上海市静安区2021年中考数学一模试卷附答案

中考数学一模试卷

一、单选题（共6题；共12分）

1.如果 ，那么下列计算正确的是（   ）           

A.                           B.                           C.                           D. 

2.下列多项式中，是完全平方式的为（   ）           

A.                      B.                      C.                      D. 

3.将抛物线 平移后与抛物线 重合，那么平移的方法可以是（   ）           

A. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位              B. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位              D. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位

4.在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（   ）           

A.                       B.                       C.                       D. 

5.如果锐角 的正切值为 ，那么下列结论中正确的是（   ）           

A.                     B.                     C.                     D. 

6.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AB=m，∠A= ，那么CD的长为（   ）           

A.                B.                C.                D. 

二、填空题（共12题；共12分）

7.的相反数是________．   

8.函数 的定义域为________．   

9.方程 的根为________．   

10.二次函数 图像的开口方向是________．   

11.抛物线 的顶点坐标为________．   

12.如果一次函数 的图像经过第一、二、四象限，那么常数 的取值范围为________．   

13.在二次函数 图像的上升部分所对应的自变量x的取值范围是________．   

14.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，如果AD=2，AE=3，CE=1，那么BD长为________． 

15.在△ABC中，点G是重心，∠BGC=90°，BC=8，那么AG的长为________．   

16.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AB=12，BC=9，AC=6，四边形BCED的周长为21，那么DE的长为________． 

17.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，OB=2OD，设 ， ，那么 ________．（用向量 、 的式子表示） 

18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13， （如图），将△ABC绕点C旋转后，点A落在斜边AB上的点A’，点B落在点B’，A’B’与边BC相交于点D，那么 的值为________． 

三、解答题（共7题；共65分）

19.计算： ．   

20.已知线段x、y满足 求 的值．   

21.如图，点A、B在第一象限的反比例函数图像上，AB的延长线与y轴交于点C，已知点A、B的横坐标分别为6、2，AB= ． 

（1）求∠ACO的余弦值；   

（2）求这个反比例函数的解析式．   

22.如图，一处地铁出入口的无障碍通道是转折的斜坡，沿着坡度相同的斜坡BC、CD共走7米可到出入口，出入口点D距离地面的高DA为0.8米，求无障碍通道斜坡的坡度与坡角（角度精确到1'，其他近似数取四个有效数字）． 

23.已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD2=AE•AC．求证： 

（1）△BCD∽△CDE；   

（2）．   

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线 （a≠0）经过点A，且与y轴相交于点C，∠OCA=∠OAB． 

（1）求直线AB的表达式；   

（2）如果点D在线段AB的延长线上，且AD=AC．求经过点D的抛物线 的表达式；   

（3）如果抛物线 的对称轴与线段AB、AC分别相交于点E、F，且EF=1，求此抛物线的顶点坐标．   

25.已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∥BD，sin∠MAN= ， AB=5，AC=9． 

（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；   

（2）当点E在边AN上时，求AD的长；   

（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，△BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．   

答案解析部分

一、单选题

1.【解析】【解答】A. ，故不符合题意

B. ，故不符合题意

C. ，故不符合题意

D. ，故符合题意

故答案为：D

【分析】利用零指数幂的定义分别得出结果即可求解

2.【解析】【解答】A. = ，故符合题意

B. = ，故不符合题意

C. = ，故不符合题意

D. = ，故不符合题意

故答案为：A

【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．

3.【解析】【解答】抛物线 要通过平移得到 ，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即 ．

故答案为：A．

【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．

4.【解析】【解答】解：当 时，不能判定DE∥BC，A选项不符合题意；

时，不能判定DE∥BC，B选项不符合题意；

时，DE∥BC，C选项符合题意；

时，不能判定DE∥BC，D选项不符合题意；

故答案为：C．

【分析】根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．

5.【解析】【解答】∵ ， ，

而 ，

∴ ，

故答案为：C．

【分析】利用30度角和45度角的正切值与角 的正切值比较，即可得到答案．

6.【解析】【解答】解：根据题意作图如下：

由题意知：AB=m，∠A= ，

∴ ，

∴ ，

即 ，

故答案为：B．

【分析】此题根据题意作图根据锐角三角函数表示出AC，再表示出CD即可求出结果．

二、填空题

7.【解析】【解答】 的相反数是 ，

故答案为： ．

【分析】只有符号不同的两个数叫互为相反数，根据定义解答．

8.【解析】【解答】解：根据二次根式和分式的性质，

，且 ，

解得 ．

故答案是： ．

【分析】根据二次根式和分式的性质求出该函数的定义域．

9.【解析】【解答】解：方程两边同时平方得： ，

∴ ，

即 ，

∴x1=x2=1，

经检验，x=1是原方程的根，

故答案为：x=1．

【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再进行检验即可得出结果．

10.【解析】【解答】解：∵-3＜0，

∴二次函数 图像的开口方向向下．

故答案为：向下

【分析】根据a的符号即可做出判断．

11.【解析】【解答】抛物线 的顶点坐标为（0，-6），

故答案为：（0，-6）．

【分析】根据二次函数 的性质解答．

12.【解析】【解答】∵一次函数 的图像经过第一、二、四象限，

∴ ，

解得：1＜m＜2，

故答案为：1＜m＜2

【分析】根据一次函数y=（m-2）x+m－3的图象经过第一、二、四象限，可得函数表达式中一次项系数小于0，常数项大于0，进而得到关于m的不等式组，解不等式组即可得答案取值范围．

13.【解析】【解答】∵ = ，

∴对称轴为直线x=1，

∵1>0，图象开口向上，

∴当x<1时，y随着x的增大而减小；当x>1时，y随着x的增大而增大，

故答案为：x>1．

【分析】先将函数解析式化为顶点式形式，根据函数的增减性解答．

14.【解析】【解答】AC=AE+CE=3+1=4，

∵∠A=∠A，∠AED=∠B，

∴△AED∽△ABC，

∴ ，

∴ ，

∴AB=6，

∴BD=6-2=4，

故答案为：4．

【分析】根据相似三角形的判定得出△AED∽△ABC，得出比例式，代入求出AB即可．

15.【解析】【解答】解：延长AG交BC于D，

∵点G是重心，

∴点D为BC的中点，且AG=2DG，

∵∠BGC=90°，BC=8，

∴DG= BC=4，

∴AG=2DG=8，

故答案为：8．

【分析】延长AG交BC于D，根据重心的定义，点D为BC的中点，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得DG的长，再由重心的性质：三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍进行求解即可．

16.【解析】【解答】如图：设DE=x，CE=y

∵四边形BCED的周长为21，BC=9，

∴BD+DE+CE=21-9=12=AB=BD+AD

即AD=DE+CE=x+y

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC

∴ 即

 即

整理得：

解得：x=6

【分析】先设DE=x，CE=y根据线段数量关系得出AD=DE+CE=x+y，由相似三角形对应线段成比例得到关于x，y的二元一次方程组，解得x即可求解．

17.【解析】【解答】∵OB=2OD，

∴ ，

∵AD∥BC，

∴△AOD∽△COB，

∴ = ，

∴ ，

∵ ,

∴ = ，

故答案为： ．

【分析】先证明△AOD∽△COB，推出 = ，求出 ，由三角形法则得出 即可根据 求出答案．

18.【解析】【解答】过 作 交 于 点，

，

，

设 ， ，

在 中， ，

，

， ，

，

，

，

，

由 旋转而得，

， ，

，

， ，

， ，

又 ，

，

，

．

故答案为： ．

【分析】先过 作 交 于 点，根据题意求出 和 ，由 面积公式求出 ，再根据旋转的性质得 ， ，由 ，则 ，并求出 ，利用对顶角相等得 ，则 ，最后根据相似三角形性质可得

三、解答题

19.【解析】【分析】将各三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算．

20.【解析】【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y2  ， 化为 ，然后解一元二次方程，即可求解．

21.【解析】【分析】（1）如图，分别过点A、B作AD⊥y轴，BE⊥x轴，可证∠ACO=∠ABH，由点A、B的横坐标分别为6、2，可得AH=4，再由勾股定理可求得BH，即可求解∠ACO的余弦值；

（2）设反比例函数的解析式为 ，根据点A、B在第一象限的反比例函数图像上,则点A（6， ），B（2， ），由BH=2可得 ，求出k值，此题即可得解．

22.【解析】【分析】延长DC、AB相交于点E．由题意可知∠CEB=∠CBE，所以CE=CB，即可求出DE长，再利用勾股定理即可求出AE的长度，最后利用坡度计算公式即可求解．

23.【解析】【分析】（1）由AD2=AE•AC，易证得△ADC∽△AED，即可得∠ACD=∠ADE，又由DE∥BC，易证得∠ECD=∠B，则可证得△BCD∽△CDE；（2）由△BCD∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得 ，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，即可得 ，继而得到结论．

24.【解析】【分析】（1）先设OA，OB，通过抛物线可求得OC，结合∠OCA=∠OAB，运用锐角三角形函数定义求解OA，OB即可；

（2）过点D作DG⊥x轴，由△DGA≌△AOC推出D的坐标，从而结合A，D坐标运用待定系数法求解即可；

（3）设抛物线的对称轴FE与OA交于点H，则可根据平行线分线段成比例列式求解AH和OH，从而求解出抛物线的对称轴，即可求解出抛物线的解析式．

25.【解析】【分析】（1）根据CE∥BD，得出∠CEB=∠DBE，∠DBA=∠BCE结合题干证明出△ABD∽△ECB，进而得到 ，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE．

（2）过点B作BH⊥AN，垂足为H．根据条件先证明出△CEB∽△CAE，得到 ，代入求出CE，再根据 求出BD，利用三角函数求出BH，根据勾股定理即可求出AD．

（3）过点B作BH⊥AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH= 根据△ECB∽△ABD得到 ，代入化简为 即可求解．