45 整除.

【分析】（1）先提取公因数，再计算括号内的数，因为有一个因数是 120，即可得出结论；
（2）把三项都统一化成成以 3 为底的乘方的形式，然后提取公因数，再计算括号内的数，因为能凑出一个公因数是 45，即可得出结论；
23. 【解析】【分析】因为有一个因式为 3x－2 ，可得当 3x－2=0，即 x= 时，多项式 3x2＋x＋m 也等于
0，据此列式求出 m 即可.
24. 【解析】【分析】因为小明看错了 b，而未看错 a，则根据小明的分解结果，列恒等式可求 a 值；而小王看错了 a，而未看错 b，则根据小明的分解结果，列恒等式可求 b 值；最后将 a、b 值代入 ab 中即可求出结果.




中考数学一轮专题 4 分式与二次根式
一、选择题（共 14 题；共 28 分）
1. 下列各式 ， ， ， ， ，x＋ 中，是分式的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个2.与分式 相等的是（ ）
A. B. C. － D. －
3. 已知分式 的值为 0，那么 x 的值是（ ）
A. －1 B. －2 C. 1 D. 1 或－2
4. 如果分式 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大 3 倍 B. 不变 C. 缩小 3 倍 D. 缩小 6 倍
5. 化简 的结果是（ ）
A. x－1 B. x＋1 C. 1－x D. －x－1 6.解分式方程 － ＝3，去分母后所得的方程是（ ）
A. 1－2(3x＋1)＝3 B. 1－2(3x＋1)＝2x C. 1－2(3x＋1)＝6x D. 1－6x＋2＝6x
7. 已知 a A. xy C. x＝y D. 无法确定8.关于 x 的方程 =2+ 无解,则 m 的值为( )
A. -5 B. -8 C. -2 D. 5

9. 要使式子 有意义，a 的取值范围是（ ）
A. a≠0 B. a＞－2 C. a＞－2 或 a≠0 D. a≥－2 且 a≠0
10. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D. 11.把代数式(a－1) 的 a－1 移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A. － B. C. D. －


12.若 ＋2 ＋x ＝10，则 x 的值等于（ ）
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
13. 若 x＜2，化简 ＋|3－x|的正确结果是（ ）
A. －1 B. 1 C. 2x－5 D. 5－2x
14. 已知 a＋ ＝ ，则 a－ 的值为（ ）
A. ±2 B. 8 C. D. ±
二、填空题（共 7 题；共 7 分）
15. 方程 ＝ － 的解是 ．
16. 一项工程需在规定日期内完成，如果甲队单独做，就要超规定日期 1 天，如果乙队单独做，就要超过规
定日期 4 天，现在由甲、乙两队共做 3 天，剩下的工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为 天．
17. 如果 x＋ ＝3，则 的值为 ．
18. 若|a－b＋1|与 互为相反数，则 a＝ ，b＝ ．

19. 河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1∶2，则 AB 的长是 ．



20.若 ＋ ＝ ＋|2c－6|，则 bc＋a 的值为 ．
21.若实数 m 满足|4－m|＋ ＝m，则 m＝ ．
三、解答题（共 6 题；共 37 分）

22.解方程：

（1）

＋
＝1＋ ；
（2）

23.先化简(x－
－
＝ .
)÷(1＋ )，再从－4

24.已知 x＝ ＋1，y＝ －1，求下列各式的值：
（1）2x2＋5xy＋2y2;
（2）x3y＋xy3.
25.已知：x，y 为实数，且 y＜ ＋ ＋3，化简：|y－3|－ .

26. 已知：x＝ ，y＝ ，求 的值．
27. 从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为 180 千米，乘坐普通列车的路程为 240 千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的 3 倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了 2 小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？



答案解析部分

一、选择题

1.【解析】【解答】解：根据分式的定义， ， ， ， 是分式，所以这些代数式中分式的个数是 4.
故答案为：D.
【分析】此题考查分式的定义：形如 ， A、B 是整式，B 中含有字母且 B≠0 的式子叫做分式. 其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 根据分式的定义逐一判断即可. 这里注意 的分母 π 是无理数而不是含字母的整式，故 不是分式.
2.【解析】【解答】解： = = .

故答案为：B.
【分析】本题考查分式的基本性质. 分式的分子、分母及本身的符号，任意改变其中两个，分式的值不变
.

3. 【解析】【解答】解：∵分式 的值为 0，

∴(x-1)(x+2)=0，且 x2-1≠0， 解得 x=-2.
故答案为：B.
【分析】分式的值为 0，要同时满足两个条件：①分子等于 0；②分母不等于 0. 据此列出方程和不等式求解即可.
4. 【解析】【解答】解：把分式 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，
则 = = ，
∴分式的值缩小 3 倍. 故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质化简，与原分式比较即可.

5.【解析】【解答】解： = =-(x+1)=-x-1.
故答案为：D.
【分析】本题考查分式的约分，把分式的分子分解因式，然后与分母约分，即可得到答案. 6.【解析】【解答】解：方程 左右两边同时乘以 2x，得：
1-2(3x+1)=6x.

故答案为：C.
【分析】本题考查解分式方程，找到最简公分母 2x，两边同时乘以 2x，化简即可. 注意等号右边 3 不要漏乘 2x.
7. 【解析】【解答】解：∵a ∴(a-b)2>0，
即 a2-2ab+b2>0，
左右两边同时加 4ab，得： a2-2ab+b2+4ab>4ab，
即 a2+2ab+b2>4ab，
∴(a+b)2>4ab.
∵a ∴a+b<0，
不等式(a+b)2>4ab 左右两边同时除以(a+b)，得：
，
左右两边同时除以 2，得：

即 x 故答案为：A.
【分析】本题要比较的代数式中含(a+b)，2ab 等，所以考虑应用完全平方公式. 由 a0，进而变形为(a+b)2>4ab. 由已知 a4ab 左右两边同时除以负数(a+b)，不等号方向改变，得到 ， 进而推出 ， 得解.
8. 【解析】【解答】解：去分母得：3x-2=2（x+1）+m
整理得：3x-2=2x+2+m x=4+m
∵原方程无解
∴x+1=0
∴x=-1
∴-1=4+m
解之：m=-5 故答案为：A
【分析】先将原方程去分母转化为整式方程，求出 x=4+m，根据原方程无解求出 x=-1，再建立关于 m 的方程求解，即可得出 m 的值
9. 【解析】【解答】解：要使 有意义， 则 a+2≥0 且 a≠0，
解得：a≥－2 且 a≠0.
故答案为：D.

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0；分式有意义的条件：分母不为 0，列出不等式，求解即可.
10.【解析】【解答】解：因为：A、 = ； B、 =2 ；
D 、 = |b|；
所以这三项都可化简，不是最简二次根式． 故选：C．
【分析】A 选项的被开方数中含有分母；B、D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式．
所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求．
11. 【解析】【解答】解：= = .
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的概念和性质进行化简即可. 正确理解二次根式的性质和化简及准确运用是解题关键.
12. 【解析】【解答】解：原方程可化为：， 整理得：，
∴，
∴2x=4，
x=2.
故答案为：A.
【分析】先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并求解即可. 注意解无理方程时需要两边平方，注意检验算术平方根的结果是否为非负数.
13. 【解析】【解答】解：∵x<2，
∴|x-2|=2-x，|3-x|=3-x，
原式=|x-2|+|3-x|=2-x+3-x=5-2x. 故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质，绝对值的性质，先化简代数式，再合并同类项即可. 14.【解析】【解答】解：∵ ，
∴ = = .
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式的变形将 化成 的形式，再将已知 代入即可. 解题的关键是掌握完全平方公式的几种变形形式.
二、填空题

15. 【解析】【解答】解：方程左右两边同时乘以最简公分母 x(x-2)，得x2=(x+4)(x-2)+2，
x2=x2-2x+4x-8+2， x2=x2+2x-6， 2x=6，
x=3.
检验：把 x=3 代入最简公分母 x(x-2)中，x(x-2)≠0，
∴x=3 是原方程的解. 故答案为：x=3.
【分析】把分母 2x-x2 分解因式为 x(2-x)，找到方程的最简公分母 x(x-2)，两边同乘，化为整式方程进一步求解即可. 注意分式方程需要检验.
16. 【解析】【解答】解：设工作总量为 1，规定日期为 x 天，则甲队单独做需(x+1)天，乙队单独做需(x+4) 天，
根据题意列方程得：

，

解得：x=8，
经检验 x=8 是分式方程的解. 故答案为：8.
【分析】首先设工作总量为 1，未知的规定日期为 x 天，由工作总量=工作时间 工作效率这个等量关系列方程求解即可. 此题注意列出的方程是分式方程，不要忘记检验.
17. 【解析】【解答】解：∵，
∴， 即，
∴.
由已知 x≠0，
∴原式= = = .
故答案为： .
【分析】由得， 即， 把它整体代入原式，计算即可得解. 解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用及利用分式的基本性质对分式变形.
18.【解析】【解答】解：∵|a-b+1|≥0，≥0， 且|a-b+1|与 互为相反数，
∴ ，


解得： .

故答案为：-2；-1.
【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，|a-b+1|与互为相反数，只能是|a-b+1|与
都为 0，据此列出方程组，即可求解.
19. 【解析】【解答】解：∵迎水坡 AB 的坡比是 1∶2，BC＝5，
∴ ，
解得：AC=10，
∴ .
故答案为：米.
【分析】利用坡比的定义求出 AC 的长，再根据勾股定理求出 AB 的长. 此题考查解直角三角形的应用， 准确求出 AC 的长是解题关键.
20. 【解析】【解答】解：由题干知：a-5≥0，且 5-a≥0，
∴a=5，
∴，
∴b+2=0，2c-6=0， 解得：b=-2，c=3，
∴bc+a=(-2)3+5=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据二次根式的意义：被开方数是非负数，则 a-5≥0，且 5-a≥0，进而求得 a 的值，再化简题干中的式子为， 再根据二次根式及绝对值的非负性，只能是 b+2=0，2c-6=0，进而求得b、c 的值，代入计算即可.
21. 【解析】【解答】解：根据题意得：m-7≥0，
即 m≥7，
化简 ， 得：
，
即：，
∴m-7=16，
∴m=23.
故答案为：23.


【分析】先根据二次根式有意义的条件得 m-7≥0，即 m≥7，再根据绝对值的性质得到， 即：， 进而求得 m 的值.
三、解答题

22. 【解析】【分析】（1）先确定最简公分母是(x+2)(x-2)，方程左右两边同时乘以(x+2)(x-2)，化成整式方程，解方程即可；（2）先确定最简公分母是(x+3)(x-3)，方程左右两边同时乘以(x+3)(x-3)，化成整式方程， 解方程即可. 此题考查解分式方程，注意不要忘记检验，使最简公分母为 0 的 x 的值不是原分式方程的解. 23.【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简分式，再代入合适的整数 x 的值求值. 本题注意，根据分式有意义的条件，所有分式的分母不能为 0，所以 x 不能取-1，1，0.
24. 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的变形，把 2x2＋5xy＋2y2 化为 2(x＋y)2＋xy，再把 x、y 的值代入即可；（2）先把 x3y＋xy3 分解因式，变形为 xy[(x＋y)2－2xy]，再把 x、y 的值代入即可. 本题解题关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式. 也可把(x＋y)、xy 先计算出来，整体代入也可.
25. 【解析】【分析】先由二次根式有意义的条件，判断出 x-1≥0 且 1-x≥0，得出 x=1. 把 x=1 代入题中所给不等式，得到 y<3，显然 y<4，再利用绝对值的性质及二次根式的性质进行化简即可.
26. 【解析】【分析】先把 x、y 分别分母有理化，得到， .将原分式化简得到
， 将 x、y 的值分别代入，化简求值即可. 也可利用， 计算出 xy 及 x+y、x-y 的值， 再整体代入也可. 本题考查二次根式的化简，分式的化简，熟练掌握对应的性质，准确计算是关键.
27. 【解析】【分析】设普通列车平均速度每小时 x 千米，则高速列车平均速度每小时 3x 千米，根据题意
可得，坐高铁走 180 千米比坐普通车 240 千米少用 2 小时，据此列方程求解．




中考数学一轮专题 5 概率统计
一、选择题（共 6 题；共 12 分）
1. “若 a 是实数，则|a|≥0”这一事件是（ ）

A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件2.下列说法正确的是( )
A. 为了解我国中学生课外阅读的情况,应采用全面调查的方式
B. 一组数据 1,2,5,5,5,3,3 的中位数和众数都是 5
C. 抛掷一枚硬币 100 次,一定有 50 次“正面朝上”
D. 甲组数据的方差是 0.03,乙组数据的方差是 0.1,则甲组数据比乙组数据稳定
选修课
A
B
C
D
E
F
人数
40
60

100



3. 某学校将为七年级学生开设 A，B，C，D，E，F 共 6 门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表(不完整)



根据图表提供的信息，下列结论错误的是( )
A. 这次被调查的学生人数为 400 人 B. 扇形统计图中 E 部分扇形的圆心角为 72°
C. 被调查的学生中喜欢选修课 E，F 的人数分别为 80，70 D. 喜欢选修课 C 的人数最少
4. 测试五位学生的“一分钟跳绳”的成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是( )
A. 方差 B. 标准差 C. 中位数 D. 平均数
5. 如图，在平面直角坐标系中，点 A1 ， A2 在 x 轴上，点 B1 ， B2 在 y 轴上，其坐标分别为 A1(1，0)，A2(2
，0)，B1(0，1)，B2(0，2)，分别以 A1 ， A2 ， B1 ， B2 其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是( )




A. B. C. D.

6. 如图，将一块菱形 ABCD 硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上 AE⊥BC 于 E，CF⊥AD 于 F，sinD= ． 若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（共 5 题；共 6 分）
7. 在一个不透明的盒子中装有 n 个球,它们除了颜色之外其他都没有区别,其中含有 3 个红球,每次摸球前,将盒中所有的球摇匀,然后随机摸出一个球,记下颜色后再放回盒中.通过大量重复试验,发现摸到红球的频率稳定在 0.03,那么可以推算出 n 的值大约是 .
8. 一组数据 2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是 3，则这组数据的方差是 ．
9. 两组数据 m，6，n 与 1，m，2n，7 的平均数都是 6，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的中位数为 ．

10. 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC，∠ABC＝60°.若其四边满足：长度的众数为 5，平均数为
，上、下底之比为 1∶2，则 BD＝ ．

11. 有 9 张卡片,分别写有 1~9 这九个数字(卡片上的数字互不相同),将它们背面朝上洗匀后,任意抽出一张,记卡片上的数字为 a,则使关于 x 的不等式组 有解的概率为 .
三、解答题（共 3 题；共 45 分）

12. 在第 23 个世界读书日前夕我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间(用 t 表示,单位:小时),采用随机抽样的方法进行问卷调查,调查结果按 0≤t<2,2≤t<3,3≤t<4,t≥4 分为四个等级,并依次用 A,B,C,D 表示.根据调查结果统计的数据绘制成了如图 K32-5 所示的两幅不完整的统计图,由图中给出的信息解答下列问题:

（1） 求本次调查的学生人数;
（2） 求扇形统计图中等级 B 所在扇形的圆心角度数,并把条形统计图补充完整;
（3） 若该校共有学生 1200 人,试估计每周课外阅读时间满足 3≤t<4 的人数.
13. 某运动品牌对第一季度 A，B 两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：





（1） 一月份 B 款运动鞋的销售量是 A 款的 ，求一月份 B 款运动鞋销售了多少双？

（2） 第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额(销售额＝销售单价×销售量)．
（3） 结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议．
14. 有有三张正面分别写有数字－2，－1，1 的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为 x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为 y 的值，两次结果记为(x，y)．
（1） 用树状图或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果；
（2） 求使分式 ＋ 有意义的(x，y)出现的概率；
（3） 化简分式 ＋ ，并求使分式的值为整数的(x，y)出现的概率．



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【分析解答】

因为数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值， 因为 a 是实数，
所以|a|≥0，此事件为必然事件。故选：A．


2. 【解析】【解答】解：A、为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取抽样调查的方式，故选项 A 错误， B、一组数据 1、2、5、5、5、3、3 的中位数和众数分别是 3、5，故选项 B 错误，
C、投掷一枚硬币 100 次，可能有 50 次“正面朝上”，但不一定有 50 次“正面朝上”，故选项 C 错误， D、若甲组数据的方差是 0.03，乙组数据的方差是 0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故选项 D 正确. 故答案为：D.
【分析】全面调查与抽样调查适用的范围、中位数及众数的定义、概率的意义、方差的意义即可一一判断得出答案.
3. 【解析】【解答】解：A、被调查的学生人数为 60÷15%＝400（人），∴选项 A 正确；
B 、 扇 形 统 计 图 中 D 的 圆 心 角 为 ×360°＝90°，∵ ×360°＝36°， 360°×（17.5%＋15%＋12.5%）＝162°，∴扇形统计图中 E 的圆心角＝360°−162°−90°−36°＝72°，
∴选项 B 正确；
C、∵400× ＝80（人），400×17.5%＝70（人），∴选项 C 正确；
D、∵12.5%＞10%，∴喜欢选修课 A 的人数最少，∴选项 D 错误. 故答案为：D.
【分析】根据统计图提供的信息可知：选修 B 类的学生人数是 60 人，其所占的百分比是 15％，故用选修B 类的学生人数除以其所占的百分比就可算出本次调查的总人数，从而即可判断 A；用 360°乘以选修 D 类学生所占的百分比即可算出扇形统计图中 D 类扇形的圆心角的度数，同理算出扇形统计图中 A，B,C,F 类扇形的圆心角的度数，用 360°分别减去 A,B,C,D,F 各个扇形的圆心角的度数即可算出扇形统计图中 E 类扇形的圆心角的度数，即可对 B 进行判定；用本次调查的总人数乘以选修 E 类学生的人数所占的百分比即可算出选修 E 类的学生人数，同理算出选修 F 类学生的人数，即可对 C 进行判定；通过对选修各类人数所占的百分比进行比较即可判断 D.
4. 【解析】【解答】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”， 不受极端值影响，
所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，

故答案为：C.
【分析】根据平均数、方差、标准差的计算方法及中位数的定义即可一一判断得出答案.
5. 【解析】【解答】解：∵以 A1、A2、B1、B2 其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形，共可作
△OA1B1,△OA1B2,△OA2B1,△OA2B2,四个三角形，其中是等腰三角形的只有△OA1B1，△OA2B2 两个
∴所作三角形是等腰三角形的概率是 .
故答案为：D.
【分析】用列举法得出以 A1、A2、B1、B2 其中的任意两点与点 O 为顶点作三角形的所有等可能的结果数及是等腰三角形的情况，再根据概率公式即可算出答案.
6. 【解析】【解答】设 CD=5a，
∵四边形 ABCD 是菱形，AE⊥BC 于 E，CF⊥AD 于 F，sinD= ，
∴CF=4a，DF=3a，
∴AF=2a，
∴命中矩形区域的概率是： ， 故答案为：B．
【分析】设 CD=5a，根据正弦函数的定义，由 sinD= ,及勾股定理即可得出 CF=4a，DF=3a，由菱形四边相等及线段的和差得出 AF=2a，根据菱形的面积计算方法，矩形的面积计算方法，分别算出菱形及阴影区的面积，再求出其比即可得出命中矩形区域的概率。
二、填空题

7. 【解析】【解答】解：由题意得：， 解得 n=100，故估计 n 大约是 100.
故答案为：100.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据概率公式列出方程求解即可．
8. 【解析】【解答】∵按从小到大的顺序排列为 1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为 3，
∴x=3，
∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6=3，
∴这组数据的方差是： ×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]= ， 故答案为： ．
【分析】利用中位数的定义求出 x 的值，再求出这组数据的平均数，然后利用方差公式求解。
9. 【解析】【解答】解：∵组数据 m，6，n 与 1，m，2n，7 的平均数都是 6，∴ ， 解得： ，

若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为 1，4，6，7，8，8，8， 一共 7 个数，第四个数是 7，则这组数据的中位数是 7；
故答案为：7．
【分析】根据平均数的计算公式先求出 m、n 的值，再根据中位数的定义即可得出答案．本题考查了中位数，一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
10. 【解析】【解答】解：由题意可知四边形 ABCD 是等腰梯形，AB=DC=5,
∵AD∶BC=1:2，故 BC=2AD，
∵AD+BC+AB+DC=4× ，
∴5+5+AD+2AD=25,解得 AD=5,∴BC=10，
∴AD=AB,∴∠ADB=∠ABD，
在等腰梯形 ABCD 中∵ AD∥BC，AB＝DC，∠ABC＝60° ，
∴∠C=∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=30°，
∴∠BDC=90°，根据勾股定理得 BD=.
故答案为： .
【分析】首先根据众数的定义及等腰梯形的性质得出 AB=DC=5，进而根据平均数的计算方法及 AD∶BC=1:2 列出方程算出 AD,BC 的长，然后根据等腰三角形的性质及平行线的性质判断出∠DBC=30°，进而根据三角形的内角和判断出∠BDC=90°，最后根据勾股定理即可算出答案.
11. 【解析】【解答】解：设不等式组有解,则不等式组 的解集为 3≤x< ,那么必须满足

条件 >3,则 a>5,∴满足条件的 a 的值为 6,7,8,9,∴不等式组有解的概率为 P= .
故答案为： .
【分析】将 a 作为字母系数解出不等式组中每一个不等式的解集，假设该不等式组有解，根据小大大小取中间得出关于 a 的不等式，求解得出 a 的取值范围，进而再根据概率公式即可算出答案.
三、解答题

12. 【解析】【分析】（1）由统计图可知 A 类的人数是 20 人，其所占的百分比是 10％，用 A 类的人数除以其所占的百分比即可算出调查学生人数；
（2） 先计算出 C 在扇形图中的百分比，用 100％减去（A＋D＋C）三类在扇形图中的百分比计算出 B 在扇形图中的百分比，用 360°乘以 B 类所占的百分比即可算出 B 在扇形统计图中的圆心角；
（3） 用样本估计总体，用全校的总人数×样本中课外阅读时间满足 3≤t＜4 的百分比即得估计每周课外阅读时间满足 3≤t<4 的人数.


13. 【解析】【分析】（1）用一月份 A 款的数量乘以 ， 即可得出一月份 B 款运动鞋销售量；

（2） 设 A，B 两款运动鞋的销量单价分别为 x 元，y 元，根据统计图中给出的数据，列出方程组求解即可得出 x,y 的值，再根据单价乘以数量即可算出 A,B 的销售额，进而即可算出三月份的总销售额 ；
（3） 开放性的命题，答案不唯一，根据条形统计图和折线统计图所给出的数据，提出合理的建议即可．
14. 【解析】【分析】（1）根据题意列表得出所有等可能的情况数即可；
（2） 根据分式的分母不能为 0 找出 x 与 y 不相等且不互为相反数的即为使分式有意义的情况数，进而根据概率公式即可求出所求的概率；
（3） 原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将（2）所求 x 与 y 的值代入计算
，找出使结果为整数的情况数，进而根据概率公式即可求出所求的概率．




中考数学一轮专题 6 图形变换
一、选择题（共 8 题；共 16 分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )


A. B. C. D.


2. 若下列选项中的图形均为正多边形，恰有 4 条对称轴的是( )


A. B. C. D.


3. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )
A. 过顶点的直线 B. 底边上的高 C. 顶角的平分线所在的直线 D. 腰上的高所在的直线4.如图，△ABC 与△A′B′C′是成中心对称，下列说法不正确的是( )






A. S△ABC＝S△A′B′C′ B. AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′
C. AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ D. S△ACO＝S△A′B′O
5. 如图，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P
，使 PD+PE 最小，则这个最小值为（ ）


A. B. 2 C. 2 D.
6. 如图，△ABC 为钝角三角形，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120°得到△AB′C′，连结 BB′，若 AC′∥BB′， 则∠CAB′的度数为( )




A. 45° B. 60° C. 70° D. 90°



7. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（ ）




A. B. C. D.


8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A. 24+2π B. 16+4π C. 16+8π D. 16+12π
二、填空题（共 4 题；共 4 分）
9. 已知点 P(－2，1)，则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 边上，将△CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点E 处．若∠A＝26°，则∠CDE＝ .
11. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(1,1),以点 O 为旋转中心,将点 A 逆时针旋转到点 B 的位置,则弧 AB
的长为

12. 如图,四边形 OABC 是矩形,点 A 的坐标为(8,0),点 C 的坐标为(0,4),把矩形 OABC 沿 OB 折叠,点 C 落在点 D
处,则点 D 的坐标为

三、解答题（共 3 题；共 25 分）
13. 如图，将矩形 ABCD(纸片)折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K 重合，EG 为折痕；点 C 与 AD 边上的点 K 重合
，FH 为折痕．已知∠1＝67.5°，∠2＝75°，EF＝ ＋1，求 BC 的长．

14. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,D 是 AB 边上一点(点 D 与 A,B 不重合),连结 CD,将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°得到线段 CE,连结 DE 交 BC 于点 F,连结 BE.

（1） 求证:△ACD➴△BCE;
（2） 当 AD=BF 时,求∠BEF 的度数.
15. 如图 1，2 为同一长方体房间的示意图，图 3 为该长方体的表面展开图．
（1） 蜘蛛在顶点 A′处．
①苍蝇在顶点 B 处时，试在图 1 中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；

②苍蝇在顶点 C 处时，图 2 中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板 ABCD 爬行的最近路线 A′GC 和往墙面 BB′C′C 爬行的最近路线 A′HC，试通过计算判断哪条路线最近．
（2） 在图 3 中，半径为 10 dm 的⊙M 与 D′C′相切，圆心 M 到边 CC′的距离为 15 dm.蜘蛛 P 在线段 AB 上， 苍蝇 Q 在⊙M 的圆周上，线段 PQ 为蜘蛛爬行路线．若 PQ 与⊙M 相切，试求 PQ 长度的范围．



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】解：A、此图案是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 A 不符合题意； B、此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 B 符合题意；
C、此图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 C 不符合题意； D、此图案不是中心对称图形也不是轴对称图形，故 D 不符合题意； 故答案为：B.
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分完全重合，再对各选项中的图案逐一判断可得答案。
2. 【解析】【解答】解：A、正三角形有 3 条对称轴，故 A 不符合题意； B、正方形有 4 条对称轴，故 B 符合题意；
C、正六边形有 6 条对称轴，故 C 不符合题意； D、正八边形有 8 条对称轴，故 D 不符合题意； 故答案为：B.
【分析】利用正多边形的性质，任意正 n 边形（n≥3）都是轴对称图形，有 n 条对称轴，当 n 为偶数时， 此时的多边形也是中心对称图形，据此可得答案。
3. 【解析】【解答】解：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线，或底边上的中线所在的直线或底边上的高所在的中线.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的对称轴是直线，因此排除 B 选项，利用等腰三角形的性质，可排除 A、D，即可得到正确的选项。
4. 【解析】【解答】解：∵△ABC 与△A′B′C′是成中心对称，
∴△ABC➴△A′B′C′，
∴ S△ABC＝S△A′B′C′ ， 故 A 不符合题意；
∴AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ ，故 B 不符合题意；
∴AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ ，故 C 不符合题意； 而 S△ACO≠S△A′B′O ， 故 D 符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据成中心对称的两个图形全等，全等三角形的对应边相等且面积相等，可对 A、B 作出判断； 成中心对称的两个图形的对应线段平行或在同一直线上，可对 C 作出判断；不能证明△AOC 和△A′B′O 的面积相等，可对 D 作出判断。
5. 【解析】【解答】由题意，可得 BE 与 AC 交于点 P．∵ 点 B 与 D 关于 AC 对称，∴ PD=PB，∴ PD+PE=PB+PE=BE
最小．∵ 正方形 ABCD 的面积为 12，∴ AB=2．

又∵△ABE 是等边三角形，∴BE=AB=2 ． 故所求最小值为 2 ． 故选 B．



【分析】由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以 BE 与 AC 的交点即为 P 点．此时 PD+PE=BE 最小，而 BE 是等边
△ABE 的边，BE=AB，由正方形 ABCD 的面积为 12，可求出 AB 的长，从而得出结果． 6.【解析】【解答】解：∵将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120°得到△AB′C′，
∴AB=AB ′ ，∠BAB ′ =∠CAC ′ =120°，
∴∠AB ′ B=∠ABB′ =（180°-120°）÷2=30°，
∵ AC′∥BB′
∴∠C ′ AB ′ =∠AB ′ B=30°，
∴∠CAB ′ =∠CAC ′ -∠C ′ AB ′=120°-30°=90°.
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质易证 AB=AB ′ ，∠BAB ′ =∠CAC ′ =120°，再利用等边对等角及三角形内角和定理求出∠AB ′ B 度数，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠C ′ AB ′的度数，然后由∠CAB ′ =∠CAC ′ -∠C ′ AB ′， 即可求出∠CAB′的度数。
7.【解析】【解答】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 故选：C
．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
8.【解析】【解答】解：该几何体的表面积为 2× •π•22+4×4+ ×2π•2×4=12π+16，故答案为：D．
【分析】根据题意三视图中的相关数字，列式求出该几何体的表面积。二、填空题
9. 【解析】【解答】解：点 P(－2，1)，则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标为（-2，-1）. 故答案为：（-2，-1）.
【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可求出点 P 关于 x 轴对称的点的坐标。

10. 【解析】【解答】解：∵将△CBD 沿 CD 折叠，使点 B 恰好落在 AC 边上的点 E 处．
∴∠B=∠CED，∠DCE= ∠ACB= ×90°=45°，
∠B=∠CED=90°-∠A=90°-26°=64°，
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠CED=180°-45°-64°=71°.
故答案为：71°.
【分析】利用折叠的性质，可证得∠B=∠CED，同时求出∠DCE 的度数，再利用直角三角形的两锐角互余求出∠CED 的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠CED 的度数。

11. 【解析】【解答】解：过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C,

∵点 A(1，1)，
∴OC=AC=1
∴△ACO 是等腰直角三角形，
∴∠AOC=∠AOB=45°
∴OA= = ,
∴弧 AB 的长为： 故答案为：.
【分析】过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，由点 A 的坐标，利用勾股定理可求出 OA 的长，同时可证得△AOC 是等腰直角三角形，由此可求出∠AOB 的度数，然后利用弧长公式求出弧 AB 的长。
12. 【解析】【解答】由折叠得:∠CBO=∠DBO,
∵矩形 ABCO,∴BC∥OA,
∴∠CBO=∠BOA,
∴∠DBO=∠BOA,

∴BE=OE.在△ODE 和△BAE 中,

∴△ODE➴△BAE(AAS)
∴AE=DE.设 DE=AE=x,
则有 OE=BE=8-x.在 Rt△ODE 中,
根据勾股定理得:42+x2=(8-x)2,解得 x=3,即 OE=5,DE=3.过 D 作 DF⊥OA,


∵S△OED= OD·DE= OE·DF,


∴DF= ,OF= = , 则 D（ ,- ）.
故答案为：（ ,- ）.

【分析】利用折叠的性质，易证∠CBO=∠DBO，再利用矩形的性质及全等三角形的判定定理证明
△ODE➴△BAE，从而可证得 AE=DE，设 DE=AE=x，用含 x 的代数式表示出 OE 的长，利用勾股定理建立关于
x 的方程，解方程求出 x 的值，即可得到 OE，DE 的长；过 D 作 DF⊥OA，然后利用三角形的面积公式求出 DF
、OF 的长，继而可得到点 D 的坐标。三、解答题
13. 【解析】【分析】利用折叠的性质，可证得 BE＝KE，KF＝FC，同时可知 2∠1+∠3=180°，由此可求出∠3 的度数，同理可求出∠4 的度数，过点 K 作 KM⊥BC 于点 M，设 KM＝x，则 EM＝x，用含 x 的代数式表示出MF 的长，再根据 EF=EM+MF，建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，即可得到 EK，KF 的长，然后就可以求出 AB 的长。
14. 【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，易证∠DCE=90°，CD=CE，由此可得到∠ACD=∠BCE，再利用 SAS
证明△ACD➴△BCE。
（2）利用已知条件易证∠A=45°，利用全等三角形的性质，可证得 AD=BE，∠CBE=∠A=45°，由此可以推出BF=BE，然后利用三角形内角和定理就可求出∠BEF 的度数。
15. 【解析】【分析】（1）①利用两点之间线段最短，可以画出蜘蛛为捉住苍蝇的最短路线；②将长方体展开，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求出路线 A′HC2 的长度及路线 A′GC1 的长度，再比较大小
，可得出最短的路径。
（2）连结 MQ，利用切线的性质，可证得 MQ⊥PQ，利用勾股定理可求出 PQ2＝PM2－100，再分情况讨论：如图 3，当 MP⊥AB 时，MP 最短，PQ 取得最小值，可得到 MP 的长，利用勾股定理求出 PQ 的长；如图 4 当点 P 与点 A 重合时，MP 最长，PQ 取得最大值，过点 M 作 MN⊥AB，垂足为 N，由题意可求出 PM2 的值，Rt△PQM 中，利用勾股定理求出 PQ 的长，综上所述，可得出 PQ 取值范围。


中考数学一轮专题 7 三角形
一、选择题（共 8 题；共 16 分）
1. 式子 2cos30°－tan45°－ 的值是( )
A. 2 －2 B. 0 C. 2 D. 2
2. 如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知 BC＝6 cm，圆锥的侧面积为 15π cm2 ， 则 sin∠ABC 的值为( )

A. B. C. D.
3. 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 169，小正方形的面积为 49，则 sin α－cos α＝
( )

A. B. － C. D. －
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，tan ∠BAC＝2，A(0，a)，B(b，0)，点 C 在第二象限，BC 与 y 轴交于点
D(0，c)，若 y 轴平分∠BAC，则点 C 的坐标不能表示为( )

A. (b＋2a，2b) B. (－b－2c，2b) C. (－b－c，－2a－2c) D. (a－c，－2a－2c)

5. 如图中有四条互相不平行的直线 l1，l2，l3，l4 所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的是 ( )

A. ∠2＝∠4＋∠7 B. ∠3＝∠1＋∠6 C. ∠1＋∠4＋∠6＝180° D. ∠2＋∠3＋∠5＝360°
6. 如图，已知点 P 是∠AOB 的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M 是 OP 的中点，DM＝4 cm.如果点 C
是 OB 上一个动点，则 PC 的最小值为( )


A. 2 cm B. 2 cm C. 4 cm D. 4 cm
7. 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，点 P 是 BC 边上的动点，过点 P 作 PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E
，则 PD＋PE 的长是( )

A. 4.8 B. 4.8 或 3.8 C. 3.8 D. 5
8. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F， 过点 O 作 OD⊥AC 于点 D，下列四个结论：①EF＝BE＋CF； ②∠BOC＝90°＋ ∠A；③点 O 到△ABC 各边的距离相等；④设 OD＝m，AE＋AF＝n，则 S△AEF＝mn.



其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题（共 4 题；共 4 分）
9.计算：sin2 60°＋cos 60°－tan 45°＝
10. 若△ABC 的两边长分别为 2 和 3，第三边的长是方程 x2－8x＋15＝0 的根，则△ABC 的周长是 .
11. 如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点 C 到射线 OA 的距离为 ．
12. 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝ ，AD＝7，BC＝8，tan ∠B＝ ，∠C＝∠D，则线段 CD 的长为
．

三、解答题（共 4 题；共 30 分）
13. 如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为 A，某人在岸边的 B 处测得 A 在 B 的北偏东 30°的方向上，然后沿岸边直行 4 公里到达 C 处，再测得 A 在 C 的北偏西 45°的方向上(其中 A，B，C 在同一平面上
)．求这个标志性建筑物底部 A 到岸边 BC 的最短距离．
14. 已知：在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F，且 DE＝DF.求证：
△ABC 是等边三角形．




15. 在△ABM 中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为 M.点 C 是 BM 延长线上一点，连结 AC.
（1） 如图 1，若 AB＝3 ，BC＝5，求 AC 的长．
（2） 如图 2，点 D 是线段 AM 上一点，MD＝MC，点 E 是△ABC 外一点，
EC＝AC，连结 ED 并延长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.
16. 如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点 E，F 分别为 DB，BC 的中点，连结 AE，EF，AF.
（1） 求证：AE＝EF；
（2） 当 AF＝AE 时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求 α，β 之间的数量关系．



答案解析部分

一、选择题

1.【解析】【解答】解：原式＝2× －1－( －1)＝ －1－ ＋1＝0. 故答案为：B.
【分析】本题考查特殊角的锐角三角函数值. 把特殊角的锐角三角函数值代入，进行实数运算即可. 准确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键.
2.【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为 R，由题意得：
15π= π 6 R， 解得：R=5.
∴圆锥的高为 4，
∴ .
故答案为：C.
【分析】先根据扇形面积公式求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可. 3.【解析】【解答】解：∵小正方形的面积为 49，大正方形的面积为 169，
∴小正方形的边长是 7，大正方形的边长是 13， 如图：
在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2 ， 即：AC2+(7+AC)2=132 ，
∴AC2+7AC-60=0，
解得：AC=5，或 AC=-12（舍去），
∴，
∴ ， ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】分别求出小正方形和大正方形的边长，再利用勾股定理求出 AC，根据正弦和余弦的定义即可求
sinα 和 cosα 的值，进而求出 sinα-cosα 的值. 利用勾股定理求出直角三角形的较短直角边是解题关键.

4. 【解析】【解答】解：如下图，过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H，AC 交 OH 于点 F，

∵，
∠CBH+∠ABH=90°，∠ABH+∠OAB=90°，
∴∠CBH=∠BAO，
∵∠CHB=∠AOB=90°，
∴△CBH∽△BAO，
∴，
∴BH=-2a，CH=2b，
∴点 C 的坐标为（b+2a，2b）， 由题意可证：△CHF∽△BOD，
∴ ，
∴ ，
∴HF=2c，
∴点 C 的坐标为（-b-2c，2b），
∵2c+2b=-2a，
∴2b=-2a-2c，b=-a-c，
∴点 C 的坐标为（a-c，-2a-2c）.
∴点 C 的坐标可以表示为：（b+2a，2b），（-b-2c，2b），（a-c，-2a-2c）. 故答案为：C.
【分析】过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H，AC 交 OH 于点 F，由△CBH∽△BAO，推出， 得出 BH=-2a，CH=2b，得出点 C 的坐标为（b+2a，2b）；由题意可证△CHF∽△BOD，可得 ， 推出 ， 即 FH=2c，可得出点 C 的坐标为（-b-2c，2b）；因为 2c+2b=-2a，所以 2b=-2a-2c，b=-a-c
，可得出点 C 的坐标为（a-c，-2a-2c）. 解题的关键是准确找出合适的相似三角形，利用性质来解决问题.

5. 【解析】【解答】解：如图：


A、由三角形外角的性质得：∠2=∠4+∠6，A 不符合题意；
B、由对顶角相等得：∠1=∠9，∠7=∠8，由三角形外角的性质得：∠3=∠9+∠8=∠1+∠7，B 不符合题意； C、由对顶角相等得：：∠1=∠9，由三角形内角和定理得：∠9+∠4+∠6=∠1+∠4+∠6=180°，C 符合题意； D、由三角形外角的性质得：∠2=∠4+∠6，∠3=∠9+∠8，∠5=∠9+∠4，所以∠2+∠3+∠5=（∠4+∠9+∠6）+（
∠4+∠9+∠8）=180°+（∠4+∠9+∠8）；因为∠8>∠6，所以∠2+∠3+∠5=180°+（∠4+∠9+∠8）>180°+（∠4+∠9+∠6）
>180°+180°=360°，即∠2+∠3+∠5>360°，D 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用三角形内角和定理及外角性质，逐项进行判断即可. 正确灵活运用三角形内角和定理及外角性质是解题关键.
6. 【解析】【解答】解：∵点 P 是∠AOB 的平分线上的一点，∠AOB＝60°，
∴ ，
∵PD⊥OA，M 是 OP 的中点，DM＝4 cm，
∴OP=2DM=8，
∴，
∵点 C 是 OB 上一个动点，
∴PC 的最小值为点 P 到 OB 的距离， 即 PC 最小值=PD=4.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义可得 ， 再根据直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半得到， 根据垂线段最短及角平分线性质得到答案.
7. 【解析】【解答】解：如下图，过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，连接 AP，

∵在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BF=4，


∴在△ABF 中，

，
∵
，

∴

∴



，
，

即：PD+PE=4.8.
故答案为：A.
【分析】过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，连接 AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得 AF 的长， 由图形得， 代入数值解答即可. 本题运用了转化思想，将一个三角形的面积转化为两个三角形的面积的和是解题的关键.
8. 【解析】【解答】解：在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴ ， ， ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴ ，
∴ ， 故②正确；
在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC ，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
如下图，过点 O 作 OM⊥AB 于点 M，过点 O 作 ON⊥BC 于点 N，连接 OA，


∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，
∴ON=OD=OM=m，即：点 O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确；
∴， 故④错误.
故正确的是①②③. 故答案为：A.
【分析】在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O，根据角平分线定义和三角形内角和定理，即可推得 ， 故②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO 和△CFO 是等腰

三角形，得出 EF=BE+CF，故①正确；由角平分线的性质得出点 O 到△ABC 各边的距离相等，故③正确； 由角平分线定理及三角形面积，可求得， 故④错误. 此题考查角平分线的定义与性质，等腰三角形的判断和性质，注意数形结合思想的运用.
二、填空题

9. 【解析】【解答】解：原式=
=

= .
故答案为： .
【分析】此题考查特殊角的锐角三角函数值，熟记特殊角的锐角三角函数值准确代入进行实数运算是解题关键.
10. 【解析】【解答】解：解方程 x2－8x＋15＝0 得：
x=3 或 x=5，
∴△ABC 的第三边为 3 或 5，
但当第三边为 5 时，2+3=5，不满足三角形三边关系，
∴△ABC 的第三边长为 3，
∴△ABC 的周长=2+3+3=8.
故答案为：8.
【分析】先求得方程的跟，再根据三角形三边关系：两边之和大于第三边判断出第三边的长，进而求得三角形的周长. 此题考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键.
11. 【解析】【解答】解：如图，过点 C 作 CF⊥AO 于点 F，

∵OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3.
故答案为：3.

【分析】过点 C 作 CF⊥AO 于点 F，根据勾股定理可得 CM 的长，再根据角的平分线上的点到角的两边距离相等可得 CF=CM，进而可得答案.
12. 【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，在 CB 上截取 CE，使 CE=AD，连接 AE，过点 D
作 DM⊥AE 于点 M，过点 C 作 CN⊥AE 于点 N，


∵∠ADC=∠ECD，DA=CE，
∴四边形 ADCE 是等腰梯形，则△ADM≌△ECN，可得 AM=EN，四边形 MNCD 是矩形，可得 CD=MN，

在 Rt△ABH 中，∵
，
，
∴AH=5，BH=2，
∵BC=8，EC=AD=7，
∴BE=8-7=1，
∴EH=BH-BE=1，


在 Rt△AEH 中，

，
∵△ECN∽△EAH，


∴
，
∴
，
∴
故答案为：
.
∴ ，



.



【分析】过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，在 CB 上截取 CE，使 CE=AD，连接 AE，过点 D 作 DM⊥AE 于点 M，过点 C 作 CN⊥AE 于点 N，构造等腰梯形，把等腰梯形分成两个全等三角形和一个矩形来解决问题. 解题的关键是准确添加合适的辅助线，构造四边形解决问题.
三、解答题

13. 【解析】【分析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，先由△ACD 是等腰直角三角形，设 AD＝x，得出 CD＝AD＝x
，再解 Rt△ABD，得出 BD= =， 再由 BD+CD=4，得出方程， 解方程求出 x 的值，即
为点 A 到岸边 BC 的最短距离. 本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是本题解题的关键.

14. 【解析】【分析】只要证明 Rt△ADE≌Rt△CDF，证出∠A＝∠C，推出 BA＝BC，再根据 AB＝AC，即可推出 AB
＝BC＝AC，得证. 本题的关键是正确寻找合适的全等三角形解决问题。
15. 【解析】【分析】（1）先由 AB=， 推出 AM＝BM =3，可得 MC=2，再由勾股定理可得 AC 的长；
（2）延长 EF 到点 G，使得 FG＝EF，证出△BMD≌△AMC 得 BD=AC，再证明△BFG≌△CFE，可得 BG＝CE，∠G
＝∠CEF，从而得 BD＝CE＝BG，即可得到∠BDF＝∠CEF.
本题熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
16. 【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线性质得到， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到， 于是得到结论；（2）根据第（1）问及第（2）问的题干，可得到△AEF 是等边三角形，推出∠AEF＝60°，根据三角形中位线性质和三角形外角的性质即可得到结论.




中考数学一轮专题 8 四边形
一、选择题（共 10 题；共 20 分）
1. 平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A. 相等 B. 互相平分 C. 互相垂直 D. 互相垂直且相等2.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）

A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等3.下列命题中,为真命题的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是正方形
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4. 若两个图形成中心对称，则下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状大小完 全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转 180°后必与另一个图形重合． 正确的有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
5. 一个多边形裁去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 2 520°，则原多边形的边数是( ) A. 17 B. 16 C. 15 D. 17 或 16 或 15
6. 在▱ABCD 中,若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E,则△AED 的形( )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定

7. 如图，▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BC，垂足为 E，AB＝ ，AC＝2，BD＝4，则 AE 的长为( )








A. B. C. D.

8. 如图，菱形 ABCD 的周长为 40cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，DE⊥AB，垂足为 E，DE：AB=4：5，则下列结论：①DE=8cm；②BE=4cm；③BD= cm；④AC= cm；⑤S 菱形ABCD=80cm，正确的有
（ ）
A. ①②④⑤ B. ①②③④ C. ①③④⑤ D. ①②③⑤
9. 在直角坐标系中，将点(－2，3)关于原点的对称点向左平移 2 个单位长度得到的点的坐标是( ) A. (4，－3) B. (－4，3) C. (0，－3) D. (0，3)
10. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a＝3，b＝4，则该矩形的面积为( )









A. 20 B. 24 C. D.
二、填空题（共 6 题；共 7 分）
11. 有一边长为 8 的等腰三角形，它的另两边长分别是关于 x 的方程 x2－12x＋4k＝0 的两根，则 k 的值是
．
12. 如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，AC＝8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，过点 P 作 EF⊥AC 分别交 AD、AB 于点 E、F，将△AEF 沿 EF 折叠，点 A 落在 A′处，当△A′BC 是等腰三角形时，AP 的长为 ．


13. 如图，点 O 是▱ABCD 的对称中心，AD＞AB，E，F 是 AB 边上的点，且 EF＝ AB；G，H 分别是 BC 边上


的点，且 GH＝ BC，若 S1 ， S2 分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 S1 与 S2 之间的数量关系是
．


14. 如图，M，N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AM＝BN，连结 AC 交 BN 于点 E，连结 DE 交
AM 于点 F，连结 CF，若正方形的边长为 6，则线段 CF 的最小值是 ．

15. 如图，正方向 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，∠DAE=30°，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q．若 PQ=AE，则 AP 等于 cm．

16. 如图 K23-10,已知∠XOY=60°,点 A 在边 OX 上,OA=2.过点 A 作 AC⊥OY 于点 C,以 AC 为一边在∠XOY 内作等边△ABC.点 P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的一点,过点 P 作 PD∥OY 交 OX 于点 D,作 PE∥OX 交 OY 于点E.设 OD=a,OE=b,则 a+2b 的取值范围是 .

三、解答题（共 3 题；共 23 分）

17. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC 中，DE∥BC 分别交 AB 于点 D，交 AC 于点 E.已知 CD⊥BE，CD＝3
，BE＝5，求 BC＋DE 的值．
小明发现，过点 E 作 EF∥DC，交 BC 延长线于点 F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 2)
．
（1） 请回答：BC＋DE 的值为 .
（2） 参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图 3，已知▱ABCD 和矩形 ABEF，AC 与 DF 交于点 G，AC＝BF＝DF，求∠AGF 的度数． 18.如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 边的中点，AC 与 BE 相交于点 F，连结 DF.


（1） 在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2） 连结 AE，试判断 AE 与 DF 的位置关系，并证明你的结论；
（3） 延长 DF 交 BC 于点 M，试判断 BM 与 MC 的数量关系（直接写出结论）.
19.已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上， 连接 EA，EC．


（Ⅰ）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC；

（Ⅱ）如图 2，若点 P 在线段 AB 的中点，连接 AC，判断△ACE 的形状，并说明理由；
（Ⅲ）如图 3，若点 P 在线段 AB 上，连接 AC，当 EP 平分∠AEC 时，设 AB=a，BP=b，求 a：b 及∠AEC 的度数．



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】平行四边形的对角线互相平分， 故选：B．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．


2. 【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．

故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选 A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
3. 【解析】【解答】A、 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是假命题，不符合题意； B、 四边相等的四边形且有一个角是直角的四边形是正方形，是假命题，不符合题意； C、 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；
D、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意. 故答案为：D.
【分析】因为对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； 四边相等的四边形且有一个角是直角的四边形是正方形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；据此逐项分析即可判断.
4. 【解析】【解答】解：根据中心对称图形的特点： ①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转 180°后必与另一个图形重合．
综上，四项都正确. 故答案为：D.

【分析】由中心对称图形的定义和特点可知，中心对称图形是关于点对称，将一个图形绕对称中心旋转
180°后得到的图形必与原来的图形重合，对应点的连线必经过对称中心，这两个图形的对应线段一定相等
. 据此特点逐项分析可判断．
5. 【解析】【解答】解：设新多边形的边数为 n， 则（n-2）•180°=2520°，
解得 n=16，
①若截去一个角后边数增加 1，则原多边形边数为 15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为 16，
③若截去一个角后边数减少 1，则原多边形边数为 17，

所以多边形的边数可以为 15，16 或 17． 故选 D.
【分析】 利用内角和公式计算出边数后，然后分情况讨论。
6. 【解析】【解答】∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE 和 DE 是角平分线,
∴∠EAD= ∠BAD, ∠ADE= ∠ADC,
∴∠EAD+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°,
∴∠E=90°,
∴△ADE 是直角三角形, 故答案为：B.

【分析】由平行四边形的对边平行，由平行线的性质可得∠BAD 和∠ADC 之和为 180°，结合 AE、DE 分别是∠BAD 与∠CDA 的角平分线 ，可得∠EAD 和∠ADE 之和为 90°，则△ADE 是直角三角形,
7. 【解析】【解答】∵四边形 ABCD 是平行四边形, AC＝2，BD＝4，
∴AB2＋AO2＝BO2 ，

∴∠BAC＝90°，

∵在 Rt△BAC 中，BC＝

＝= ,
∵ S△ABC＝ AB·AC＝
BC·AE，

∴AE＝ ＝

＝

.
故答案为：D.



∴AO＝OC＝1，BO＝OD＝2， 又∵AB＝ ，







【分析】由平行四边形的对角线互相平分可得 AO、OC、BO 和 OD 的长，于是由勾股定理的逆定理可证∠BAC 为直角，于是 BC 的长可求，然后根据三角形的面积公式即可求出 AE 的长.
8. 【解析】【解答】解： ① 、∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB=40÷4=10cm, ∴DE= AB=8cm，正确；
② ，∵DE⊥AB，∴AE= , ∴BE=AB-AE=10-6=4cm，正确；
③BD==, 正确；
④ ∵OB= BD=2 ， ∴AC=2AO=2 =2 =8 cm, 正确；

⑤ S 菱形ABCD=AB×DE=10×8=80cm2 ≠ 80cm ，错误. 综上， ①②③④ 正确.
故答案为：B.


【分析】 ①根据菱形的四条边相等可求 AB 的长，代入 DE：AB=4：5 可求 DE 的长；② 先利用勾股定理求出 AE，则 BE 的长可知；③利用勾股定理直接可求 BD 的长； ④ 因为菱形的对角线互相垂直平分
，利用勾股定理可求 OA 的长，则 AC 可知； ⑤ 菱形的面积等于底乘高，但 cm 是长度单位，不是面积单位.
9. 【解析】【解答】解： (－2，3)关于原点的对称点是（2，-3），
∴向左移动 2 个单位得到（0，-3）. 故答案为：C.

【分析】关于原点对称点的特点是横纵坐标都互为相反数，据此求出(－2，3)关于原点的对称点的坐标， 左移两个单位，可知纵坐标不变，横坐标减 2，据此即可求得结果.
10. 【解析】【解答】解：设小正方形的边长为 x, 如图，

∵a=3, b=4,
∴AB=3+4=7，
在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2 ， 即(3+x)2+(4+x)2=72,
整理得：x2+7x=12,
∵矩形的面积=AC×BC=(3+x)(4+x)=x2+7x+12=12+12=24.
故答案为：B.


【分析】设小正方形的边长为 x, 在直角三角形 ABC 中利用勾股定理整理得出 x2+7x=12, 再把矩形的面积用含 x 的代数式表示出来，代值即可得结果.
二、填空题

11. 【解析】【解答】解：①当 8 为等腰三角形的底边，则两根相等， 根据题意得 Δ＝(－12)2－4×4k＝0，解得 k＝9，
两腰的和＝12>9，满足三角形三边的关系；
②当 8 为等腰三角形的腰，则 x＝8 为方程的解， 把 x＝8 代入方程得 64－96＋4k＝0，
解得 k＝8，
故答案为：8 或 9.



【分析】分两种情况讨论，①当 8 为等腰三角形的底边，则另外两边即两根相等，根据 Δ=0 列式求出 k
即可；当 8 为等腰三角形的腰，则另一腰为 8，即 x＝8 为方程的解，把 x＝8 代入原方程即可求出 k. 12.【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC，
∵EF⊥AA′，即∠EPA＝∠FPA＝90°，
∴∠EAP＋∠AEP＝90°，∠FAP＋∠AFP＝90°，
∴∠AEP＝∠AFP，
∴AE＝AF，
∵△A′EF 是由△AEF 翻折所得，
∴AE＝EA′，AF＝FA′，
∴AE＝EA′＝A′F＝FA，
∴四边形 AEA′F 是菱形，
∴AP＝PA′，
①当 CB＝CA′时，
∵AA′＝AC－CA′＝3，
∴AP＝ AA′＝ ；
②当 A′C＝A′B 时，
∵∠A′CB＝∠A′BC＝∠BAC，
∴△A′CB∽△BAC，

∴ ，
∴解得 A′C＝ ，
∴AA′＝AC-A'C=8－ ＝ ，
∴AP＝ AA′＝ ，
综上所述，AP 的长为 或 .
故答案为： 或 .

【分析】根据菱形的对角线平分对角，结合 EF⊥AC 可得△EAF 为等腰三角形，再结合翻折图形的特点从而得出四边形 AEA′F 是菱形，推出 AP 和 PA'相等；然后分两种情况讨论求解，当 CB＝CA′时，可知 A'C 的长， 则 AA'长可求，AP 的长也可求；当当 A′C＝A′B 时，推得△A′CB 和△BAC 相似，利用相似的性质求得 A'C 的 长度，则 AA'的长可求，AP 长也可求.

13. 【解析】【解答】解：如图，连接 AC、OB，


∵O 为 ▱ABCD 的对称中心 ，
∴A、O、C 三点共线，OA=OB，
∴S△AOB=S△BOC（等底同高），
∵EF= AB，
∴ S1=S△EOF = S△AOB（等高），
∵ GH＝ BC，
∴ S2=S△GOH= S△BOC（等高），
∴ S1：S2 = S△AOB： S△BOC= ： =3:2.
故答案为：S1：S2 =3:2.

【分析】连接 AC、OB，根据平行四边形的性质可知 A、O、C 三点共线，OA=OB，于是根据等底同高的两个三角形面积相等，可得△AOB 和△BOC 面积相等，然后根据底共线，高相等的两个三角形面积之比等于底边之比分别求得 S1 和△AOB 的面积之比，S2 和△BOC 面积之比，几式联立即可求出 S1 与 S2 之间的数量关系.
14. 【解析】【解答】解：如图，取 AD 的中点 O，连接 OF、OC，

在正方形 ABCD 中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE， 在 Rt△ADM 和 Rt△BCN 中，
，
∴Rt△ADM≅Rt△BCN(HL)，
∴∠DAM=∠CBN，
在△DCE 和△BCE 中，


，

∴△DCE≅△BCE(SAS)，
∴∠CDE=∠CBE
∴∠DAM=∠CDE，
∵∠ADF+∠CDE=∠ADC=90∘ ，
∴∠DAM+∠ADF=90∘ ，
∴∠AFD=180∘−90∘=90∘ ，
取 AD 的中点 O，连接 OF、OC， 则 OF=DO= AD=3，
在 Rt△ODC 中，OC==3， 根据三角形的三边关系，OF+CF>OC，
∴CF＞OC-OF，
∴当 O、F、C 三点共线时，CF 的长度最小， 最小值=OC−OF=3−3．
【分析】先利用斜边直角边定理证出 Rt△ADM≅Rt△BCN，得出∠DAM=∠CBN，于是利用边角边定理可证
△DCE≅△BCE(SAS)，得出∠CDE=∠CBE，即可判断出∠AFD=90∘ ， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OF= AD=3，利用勾股定理列式求出 OC，最后根据三角形的三边关系可知当 O、F、C 三点共线时，CF 的长度最小．
15. 【解析】【解答】根据题意画出图形，过 P 作 PN⊥BC，交 BC 于点 N，

∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AD=DC=PN，
在 Rt△ADE 中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan∠DAE=tan30°= ， 即 DE= ，
∴AE=

∵M 为 AE 的中点，

∴AM= AE= cm，

在 Rt△ADE 和 Rt△PNQ 中，
∴Rt△ADE➴Rt△PNQ(HL)，
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°， 即 PM⊥AF， 在 Rt△AMP 中，∠MAP=30°， cos30°= ，

∴AP= =2cm；


由对称性得到 AP′=DP=AD−AP=3−2=1cm，
∴AP 等于 1cm 或 2cm
故答案为：1 或 2
【分析】过 P 作 PN⊥BC，交 BC 于点 N，利用正方形的性质，可证得 AD=DC=PN，在 Rt△ADE 中，利用解直角三角形和勾股定理求出 DE，AE，就可求出 AM 的长，再证明 Rt△ADE➴Rt△PNQ，利用全等三角形的性质，可得到 DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再证明 AE⊥PQ，然后在 Rt△AMP 中，利用解直角三角形求出 AP 的长，利用对称性得到 AP′，综上所述，可求出 AP 的长。
16. 【解析】【解答】如图，过 P 作 PH⊥OY 交 OY 于点 H,
∵PD∥OY,PE∥OX,
∴四边形 EODP 是平行四边形,
∠HEP=∠XOY=60°
∴EP=OD=a,
在 Rt△HEP 中, ∠EPH=30°,
∴EH= EP= a,
∴a+2b=2( a+b)=2(EH+EO)=2OH,
当 P 在 AC 边上时, H 与 C 重合,此时 OH 的最小值=OC= OA=1,

即 a+2b 的最小值是 2;
当 P 在点 B 时,OH 的最大值是：1+ = ,即(a+2b)的最大值是 5,
∴2≤a+2b≤5.
故答案为：2≤a+2b≤5.


【分析】过 P 作 PH⊥OY 交 OY 于点 H, 由两组对边分别平行得出四边形 EODP 是平行四边形, 可得 EP=a, 再由 30°所对的直角边等于斜边的一半可知 EH= a, 于是利用 EH+EO 的 2 倍来构造 a+2b ，当 P 在 AC 边上时, H 与 C 重合,此时 OH 的最小值为 1, a+2b 的最小值是 2; 当 P 在点 B 时,OH 的最大值是 ,可得(a+2b) 的最大值是 5, 从而得出 a+2b 的范围.
三、解答题

17. 【解析】【解答】(1) 过点 E 作 EF∥DC 交 BC 的延长线于点 F，
∵DE∥BC，即 DE∥CF，
∴四边形 DCFE 是平行四边形，
∴EF=DC=3，
∵EF∥DC，
∴∠BEF=∠BHC=90°，
∴BF=BC+DE= ，
故答案为：.

【分析】（1）过点 E 作 EF∥DC 交 BC 的延长线于点 F，由两组对边互相平行得四边形 DCFE 是平行四边形
，从而求出 EF 的长，于是 BC+DE 转化成 BF，再由平行的性质推出∠BEF 为直角，于是利用勾股定理即可求出 BF 的长；
（2） 连结 AE，CE. 平行四边形及矩形的对边相等，可得四边形 DCEF 是平行四边形，于是 EC=DF， 结合 AC=BF=DF，可得△ACE 是等边三角形，则 ∠ACE＝60° ，再由平行的性质即可求得 ∠AGF 和∠ACE 相等，即 ∠AGF＝60°.





18. 【解析】【分析】（1）利用边角边定理可证△ADF➴△ABF， △ADC➴△ABC，△CDF➴△CBF.
（2） 利用边角边定理可证△ADF➴△ABF，则对应角 ∠1 和∠2 相等，再利用边角边定理证明△ADE➴△BCE
，则对应角 ∠3 和∠4 相等，由于 ∠2 和∠4 之和等于 90°，可得∠1 和∠3 之和也等于 90°，即证得 AE⊥DF.
（3） 利用上题的结论，由等角的余角相等，可得 ∠4=∠5 ，再利用角角边定理可证△DCM➴△BCE，则对应边 CE 和 CM 相等，由于 E 为 DC 的中点，因为四边形 ABCD 是正方形，可得 M 为 BC 的中点，即BM=CM.

19. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据正方形的性质证明△APE➴△CFE，可得结论；

（Ⅱ）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE 是直角三角形；
（Ⅲ）分别计算 PG 和 BG 的长，利用平行线分线段成比例定理列比例式得： ，即
，
解得：a= b，得出 a 与 b 的比，再计算 GH 和 BG 的长，根据角平分线的逆定理得：∠HCG=∠BCG，由平行线的内错角得：∠AEC=∠ACB=45°．




中考数学一轮专题 9 圆 (1）
一、选择题（共 10 题；共 20 分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线 AB
的位置关系是 ( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
2. 如图， AB 是⊙O 的直径， C, D 是⊙O 上 AB 两侧的点，若∠D＝30°，则 tan ∠ABC 的值为( )


A. B. C. D.
3. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB＝8，AE＝1，则弦 CD 的长是( )

A. B. 2 C. 6 D. 8
4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是圆上的点，若∠D＝20°，则 ∠BAC 的值( )
A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°

5. 如图， AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，已知 cos∠CDB＝ ，BD＝5，则 OH 的长度为( )




A. B. C. 1 D.

6. 如图，从一块直径为 24cm 的圆形纸片上剪出一个圆心角为 90°的扇形 ABC，使点 A，B，C 在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）


A. 12cm B. 6cm C. 3 cm D. 2 cm 7.如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD ， ∠CAB＝36°，则∠BCD 的大小是( )
A. 18° B. 36° C. 54° D. 72°
8. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与 y 轴相切，交直线 y＝x 于 A，B 两点，已知圆心 P 的坐标为(2，a)(a＞
2)，AB＝2 ，则 a 的值为( )


A. 4 B. 2＋ C. D.

9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC 分别绕直线 AB 和 BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作 l1 ， l2 ， 侧面积分别记作 S1 ， S2 ， 则( )
A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2 B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2
C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4 D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶4
10. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以 OB 为直径画⊙M，过点 D 作⊙M 的切线，切点为 N，分别交 AC，BC 于点 E、F，已知 AE＝5，CE＝3，则 DF 的长是( )
A. 3 B. 4 C. 4.8 D. 5
二、填空题（共 4 题；共 4 分）
11. 如图，已知在△ABC 中，AB＝AC.以 AB 为直径作半圆 O，交 BC 于点 D.若∠BAC＝40°，则的度数是
度.

12. 如图，AB 与⊙O 相切于点 B，线段 OA 与弦 BC 垂直，垂足为 D，AB＝BC＝2，则∠AOB＝ °.



13. 如图，已知 Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.分别以点 A、B 为圆心画圆，如果点 C 在⊙A 内，点 B 在
⊙A 外，且⊙B 与⊙A 内切，那么⊙B 的半径长 r 的取值范围是 ．
14. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，分别以顶点 A，B，C，D 为圆心，1 为半径画弧，四条弧交于点 E，F， G，H，则图中阴影部分的外围周长为 ．

三、解答题（共 4 题；共 45 分）
15. 如图，⊙O 与 Rt△ABC 的直角边 AC 和斜边 AB 分别相切于点 C，D；与边 BC 相交于点 F，OA 与 CD 相交于点 E，连结 FE 并延长交 AC 边于点 G.
（1） 求证：DF∥AO.
（2） 若 AC＝6，AB＝10，求 CG 的长．
16. 如图，在⊙O 中，半径 OA⊥OB，过点 OA 的中点 C 作 FD∥OB 交⊙O 于 D，F 两点，且 CD＝ ，以 O
为圆心，OC 为半径作 ，交 OB 于 E 点．




（1） 求⊙O 的半径 OA 的长；
（2） 计算阴影部分的面积．
17. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是半圆 O 上的一点，AC 平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为点 D，AD 交⊙O 于点 E
，连结 CE.


（1） 判断 CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2） 若 E 是 的中点，⊙O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积．
18. 如图 1，直线 l：y＝－ x＋b 与 x 轴交于点 A(4，0)，与 y 轴交于点 B，点 C 是线段 OA 上一动点(0＜AC
＜ )．以点 A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE 并延长交⊙A 于点 F.




（1） 求直线 l 的函数表达式和 tan∠BAO 的值；
（2） 如图 2，连结 CE，当 CE＝EF 时，
①求证：△OCE∽△OEA；
②求点 E 的坐标；
（3） 当点 C 在线段 OA 上运动时，求 OE·EF 的最大值．



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】解：Rt△ABC 中,∠C＝90°,BC＝3cm,AC＝4cm
,∴AB=5cm,
设该三角形斜边上的高为 hcm,
∵S△ABC =，
∴h=2.4,
∵2.4＜2.5,
∴⊙C 与直线 AB 的位置关系是相交. 故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出 AB=5cm，设该三角形斜边上的高为 hcm,然后根据三角形的面积法，由S△ABC =， 得出 h=2.4,再判断圆心 C 到直线 AB 的距离与该圆半径的大小即可得出⊙C 与直线 AB 的位置关系，从而得出答案。
2. 【解析】【解答】解：连接 BC，

∵
∴∠A=∠D=30°，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴tan∠ABC=tan60°= .
故答案为：C.
【分析】抓住 AB 是直径，因此连接 BC 可得到∠ACB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等，求出∠A 的度数
，然后根据∠ABC=90°-∠A，即可求出∠ABC 的度数，利用特殊角的三角函数值，即可求解。
3. 【解析】【解答】解：连接 OC，


∵CD⊥AB，
∴CD=2CE，
∵AB=8，AE=1，
∴OC=OA=4，OE=OA-AE=4-1=3
在 Rt△OCE 中，
,
∴CD= .

故答案为：B.
【分析】连接 OC，利用垂径定理可证得 CD=2CE，再利用已知条件求出 OC，OE 的长，然后利用勾股定理求出 CE 的长，即可求出 CD。
4. 【解析】【解答】解：∵AB 是圆 O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠B=∠D=20°，
∴∠BAC=90°-∠B=90°-20°=70°.
故答案为：C.
【分析】利用直径所对的圆周角是直角，可得到△ABC 是直角三角形，再利用同弧所对的圆周角相等，求出∠B 的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可求解。
5. 【解析】【解答】解：如解图，连接 OD，


∵AB 是⊙O 的直径，点 H 是弦 CD 的中点，
∴由垂径定理可知 AB⊥CD， 在 Rt△BDH 中，
∵cos∠CDB＝ ，BD＝5，
∴DH＝4，∴BH＝ ＝ ＝3， 设 OH＝x，则 OD＝OB＝x＋3，
在 Rt△ODH 中，OD2＝OH2＋DH2 ，
∴(x＋3)2＝x2＋42 ，
解得 x＝ ，即 OH＝ .
故答案为：D.
【分析】连接 OD，利用垂径定理可证得 AB⊥CD，在 Rt△BDH 中，利用锐角三角函数的定义及勾股定理求

出 DH，BH 的长，设 OH＝x，用含 x 的代数式表示出 OD，再利用勾股定理建立关于 x 的方程，解方程求出 x
的值，即可得到 OH 的长。
6. 【解析】【解答】解：作 OD⊥AC 于点 D，连接 OA，

∴∠OAD=45°，AC=2AD，
∴AC=2（OA×cos45°）=12 cm，
∴ =6 π
∴圆锥的底面圆的半径=6 π÷（2π）=3 cm． 故选 C．

【分析】圆的半径为 2，那么过圆心向 AC 引垂线，利用相应的三角函数可得 AC 的一半的长度，进而求得AC 的长度，利用弧长公式可求得弧 BC 的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
7. 【解析】【解答】∵AB 是直径，AB⊥CD，
∴ ＝ ，
∴∠BCD＝∠CAB＝36°， 故答案为：B．

【分析】根据垂径定理推出=， 推出∠CAB=∠BAD，再由∠BCD=∠BAD 解决问题。8.【解析】【解答】设⊙P 与 y 轴相切于 D 点，连接 PD，则有 PD⊥y 轴，过 P 作 PC⊥AB， 连接 PA，


则有 AC＝BC＝ AB＝ ，
∵P 的坐标为(2，a)，
∴PD＝PA＝2，在 Rt△APC 中，根据勾股定理得 PC＝ ＝1，

∴点 P 到直线 AB 的距离 d＝1，即 ＝1，

解得 a＝2＋ 或 a＝2－ (舍去)，则 a 的值为 2＋ .
【分析】设⊙P 与 y 轴相切于 D 点，连接 PD，则有 PD⊥y 轴，过 P 作 PC⊥AB，连接 PA，利用垂径定理求出 AC，BC 的长，在 Rt△APC 中，利用勾股定理求出 PC 的长，再根据 PC=1 建立关于 a 的方程，解方程求出 a 的值。
9. 【解析】【解答】解：∵，
如图，把△ABC 分别绕直线 AB 和 BC 旋转一周，所得几何体分别如图




∴l1：l2=1：2；


∴S1：S2=1：2.
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理求出 AC 的长，再利用圆的周长公式分别求出 l1 和 l2 ， 再求出 l1：l2 的值；然后利用圆锥的计算公式：圆锥的侧面展开图的侧面积等于 ×底面圆的周长×圆锥的母线长，分别求出 S1 和 S2 的值，然后就可求出 S1：S2 的值，即可得出答案。
10. 【解析】【解答】如解图，延长 EF，过点 B 作直线 BP 平行于 AC 和 EF 相交于点 P，




∵AE＝5，EC＝3，∴AC＝AE＋CE＝8，∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA＝OC＝ AC＝4，AC⊥BD，∴OE＝OC－CE

＝4－3＝1，
∵以 OB 为直径画⊙M，
∴AC 是⊙M 的切线，
∵DN 也是⊙M 的切线，∴EN＝OE＝1，MN⊥DN，∴∠DNM＝∠DOE＝90°，∵∠MDN＝∠EDO，∴△DMN∽△DEO，
∴DM∶DE＝MN∶EO，∵MN＝BM＝OM＝ OB，∴DM＝OD＋OM＝3MN，∴DE＝3OE＝3，
∵OE∥BP，∴OD∶OB＝DE∶EP，
∵OD＝OB，∴EP＝DE＝3，∴BP＝2OE＝2，
∵△EFC∽△PFB，∴EF∶PF＝EC∶PB＝3∶2，∴EF∶EP＝3∶5，∴EF＝EP× ＝1.8，
∴DF＝DE＋EF＝3＋1.8＝4.8.
故答案为：C.
【分析】延长 EF，过点 B 作直线 BP 平行于 AC 和 EF 相交于点 P，利用已知条件求出 AC 的长，利用菱形的性质求出 OC、OE 的长，由题意可知 AC 是⊙M 的切线，DN 也是⊙M 的切线，利用切线长定理可证得EN=OE，再证明△DMN∽△DEO，利用相似三角形的性质求出 MN 的长，由此可求出 DE、BP 的长，利用相似三角形的对应边成比例，就可证得 EF∶EP＝3∶5，即可求出 EF 的长，然后根据 DF=DE+EF，即可求出 DF 的长。
二、填空题

11. 【解析】【解答】解：连接 OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=（180°-40°）÷2=70°，
∵弧 AD=弧 AD
∴∠AOD=2∠B=2×70°=140°，
∴弧 AD 的度数为 140°.
故答案为：140°.
【分析】连接 OD，利用等边对等角及三角形内角和定理求出∠B 的度数，再利用一条弧所对的圆心角等

于它所对的圆周角的 2 倍，即可求出∠AOD 的度数，然后根据圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，即可求出弧 AD 的度数。
12. 【解析】【解答】解：∵OD⊥BC，BC＝2，
∴BD＝ BC＝1
在 Rt△ABD 中，AB＝2，BD＝1，
∴∠A＝30°.
在 Rt△AOB 中，∠A＝30°，
∴∠AOB＝90°-∠A=90°-30°=60°.
【分析】利用垂径定理求出 BD 的长，再在 Rt△ABD 中，利用解直角三角形求出∠A 的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠AOB 的度数。
13. 【解析】【解答】解：∵Rt△ABC ，∠C＝90 °，AC＝3，BC ＝4，

∴

∵点 C 在⊙A 内，点 B 在⊙A 外，
∴当⊙A 的半径大于 3 时(如解图①)，⊙B 的半径大于 5＋3＝8；当⊙A 的半径小于 5 时(如解图②)，⊙B 的半径小于 5＋5＝10.
故取值范围为：8＜r＜10. 故答案为：8＜r＜10.
【分析】利用勾股定理求出 AB 的长，再根据点与圆的位置关系，可求出两个分界处 r 的值，然后就可求出 r 的取值范围。
14. 【解析】【解答】解：连接 DF，AF，AE


∵分别以顶点 A，B，C，D 为圆心，1 为半径画弧，四条弧交于点 E，F，G，H，
∴AD=DF=AF=AE，
∴△ADF 是等边三角形，
∴∠FAD=60°，
∵正方形 ABCD，
∴∠BAD=90°
∴∠BAF=90°-60°=30°，
同理可证∠DAE=30°
∴∠EAF=30°
∴弧 EF 的圆心角的度数为 30°

∴弧 EF 的长为：


∴图中阴影部分的外围周长为 .
故答案为： .
【分析】连接 DF，AF，AE，利用等圆的半径相等，可证得 AD=DF=AF=AE，从而可证得△ADF 是等边三角形，利用等边三角形的性质和正方形的性质，即可求出∠EAF=30°，然后利用弧长公式求出弧 EF 的长，根据阴影部分的外围周长等于弧 EF 的长乘以 4，列式计算可求解。
三、解答题

15. 【解析】【分析】（1）利用弦切角定理易证∠BCD＝∠BDF，利用切线长定理可证得 AC=AD，∠CAO=∠DAO
，再利用等腰三角形三线合一的性质，可以推出 CD⊥AO，然后去证明∠DAO=∠BDF，利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。
（2）利用勾股定理求出 BC 的长，从而可得 BD 的长，再利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得
△BDF∽△BCD，利用相似三角形的性质，可以推出 BD2＝BF·BC，代入计算求出 BF，OC，利用勾股定理求出OA 的长，同理可证△OCE∽△OAC，利用相似三角形的对应边成比例求出 OM，EM，FM 的长， 然后由 EM∥CG
，利用平行线分线段成比例定理就可求出 CG 的长。
16. 【解析】【分析】（1）连接 OD，利用已知条件易证∠AOB=90°，利用平行线的性质去证明∠OCD=90°， 再利用垂径定理求出 CD 的长，然后在 Rt△OCD 中，利用勾股定理求出 OC，继而可求出圆的半径。
（2）利用特殊角的三角函数值求出∠CDO 的度数，即可得到∠DOB 的度数，然后根据 S 阴影＝S△CDO＋S 扇形
OBD－S 扇形OCE ， 利用三角形和扇形的面积公式进行计算。
17. 【解析】【分析】（1）利用角平分线定义及等腰三角形的性质，可以推出∠DAC＝∠OCA，利用平行线的判定定理可证得 OC∥AD，由 AD⊥CD，即可证得 OC⊥CD，然后利用切线的判定定理，可证得结论。
（2）连结 EB 交 OC 于点 F，由 AB 为⊙O 的直径，利用圆周角定理可得∠AEB＝90°， 结合已知可证得 OF
是△ABE 的中位线，利用三角形的中位线定理可可证 OF＝ AE，CF＝DE，从而可求出 AE 的长；再证明四边形 AOCE 为平行四边形，在 Rt△OBF 中利用勾股定理求出 BF 的长，即可得到 DC 的长，然后根据阴影部分的面积和△CED 的面积相等，利用三角形的面积公式进行计算可求解。
18. 【解析】【分析】（1）将点 A 的坐标代入函数解析式建立关于 b 的方程，解方程求出 b 的值，可得函数解析式；由点 A，B 的坐标可求出 OA，OB 的长，然后利用锐角三角函数的定义求出 tan∠BAO 的值。
（2） ①连接 DF，DE，由 CE=EF，利用等弧所对的圆周角相等，可证得∠CDE＝∠FDE，从而可得∠CDF=2∠CE
，由此可以推出∠OAE=∠ODF，再利用圆内接四边形的性质，易证∠OEC=∠ODF=∠OAE，再利用有两组对应 角相等的两三角形相似，可证△COE∽△EOA；②过点 E 作 EM⊥OA 于 M，利用 tan∠OAB 的值，设 EM=3m， AM=4m，用含 m 的代数式表示出 OM，AE，AC，OC 的长，即可得到点 E 的坐标，再利用相似三角形的性质（△COE∽△EOA），用含 m 的代数式表示出 OE2 ， 再建立关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，代入计算可得到点 E 的坐标。
（3） 设⊙O 的半径为 r，过点 O 作 OG⊥AB 于 G，连结 FH，利用直角三角形的面积公式，求出 OG 的长， 利用锐角三角函数的定义求出 AG 的长，即可得到 EG 的长，再证明△OEG∽△HEF，然后利用相似三角形的对应边成比例，建立 OE·EF 与 r 的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解。




中考数学一轮专题 10 圆 (2）
一、选择题（共 9 题；共 12 分）
1. 欧几里得的《原本》记载，形如 x2＋ax＝b2 的方程的图，解法是：画 Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝ ，
AC＝b，再在斜边 AB 上截取 BD＝ .则该方程的一个正根是( )

A. AC 的长 B. AD 的长 C. BC 的长 D. CD 的长
2. 在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角 O 在 AB 边的中点上，这块三角板绕 O 点旋转，两条直角边始终与 AC，BC 边分别相交于 E，F，连结 EF，则在运动过程中，△OEF 与△ABC 的关系是 ( )
A. 一定相似 B. 当 E 是 AC 中点时相似 C. 不一定相似 D. 无法判断3.如图,已知圆内接正三角形的面积为 ,则该圆的内接正六边形的边心距为( )





A. 2 B. 1 C. D.
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4 与⊙O 交于 B，C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 .




5. 已知△ABC 的三边 a,b,c 满足 a+b2+|c-6|+28=4 +10b,则△ABC 的外接圆半径= .
6. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=90°,正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点,点 D 在 OB 上,点 E 在 OB 的延长线上, 当正方形 CDEF 的边长为 2 时,阴影部分的面积为




7. 如图，点 P 是四边形 ABCD 外接圆⊙O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，AD 是⊙O 的直径，AB＝BC
＝CD，连结 PA，PB，PC.若 PA＝a，则点 A 到 PB 和 PC 的距离之和 AE＋AF＝ .

8. 如图所示，在△ABC 中，已知 BD＝2DC，AM＝3MD，过 M 作直线交 AB，AC 于 P，Q 两点．则
＝ ．


9. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以 AB，AC，BC
为边在 AB 同侧作正方形 ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， 则 S1＋S2＋S3＋S4＝ ．



二、解答题（共 2 题；共 12 分）
10. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，OF⊥AC 于点 F，

（1） 请探索 OF 和 BC 的关系，并说明理由；
（2） 若∠D＝30°，BC＝1 时，求圆中阴影部分的面积．(结果保留 π)
11. 如图，已知线段 AB＝2，MN⊥AB 于点 M，且 AM＝BM，P 是射线 MN 上一动点，E，D 分别是 PA，PB
的中点，过点 A，M，D 的圆与 BP 的另一交点 C(点 C 在线段 BD 上)，连结 AC，DE.

（1） 当∠APB＝30°时，求∠B 的度数；
（2） 求证：AB2＝BC·PB；



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，

∴
，
,



∵ x2＋ax＝b2
∴ x2＋ax-b2=0

∴

∴

∴AD 的长就是方程的一个正根.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出 AB 的长，再根据 AD=AB-BD 就可求出 AD 的长，然后利用一元二次方程的求根公式求出方程的解，根据方程的两个根就可作出判断。
2. 【解析】【解答】解：连接 OC，

∵△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°
∵点 O 为 AB 的中点，
∴OC⊥AB，OC= AB=OB，∠ECO=∠B=45°
∵∠COE+∠COF=90°，∠COF+∠FOB=90°，
∴∠COE=∠FOB
在△COE 和△BOF 中
∴△COE➴△BOF（ASA）
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠B=45°，
∵∠EOF=∠ACB=90°

∴△OEF∽△ABC， 故答案为：A.
【分析】连接 OC，根据等腰直角三角形的性质，可得到∠B=45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得 OC=OB，∠ECO=∠B，再利用同角的余角相等，可得到∠COE=∠FOB，然后利用 ASA 证明
△COE➴△BOF，根据全等三角形的对应边相等，可知 OE=OF，即可证得△OEF 是等腰直角三角形，两个等腰直角三角形一定相似，即可得到结论。
3. 【解析】【解答】解：如图,设△ABC 的边长为 a,则 S△ABC= a2,
∴ a2= ,解得 a=2 或 a=-2(舍),∴BC=2.
∵∠BAC=60°,BO=CO,∴∠BOC=120°,则∠BCO=30°.
∵OH⊥BC,∴BH= BC=1,在 Rt△BOH 中,BO=BH÷cos30°= ,
∴圆的半径 r= .
如图,正六边形内接于圆 O,且半径为 ,可知∠EOF=60°,OF= .

在△EOF 中,OE=OF,OD⊥EF,∴∠FOD=30°.
在 Rt△DOF 中,OD=OF·cos30°= × =1,
∴边心距为 1
故答案为：B.
【分析】利用等边三角形的面积就可求出此三角形的边长 BC 的长，再求出正三角形的中心角∠BOC 的度数，从而可求出∠BCO 的度数，利用解直角三角形求出圆的半径 r，然后利用正六边形的性质，可证得
∠EOF=60°，∠FOD=30°，在 Rt△DOF 中，利用解直角三角形求出边心距 OD 的长。

4. 【解析】【解答】解：如图，


∵y＝kx－3k＋4=k（x-3）+4
当 x-3=0 即 x=3 时，y=4,
∴此直线一定经过点 D（3，4）
当 OD⊥BC 时，此时弦 BC 最短，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E,
∴OE=3，DE=4，BC=2BD，
∴OD2=OE2+DE2=32+42,
解之：OD=5,
∵OA=OB=13
在 Rt△OBD 中，,
∴BC=2BD=24.
故答案为：24.
【分析】利用函数解析式可知 x=3 时，y=4,，即可得到此函数图像一定经过定点 D（3，4），由此可知当OD⊥BC 时，此时弦 BC 最短，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E, 利用勾股定理求出 OD 的长，再在 Rt△OBD 中，利用勾股定理求出 BD 的长，然后根据垂径定理就可得到 BC 的长。
5.【解析】【解答】解：原式整理得:b2-10b+25+a-1-4 +4+|c-6|=0，(b-5)2+( )2-4
+4+|c-6|=0, (b-5)2+( -2)2+|c-6|=0.
∵(b-5)2≥0,( -2)2≥0,|c-6|≥0,
∴b=5，c=6，a=5,
∴△ABC 为等腰三角形.如图所示,作 CD⊥AB,

设 O 为外接圆的圆心,则 OA=OC=R.∵AC=BC=5,AB=6,∴AD=BD=3,


∴CD= =4,∴OD=CD-OC=4-R,
在 Rt△AOD 中,R2=32+(4-R)2,
解得 R=
【分析】利用配方法将原等式转化为非负数之和为 0 的形式，可得到关于 a，b，c 的方程组，解方程组求出 a，b，c 的值，可证得△ABC 为等腰三角形，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，设 O 为外接圆的圆心，利用等腰三角形的三线合一的性质求出 AD 的长，利用勾股定理求出 CD 的长，从而可求出 OD 的长，在 Rt△AOD 中，利用勾股定理求出△ABC 的外接圆半径。
6. 【解析】【解答】解：连结 OC,

∵在扇形 AOB 中,∠AOB=90°,
正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点,
∴∠COD=45°,
∴OC= =4,
∴阴影部分的面积=扇形 BOC 的面积-三角形 ODC 的面积, 即 S 阴影= ×π×42- ×(2 )2=2π-4.
故答案为：2π-4.
【分析】连接 OC，利用点 C 时弧 AB 的中点，就可求出∠COD=45°，利用勾股定理求出 OC 的长，再根据阴影部分的面积=扇形 BOC 的面积-三角形 ODC 的面积，利用三角形的面积公式及扇形的面积公式，就可求出阴影部分的面积。
7. 【解析】【解答】解：连接 OB，OC


∵AD 是圆 O 的直径，AB=CB=CD
∴，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD= ，
∴∠APB=∠CPB=30°，
∴∠CPA=2∠APB=2×30°=60°

∵AF⊥PC，AE⊥BP
∴∠AFP=∠AEP=90°
∴∠PAF=90°-∠APC=90°-60°=30°，

∴

在 Rt△APF 中，



∴
故答案为：
.
.



【分析】连接 OB，OC，利用在同圆或等圆中相等的弦所对的圆心角相等，可求出∠AOB=∠BOC=∠COD=60°
，再利用圆周角定理可求出∠APB=∠CPB=30°，从而可求出∠APF 的度数，利用垂直的定义及三角形内角和定理求出∠PAF 的度数，再利用 30°角所对的直角边等于斜边的一半，可用含 a 的代数式表示出 PF，AE 的长， 然后利用解直角三角形求出 AF 的长，由此可求出 AE+AF 的值。
8. 【解析】【解答】解：过点 B 作 NB⊥PQ 于点 N，过点 D 作 DG⊥PQ 于点 G，过点 C 作 CH⊥PQ 于点 H，
∴BN∥AK
∵AM=3MD，

∴

设 DG=a，则 AK=3a， 设 BN=x，CH=y
∵AK∥BN

∴

∴

∵AK∥CH

∴

∴

由 BD=2CD，可得

∴3a=2y+x

原式=

故答案为：4.
【分析】过点 B 作 NB⊥PQ 于点 N，过点 D 作 DG⊥PQ 于点 G，过点 C 作 CH⊥PQ 于点 H，设它们的长度分别为 x，3a，a，y，利用平行线分线段成比例，即可推出结论。
9. 【解析】【解答】解：过点 F 作 FN⊥AM 于点 N，连接 PF
∵正方形 ABEF
∴AF=AB，∠FAB=∠ACB=∠ANF=90°
∴∠FAN+∠CAB=90°，∠FAN+∠AFN=90°
∴∠CAB=∠AFN
在△ABC 和△FAN 中，
∴△ABC➴△FAN，
同理可证△NFK➴△CAT，△FPT➴△MEK，△AQF➴△ACB，△ABC➴△EBD
∴S2=S△FAN=S△ABC ，
同理可知：S3=S△FPT ，
∴S1+S3=S△AQF=S△ABC ，
∵△ABC➴△EBD
∴S4=S△EBD=S△ABC ，
∴ S1＋S2＋S3＋S4 =S△ABC+S△ABC+S△ABC=3S△ABC
=3×4×3÷2=18.
故答案为：18.
【分析】过点 F 作 FN⊥AM 于点 N，连接 PF，利用正方形的性质，易证 AF=AB，∠FAB=∠ACB=∠ANF=90°，
∠CAB=∠AFN，利用 AAS 证明△ABC➴△FAN，同理可证△NFK➴△CAT，△FPT➴△MEK，△AQF➴△ACB，△ABC➴△EBD
，利用全等三角形的面积相等，就可推出 S2=S△ABC ， S4=S△ABC ， S1+S3=S△ABC ， 然后就可求出 S1＋S2
＋S3＋S4 的值。二、解答题
10. 【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角 BC⊥AC，结合 OF⊥AC ，O 为 AB 的中点，得出 OF

为△ABC 的中位线，于是得到 OF= BC；

（2）连接 OC，根据同弧所对的圆周角相等及余角的性质求得相关角的度数，推得圆的半径、AC 和 OF
的长，最后利用扇形面积减去△AOC 的面积即可得出阴影部分的面积.
11. 【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可证得 PA=PB，再根据等边对等角可证得∠PAB＝∠B，然后利用三角形的内角和等于 180°求出∠B 的度数。
（2）连接 MD，利用三角形的中位线定理证明 MD∥AP，利用平行线的性质及∠BAC＝∠MDC＝∠APB，可以推出∠BAP=∠ACB，再证明△ABC∽△PBA，利用相似三角形的对应边成比例，即可证得结论。




中考数学一轮专题 11 几何综合复习(1）
一、选择题（共 2 题；共 4 分）
1. 欧几里得的《原本》记载，形如 x2＋ax＝b2 的方程的图，解法是：画 Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝ ，
AC＝b，再在斜边 AB 上截取 BD＝ .则该方程的一个正根是( )

A. AC 的长 B. AD 的长 C. BC 的长 D. CD 的长
2. 在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，AC＝BC，一直角三角板的直角顶角 O 在 AB 边的中点上，这块三角板绕 O 点旋转，两条直角边始终与 AC，BC 边分别相交于 E，F，连结 EF，则在运动过程中，△OEF 与△ABC 的关系是 ( )
A. 一定相似 B. 当 E 是 AC 中点时相似 C. 不一定相似 D. 无法判断
二、填空题（共 6 题；共 8 分）
3. 如图所示，在△ABC 中，已知 BD＝2DC，AM＝3MD，过 M 作直线交 AB，AC 于 P，Q 两点．则
＝ ．


4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以 AB，AC，BC
为边在 AB 同侧作正方形 ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为 S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， 则 S1＋S2＋S3＋S4＝ ．




5. 过双曲线 上的动点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，P 是直线 AB 上的点，且满足 AP=2AB，过点 P 作 x
轴的平行线交此双曲线于点 C，如果△APC 的面积为 8，则 k 的值是 。
6. 在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为
，此时正方形 EFGH 的而积为 5．问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时，正方形 EFGH
的面积的所有可能值是 （不包括 5）．

7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，点 E 在 CD 上，DE=1，点 F 是边 AB 上一动点，以 EF 为斜边作 Rt△EFP
．若点 P 在矩形 ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则 AF 的值是 。


8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM
长为半径作 当 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 ．




三、解答题（共 5 题；共 61 分）
9. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图 1△ABC 中，M 是 BC 的中点，P 是射线 MA 上的点，设 ＝k，若∠BPC＝90°
，则称 k 为勾股比．
（1） 如图 1，过 B，C 分别作中线 AM 的垂线，垂足为 E，D.求证：CD＝BE.
（2） ①如图 2，当 k＝1，且 AB＝AC 时，AB2＋AC2＝ BC2(填一个恰当的数)．
②如图 1，当 k＝1，△ABC 为锐角三角形，且 AB≠AC 时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；
③对任意锐角或钝角三角形，如图 1，3，请用含勾股比 k 的表达式直接表示 AB2＋AC2 与 BC2 的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)．
10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点 D 在 上，点 E 在弦 AB 上（E 不与 A 重合），且四边形 BDCE
为菱形．


（1） 求证：AC=CE；
（2） 求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3） 已知⊙O 的半径为 3．

①若 = ，求 BC 的长；


②当 为何值时，AB•AC 的值最大？

11. 已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB≥AC，D，E 分别为 AC，BC 边上的点（不包括端点），且 =
=m，连结 AE，过点 D 作 DM⊥AE，垂足为点 M，延长 DM 交 AB 于点 F．

（1） 如图 1，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，连结 DH．
①求证：四边形 DHEC 是平行四边形；

②若 m= ，求证：AE=DF；

（2） 如图 2，若 m= ，求 的值．
12. 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点 A 在第一象限，B，C 在 x 轴的正半轴上（C 在 B 的右侧），BC=2，AB=2 ，△ADC 与△ABC 关于 AC 所在的直线对称．
（1） 当 OB=2 时，求点 D 的坐标；
（2） 若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求 OB 的长；
（3） 如图 2，将第（2）题中的四边形 ABCD 向右平移，记平移后的四边形为 A1B1C1D1 ， 过点 D1 的反比例函数 y= （k≠0）的图象与 BA 的延长线交于点 P．问：在平移过程中，是否存在这样的 k，使得以点 P
，A1 ， D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 k 的值；若不存在，请说
明理由．


13. 如图 1，直线 l： 与 x 轴交于点 ，与 y 轴交于点 B，点 C 是线段 OA 上一动点

以点 A 为圆心，AC 长为半径作 交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE 并延长交 于点 F．


（1） 求直线 l 的函数表达式和 的值；
（2） 如图 2，连结 CE，当 时， 求证： ∽ ；
求点 E 的坐标；
（3） 当点 C 在线段 OA 上运动时，求 的最大值．



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，

∴
，
,



∵ x2＋ax＝b2
∴ x2＋ax-b2=0

∴

∴

∴AD 的长就是方程的一个正根.
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理求出 AB 的长，再根据 AD=AB-BD 就可求出 AD 的长，然后利用一元二次方程的求根公式求出方程的解，根据方程的两个根就可作出判断。
2. 【解析】【解答】解：连接 OC，

∵△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°
∵点 O 为 AB 的中点，
∴OC⊥AB，OC= AB=OB，∠ECO=∠B=45°
∵∠COE+∠COF=90°，∠COF+∠FOB=90°，
∴∠COE=∠FOB
在△COE 和△BOF 中
∴△COE➴△BOF（ASA）
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠B=45°，
∵∠EOF=∠ACB=90°

∴△OEF∽△ABC， 故答案为：A.
【分析】连接 OC，根据等腰直角三角形的性质，可得到∠B=45°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得 OC=OB，∠ECO=∠B，再利用同角的余角相等，可得到∠COE=∠FOB，然后利用 ASA 证明
△COE➴△BOF，根据全等三角形的对应边相等，可知 OE=OF，即可证得△OEF 是等腰直角三角形，两个等腰直角三角形一定相似，即可得到结论。
二、填空题

3. 【解析】【解答】解：过点 B 作 NB⊥PQ 于点 N，过点 D 作 DG⊥PQ 于点 G，过点 C 作 CH⊥PQ 于点 H，
∴BN∥AK
∵AM=3MD，

∴

设 DG=a，则 AK=3a， 设 BN=x，CH=y
∵AK∥BN

∴

∴

∵AK∥CH

∴

∴

由 BD=2CD，可得

∴3a=2y+x

原式=

故答案为：4.
【分析】过点 B 作 NB⊥PQ 于点 N，过点 D 作 DG⊥PQ 于点 G，过点 C 作 CH⊥PQ 于点 H，设它们的长度分别为 x，3a，a，y，利用平行线分线段成比例，即可推出结论。

4. 【解析】【解答】解：过点 F 作 FN⊥AM 于点 N，连接 PF
∵正方形 ABEF
∴AF=AB，∠FAB=∠ACB=∠ANF=90°
∴∠FAN+∠CAB=90°，∠FAN+∠AFN=90°
∴∠CAB=∠AFN
在△ABC 和△FAN 中，
∴△ABC➴△FAN，
同理可证△NFK➴△CAT，△FPT➴△MEK，△AQF➴△ACB，△ABC➴△EBD
∴S2=S△FAN=S△ABC ，
同理可知：S3=S△FPT ，
∴S1+S3=S△AQF=S△ABC ，
∵△ABC➴△EBD
∴S4=S△EBD=S△ABC ，
∴ S1＋S2＋S3＋S4 =S△ABC+S△ABC+S△ABC=3S△ABC
=3×4×3÷2=18.
故答案为：18.
【分析】过点 F 作 FN⊥AM 于点 N，连接 PF，利用正方形的性质，易证 AF=AB，∠FAB=∠ACB=∠ANF=90°，
∠CAB=∠AFN，利用 AAS 证明△ABC➴△FAN，同理可证△NFK➴△CAT，△FPT➴△MEK，△AQF➴△ACB，△ABC➴△EBD
，利用全等三角形的面积相等，就可推出 S2=S△ABC ， S4=S△ABC ， S1+S3=S△ABC ， 然后就可求出 S1＋S2
＋S3＋S4 的值。
5. 【解析】【解答】解：此题分两种情况：①点 P 在 B 点的下方，设 A（a, ）∵过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B， P 是直线 AB 上的点，且满足 AP=2AB，∴P(a,- ),∵过点 P 作 x 轴的平行线交此双曲线于点 C,∴C(-a,-
),∴PC=2a,AP= ,∵S△APC= PC·AP=8,∴K=4;②点 P 在点 A 的上方，设 A（a, ），∵过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B
，P 是直线 AB 上的点，且满足 AP=2AB，∴P（a, ）,∵过点 P 作 x 轴的平行线交此双曲线于点 C,∴C（ ,
）,∴pc= ,PA= ,∵S△APC= PC·AP=8,∴K=12;
故答案为：12 或 4
【分析】此题分两种情况：①点 P 在 B 点的下方，设出 A 点的坐标，进而得出 B，C 两点的坐标，PC 的长


度，AP 的长度，根据 S△APC= PC·AP=8 得出关于 k 的方程，求解得出 k 的值；;②点 P 在点 A 的上方设出A 点的坐标，进而得出 B，C 两点的坐标，PC 的长度，AP 的长度，根据 S△APC= PC·AP=8 得出关于 k 的方程，求解得出 k 的值。
6. 【解析】【解答】解：①当 DG= ，CG=2 时，满足 DG2+CG2=CD2 ， 此时 HG= ，可得正方形 EFGH 的面积为 13．
②当 DG=8，CG=1 时，满足 DG2+CG2=CD2 ， 此时 HG=7，可得正方形 EFGH 的面积为 49；
③当 DG=7，CG=4 时，满足 DG2+CG2=CD2 ， 此时 HG=3，可得正方形 EFGH 的面积为 9.
故答案为：9 或 13 或 49．
【分析】分情况讨论：当①当 DG= ，CG=2 时，②当 DG=8，CG=1 时；③当 DG=7，CG=4 时， 都满足 DG2+CG2=CD2 ， 可分别得到 HG 的长，即可求出正方形 EFGH 的面积。
7. 【解析】【解答】解：以 EF 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 是以 EF 为直径的圆与矩形边的交点，取
EF 的中点 O，
（ 1 ）如图 1，当圆 O 与 AD 相切于点 G 时，连结 OG，此时点 G 与点 P 重合，只有一个点，此时 AF=OG=DE=1
；


（ 2 ）如图 2，

当圆 O 与 BC 相切于点 G，连结 OG，EG，FG，此时有三个点 P 可以构成 Rt△EFP，∵OG 是圆 O 的切线，
∴OG⊥BC∴OG//AB//CD
∵OE=OF，∴BG=CG，∴OG= （BF+CE），
设 AF=x，则 BF=4-x，OG= (4-x+4-1)= (7-x)，
则 EF=2OG=7-x，EG2=EC2+CG2=9+1=10,FG2=BG2+BF2=1+(4-x)2


在 Rt△EFG 中，由勾股定理得 EF2=EG2+FG2 得（7-x）2=10+1+（4-x）2,解得 x=

所以当 1＜AF＜ 时，以 EF 为直径的圆与矩形 ABCD 的交点（除了点 E 和 F）只有两个；

（ 3 ）因为点 F 是边 AB 上一动点：
当点 F 与 A 点重合时，AF=0，此时 Rt△EFP 正好有两个符合题意； 当点 F 与 B 点重合时，AF=4，此时 Rt△EFP 正好有两个符合题意； 故答案为 0 或 1＜AF＜ 或 4
【分析】以 EF 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 是以 EF 为直径的圆与矩形边的交点，取 EF 的中点 O，（
1 ）如图 1，当圆 O 与 AD 相切于点 G 时，连结 OG，此时点 G 与点 P 重合，只有一个点，可得到 AF 的长
；（2）如图 2 当圆 O 与 BC 相切于点 G，连结 OG，EG，FG，此时有三个点 P 可以构成 Rt△EFP，利用切线的性质，可得到 OG⊥BC，就可推出 OG//AB//CD，可证 OG 是三角形的中位线，设 AF=x，用含 x 的代数式表示出 OG，EF 的长，利用勾股定理建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，即可得到 AF 的取值范围；以EF 为直径的圆与矩形 ABCD 的交点（除了点 E 和 F）只有两个：当点 F 与 A 点重合时，AF=0；当点 F 与 B 点重合时，AF=4，即可解答此题。
8. 【解析】【解答】解：如图 1 中，当 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=x ，

在 中 ， ，
，
，
， ；
如图 2 中当 与直线 AD 相切时，设切点为 K，连接 PK，则 ，四边形 PKDC 是矩形，
，
， ，

在 中， ，
综上所述，BP 的长为 3 或 ．

【分析】由于点 P 在 BC 上，点 M 在 AB 上，故不能与 BC,AB 相切，可能与 CD,AD 相切，故需要分类讨论：如图 1 中，当 与直线 CD 相切时，设 PC=PM=x ，根据勾股定理建立方程，求解即可得出 x 的值， 即 PC 的长，进而根据 BP=BC-PC 即可算出答案；如图 2 中当 与直线 AD 相切时，设切点为 K，连接 PK
，则 ，四边形 PKDC 是矩形，故 PM=PK=CD=2BM,然后根据勾股定理算出 PB，综上所述即可算出 PB 的长。
三、解答题

9. 【解析】【解答】解：（2）①∵AM 是 Rt△BPC 的中线，
∴PM=BM=MC= BC，
∵k=1
∴AP=PM
∴AM=2PM=BC
在 Rt△ABM 中，
AB2=AM2+BM2=BC2+ BC2= CB2；
在 Rt△ACM 中，
AC2=AM2+CM2=BC2+ BC2= CB2；
∴AB2+AC2=2.5BC2.
故答案为：2.5
③ 设 EM=DM=a，则 AE=AM+a，AD=AM=a
在 Rt△ABE 中，
AB2=AE2+BE2=（AM+a）2+BE2=AM2+2aAM+a2+BE2；
在 Rt△ACD 中，
AC2=AD2+CD2=（AM-a）2+CD2=AM2-2aAM+a2+CD2；
∴AB2+AC2=2AM2+a2+BE2+a2+CD2,
∵BE⊥AM，CD⊥AM，
∴∠E=∠CDM=90°，
∴a2+BE2=BM2= BC2, a2+CD2=CM2= BC2,
∴AB2+AC2=2AM2+ BC2,
∵

∴AP=kPM，
∵AM 是△ABC 斜边上的中线，△BPC 是直角三角形，
∴PM= BC，
若△BCA 是锐角三角形，


∴AM=AP+PM=kPM+PM=（k+1）PM=

∴AB2+AC2= ;
若△BCA 是钝角三角形，

∴AM=PM-AP=PM-kPM=（1-k）PM=

∴AB2+AC2= .
【分析】（1）利用线段中点的定义可证得 BM=CM，利用垂直的定义，可证∠E＝∠CDM，再利用 AAS 证明△BME➴△CMD，然后根据全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得 PM=BM=MC= BC，由 k=1 可证得 AM=BC
，再利用勾股定理可得到 AB2= CB2 ， AC2= CB2 ， 从而可得到 AB2+AC2 与BC2 的数量关系；
②设 EM＝DM＝a，则 AE＝AM＋a，AD＝AM－a，利用勾股定理可证得 AB2＝AM2＋2AM·a＋a2＋BE2 ， AC2＝AM2－2AM·a＋a2＋CD2 ， 再证明 AB2＋AC2＝2AM2＋ BC2 ， 由 AP=PM，利用直角三角形的性质，可知 PM＝ BC，由此可证得 AB2+AC2 与BC2 的数量关系；
③设 EM=DM=a，则 AE=AM+a，AD=AM=a，利用勾股定理分别求出 AB2 和 AC2 ， 利用直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，就可推出 AB2+AC2=2AM2+ BC2 ， 结合已知可得到 AP=kPM 及 PM= BC；再分情况讨论：当△ABC 是锐角三角形时；当△ABC 是钝角三角形时，利用与②同样的方法，就可分别求出AB2+AC2 与BC2 的数量关系。
10. 【解析】【分析】（1）利用菱形的对角相等，可证得∠D=∠BEC，再利用圆内接四边形的对角互补及邻补角的定义，可得到∠A+∠D=180°，∠BEC+∠AEC=180°，从而可以推出∠A=∠AEC，，利用等角对等边，可证得结论。
（2） 以点 C 为圆心，CE 长为半径作⊙C，与 BC 交于点 F，于 BC 延长线交于点 G，则 CF=CG，由（1）可证 CF=CG=AC，利用圆内接四边形的性质和邻补角的定义，可以推出∠G=∠BEF，再利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得△BEF∽△BGA，利用相似三角形的对应边成比例，可证得即 BF•BG=BE•AB，然后可以得到（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，继而可推出结论。
（3） ①设 AB=5k、AC=3k，由（2）的结论可以求出 BC 的长，连接 ED 交 BC 于点 M，利用菱形的性质， 可证得 DE 垂直平分 BC，即可得到 E、O、M、D 共线，在 Rt△DMC 中，利用勾股定理表示出 DM 的长，从而可求出 OM 的长，然后在 Rt△COM 中，由 OM2+MC2=OC2 ， 建立关于 k 的方程，解方程求出 k 的值， 代入计算求出 BC 的长；②设 OM=d，用含 d 的代数式表示出 MD，MC2 ， BC2 ， 从而可得到 AC2 ， 由（2）的结论可求出 AB•AC 与 d 的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质， 可求出 AB•AC 的最大值，然后求出 AC，AB 的长，就可求出 AB 与 AC 的比值。
11. 【解析】【分析】（1）①利用已知易证 EH∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证△BHE∽△BAC
，利用相似三角形的对应边成比例，可得出比例线段，再由已知的比例线段，可以推出 HE=DC，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论；②利用 m 的值，可求出 HE 与 BE 的比值， 再利用垂直的定义及余角的性质，可推出∠HEA=∠AFD，就可证明△HEA➴△AFD，然后利用全等三角形的对

应边相等，可证得结论成立。
（2）过点 E 作 EG⊥AB 于 G，易证 EG∥CA，就可推出△EGB∽△CAB，利用相似三角形的对应边成比例，可求出 CD 与 BE 的值，由此可证得 EG=CD，设 EG=CD=3x，AC=3y，可表示出 BE，BC，BG，AB 的长，然后证明△FAD∽△EGA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出结果。
12. 【解析】【分析】（1）如图 1 中，作 DE⊥x 轴于 E，解直角三角形清楚 DE，CE 即可解决问题；
（2） 设 OB=a，则点 A 的坐标（a，2 ），由题意 CE=1．DE= ，可得 D（3+a， ），点 A、D 在
同一反比例函数图象上，可得 2 a= （3+a），求出 a 的值即可；
（3） 分两种情形：①如图 2 中，当∠PA1D=90°时，在 Rt△ADA1 和 Rt△APA1 中，利用解直角三角形可求出AA1 ， PA，PB,的长，就可表示出点 P 和 D1 的坐标，再根据这两点在反比例函数图像上，建立关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，即可得到 k 的值；②如图 3 中，当∠PDA1=90°时 易证△AKP∽△DKA1 ，
△KAD∽△KPA1 ， 利用相似三角形的性质和解直角三角形，可求出 AP，AD，AA1 的长，就可表示出点 P 和 D1 的坐标，再根据这两点在反比例函数图像上，建立关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，可得到点 P 的坐标，然后利用函数解析式求出 k 的值。
13. 【解析】【分析】（1）将点 A 的坐标代入一次函数解析式，就可求出 b 的值，再利用一次函数解析式由 x=0，求出 y 的值，可得到点 B 的坐标，就可求出 OA，OB 的长，然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠BAO 的值。
（2） ①利用圆周角定理可证得∠CDF=2∠CDE，由∠OAE=2∠CDE，就可推出∠OAE=∠ODF，再利用圆内接四边形的的一个外角等于它的内对角，可证∠OEC=∠ODF，可得到∠OEC=∠OAE，由此可证△OCE➴△OEA；②过点 E 作 EM⊥OA 于点 M，利用 tan∠OAB 的值，设 EM=3m，AM=4m，可用含 m 的代数式表示出 OM，AE，AC 及 OC 的长，可得到点 E 的坐标，利用相似三角形的判定和性质，可求出 OE2 ， 然后建立关于 m 的方程
，解方程求出 m 的值，即可得到点 E 的坐标。
（3） 设圆 O 的半径为 r，过点 O 作 OG⊥AB 于 G，利用勾股定理求出 AB 的长，再利用直角三角形的两个面积公式求出 OG 的长，利用解直角三角形求出 AG 的长，就可用含 r 的代数式表示出 EG，连接 FH，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△OEG∽△HEF，利用相似三角形的对应边成比例，就可得到 OE·OF关于 r 的函数解析式，再将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解。




中考数学一轮专题 12 几何综合复习(2）
一、选择题（共 7 题；共 14 分）
1. 如图，一个函数的图像由射线 BA，线段 BC，射线 CD，其中点 A（-1，2），B（1，3），C（2，1），D（
6，5），则此函数（ ）

A. 当 x＜1，y 随 x 的增大而增大 B. 当 x＜1，y 随 x 的增大而减
C. 当 x＞1，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x＞1，y 随 x 的增大而减小
2. 若线段 AM，AN 分别是△ABC 边上的高线和中线，则（ ）

A. B. C. D.

3. 欧几里得的《原本》记载，形如 x2＋ax=b2 的方程的图解法是；画 Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC= ，AC=b
，再在斜边 AB 上截取 BD= 。则该方程的一个正根是（ ）

A. AC 的长 B. AD 的长 C. BC 的长 D. CD 的长
4. 如图，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于 E，连接 BC，过点 O 作 OF⊥BC 于 F，若 BD=8cm，AE=2cm，则 OF
的长度是（ ）


A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm


5. 如图，点 C 在反比例函数 （x＞0）的图象上，过点 C 的直线与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，且 AB=BC
，△AOB 的面积为 1，则 k 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线 y=ax2﹣x+2（a≠0
）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（ ）
A. a≤﹣1 或 ≤a＜ B. ≤a＜ C. a≤ 或 a＞ D. a≤﹣1 或 a≥
7. 如图，等边三角形 ABC 边长是定值，点 O 是它的外心，过点 O 任意作一条直线分别交 AB，BC 于点 D，E
．将△BDE 沿直线 DE 折叠，得到△B′DE，若 B′D，B′E 分别交 AC 于点 F，G，连接 OF，OG，则下列判断错误的是（ ）

A. △ADF➴△CGE B. △B′FG 的周长是一个定值
C. 四边形 FOEC 的面积是一个定值 D. 四边形 OGB'F 的面积是一个定值
二、填空题（共 5 题；共 6 分）
8. 如图，公园内有一个半径为 20 米的圆形草坪，A，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB=120°，从 A 到 B 只有路弧 AB，一部分市民走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路 AB。通过计算可知，这些市民其实仅仅
少走了 步（假设 1 步为 0.5 米，结果保留整数）。（参考数据： ≈1.732，π 取 3.142）

9. 如图，点 A，B 是反比例函数 y= （x＞0）图象上的两点，过点 A，B 分别作 AC⊥x 轴于点 C，BD⊥x 轴于点 D，连接 OA，BC，已知点 C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则 S△AOC= ．




10. 如图，AB 是⊙的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 DE⊥AB，交 O 于点 D，E 两点，过点 D 作直径 DF，连结 AF，则∠DEA= 。


11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx（a＞0）的顶点为 C，与 x 轴的正半轴交于点 A， 它的对称轴与抛物线 y=ax2（a＞0）交于点 B．若四边形 ABOC 是正方形，则 b 的值是 ．










12. 等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40°，点 P 在以 A 为圆心，BC 长为半径的圆上，且 BP=BA，则∠PBC 的度数为 。
三、解答题（共 8 题；共 105 分）
13. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，以点 B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段 AB 于点 D，以点 A 为圆心
，AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD。


（1） 若∠A=28°，求∠ACD 的度数；
（2） 设 BC=a，AC=b；①线段 AD 的长度是方程 的一个根吗？说明理由。②若线段
AD=EC，求 的值．
14. 设二次函数 （a，b 是常数，a≠0）

（1） 判断该二次函数图象与 x 轴交点的个数，说明理由．
（2） 若该二次函数的图象经过 A（-1，4），B（0，-1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
（3） 若 a+b<0，点 P（2，m）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．
15. 如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在边 BC 上（不与点 B，C 重合），连接 AG，作 DE⊥AG，于点 E，BF⊥AG
于点 F，设 。
（1） 求证：AE=BF；
（2） 连接 BE，DF，设∠EDF= ，∠EBF= 求证：
（3） 设线段 AG 与对角线 BD 交于点 H，△AHD 和四边形 CDHG 的面积分别为 S1 和 S2 ， 求 的最大值．
16. 小敏思考解决如下问题：原题：如图 1，点 P，Q 分别在菱形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠PAQ=∠B，求证 AP=AQ
。

（1） 小敏进行探索，若将点 P，Q 的位置特殊化：把∠PAQ 绕点 A 旋转得到∠EAF，使 AE⊥BC，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，如图 2，此时她证明了 AE=AF。请你证明。
（2） 受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图 3，作 AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为 E，F。请你继续完成原题的证明。
（3） 如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图 1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案。
17. 如图，已知 AB 为⊙O 直径，AC 是⊙O 的切线，连接 BC 交⊙O 于点 F，取 的中点 D，连接 AD 交 BC
于点 E，过点 E 作 EH⊥AB 于 H．



（1） 求证：△HBE∽△ABC；
（2） 若 CF=4，BF=5，求 AC 和 EH 的长．
18. 已知，点 M 为二次函数 y=-（x-b）2＋4b＋1 图象的顶点，直线 y=mx＋5 分别交 x 轴正半轴，y 轴于点 A
，B。

（1） 判断顶点 M 是否在直线 y=4x＋1 上，并说明理由。
（2） 如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx＋5＞-（x-b）2＋4b＋1，根据图象，写出 x 的取值范围。
（3） 如图 2，点 A 坐标为（5，0），点 M 在△AOB 内，若点 C（ ，y1），D（ 4，y2）都在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小。
19. 已知，△ABC 中，∠B=∠C，P 是 BC 边上一点，作∠CPE=∠BPF，分别交边 AC，AB 于点 E，F。



（1） 若∠CPE=∠C（如图 1），求证：PE＋PF=AB。
（2） 若∠CPE≠∠C，过点 B 作∠CBD=∠CPE，交 CA（或 CA 的延长线）于点 D．试猜想：线段 PE，PF 和 BD
之间的数量关系，并就∠CPE＞∠C 情形（如图 2）说明理由。
（3） 若点 F 与 A 重合（如图 3），∠C=27°，且 PA=AE。
①求∠CPE 的度数；
②设 PB=a，PA=b，AB=c，试证明：
20. 如图，Rt△OAB 的直角边 OA 在 x 轴上，顶点 B 的坐标为（6，8），直线 CD 交 AB 于点 D（6，3），交x 轴于点 C（12，0）．

（1） 求直线 CD 的函数表达式；
（2） 动点 P 在 x 轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动，过点 P 作直线 l
垂直于 x 轴，设运动时间为 t．
①点 P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
②请探索当 t 为何值时，在直线 l 上存在点 M，在直线 CD 上存在点 Q，使得以 OB 为一边，O，B，M，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时 t 的值．



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】解：观察图像可知：图像分为三段，从四个答案来看，界点都是 1，从题干来看，就是看 B 点的左边与右边的图像问题，B 点左边图像从左至右上升，y 随 x 的增大而增大，即当 x＜1，y 随 x 的增大而增大；B 点右边图像一段从左至右上升，y 随 x 的增大而增大，一段图像从左至右下降 y 随 x 的增大而减小；即当 2＞x＞1 时，y 随 x 的增大而减小；x＞2 时 y 随 x 的增大而增大；比较即可得出答案为：A
。
【分析】观察图像可知：图像分为三段，结合函数图像及四个点的坐标，可得到各段函数的变化情况及 y
随 x 的变化情况，由此可解答此题。
2. 【解析】【解答】解：∵线段 AM，AN 分别是△ABC 边上的高线和中线， 当 BC 边上的中线和高重合时，则 AM=AN
当 BC 边上的中线和高不重合时，则 AM＜AN
∴AM≤AN
故答案为：D
【分析】根据垂线段最短，可得出答案。
3. 【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理可得 AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2 ， 因为 AC=b，BD=BC= ，
所以 b2+ = ，
整理可得 AD2+aAD=b2 ， 与方程 x2＋ax=b2 相同，
因为 AD 的长度是正数，所以 AD 是 x2＋ax=b2 的一个正根故答案为 B。
【分析】由勾股定理不难得到 AC2+BC2=AB2=（AD+BD）2 ， 代入 b 和 a 即可得到答案
4. 【解析】【解答】解：连接 OB


∵AC⊥BD，OF⊥BC，BD=8
∴BE= BD=4,BF= BC
设圆的半径为 r，则 OE=r-2
在 Rt△BEO 中，
∴

解之：r=5
∴EC=OE+OC=3+5=8
在 Rt△BEC 中，


∴
在 Rt△OBF 中,

故答案为：D
【分析】利用垂径定理求出 BE 的长，BF= BC，在 Rt△BEO 中，利用勾股定理求出圆的半径，就可求出 EC
的长，再在在 Rt△BEC 中，利用勾股定理求出 BF 的长，然后在 Rt△OBF 中,利用勾股定理就可求出答案。

5. 【解析】【解答】解：过点 C 作 CD 垂直于 y 轴，垂足为 D，作 CE 垂直于 x 轴，垂足为 E，

则∠AOB=∠CDB=∠CEA=90°
又因为 AB=BC，∠ABO=∠CBD， 所以△ABO➀△CBD，
所以 S△CBD=S△ABO=1，
因为∠CDB=∠CEA=90°，∠BAO=∠CAE,
所以△ABO~△ACE，
所以 ， 则 S△ACE=4，
所以 S 矩形 ODCE=S△CBD+S 四边形 OBCE=S△ACE=4， 则 k=4，
故答案为 D
【分析】根据反比例函数 k 的几何意义：k=xy，其中 xy 表示 S 矩形ODCE ， 可过 C 点作 CD 垂直于 y 轴，垂足为 D，作 CE 垂直于 x 轴，垂足为 E，即求矩形 ODCE 的面积。
6. 【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为 y=ax2-x+2．




观察图象可知当 a＜0 时，x=-1 时，y≤2 时，满足条件，即 a+3≤2，即 a≤-1； 当 a＞0 时，x=2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，满足条件，
∴a≥ ，
∵直线 MN 的解析式为 y=- x+ ，

由 ，消去 y 得到，3ax2-2x+1=0，

∵△＞0，
∴a＜ ，
∴ ≤a＜ 满足条件，
综上所述，满足条件的 a 的值为 a≤-1 或 ≤a＜ ， 故答案为：A．
【分析】此图有两种情况,根据抛物线的特点及线段两个端点画出简易图像，观察图象可知①当 a＜0 时， x=-1 时，y≤2 时，满足条件，即 a+3≤2，即 a≤-1；②当 a＞0 时，x=2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，满足条件，故 a≥ ，用待定系数法求出直线 MN 的解析式，解联立 MN 的解析式与抛物线的解析式，
根据它们有两个不同的交点得出△＞0，从而得出不等式求出得出 a＜ ,故 ≤＜ ,综上所述得出答案。7.【解析】【解答】解：A、连接 OA、OC，∵点 O 是等边三角形 ABC 的外心，








∴AO 平分∠BAC，∴点 O 到 AB、AC 的距离相等，
由折叠得：DO 平分∠BDB'，∴点 O 到 AB、DB'的距离相等，
∴点 O 到 DB'、AC 的距离相等，∴FO 平分∠DFG，


∠DFO=∠OFG= （∠FAD+∠ADF），

由折叠得：∠BDE=∠ODF= （∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF= （∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
∴∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，
∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，∴△DOF➴△GOF➴△GOE，∴OD=OG，OE=OF，
∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，
∴△OAD➴△OCG，△OAF➴△OCE，∴AD=CG，AF=CE，∴△ADF➴△CGE，故选项 A 正确；
B、∵△DOF➴△GOF➴△GOE，∴DF=GF=GE，∴△ADF➴△B'GF➴△CGE，
∴B'G=AD，∴△B'FG 的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），
故选项 B 正确；
C、S 四边形 FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC= （定值）， 故选项 C 正确；
D、S 四边形 OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF
=S 四边形 OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC﹣S△OFG ，
过 O 作 OH⊥AC 于 H，∴S△OFG= •FG•OH，
由于 OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形 OGB'F 的面积也变化，故选项 D 不一定正确
；
故选：D．
【分析】利用三角形内心的定义，可知 AO 平分∠BAC，点 O 到 AB、AC 的距离相等，利用角平分线的定理及逆定理，可知 FO 平分∠DFG，利用角平分线的定义，可以推出∠OFD+∠ODF=120°，就可求出
∠DOF=∠EOG=60°，再利用全等三角形的判定，可证得△DOF➴△GOF➴△GOE，利用全等三角形的对应边相等
，可得到 OD=OG，OE=OF，∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，然后；由全等三角形的判定和性质可证得 AD=CG，AF=CE，继而可得△ADF➴△CGE，可对 A 作出判断；利用全等三角形的性质，可证得 DF=GF=GE
，B'G=AD，再证明△B'FG 的周长=AC，可对 B 作出判断；再证明 S 四边形FOEC=S△AOC= ， 由此可对 C 作出判断；过 O 作 OH⊥AC 于 H，然后证明 S 四边形OGB'F=S△OFD+△ADF=S△OAC﹣S△OFG ， 利用三角形的面积公式可得到 S△OFG= •FG•OH， 由于 OH 是定值，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形 OGB'F 的面积也变化，可对 D 作出判断。
二、填空题

8. 【解析】【解答】解：连接 AB，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C,




∴AB=2OC,∠OCA=90º,∠AOC=60º,∴AC=OA·Sin60º=20× =10 ，
∴AB=20 =34.64,弧 AB= =41.89,∴41.89-34.64=7.25 米，7.25÷0.5≈15 步。
故答案为：15
【分析】连接 AB，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，利用垂径定理可证得 AB=2OC 及∠AOC 的度数，再利用解直角三角形求出 AC 的长，即可得到 AB 的长，再求出弧 AB 的长，然后求出弧 AB 与弦 AB 的差，就可得出答案。
9. 【解析】【解答】解：∵BD⊥CD，BD=2，∴S△BCD= BD•CD=3，即 CD=3．
∵C（2，0），即 OC=2，∴OD=OC+CD=2+3=5，∴B（5，2），代入反比例解析式得：k=10，即 y= ，则 S△AOC=5
．
故答案为：5．
【分析】利用△BCD 的面积求出 CD 的长，由点 C 的坐标可得到 OC 的长，从而可求出 OD 的长，由 OD 和BD 的长，可得到点 B 的坐标，然后将点 B 的坐标代入函数解析式求出 k 的值，然后利用反比例函数的几何意义可得到△AOC 的面积。
10. 【解析】【解答】解：∵DE⊥AB∴∠DCO=90°
∵点 C 是半径 OA 的中点∴OC= OA= OD∴∠CDO=30°∴∠AOD=60°
∵弧 AD=弧 AD∴∠DEA= ∠AOD=30°。故答案为：30°
【分析】由点 C 是半径 OA 的中点及 DE⊥AB，可求出∠CDO=30°，∠AOD=60°，再利用圆周角定理可求出∠DEA
的度数。
11. 【解析】【解答】解: ∵四边形 ABOC 是正方形，
∴点 B 的坐标为（﹣ ，﹣ ）．
∵抛物线 y=ax2 过点 B，
∴﹣ =a（﹣ ）2 ， 解得：b1=0（舍去），b2=﹣2． 故答案为：﹣2．
【分析】由正方形的性质可得点 B 的坐标为（﹣ ，﹣ ），将点 B 的坐标代入解析式 y=ax2（ a＞0）即可求解。

12. 【解析】【解答】解：此题分两种情况 ：①点 P 在 AB 的左侧，连接 PA，如图，

∴BC=PA,∵等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40°，∴∠ABC=70º,AB=AC,又∵BP=BA，∴AC=BP,∴四边形 APBC 是平行四边形，∴AC∥PB,∴∠CAB=∠PBA=40º,∴∠PBC=∠PBA＋∠ABC=110º,
②点 P 在在 AB 的右侧，连接 PA，如图，

∴BC=PA，,∵等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40°，∴∠ABC=70º,AB=AC,又∵BP=BA，∴AC=BP,在△ABP 与△BAC 中
，∵AB=BA,AP=BC,AC=BP,∴△ABP➴△BAC,∴∠ABP=∠BAC=40º,∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=30º.
故答案为：30°或 110°
【分析】此题分两种情况 ：①点 P 在 AB 的左侧，连接 PA，根据等腰三角形的性质由等腰三角形 ABC 中
，顶角 A 为 40°，得出∠ABC=70º,AB=AC,又 BP=BA，故 AC=BP,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出：四边形 APBC 是平行四边形，根据平行四边形的对边平行得出 AC∥PB,根据二直线平行内错角相等得出∠CAB=∠PBA=40º,根据∠PBC=∠PBA＋∠ABC 得出答案；,②点 P 在在 AB 的右侧，连接 PA，根据等腰三角形 ABC 中，顶角 A 为 40°，∴得出∠ABC=70º,AB=AC,又 BP=BA，故 AC=BP 由 SSS 判断出△ABP➴△BAC,根据全等三角形的对应角相等得出∠ABP=∠BAC=40º,根据∠PBC=∠ABC-∠ABP 得出答案。
三、解答题

13. 【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余可求出∩B 的度数，由画图可知 BC=BD，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠BCD 的度数，从而可求出∠ACD 的度数。
（2）①利用勾股定理，可以表示出 AB 的长，利用 AD=AB-BD，就可表示出 AD 的长，再将 AD 代入方程， 可得到方程的左边和右边相等，即可作出判断；②由已知可得到 是方程 x2+2ax-b2=0 的根，将其代入方程，可证 4ab=3b，从而可得到 a 与 b 的比值。
14. 【解析】【分析】（1）根据题意求出△=b2-4ac 的值，再分情况讨论，即可得出答案。
（2） 根据已知点的坐标，可排除点 C 不在抛物线上，因此将 A、B 两点代入函数解析式，建立方程组求出 a、b 的值，就可得出函数解析式。
（3） 把 x=2 代入用 ab 表示 m，由 m 的范围结合 a+b>0 可解。

15. 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，可证得 AD=AB，同时利用余角的性质，可证得∠ADE=∠BAF，
∠DEA=∠AFB，然后根据 AAS 可证 Rt△DAE➴Rt△ABF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2） 利用已知条件易证 Rt△BFG∽Rt△DEA，利用相似三角形的对应边成比例，可证得 ，再利用解直角三角形分别求出 tanα，tanβ，从而可以推出 ktanβ=tanα。
（3） 设正方形 ABCD 的边长为 1，则 BG=k，用含 k 的代数式可以表示出△ABG 的面积，再分别用含 k 的代数式表示出 S1 ， S2 ， 然后求出 S1 与 S2 的比关于 k 的函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出 S1 与 S2 的比的最大值。
16. 【解析】【分析】（1）利用菱形的性质，易证∠B=∠D，AB=AD，再证明∠AFD=∠AEB=90°，然后利用 AAS
证明△AEB➴△AFD，根据全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（2） 由∠PAQ=∠EAF=∠B，可以推出∠PAF=∠FAQ，再利用垂直的定义可证∠AEP=∠AFQ，然后利用全等三角形的判定定理，去证明△AEP➴△AFQ，根据全等三角形的对应边相等，可证得结论。
（3） 利用菱形的面积公式，结合（2）的结论进行解答即可。
17. 【解析】【分析】（1）利用切线的性质可证 CA⊥AB，再利用垂直的定义可知∠EHB=∠CAB，然后根据有两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
（2）连接 AF，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可知△CAF∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出 AC 的长；再利用勾股定理求出 AF 的长；利用圆周角定理证明∠EAF=∠EAH，根据角平分线的性质，可证得 EH=EF，从而可以推出 Rt△AEF➴Rt△AEH，根据全等三角形的对应边相等，可得到 AH 的长
，然后在 Rt△EHB 中，利用勾股定理求出 EH 的长。
18. 【解析】【分析】(1）将点 B 的横坐标代入函数解析式求出 y 的值，结合函数解析式，可以作出判断。
（2） 利用一次函数解析式求出点 B 的坐标，再将点 B 的坐标代入二次函数解析式，求出 b 的值，就可求出二次函数解析式与 x 轴的交点 A 的坐标，然后观察函数图像，由点 A，B 的横坐标，就可得到一次函数值大于二次函数值时的 x 的取值范围。
（3） 先求出直线 AB 的函数解析式，将直线 AB 和直线 EF 联立方程组，解方程组求出方程组的解，就可得到点 E 的坐标，由点 E 和点 F 的坐标，就可得到点 M 在△AOB 内时的 b 的取值范围；当点 C，D 关于抛物线对称轴（直线 x=b）对称时的 b 的值，由题意可知顶点 M 在直线 y=4x＋1 上，综上所述，由 b 的取值范围，就可得到 y1 与 y2 的大小关系。
19. 【解析】【分析】（1）根据已知条件：∠B=∠C，∠CPE=∠BPF，可证得∠B=∠BPF=∠CPE，∠BPF=∠C，利用等角对等边，可知 PF=BF，再证明 PE∥AF，PF∥AE，就可推出四边形 AEPF 是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，可得到 PE=AF，然后可证得结论。
（2） 过点 B 作 DC 的平行线交 EP 的延长线于点 G，则∠ABC=∠C=∠CBG，易证△FBP➴△GBP，根据全等三角形的对应边相等，可得到 PF=PG，再证明 PE∥BD，可以推出四边形 BGED 是平行四边形，由此可得BD=EG，即可证得线段 PE，PF 和 BD 之间的数量关系。
（3） ①①设∠CPE=∠BPF=x ，利用等边对等角，可以推出∠APE=∠PEA=∠C＋∠CPE，用含 x 的代数式表示出∠APE，再利用平角的定义建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，即可得到∠CPE 的度数；②延长 BA 至 M，使 AM=AP，连结 MP，根据∠BAP=180°-∠B-∠BPA，可求出∠BAP 的度数，再求出∠M 的的度数，就可证得∠M=∠BPA，然后根据有两组对应角相等的两三角形相似，易证 △ABP∽△PBM，可以推出 BP2=AB・BM
，即可证结论。

20. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，由点 C，D 的坐标就可求出直线 CD 的函数解析式。
（2）①如图 1 中，作 DP∥OB，则∠PDA=∠B，利用平行线的判定定理可知 DP∥OB，根据平行线分线段成比例，就可求出 PA，OP 的长，即可得到点 P 的坐标，利用对称性可得到点 P 的另一个坐标；②如图当OP=OB=10 时，作 PQ∥OB 交 CD 于 Q．可得到点 P 的坐标，利用待定系数法求出直线 BO 的函数解析式，利
用一次函数图像平移的规律，可知直线 PQ 的解析式为 y= x+b，将点 P 代入可求出直线 PQ 的解析式，然后将直线 PQ 和直线 CD 的解析式联立方程组，解方程组，就可得到点 Q 的坐标，再证明四边形 OBQP 是菱形，此时点 M 和点 P 重合，由题意可得到此时 t 的值；当 OQ1=OB=10 时，利用 CD 的解析式，设点 Q1（
m， ），利用勾股定理建立关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，可得到点 Q 的横坐标，再利用菱形的性质，对角线互相平分，利用线段的中点坐标的计算方法，设点 M 的横坐标为 n，建立关于 n 的方程，解方程求出 n 的值，然后就 OP=10，就可求出此时的 t 的值；当点 Q 与点 C 重合时，利用菱形的对称性，可得到点 M 的横坐标，即可求出此时 t 的值，综上所述可得到 t 的值。




中考数学一轮专题 13 综合复习
一、选择题（共 20 题；共 40 分）
1. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 明天要下雨; B. 打开电视机，正在直播足球比赛;
C. 抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于 1; D. 买一张彩票，一定会中一等奖. 2.如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图，那么这个几何体可以是（ ）

A. B. C. D.
3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象大致为（ ）




A. B. C.








D.




4. 已知：如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧上不同于点 C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）



A. 45° B. 60° C. 75° D. 90°
5. 如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B=20°，则∠C 的大小等于（ ）





A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°
6. 如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A. 60° B. 65° C. 72° D. 75°
7. 如图，直线 l1∥l2∥l3 ， 直线 AC 分别交 l1 ， l2 ， l3 于点 A，B，C，直线 DF 分别交 l1 ， l2 ， l3
于点 D，E，F，AC 与 DF 相交于点 G，且 AG=2，GB=1，BC=5，则 的值为（ ）

A. B. 2 C. D.
8. 如图，点 E 在正方形 ABCD 的 CD 边上，连结 BE，将正方形折叠，使点 B 与 E 重合， 折痕 MN 交 BC 边于点 M，交 AD 边于点 N，若 tan∠EMC＝ ，ME＋CE＝8，则折痕 MN 的长为（ ）

A. B. 4 C. 3 D. 13
9. 如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与 x 轴相切于点 A（8，0），与 y 轴分别交于点 B（0，4）和点 C（0，
16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ）




A. 10 B. 8 C. 4 D. 2

10. 将抛物线 y=﹣2x2+1 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线为（ ）
A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y=﹣2（x+1）2+3 C. y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3
11. 已知二次函数 y=（x+m）2–n 的图象如图所示，则一次函数 y=mx+n 与反比例函数 y= 的图象可能是
（ ）




A. B. C. D.



12. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是 ，则这个二次函数的表达式为（ ）

A. B. C. D. 13.函数 y=x2+bx+c 与 y=x 的图像如图所示，有以下结论：

①b2﹣4c＞0；
②b+c+1=0；
③3b+c+6=0；
④当 1＜x＜3 时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（ ）




A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG
，则四边形 EFGH 的周长是（ ）


A. B. 13 C. D.
15. 一个立方体的每一个面都写有一个自然数，并且相对的两个面内的两数之和都相等，下图是这个立方体的平面展开图，若 20、0、9 的对面分别写的是 a、b、c，则 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为（ ）。


A. 481 B. 301 C. 602 D. 962
16. 如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使 C 点落在 E 处，BE 与 AD 相交于点 F，下列结论：
①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③ ＝
④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④

17. 若 tanA= ， 则 sinA 的值是（ ）


A. B. C. 3 D.

18. 如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： （坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比）， 堤高 BC=5m，则坡面 AB 的长度是（ ）





A. 10m B. 10 m C. 15m D. 5 m
19. 如图，PA、PB、CD 分别切⊙O 于 A、B、E，CD 交 PA、PB 于 C、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为（ ）

A. 50° B. 62° C. 66° D. 70°

20. 如图，⊙O 的半径为 2，点 A 的坐标为(2,2 )，直线 AB 为⊙O 的切线，B 为切点，则 B 点的坐标为（
）








A. (-
)
B. (- ,1) C. (- ) D. (-1, )
二、填空题（共 10 题；共 15 分）
21.计算：（π﹣3.14）0+2cos60°= ．
22. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC，E 为垂足，若 cosB= ， EC=2，P 是 AB 边上的一个动点，则线段 PE
的长度的最小值是 ．


23. 如图，已知直线 l1∥l2∥l3∥l4 ， 相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则 sinα＝ ．
24. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB＝45°，点 P 在数轴上运动，若过点 P
且与 OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设 OP＝x(x≥0)，则 x 的取值范围是 ．

25. 如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线 （x≥0）与 （x≥0）于 B、C 两点，过点 C 作
y 轴的平行线交 y1 于点 D，直线 DE∥AC，交 y2 于点 E，则 = ．

26. 二次函数 y=ax2﹣2ax+3 的图象与 x 轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0），则一元二次方程
ax2﹣2ax+3=0 的解为
27. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，那么 cosA= ．
28. 如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小圆于点 D，若 OD=2，tan∠OAB=

，则 AB 的长是 ．


29. 如图，PA 切⊙O 于点 A，该圆的半径为 3，PO=5，则 PA 的长等于 ．


30. 如图，PA、PB 是⊙0 的切线，A、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC= ．

三、解答题（共 9 题；共 69 分）
31. 计算：
（1）－|cos 60°－1|＋( )－1－(2017－π)0；
（2）2－1＋ －4sin 60°－ 0 ．
32. 如图，F 为平行四边形 ABCD 的边 AD 的延长线上的一点，BF 分别交于 CD、AC 于 G、E，若 EF=32，GE=8
，求 BE．

33. 抛物线 y=x2+bx+c 过点（2，-2）和（-1，10），与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点．
（1） 求抛物线的解析式．
（2） 求△ABC 的面积．
34. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 经过点 O，CD 是弦，且 CD⊥AB 于点 F，连接 AD，过点 B 的直线与线段 AD 的延长线交于点 E，且∠E=∠ACF．




（1） 若 CD=2 ， AF=3，求⊙O 的周长；
（2） 求证：直线 BE 是⊙O 的切线．
35. 如图，花丛中有一路灯杆 AB，在灯光下，大华在 D 点处的影长 DE=3 米，沿 BD 方向行走到达 G 点，DG=5
米，这时大华的影长 GH=5 米．如果大华的身高为 2 米，求路灯杆 AB 的高度．

36.36 .如图，在 Rt△ABC 中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC， AB 相交于点D ， E ，连结 AD ．已知∠CAD=∠B ．

（1） 求证：AD 是⊙O 的切线．
（2） 若 BC=8，tanB= ，求⊙O 的半径．
37. 如图，O 为平面直角坐标系的原点，半径为 1 的⊙B 经过点 O，且与 x、y 轴分别交于 A、C 两点，点 A
的坐标为(－ ，0)，AC 的延长线与⊙B 的切线 OD 交于点 D，A、B、C 三点在同一条直线上．

（1） 求 OC 的长和∠CAO 的度数；
（2） 求过点 D 的反比例函数的表达式．

38. 已知直线 l：y=kx 和抛物线 C：y=ax2+bx+1．
（Ⅰ）当 k=1，b=1 时，抛物线 C：y=ax2+bx+1 的顶点在直线 l：y=kx 上，求 a 的值；
（Ⅱ）若把直线 l 向上平移 k2+1 个单位长度得到直线 r，则无论非零实数 k 取何值，直线 r 与抛物线 C 都只有一个交点；
（i） 求此抛物线的解析式；
（ii） 若 P 是此抛物线上任一点，过点 P 作 PQ∥y 轴且与直线 y=2 交于点 Q，O 为原点，求证：OP=PQ． 39.如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线
y=﹣ x+3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF⊥x 轴于点F，交直线 CD 于点 E．设点 P 的横坐标为 m．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若 PE=5EF，求 m 的值；
（3） 若点 E′是点 E 关于直线 PC 的对称点、是否存在点 P，使点 E′落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．



答案解析部分

一、选择题

1. 【解析】【解答】解：A、明天要下雨不是一定的，是实际事件，不符合题意； B、打开电视机，正在直播足球比赛不一定发生，是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数在 1-6 之间，不会小于 1，是必然事件； D、买一张彩票，不一定能中一等奖，是随机事件，不符合题意.
故答案为：C.


【分析】根据随机事件和必然事件的定义分析判断，即可能出现也可能不出现的事件是随机事件，一定条件下重复进行试验， 每次必然发生的事件叫必然事件.

2. 【解析】【解答】解：A、主视图由 3 个小正方形组成，下面两个，上面一个靠左，符合题意；
B、主视图由 3 个小正方形组成，下面两个，上面一个靠右，不符合题意；
CD、主视图由 2 个小正方形组成，两个正方形都在下面，不符合题意； 故答案为：A.

【分析】 主视图是从物体正面看到的图形，然后根据几何体的主视图，分析判断哪个主视图符合即可． 3.【解析】【解答】解：A、 一次函数图象 向右上升 a>0, 而二次函数图象张口向下 a<0, 不符合题意；
B、一次函数图象 向右下降 a<0, 与 y 轴的交点在 x 轴上方 c>0, 而二次函数图象张口向下 a<0,
与 y 轴的交点在 x 轴上方 c>0, 符合题意；
C、一次函数图象 向右下降 a<0, 而二次函数图象张口向上 a>0, 不符合题意；
D、一次函数图象 向右下降 a<0, 而二次函数图象张口向上 a>0, 不符合题意；


【分析】根据一次函数图象的伸展趋势判断 a 的正负，与 y 轴的交点判断 c 的正负，再根据二次函数图象张口判断 a 的正负，与 y 轴的交点判断 c 的正负，如果推出相互矛盾的结果就不符合，否则就是符合的.
4.【解析】【解答】解：如图，连接 OB、OC，则∠BOC=90°，


根据圆周角定理，得：∠BPC= ∠BOC=45°． 故选 A．




【分析】连接 OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°． 5.【解析】【解答】解：如图，连接 OA，


∵AC 是⊙O 的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°． 故选：D．
【分析】连接 OA，根据切线的性质，即可求得∠C 的度数．
6. 【解析】【解答】解：连接 OD，AR，
∵△PQR 是⊙O 的内接正三角形，
∴∠PRQ=60°，
∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，
∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，
∴△AOD 为等腰直角三角形，
∴∠AOD=90°，
∵BC∥RQ，AD∥BC，
∴AD∥QR，

∴∠ARQ=∠DAR，
∴弧 AQ=弧 DR，
∵△PQR 是等边三角形，
∴PQ=PR，
∴弧 PQ=弧 PR，
∴弧 AP=弧 PD，
∴∠AOP= ∠AOD=45°，
所以∠AOQ=∠POQ﹣∠AOP=120°﹣45°=75°．
故答案为：D．
【分析】根据⊙O 的内接正三角形，得到∠PRQ=60°，∠POQ=120°，由四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形， 得到△AOD 为等腰直角三角形，得到∠AOD=90°，由 BC∥RQ，AD∥BC，得到 AD∥QR，∠ARQ=∠DAR，所以弧 AQ= 弧 DR，由△PQR 是等边三角形，得到 PQ=PR，弧 PQ=弧 PR，所以弧 AP=弧 PD，所以∠AOP= ∠AOD=45°，
即∠AOQ=∠POQ﹣∠AOP=120°﹣45°=75°．
7. 【解析】【解答】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=AG+BG=3，
∵直线 l1∥l2∥l3 ，
∴ = ，
故选：D．
【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算，可求得答案．
8. 【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴
∵在 Rt△MCE 中,
即
∴设 根据勾股定理可知：





∴CE=3，
解得：


即 BC=AD=CD=9，DE=6，
由折叠的性质可得：
∵

∴
∴
∴

∴
∴

∴
过点 作 ,



故答案为：C.
【分析】过点 N 作 NH⊥BC ,在 Rt△MCE 中,由 tan∠EMC= 可求得 ，设 EC=3x，MC=4x，根据勾股定理和折叠的性质可得：ME=BM=5x，由题意 ME＋CE＝8 可求得 x 的值，于是解直角三角形 DEF 可求得 DF 和 EF 的值，根据线段的构成可得F= E−EF，解直角三角形 NF 可求出N 的值，则由折叠的性质可得 AN=N，解直角三角形 MNH 即可求得 MN 的值。
9. 【解析】【解答】解：如图连接 BM、OM，AM，作 MH⊥BC 于 H．


∵⊙M 与 x 轴相切于点 A（8，0），
∴AM⊥OA，OA=8，
∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，
∴四边形 OAMH 是矩形，
∴AM=OH，
∵MH⊥BC，
∴HC=HB=6，

∴OH=AM=10，
在 RT△AOM 中，OM= = =2 ． 故选 D．
【分析】如图连接 BM、OM，AM，作 MH⊥BC 于 H，先证明四边形 OAMH 是矩形，根据垂径定理求出 HB，
在 RT△AOM 中求出 OM 即可．本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
10. 【解析】【解答】解；将抛物线 y=﹣2x2+1 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线
为 y=﹣2（x﹣1）2+3， 故答案为：D．
【分析】根据抛物线的平移规律直接得出新抛物线的解析式。
11. 【解析】【解答】解：观察二次函数图象可知：
∴一次函数 y=mx+n 的图象经过第一、二、四象限,反比例函数 的图象在第二、四象限. 故答案为：C.
【分析】由二次函数的顶点为（m，n），结合图像可 m < 0 ， n > 0 ，所以 mn<0，从而可判断一次函数与反比例函数图像所经过的象限，即可得出符合题意的答案.
12. 【解析】【解答】方法一：抛物线与 x 轴交于点（-3，0），对称轴为 x=-1， 抛物线与 y 轴交于点（0,3）
所以设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，则有


，解得： ，


所以： ，
方法二：设抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（m,0）
∴ =-1，∴m=1
∴另一个交点为（1，0）
设抛物线解析式为 y=a（x-1）(x+3） 将点（0,3）代入得：a=-1
∴y=-（x-1）(x+3）=− x2 − 2x + 3
故答案为：D.
【分析】方法一：根据图像可知此抛物线经过（0,3），（1，0），且对称轴为直线 x=-1，设函数解析式， 建立方程组求出 a、b、c 的值，即可求出函数解析式；方法二：先求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标， 设函数解析式为交点式，再将点（0,3）代入函数解析式求出 a 的值即可求出函数解析式。
13. 【解析】【解答】解：∵函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，

∴b2﹣4ac＜0； 故①错误；
当 x=1 时，y=1+b+c=1，

故②错误；
∵当 x=3 时，y=9+3b+c=3，
∴3b+c+6=0；
③正确；
∵当 1＜x＜3 时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0． 故④正确．
故选 B
【分析】由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b2﹣4c＜0；当 x=1 时，y=1+b+c=1；当 x=3 时，y=9+3b+c=3
；当 1＜x＜3 时，二次函数值小于一次函数值，可得 x2+bx+c＜x，继而可求得答案． 14.【解析】【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=3，
∴AC=BD= = = ，
∵EF∥AC∥HG，∴ ，
∵EH∥BD∥FG， ∴ ，
∴ =1，
∴EF+EH=AC= ，
∵EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH 是平行四边形，
∴四边形 EFGH 的周长=2（EF+EH）= ． 故答案为：D.

【分析】先利用勾股定理求出 AC 和 BD，然后由平行线截线段成比例分别列式，两式联立，得出∴EF+EH=AC
，可知 EF 和 EH 的长度之和，于是根据平行四边形的性质可得四边形 EFGH 的周长. 15.【解析】【解答】解：由题意得：20+a=b=9+c，
∴a-b=-20，b-c=9，a-c=-11， 原式= ，
= ，
=301，
故 a2+b2+c2-ab-bc-ca 之值为 301． 故答案为：B．
【分析】根据题意由相对的两个面内的两数之和都相等，得到 20+a=b=9+c，运用完全平方公式，求出代数式的值.

16. 【解析】【解答】①∵△ABD 为直角三角形，
∴BD2=AD2+AB2 ，
∴BD≠AD2+AB2 ，错误；
②根据折叠性质可知：DE=CD=AB，∠A=∠E，∠AFB=∠EFD，∴△ABF≌△EDF（AAS），正确；
③根据②可以得到△ABF≌△EDF，∴ ＝ =1，正确；
④在 Rt△ABD 中，∠ADB≠45°，∴AD≠BD•cos45°，错误. 综上，正确的有 ②③ .
故答案为：B.


【分析】①由于△ABD 为直角三角形，由勾股定理可得 BD2=AD2+AB2；②根据矩形的性质结合折叠的性质 DE=CD=AB，利用角角边定理可证△ABF≌△EDF；③由于△ABF≌△EDF，对应边之比等于 1；④用三角函数的定义可得 AD≠BD•cos45°.

17. 【解析】【解答】解：tanA= ，



4sinA= ，
解得 sinA= ， 故选：B．
【分析】根据 ， 可得关于 sinA 的方程，根据解方程，可得答案． 18.【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵BC=5m，
∴ = ，
∴ m，
∴ m.
故答案为：A.


【分析】根据坡度先求出 AC，再利用勾股定理求出坡面 AB 的长即可.
19. 【解析】【解答】解：∵PA、PB、CD 分别切⊙O 于 A、B、E，CD 交 PA、PB 于 C、D 两点，

∴CE=CA，DE=DB，
∴∠CAE=∠CEA，∠DEB=∠DBE，
∴∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠CAE，∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠DBE，

∴∠CAE= ∠PCD，∠DBE= ∠PDC，


即∠PAE= ∠PCD，∠PBE= ∠PDC，
∵∠P=40°，
∴∠PAE+∠PBE= ∠PCD+ ∠PDC= （∠PCD+∠PDC）= （180°﹣∠P）=70°．
故选 D．
【分析】由 PA、PB、CD 分别切⊙O 于 A、B、E，CD 交 PA、PB 于 C、D 两点，根据切线长定理即可得：CE=CA
，DE=DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠PAE= ∠PCD，∠PBE= ∠PDC，继而求得
∠PAE+∠PBE 的度数．
20. 【解析】【解答】解：过 B 作 BE⊥x 轴于 E，过 A 作 AD⊥x 轴于 D，



∵A（2，2 )，
∴OD=2=OB，AD=2 ，
在 Rt△AOD 中，tan∠AOD= = ，
∴∠AOD=60°，
∵AD⊥x 轴，AB 切⊙O 于 B，
∴∠ADO=∠ABO=90°，
在 Rt△ABO 和 Rt△ADO 中 ，
∴Rt△ABO≌Rt△ADO，
∴∠AOD=∠AOB=60°，∴∠BOE=60°，
∴∠EBO=30°，
∴OE=1，
∴BE= ==，
∴B（-1， )， 故答案为：D．

【分析】过 B 作 BE⊥x 轴于 E，过 A 作 AD⊥x 轴于 D，结合 A 点坐标求出∠AOB 为 60°，由切线的性质知
∠ABO=90°，于是可证 Rt△ABO 全等 Rt△ADO，对应角∠AOD 和∠AOB 相等得出∠AOB 的度数，则∠BOE 也等于 60°，△BEO 的两直角边长可求，从而得出 B 点坐标.
二、填空题

21. 【解析】【解答】原式=1+2× ，
=1+1，
=2.
故答案为：2.
【分析】根据 0 指数的意义，特殊锐角三角函数值分别化简，再按有理数的混合运算顺序算出答案。
22. 【解析】【解答】解：设菱形 ABCD 的边长为 x，则 AB=BC=x，又 EC=2，所以 BE=x﹣2， 因为 AE⊥BC 于 E，
所以在 Rt△ABE 中，cosB= ， 又 cosB= ， 于是 = ，
解得 x=10，即 AB=10．
所以易求 BE=8，AE=6，
当 EP⊥AB 时，PE 取得最小值．
故由三角形面积公式有： AB•PE= BE•AE， 求得 PE 的最小值为 4.8．
故答案为 4.8．

【分析】设菱形 ABCD 的边长为 x，则 AB=BC=x，又 EC=2，所以 BE=x﹣2，解直角△ABE 即可求得 x 的值， 即可求得 BE、AE 的值，根据 AB、PE 的值和△ABE 的面积，即可求得 PE 的最小值．
23. 【解析】【解答】解：过 D 作 DF⊥l1, 交 i2 于点 E，


∵∠ADF+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
∵∠AFD=∠CED，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD，

∴△AFD≌△DEC（AAS），
∴∴AF=DE=2，
∴AD= ，
∴sin α = = .
故答案为： .
【分析】过 D 作 DF⊥l1, 交 i2 于点 E，由同角的余角相等推得∠ADF=∠DCE，结合正方形的边长相等，利用角角边定理可证△AFD≌△DEC，则对应边 AF=DE=2，于是在 Rt△AFD 中利用勾股定理即可求出 AD 的长，则sin α 可求.





24. 【解析】【解答】解：如图，当过 P 的直线与圆相切时，x 有最大值，

∵∠OQP=90°，∠P1OQ=45°，

∴OP1= = =，
当 P 与 O 重合时，x 有最小值， 故答案为： 0≤x≤ .
【分析】首先找出 OP 最大或最小时点 P 的位置，由图可知当平行线与圆相切时，OP 有最大值，当 P 与 O
重合时，OP 有最小值，其值为 0，再利用三角函数求出最大值，即可得出 x 的取值范围。
25. 【解析】【解答】解：设 A 点坐标为(0,a),(a>0)， 则 x2=a,解得 x= ，
∴ 点 B( ,a),
∴AB= .
∵ =a ，


则 x= ，
∴点 C( ,a)，
∵CD∥y 轴，
∴点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同为 ，
∴y1=( )2=5a ，
∴点 D 的坐标为( ,5a).
∵DE∥AC ，
∴点 E 的纵坐标为 5a ，
∴ =5a ，
∴x=5 ，
∴点 E 的坐标为(5 ,5a)，
∴DE=5 － ，

∴ = .

故答案是： .
【分析】设 A 点坐标为(0,a)，根据已知过点 C 作 y 轴的平行线交 y1 于点 D，可得出点 A、B、C 的纵坐标相等，就可分别表示出点 B、C 的坐标，利用勾股定理求出 AB 的长，而 CD∥y 轴，得出点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，从而可以表示出点 D 的坐标，又有 DE∥AC，则点 D、E 的纵坐标相等，可表示出点 E 的坐标，从而求出 DE 的长，即可求出结果。
26. 【解析】【解答】解：根据题意，x=﹣1 是 ax2﹣2ax+3=0 的根，
∴a=﹣1，
一元二次方程﹣x2+2x3=0 的解为：x1=﹣1，x2=3， 故答案为：．
【分析】根据题意把 x=﹣1 代入 ax2﹣2ax+3=0 求出 a，得到关于 x 的一元二次方程，解方程得到答案．
27. 【解析】【解答】如图所示：


∵Rt△ABC 中，∠C=90°，∴sinA= ，


∵sinA= ，∴c=2a，∴b= ，
∴cosA= ，

故答案为： .

【分析】利用角直角三角开的知识进行计算即可。
28. 【解析】【解答】解：如图，连接 OC．

∵AB 是⊙O 切线，
∴OC⊥AB，AC=BC，
在 Rt△ACO 中，∵∠ACO=90°，OC=OD=2 tan∠OAB= ，
∴ = ，
∴AC=4，
∴AB=2AC=8，
故答案为 8
【分析】本题是切线的性质和垂径定理，三角函数定义的综合运用。抓住已知条件大圆的弦 AB 切小圆于点 C，连半径 OC 得 OC⊥AB，利用三角函数定义求出 AC 的长，由垂径定理得出 AB 的长。
29. 【解析】【解答】解：∵PA 切⊙O 于点 A，
∴OA⊥AP；
在 Rt△AOP 中，OA=3，PO=5；

根据勾股定理得：PA= =4．
【分析】由切线的性质知∠OAP=90°，在 Rt△OAP 中，已知了斜边 PO 和直角边 OA 的长，可用勾股定理求出 PA 的长．
30. 【解析】【解答】解：∵PA 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，
∴∠PAC=90°．
∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴PA=PB，
∵∠P=40°，
∴∠PAB=（180°﹣∠P）÷2=（180°﹣40°）÷2=70°，
∴∠BAC=∠PAC﹣∠PAB=90°﹣70°=20°．
故答案是：20°．

【分析】根据切线的性质可知∠PAC=90°，由切线长定理得 PA=PB，∠P=40°，求出∠PAB 的度数，用
∠PAC﹣∠PAB 得到∠BAC 的度数． 三、解答题
31. 【解析】【分析】（1）先代入三角函数特殊值，再进行开方、去绝对值、负整数指数幂和 0 次幂的运算，最后进行有理数的加减运算即可得出结果；
（2）先进行负整数指数幂、开方、代入三角函数特殊值和去括号的运算，再合并同类根式和进行有理数的加减运算即可.
32. 【解析】【分析】 设 BE=x， 由 AD∥BC， 推出△AFE 和△CBE 相似，利用相似的性质列比例式，把

用含 x 的代数式表示，再利用 DG∥AB， 推出△DFG 和△CBG 相似，再把 用含 x 的代数式表示，两式联合即可求出 x，即 BE 的长度.
33. 【解析】【分析】（1）先知图像经过两定点，利用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）设 y=0, 求出抛物线与 x 轴的交点坐标，则 AB 的长度可求，把 AB 和 OC 的长度代入三角形的面积公式即可求出结果.
34. 【解析】【分析】（1）连接 OC．设半径为 r ， 在 Rt△OFC 中利用勾股定理即可解决问题．（2）只要证明 CD∥EB ， 即可得到∠AFD＝∠ABE＝90°，由此可以得出结论．
35. 【解析】【分析】根据已知易证 CD∥AB，FG∥AB，再根据相似三角形的判定定理，即可证出△EAB∽△ECD
，△HFG∽△HAB，根据相似三角形的性质，分别得出对应边成比例，建立方程组，解方程组求出 BD、AB
的值即可。
36. 【解析】【分析】（1） 连结 OD，由等边对等角可得∠3=∠B，结合∠CAD=∠B，可知 ∠3=∠1 ，于是根据互余的性质可得 ∠3 和∠2 之和为 90°，从而可知 OD⊥AD，证得 AD 是⊙O 的切线 .
（2）根据三角函数先求出 AC 的长，则可利用勾股定理求出 AB 的长，因为∠1 和∠B 相等，也可用三角函数求出 AD 的长，设⊙O 的半径为 r，分别把 OD 和 OA 用含 r 的代数式表示，在 Rt△ADO 中利用勾股定理列式即可求出 r 的长.

37. 【解析】【分析】（1）现知 AC 和 OA 的长，则 OC 可求，于是在 Rt△AOC 中利用三角函数即可求出∠CAO 的大小.
（2）OC 的长度已知，则 C 点坐标可知，又知∠CAO 的大小，则直线 AC 的斜率可求，则直线 AC 的解析式可求. 由切线的性质可知， ∠BOD＝90° ，则可求出∠DOx 的大小，于是可求直线 OD 的函数解析式，进而与直线 AD 的解析式联合可求 D 点坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数式，注意 x>0.



38. 【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，代入 y=x 中即可;（2）可联立直线和抛物线解析式得到的方程判别式恒等于 0，可得出 a、b 的值；（3）可表示出 OP,PQ,证得二者相等.
39. 【解析】【分析】（1）现知 A、B 点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.
（2） 先根据函数解析式，把 P、E 点坐标用含 m 的代数式表示，则根据两点间的距离公式 PE 和 EF 都可用含 m 的代数式表示，根据 PE=5EF 列式解绝对值方程，结合 m 的范围（ ﹣1＜m＜5 ），从而得出 m 的值.

（3） 先假设 P 点存在，作图，根据点 E 和 E'关于直线 PC 对称，再结合 PE 平行 y 轴，利用有关角相等，推得四边 PECE'为菱形， 过点 E 作 EM∥x 轴，交 y 轴于点 M， 利用△CEM∽△CDO 列比例式，把 CE 用含 m 的代数式表示， 结合上题 PE 的表达式，根据 PE=CE 列式，解含绝对值不等式，考虑到 m 的取值范围为 ﹣1＜m＜5， 分别讨论确定 m 的值.




中考数学一轮专题 14 考点汇总
一、数与式（共 6 题；共 24 分）
1. 由四舍五入法得到的近似数 8.8×103 ， 下列说法中正确的是（ ）

A. 精确到十分位 B. 精确到个位 C. 精确到百位 D. 精确到千位2.已知 x＋y＋z＝0，xyz≠0，求 的值．
3. 已知实数 a 满足 a2＋4a－8＝0，求 的值．

4. 裂项相消法即
计算： ＋ ＋ ＋…＋ .
5.已知：A=x3+2x+3，B=2x3﹣mx+2，且 2A﹣B 的值与 x 无关，求 2m2﹣[3m2﹣（4m﹣7）+2m]的值．
6. 已知二次三项式 x2－4x＋m 有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及 m 的值．
二、方程与不等式（共 3 题；共 11 分）
7. 若方程(m2－1)x2－mx－x＋2＝0 是关于 x 的一元一次方程，则代数式|m－1|的值为( ) A. 0 B. 2 C. 0 或 2 D. －2
8. 解关于 x 的方程： m(x－n)＝ (x＋2m)．

9.已知关于 x 的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.
（1） 当方程有两个不相等的实数根时，m 的取值范围为 ；
（2） 当方程有两个相等的实数根时，m＝ ；
（3） 当 m＝1 时，方程的根的情况是 ；
（4） 当方程有实数根时，m 的取值范围为 ；
三、四边形（共 2 题；共 6 分）
10. 如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，M，N 分别是 BC，CD 的中点，P 是线段 BD 上的一个动点，则 PM＋PN 的最小值是 ．




11. 如图，已知四边形 ABCD 为正方形，AB=2 ，点 E 为对角线 AC 上一动点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥DE
．交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
①求证：矩形 DEFG 是正方形；
②探究：CE+CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．



答案解析部分

一、数与式

1. 【解析】【解答】解：近似数 8.8×103 精确到百位．

故选 C．
【分析】由于 103 代表 1 千，所以 8.8×103 等于 8.8 千，小数点后一位是百．
2. 【解析】【分析】由 x+y+z=0，可得到 z+x=-y，x+y=-z，再由 xyz≠0，分情况讨论：x、y、z 中两正一负或两负一正，然后进行化简，可得出答案。
3. 【解析】【分析】先将分子分母中能分解因式的先分解因式，再算分式的乘法运算，通分化简，然后将方程转化为 a2＋4a＝8，再整体代入求值。
4. 【解析】【分析】对于分子是 1，分母是相差为 1 的两个整式的积的分式相加减，常用 进行裂项，然后利用分式的加减法法则进行计算，即可求出结果。
5. 【解析】【分析】把 A 与 B 代入 2A﹣B 中化简，根据结果与 x 无关确定出 m 的值，代入原式计算即可得到结果．
6. 【解析】【分析】根据题意设另一个因式为(x＋n)，由此可得到 x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，将等式的右边展开，再根据对应项的系数相等，可建立关于 m，n 的方程组，解方程组求出 n，m 的值，就可得到另一个因式。
二、方程与不等式

7. 【解析】【解答】解：原方程可化为(m2－1)x2－(m＋1)x＋2＝0.
∵该方程是关于 x 的一元一次方程，
∴m2－1＝0 且－(m＋1)≠0，
∴m＝1，∴|m－1|＝0.故选 A.
【分析】利用一元一次方程的定义可得到 x2 项的系数=0，且 x 的系数≠0，建立关于 m 的方程和不等式， 求出 m 的值，然后将 m 的值代入代数式求值。
8. 【解析】【分析】先去分母，再去括号，移项，合并，将方程转化为(4m－3)x＝4mn＋6m，再分情况讨论：①当 4m－3≠0；②当 4m－3＝0： 当 4mn＋6m＝0；当 4mn＋6m≠0，分别求出方程的解的情况。9.【解析】【解答】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴m－2≠0，b2－4ac>0，
∴4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)>0，即 4m2－8m＋4－4m2＋4m＋8>0，∴12－4m>0，
∴m<3 且 m≠2.
（ 2 ）∵方程有两个相等的实数根，∴m－2≠0 且[2(m－1)]2－4x(m－2)(m＋1)＝0， 解得 m＝3.
（ 3 ）当 m＝1 时，方程可化为－x2＋2＝0，∴Δ＝0－4x(－1)×2＝8>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（ 4 ）方程有实数根，①m－2＝0，即 m＝2 时，方程为－2x＋3＝0，此时有实数根；
②当 m－2≠0，方程有实数根，则[2(m－1)]2－4(m－2)(m＋1)≥0，解得 m≤3，综上方程有实数根 m≤3.

【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可得到 b2－4ac>0 且 x2 的系数≠0，建立关于 m 的不等式， 解不等式求出 m 的取值范围。
（2） 由方程有两个相等的实数根，可得到 b2－4ac=0 且 x2 的系数≠0，建立关于 m 的方程和不等式，据此可求出 m 的值。
（3） 将 m=1 代入方程，再求出 b2－4ac 的值，根据其值可判断出方程根的情况。
（4） 分情况讨论：当 m-2=0 可得出此方程是一元一次方程，此时一定有实数根；当 m-2≠0 时b2－4ac≥0，建立关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围，综上所述，可得到 m 的取值范围。
三、四边形

10. 【解析】【解答】解：作点 N 关于 BD 的对称点 N1 ， 连接 MN1 ， 交 BD 于点 P，

∴PN=PN1 ，
∴PM＋PN=PM+PN1=MN1 ， 此时 PM＋PN 的值最小，
∵菱形 ABCD，
∴AC⊥BD，AD=CD=BC，AD∥BC
∴,
在 Rt△APD 中，

,

∴CD=5
∵M，N 分别是 BC，CD 的中点，
∴BC=2CM，AD=2DN1 ，
∴DN1=CM
∴四边形 CDN1M 是平行四边形，
∴MN1=CD=5，
∴PM＋PN 的最小值是 5.
故答案为：5.
【分析】作点 N 关于 BD 的对称点 N1 ， 连接 MN1 ， 交 BD 于点 P，利用垂直平分线的性质，可证得PN=PN1 ， 由此可得到 PM＋PN=MN1 ， 此时 PM＋PN 的值最小，利用菱形的性质，可以证得 AC⊥BD， AD=CD=BC，AD∥BC，同时可求出 AP，DP 的长，利用勾股定理求出 AD 的长，再证明四边形 CDN1M 是平行四边形，利用平行四边形的对边相等，就可求出 PM+PN 的最小值。
11. 【解析】【分析】①证明：过 E 作 EM⊥BC 于 M 点，过 E 作 EN⊥CD 于 N 点，利用正方形的性质，可证明∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，由 NE=NC，可证得四边形 EMCN 为正方形，可得到 EM=EN，再利用 ASA 证明

△DEN≌△FEM，利用全等三角形的对应边相等，易证 ED=EF，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可证得结论。
②根据正方形的性质去证明 DE=DG，AD=DC，∠ADE=∠CDG，再利用 SAS 证明△ADE≌△CDG，利用全等三角形的对应边相等，可知 AE=CG，利用解直角三角形，就可证得 CE+CG=4，因此可知 CE+CG 的值是一个定值。