北京市石景山区2021年中考数学一模试卷附答案

这是一份北京市石景山区2021年中考数学一模试卷附答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


中考数学一模试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.2019年5月7日，我国自主创新研发的“东方红3号科学考察船”通过挪威DNV﹣GL船级社权威认证，成为全球最大静音科考船．“东方红3”是一艘5000吨级深远海科考船，具有全球无限航区航行能力，可持续航行15000海里．将15000用科学记数法表示应为（    ）
A. 0.15×105                             B. 1.5×104                             C. 15×104                             D. 15×103
2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）
A.                       B.                       C.                       D. 
3.实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则错误的结论是（   ）

A.                                B.                                C.                                D. 
4.如图，AD平分∠BAC ， 点E在AB上，EF∥AC交AD于点G ， 若∠DGF＝40°，则∠BAD的度数为（    ）

A. 20°                                       B. 40°                                       C. 50°                                       D. 80°
5.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（    ）
A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7
6.在下列几何体中，其三视图中没有矩形的是（    ）
A.                            B.                            C.                            D. 
7.如图，点A，B，C，D在⊙O上，弦AD的延长线与弦BC的延长线相交于点E.用①AB是⊙O的直径，②CB＝CE，③AB＝AE中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（　　）

A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
8.某地区经过三年的新农村建设，年经济收入实现了翻两番（即是原来的22倍）．为了更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后的年经济收入构成结构如图，则下列结论中错误的是（    ）

A. 新农村建设后，种植收入减少了
B. 新农村建设后，养殖收入实现了翻两番
C. 新农村建设后，第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多
D. 新农村建设后，第三产业收入与养殖收入之和超过了年经济收入的一半
二、填空题（共8题；共9分）
9.请写出一个比 小的整数：________．
10.如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为________米.

11.分解因式： ________．
12.一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是________．
13.如果m+2n＝ ，那么代数式（ +2）÷ 的值为________．
14.《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ， BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为________寸．

15.为了做到合理用药，使药物在人体内发挥疗效作用，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图：

根据图中提供的信息，下列关于成人患者使用该药物的说法中：
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥疗效作用；
②每间隔4小时服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；
③每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，不会发生药物中毒．
所有正确的说法是________．
16.在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G ． 对于任意实数n ， 过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为________（写出一个即可）．
三、解答题（共12题；共112分）
17.计算： ．
18.解不等式组 并写出该不等式组的所有非负整数解．
19.下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点P ．

求作：直线PQ ， 使得PQ⊥l ．
作法：如图2：

①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A ， B；
②分别以点A ， B为圆心，以大于 AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；
③作直线PQ ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA ， QB ．
∵QA＝    ▲    ， PA＝    ▲    ，
∴PQ⊥l （    ▲    ）（填推理的依据）．
20.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
21.如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E ．

（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接AE交CD于点F ， 连接BF ． 若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．
22.如图，直线 与函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 .
 
（1）求 ， 的值；
（2）过动点 作平行于 轴的直线，交函数 的图象于点 ，交直线 于点 .
①当 时，求线段 的长；
②若 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围.
23.如图，AB是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于点C ， 以OB ， BC为边作▱OBCD ， 连接AD并延长交⊙O于点E ， 交直线PQ于点F ．

（1）求证：AF⊥CF；
（2）连接OC ， BD交于点H ， 若tan∠OCB＝3，⊙O的半径是5，求BD的长．
24.北京某超市按月订购一种酸奶，每天的进货量相同．根据往年的销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前三年六月份的最高气温及该酸奶需求量数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a ． 酸奶每天需求量与当天最高气温关系如表：
最高气温t（单位：℃）
20≤t＜25
25≤t＜30
30≤t≤40
酸奶需求量（单位：瓶/天）
300
400
600
b.2017年6月最高气温数据的频数分布统计表如表（不完整）：
2017年6月最高气温数据的频数分布表：
分组
频数
频率
20≤t＜25
3

25≤t＜30
m
0.20
30≤t＜35
14

35≤t≤40

0.23
合计
30
1.00
c.2018年6月最高气温数据的频数分布直方图如图：

d.2019年6月最高气温数据如下（未按日期顺序）：
25  26  28  29  29  30  31  31  31  32  32  32  32  32  32
33  33  33  33  33  34  34  34  35  35  35  35  36  36  36
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m的值为________；
（2）2019年6月最高气温数据的众数为________，中位数为________；
（3）估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为________；
（4）已知该酸奶进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．
①2019年6月这种酸奶每天的进货量为500瓶，则此月这种酸奶的利润为________元；
②根据以上信息，预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为________．
A ． 550瓶/天
B ． 600瓶/天
C ． 380瓶/天
25.如图，C是 上的一定点，P是弦AB上的一动点，连接PC ， 过点A作AQ⊥PC交直线PC于点Q ． 小石根据学习函数的经验，对线段PC ， PA ， AQ的长度之间的关系进行了探究．（当点P与点A重合时，令AQ＝0cm）

 
（1）下面是小石的探究过程，请补充完整：
对于点P在弦AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ， PA ， AQ的几组值，如表：
 
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
PC/cm
4.07
3.10
2.14
1.68
1.26
0.89
0.76
1.26
2.14
PA/cm
0.00
1.00
2.00
2.50
3.00
3.54
4.00
5.00
6.00
AQ/cm
0.00
0.25
0.71
1.13
1.82
3.03
4.00
3.03
2.14
在PC ， PA ， AQ的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当AQ＝PC时，PA的长度约为________cm ． （结果保留一位小数）
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B ．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若∠BAO＝45°，求a的值；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ， B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
27.如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足∠AEB＝90°且∠BAE＜45°，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F ．

（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段EF ， DF ， BE之间的数量关系，并证明；
（3）连接CE ， 若AB＝2 ，请直接写出线段CE长度的最小值．
28.在△ABC中，以AB边上的中线CD为直径作圆，如果与边AB有交点E（不与点D重合），那么称 为△ABC的C﹣中线弧．例如，如图中 是△ABC的C﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC存在C﹣中线弧，其中点A与坐标原点O重合，点B的坐标为（2t ， 0）（t＞0）．

（1）当t＝2时，
在点C1（﹣3，2），C2（0，2 ），C3（2，4），C4（4，2）中，满足条件的点C是________；
（2）当t＝2时，若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P是△ABC的C﹣中线弧 所在圆的圆心，其中CD＝4，求k的取值范围；
（3）若△ABC的C﹣中线弧 所在圆的圆心为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：15000=1.5×104 ，
故答案为：B．

【分析】利用科学记数法表示出来即可。
2.【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D ．

【分析】利用轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可。
3.【解析】【解答】由数轴可知-4＜a＜-3，-1＜b＜0，4＜c＜5；
A、∵-4＜a＜-3，∴  ，故此选项不符合题意；
B、∵b＜c，∴b-c＜0，故此选项不符合题意；
C、∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，故此选项符合题意；
D、∵-4＜a＜-3，4＜c＜5，∴-5＜-c＜-4，∴ a＞-c，故此选项不符合题意；
故答案为：C．

【分析】由图可知，a,b,c,绝对值间的大小关系，从而判断4个选项的对错。
4.【解析】【解答】解：∵EF∥AC ， ∠DGF＝40°，
∴∠DAC＝∠DGF＝40°，
∵AD平分∠BAC ，
∴∠BAD＝∠DAC ，
∴∠BAD＝40°，
故答案为：B ．

【分析】根据EF∥AC ， ∠DGF＝40°，得到∠DAC＝∠DGF＝40°，再根据AD平分∠BAC ， 得到∠BAD＝∠DAC ， 从而得到∠BAD的度数。
5.【解析】【解答】设这个多边形的边数为n,
∴（n-2）×180°=540°
解得n=5
故答案为：B．
【分析】根据内角和公式即可求解．
6.【解析】【解答】解：A、长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形；
B、圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆；
C、圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆；
D、三棱柱的主视图是矩形、左视图是矩形，俯视图是三角形；
故答案为：C ．

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面、上面看，所得图形，据此作答即可。
7.【解析】【解答】解：当①②为题设时，③为结论，这个命题是真命题，
理由：连接AC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
在△ACB和△ACE中，
，
∴△ACB≌△ACE（SAS），
∴AB＝AE；
当①③为题设，②为结论时，这个命题是真命题，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
在Rt△ACB和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△ACE（HL），
∴CB＝CE；
当②③为题设，①为结论时，这个命题是真命题，
理由：在△ACB和△ACE中，
，
∴△ACB≌△ACE（SSS），
∴∠ACB＝∠ACE，
又∵∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
故答案为：D.
【分析】根据题意和图形，可以写出其中的两个为题设，一个为结论时的命题是否为真命题，然后写出理由即可.
8.【解析】【解答】解：设建设前经济收入为a ， 建设后经济收入为4a ．
A、建设后，种植收入为30%×4a＝120%a，
建设前，种植收入为55%a，
故新农村建设后，种植收入增加了，故A项符合题意；
B、建设后，养殖收入为30%×4a＝120%a，
建设前，养殖收入为30%a，
故120%a÷30%a＝4，故B项不符合题意；
C、建设后，第三产业收入为32%×4a＝128%a，故第三产业收入比新农村建设前的年经济收入还多，故C项不符合题意；
D、建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+32%）×4a＝248%a，
经济收入的一半为2a，
故248%a＞2a，故D项不符合题意．
故答案为：A．

【分析】根据所占的百分比求得，进而判断即可。
二、填空题
9.【解析】【解答】解：∵ ，
∴比 小的整数可以是3，
故答案为：3 (答案不唯一)

【分析】根据 解答即可。
10.【解析】【解答】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD ∥  AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD ∥ AB，
∴△ECD∽△EBA
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得AB＝9（米），
即路灯的高AB为9米；
故答案为：9.
【分析】CD ∥  AB，由平行线分线段成比例可得 ＝ ，代入数值即可。
11.【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y − 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y − 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
12.【解析】【解答】解：∵盒子中装有4个黄球，3个红球和1个绿球，共有8个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 ；
故答案为： ．

【分析】根据概率公式求解。
13.【解析】【解答】（ +2）÷
=
=
=2（m+2n），
当m+2n= 时，原式=2× =2 ，
故答案为：2 ．

【分析】根据分式的加减和除法可以化简题中的式子，再将m+2n代入化简后的式子即可解答。
14.【解析】【解答】解：连接OC ，

∵弦CD⊥AB ， AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝ CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2 ，
即（x﹣1）2+52＝x2 ，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸，
故答案为：26．

【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，有勾股定理得出方程，解方程求解，即可。
15.【解析】【解答】解：∵该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，
药物在人体内发挥疗效作用，
∴观察图象的变化情况可知：
① 首次服用该药物1单位约10分钟后，达到最低有效浓度，药物开始发挥疗效作用，
所以① 符合题意；
② 每间隔4小时服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，
所以② 符合题意；
③ 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2.5小时，会发生药物中毒，
所以③ 不符合题意．
故答案为：① ②．

【分析】根据该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间时，药物在人体内发挥疗效作用，观察图象的变化情况即可判断① ②正确，③错误。
16.【解析】【解答】解：由 解得 或 ，
∴函数y1＝x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（1，1），
∵函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G ．
由图象可知，对于任意实数n ， 过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤1，
答案不唯一，如：1（0≤m≤1），


【分析】求得两个函数的图形的交点，根据图象即可求得。
三、解答题
17.【解析】【分析】负整数指数幂，根据实数的运算法则解答。
18.【解析】【分析】先求不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数的解即可。
19.【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质即可完成证明。
20.【解析】【分析】（1）由方程有两个根得 △=b2﹣4ac≥0，可得关于m的不等式，截止的m的范围，组合一元二次方程的定义可得答案；
（2）由（1）知m=2，得出方程，再由因式分解法求得即可。
21.【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得 AD∥BC． 得 ∠CAD＝∠ACB＝90°． 因为 ∠ACE＝90°， 即可证明 四边形ACED是矩形；
（2）根据 四边形ACED是矩形和四边形ABCD是平行四边形，可以证明 △ABE是等边三角形 ，再根据特殊角三角函数即可求出BF的长。
22.【解析】【解答】（2）解：①当 时，点 的坐标为(0，2)，
∴点C的坐标为(2，2)，
点D的坐标为(-1，2)，
∴ ；
②解：如图，

当 时， ，解得 ，则B(-3，0)，
当 时， ，解得： ，
∴点C的坐标为( ， )，
当 时， ，解得 ，
∴点D的坐标为( ， )，
当点C在点D的右侧时，
若CD=OB，即 ，解得 ， (舍去)，
∴当 时，CD≥OB；
当点C在点D的左侧时，
若CD=OB，即 ，解得 ， (舍去)，
∴当 时，CD OB，
综上所述， 的取值范围为： 或 .
【分析】(1)把A(1，m)代入直线 ，可求得m的值；把A(1，m)代入直线 ，即可求得k的值；
(2))①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD的长；②先确定B(-3，0)，由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出C( ，n)，D(n-3，3)，讨论：当点C在点D的右侧时，先利用CD=OB得到 ，解得 2， -2(舍去)，再结合图象可判断当0＜n≤2时，CD≥OB；当点C在点D的左侧时，先利用CD=OB得到 ，解得 3+ ， 3- (舍去)，再结合图象即可求解.
23.【解析】【分析】（1）连接OC，如图，根据平行四边形的性质得到 DC∥OB，DC=OB， 推出四边形OCDA是平行四边形，得到 AF∥OC ，根据切线的性质得到 ∠OCQ=90°， 即可得到结论；
（2） 过点B作BN⊥OC于点N， 如图，根据平行四边形的性质得到 BD=2BH， ，， 设CN=x，BN=3x，ON=5﹣x．根据勾股定理即可得到结论。
24.【解析】【解答】解：（1）m＝30×0.20＝6；
（2）2019年6月最高气温数据的众数为32，中位数为 ＝32.5；
（3）三年这种酸奶一天的需求量为600瓶的天数为21+26+25＝72，
估计六月份这种酸奶一天的需求量为600瓶的概率为 ＝ ；
（4）①400×（6﹣4）×5+（500﹣400）×（2﹣4）×5+500×（6﹣4）×25＝28000；
②∵以上三年6月最高气温低于25的天数一共有3+1＝4天，
∴有86天酸奶每天需求量大于400瓶，
故预估2020年6月这种酸奶订购的进货量不合理的为C ，
故答案为：C ．

【分析】（1）估计频数=总数×频率即可得到结论；
（2）估计众数和中位数的定义即可得到结论；
（3）估计概率公式计算即可；
（4）根据题意列式计算即可。
25.【解析】【解答】（1）根据变量的定义，AP是自变量，PC、AQ是因变量，即PC、AQ是AP的函数，
故答案为：PA、PC、AQ；
（3）当AQ＝PC时，即为两个函数图象的交点，
从图上看，交点的横坐标大约为2.8cm或6.0cm ，
故答案为：2.8或6.0（答案不唯一）．

【分析】（1）根据变量的定义即可求解；
（2）依据表中的数据描点、连线即可；
（3）两函数图象交点的横坐标及为所求。
26.【解析】【解答】解：（3） 或a＝1．
理由：∵点A（﹣2，0），点B（0，4a），
设直线AB的函数解析式为y＝mx+n ，
，得 ，
即直线AB的解析式为y＝2ax+4a ，
∵抛物线解析式为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），抛物线在点A ， B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，
∴ 或 ，
解得，a＝1或0＜a≤ ，
即a的取值范围是0＜a≤ 或a＝1．

【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，再根据抛物线 y＝ax2+4ax+b（a＞0） 的顶点A在x轴上，可得纵坐标为0 ，从而得到a和b的关系；
（2）根据抛物线解析式，可得B的坐标为 （0，4a） ， ∠BAO＝45°， 可知 4a＝2， ，从而求得a的值；
（3）根据函数图象，可以写出a的取值范围。
27.【解析】【分析】（2） 过点A作AM⊥FD交FD的延长线于点M， 证明 四边形AEFM是矩形， 由“AAS”证出 △AEB≌△AMD ，可得出 BE＝DM，AE＝AM， 可证矩形 AEFM是正方形， 可得 EF＝MF， 可得结论；
（3） 取AB中点O，连接OC， 由勾股定理可求OC=5，由 点E在以O为圆心，OB为半径的圆上， 可得 点E在OC上时，CE有最小值， 即可求解。
28.【解析】【解答】解：（1）当t＝2时，点B的坐标为（4，0），
∵点D是AB的中点，∴D（2，0），
①如图1，

过点C作CE⊥AB于E ， 则∠CED＝90°，
∴CE⊥AB ，
即点C和点E的横坐标相同，
∵点E是以CD为直径与边AB的交点，
∴0≤AE≤4，
∵点E与点D重合，
∴AE≠2，
∴点E的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，
即点E的横坐标大于等于0小于等于4，且不等于2，
∵点C1（﹣3，2），C2（0，2 ），C3（2，4），C4（4，2），
∴只有点C2 ， C4的横坐标满足条件，
故答案为C2 ， C4；

【分析】（1）①先确定C的横坐标的范围即可得出结论；2、先确定分界点P，P'的坐标，即可得出结论；
（2）表示出D的坐标，再分点E再线段AD和BD上，求出AE，利用0≤AE≤2t，且AE≠t，即可得到结论。