北京市西城区2021年中考数学一模试卷附答案

这是一份北京市西城区2021年中考数学一模试卷附答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


中考数学一模试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年，9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45 000 000人次，将45 000 000用科学记数法表示为（    ）
A. 45×                            B. 4.5×                            C. 4.5×                            D. 0.45×
2.如图是某个几个几何体的三视图，该几何体是（    ）

A. 圆锥                                 B. 圆柱                                 C. 长方体                                 D. 正三棱柱
3.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A.                  B.                  C.                  D. 
4.在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB=2 ，则点A，点B表示的数分别是（    ）
A. - ，                        B. ，-                        C. 0，2                        D. -2 ，2
5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB= ，则∠ADC的度数为（    ）

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
6.甲、乙两名运动员10次射击成绩(单位，环)如图所示．甲、乙两名运动员射击成绩平均数记为 ，  ，射击成绩的方差依次记为S甲2 ， S乙2 ， 则下列关系中完全正确的是（    ）

A. = ， S甲2 >                                       B. = ， S甲2 <
C. > ， S甲2 >                                       D. < ， S甲2 <
7.如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（    ）
 
A. 6.0m                                   B. 5.0m                                   C. 4.0m                                   D. 3.0m
8.设m是非零实数，给出下列四个命题：①若-11，则 < A. ①③                                     B. ①④                                     C. ②③                                     D. ③④
二、填空题（共8题；共11分）
9.若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是________。
10.如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形 是________ 边形．
11.已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式________．
12.如果 ，那么代数式 的值是________．
13.如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F，若DE= ，则BC的长为________．

14.如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为________，BD的长为________．

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为________.

16.某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表：

每日接待游客人数（单位∶万人)
游玩环境评价
0≤x <5
好
5Kx <10
一般
10≤x <15
拥挤
15 严重拥挤
根据以上信息，以下四个判断中，正确的是________．(填写所有符合题意结论的序号)
①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；
②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5~10广域网人之间；
③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；
④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为 ．
三、解答题（共12题；共105分）
17.计算： °．
18.解不等式组 ．
19.关于x的一元二次方程 有两个实数根
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，求此时方程的根．
20.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OB，过点B作BE⊥AC于点E．

（1）求证： ABCD是矩形；
（2）若AD= ，cos∠ABE= ，求AC的长．
21.先阅读下列材料，再解答问题．
尺规作图
已知:△ABC，D是边AB上一点，如图1，
求作:四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．

小明的做法如下：

请你参考小明的做法，再设计一一种尺规作图的方法(与小明的方法不同)，使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．
22.运用语音识别输入统计可以提高文字输入的速度，为了解A，B两种语音识别输入软件的可读性，小秦同学随机选择了20段话，其中每段话都含有100个字(不计标点符号)，在保持相同条件下，标准普通话来测试两种语音识别输入软件的准确性，整个测试分析过程如下，请补充完整．
收集数据：两种软件每次识别正确的字数记录如下：

整理，描述数据：根据上面得到的两组样本数据，绘制了分布直方图

解：统计B组数据得到：60-70的频数为 2,70-80的频数为4,则补全频数分布直方图如图所示：

（1）分析数据：两组样本数据的平均数，众数，中位数，方差如下表所示

平均数
众数
中位数
方差
A
84.7
________
84.5
88.91
B
83.7
96
________
184.01
（2）得出结论：根据以上信息．判断________种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下．(至少从两个不同的角度说明判断的合理性) ．
23.如图，四边形OABC中， ．OA=OC， BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作☉O

（1）求证：BC是☉O的切线:
（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与此的延长线交于点F若 ．
①补全图形；
②求证：OF=OB．
24.如图，在△ABC中，AB=4cm．BC=5cm，P是 上的动点．设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为 cm，C，P两点间的距离为 cm．

小腾根据学习函数的经验，分别对函数 ， 随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了 ， 的几组对应值:
x/cm
0
1
2
3
4
/cm
4.00
3.69
________
2.13
0
/cm
3.00
3.91
4.71
5.23
5
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x， )，(x， )，并画出函数 ， 的图象:

（3）结合函数图象．
①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为________cm．
②记 所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为________cm．
25.在平面直角坐标系xOy中，直线L：y=kx+2k(k>0)与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数 (x>0)的图象的交点P位于第一象限．
（1）若点P的坐标为(1，6)，
①求m的值及点A的坐标；
② =    ▲    ；
（2）直线h：y=2kx-2与y轴交于点C，与直线L1交于点Q，若点P的横坐标为1，
①写出点P的坐标(用含k的式子表示)；
②当PQ≤PA时，求m的取值范围．
26.已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x1 ， 0)，点B(x2 ， 0)，(点A在点B的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．
（1）若点A的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．
27.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90 点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ=CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点(与点A，D不重合)，过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．

（1）依题意补全图1；
（2）求证：NM=NF；
（3）若AM=CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．
28.对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2 ． 给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系

（1）如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0， )，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．
①线段OP的最小值为________，最大值为________；线段CP的取值范直范围是________；
②在点O，点C中，点________与线段DE满足限距关系；
（2）如图2，⊙O的半径为1，直线 (b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；
（3）⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和¤K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】解：将数据45000000用科学记数法可表示为：4.5×107 ．
故答案选：B．

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
2.【解析】【解答】解：从主视图和俯视图可以确定是柱体，然后由左视图可以确定此物体为一个横放着的圆柱.
故答案为：B.

【分析】根据三视图的定义逐项判定即可。
3.【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意，
故答案为：C.

【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义逐项判定即可。
4.【解析】【解答】解：由A、B表示的数互为相反数，且AB=2 ，点A在点B的左侧，得
点A，点B表示的数分别是- ， ．
故答案为：A．

【分析】利用数轴、线段的中点及相反数的性质求解即可。
5.【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=∠ACB -∠CAB=90°-65°=25°，
∵∠ADC和∠ABC所对的弧相同
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故答案为：D．

【分析】先利用圆周角及三角形的内角和求出∠ABC的度数，再利用圆周角的性质得到∠ADC=∠ABC。
6.【解析】【解答】解：

∴


∴
故答案为：A．

【分析】利用平均数及方差的计算方法求解即可。
7.【解析】【解答】解：延长AC交BD延长线于点E，

根据物高与影长成正比得： ，
∵CD=1，
∴
解得：DE=0.9，
则BE=2.7+0.9=3.6米，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
解得：AB=4，即树AB的高度为4米，
故答案为：C．

【分析】先利用平行投影的性质求出DE的长，再利用证出△ABE∽△CDE，利用相似三角形的性质求解即可。
8.【解析】【解答】解：①若-1＜m＜0，则 ②若m＞1，取m=2时，m2＝4， m＜m2 ， 原命题不成立；
③若m< < ，取m=- 时， =-2，m＞ ，原命题不成立；
④ 成立的有①④，
故答案为：B．

【分析】根据不等式的性质逐项判定即可。
二、填空题
9.【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
故答案为：x≥1.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，列出不等式，求解即可。
10.【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，依题意，得： （n﹣2）•180°=2×360°，
解得n=6，
故答案为：六．
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
11.【解析】【解答】解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x2-1．
故答案为：y=x2-1．

【分析】利用待定系数法求二次函数解析式即可。
12.【解析】【解答】解：




∵
∴原式
故答案为：1．

【分析】先利用分式的减法计算，再将整体代入计算即可。
13.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=90°，∠CDB=45°，BC=CD．
∴EC⊥CB．
又∵BE平分∠CBD，EF⊥BD，
∴EC=EF．
∵∠CDB=45°，EF⊥BD，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴DF=EF，
设BC=CD=x，
∵DE= ，
∴EC=x- ，即DE =EF=x- ，
在Rt△DEF中， ，
∴
解得x=
∴BC=
故答案为： ．

【分析】利用正方形的性质及勾股定理求出BC的长即可。
14.【解析】【解答】如图所示：

由勾股定理得：AC＝ ＝5，
S△ABC＝ BC×AE＝ ×BD×AC，
∵AE＝3，BC＝5，
即 ×3×5＝ ×5BD，
解得：BD＝3．
故答案为：5；3．

【分析】利用勾股定理求出线段AC的长，再利用三角形的面积法求出BD的长即可。
15.【解析】【解答】解：如图∵圆M是△ABC的外接圆

∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）.
故答案为：（6，6）.
【分析】如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
16.【解析】【解答】解：①根据统计表可得日接待游客人数10≤x< 15为拥挤，15≤x< 20为严重拥挤，由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1日至5日有2天，25日-30日有2天，共4天，故①符合题意；
②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2，根据统计图可知0≤x < 5的有16天，从而中位数位于0≤x< 5范围内，故②不符合题意；
③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，
10上下的估算为10，则（10×8+15×2-5×10）÷16=3.25，可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③不符合题意；
④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为 ，故④符合题意．
故答案为①④．

【分析】利用折线统计图及统计表分析求解即可。
三、解答题
17.【解析】【分析】先利用负指数幂、0指数幂及特殊三角函数值化简，再计算即可。
18.【解析】【分析】利用不等式组的解法求解即可。
19.【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）取一个特殊值，再利用一元二次方程的解法计算即可。
20.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，求得AC=BD，于是得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAD=∠ADC=90°，求得∠CAD=∠ABE，解直角三角形即可得出结论。
21.【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法即可作图证明。
22.【解析】【解答】解：（1）在A组数据中92出现的次数最多 ,故A组的众数为92；B 组的中位数为第 10个和第11个数分别为88和89 ，则中位数为（88+89）÷2=88.5．故答案如图：
 
平均数
众数
中位数
方差
A
84.7
92
84.5
88.91
B
83.7
96
88.5
184.01

【分析】（1）利用众数、中位数的定义求解即可；
（2）利用方差、平均数的定义分析求解即可。
23.【解析】【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA，∠BAC=∠BCA，得到∠OCB=∠OAB=90°，根据切线的判定定理证明即可；
（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA=BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC=120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论。
24.【解析】【解答】解：（1）由画图可得，x=4时，y1≈3.09cm（答案不唯一）．
故答案为：3.09（答案不唯一）．
（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC=PB，
当x≈2.49cm时，y2=5cm，即PC=BC，
观察图象可知，PB不可能等于BC，
故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．
②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC=y2≈5.32cm，
故答案为5.32（答案不唯一）．

【分析】（1）利用图象法解决问题即可；
（2）描点绘图即可；
（3）①分PB=PC ,PC=BC ,PB =BC 三种情况，分别求解即可；②当直线PC恰好经过点O时，PCDE长度取得最大值，观察图象即可求解。
25.【解析】【解答】（1）②∵直线l1：y＝kx＋2k（k＞0）函数 （x＞0）的图象的交点P，且P（1，6），
∴6＝k＋2k，解得k＝2，
∴y＝2x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∵点A的坐标为（−2，0），
∴PA＝ ，PB＝ ，
∴ = ，
故答案为 ；

【分析】（1）①把P（1,6）代入函数即可求出m的值，直线 L：y=kx+2k 中，令y=0，即可求得x的值，从而求得A的坐标；②把P的坐标带入 L：y=kx+2k 即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和PA，即可求得的值；
（2）①把x=1代入 L：y=kx+2k ，求得y=3k，即可求得p（1,3k）；②分别过点P、Q作PM⊥x轴于点M，ON⊥x轴于N，则点M、N的横坐标分别为1， 2＋   ，若PQ=PA，则  ＝1 ，根据平行线分线段成比例得到  ＝  ＝1， ，得出MN=MA=3，即可得到 2＋  −1＝3，解得k＝1， 根据题意即可得到 当  ＝  ≤1时，k≥1， 则 m＝3k≥3。
26.【解析】【分析】（1）抛物线的对称轴为    ， 解得：b=2a， 将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
（2）点C再第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间， 故-2＜x1＜-1， 即可求解；
（3） 满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个， 则抛物线与y轴的交点在x轴的下方， 即可求解。
27.【解析】【分析】（1）根据题意补全图1即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到AP=AQ，求得∠APQ=∠Q，求得∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，等量代换得到∠MFN=∠FMN，于是得到结论；
（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP=AQ，求得∠PAC=∠QAC，得到∠CAQ=∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP=CF，求得AM=CF，得到AE=BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB=∠ECA=45°，根据全等三角形的性质即可得到结论。
28.【解析】【解答】（1）①如图1中，
 
∵D（-1，0），E(0， )，
∴OD=1， ，
∴ ，
∴∠EDO=60°，
当OP⊥DE时， ，此时OP的值最小，
当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为 ，
当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值 ，
当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，
故答案为： ， ， .
②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM=2ON，
故点O与线段DE满足限距关系．
故答案为O．
（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，
 
两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+2≥2（2r-2），
解得r≤3，
故r的取值范围为0＜r≤3．

【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题；②根据 限距关系的定义判断即可；
（2）直线与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情况：线段FG在⊙O内部，线段FG与⊙O有交点，线段FG与⊙O没有交点，分别构建不等式即可求解；
（3）如图3，不妨设⊙K，⊙H的圆心再x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可。