浙江省杭州市2020-2021学年高一下学期期中数学试题（word版 含答案）

这是一份浙江省杭州市2020-2021学年高一下学期期中数学试题（word版 含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020学年高一下期中试卷试题一、选择题：本题共8小，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．复数的虚部为（    ）A．2      B．      C．      D．2．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为（    ）A．36      B．      C．72      D．3．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则c等于（    ）A．1      B．      C．      D．24．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，即长段为全段的0.618．0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．宽与长的比为的矩形叫作黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中．在黄金矩形中，，，那么的值为（    ）A．      B．      C．4      D．5．圆锥的底面半径为r，体积为时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值（    ）A．      B．      C．      D．6．在中，点D在直线上，，点E在直线上，且．若，则（    ）A．0      B．      C．      D．7．三棱锥中平面，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A．      B．      C．      D．8．如图，平面平面，与两平面所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则等于（    ）A．2∶1      B．1∶2      C．        D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题正确的是（    ）A．若，则      B．若，则C．若，则      D．若，则10．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）A．B．C．若，则复平面内对应的点位于第四象限D．已知复数Z满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，下列结论正确的是（    ）A．            B．C．若，则的面积是      D．若，则的外接圆半径是12．已知图1中的正三棱柱的底面边长为2，体积为，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在的直线逆时针旋转后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（    ）      A．平面B．C．四边形为正方形D．正三棱柱与几何体的外接球体积相同三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量、为单位向量，，若，则与所成角的余弦值为________．14．已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则_______．15．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”，其中，当“阳马”四棱锥体积为时，则“堑堵”即三棱柱的外接球的体积为________．16．在棱长为1的正方体中，M，N分别是的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使与垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数．（1）计算；（2）求．18：．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为，，i是虚数单位设函数．（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上有2个零点，求实数m的取值范围．19．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角C的大小；（2）若，求的值．20．已知四边形，，，．现将沿边折起使得平面平面，此时．点P为线段的中点．（1）求证：平面；（2）若M为的中点，求与平面所成角的正弦值．21．杭州市为迎接2022的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件．所以项目设计需要预留出为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），为赛道，．（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道的长度；①；②．（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道最长（即最大），最长值为多少？22．如图，已知三棱柱，平面平面，，E，F分别是的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值．2020学年高一下期中试卷试题参考答案1．A  2．C  3．D  4．C  5．A  6．B  7．C  8．A  9．ACD  10．AD  11．ACD  12．AD13．  14．0  15．  16．17．（1）（2）18．（1）．（2）因为在上递增，在上递减，且函数在区间上有2个零点，所以．因为，所以．19．（1）因为，所以．所以，从而，所以．（2）由正弦定理，可得（且），所以．所以．20．（1）证明：因为，所以为正三角形，因为P为的中点，所以，取的中点E，连结，则，因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面；（2）法一（几何法）过点M作①于H，由（1），所以平面，又平面，所以②，③，由①②③知，平面，所以为与平面所成的角．中，，中，，中，，所以，故与平面所成角的正弦值为．法二（坐标系法）由（1）可知，取的中点F，则，即两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又，所以，故与平面所成角的正弦值为．21．（1）解：选择①，在中，由正弦定理：，又，所以，在中，；选择②，在中，由正弦定理：，在中，由余弦定理：即：，解得（负值舍去）（2）解在中，由余弦定理：，，当时取等号．故时，折线赛道最长，最长值为．22．解（1）连接，∵，E是的中点，∴A，又平面平面平面，平面平面，∴平面，∴，∵，∴，∵，∴平面，∴．（2）取中点G，连接，则是平行四边形．由于平面，故，所以平行四边形是矩形，由（1）得平面，则平面平面，∴在平面上的射影在直线上，连接，交于O，则是直线与平面所成角（或其补角），不妨设，则在中，，因为O是的中点，故，∴．所以直线与平面所成角的余弦值为．（3）作于H，则面．作于K，连接，则为二面角的平面角．在中，，所以．所以二面角的正弦值为．